WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Grundlagen Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen 2

3 Seien A 1, A 2,..., A n Mengen. Eine Relation R über A 1, A 2,..., A n ist eine Teilmenge Wenn n=2 dann sprechen wir von einer binären Relation. Wir schreiben oft arb statt (a,b) R. 3 R A 1 A 2 A n A i i = 1 Beispiel: Die Relation < über den natürlichen Zahlen: R = {(1,2),(1,3),(1,4),,(2,3),(2,4), } n

4 Grafische Darstellung einer binären Relation R µ A B. Ein Punkt für jedes Element von A und für jedes Element von B Ein Pfeil von a nach b gdw. arb Grafische Darstellung einer binären Relation R µ A A. Ein Punkt für jedes Element von A Ein Pfeil von a nach b gdw. arb 4

5 Eine binäre Relation R A A (A 1 = A 2 = A) ist reflexiv wenn für alle a 2 A gilt: (a,a) 2 R symmetrisch wenn für alle a,b 2 A gilt: wenn (a,b) 2 R, dann (b,a) 2 R asymmetrisch wenn für alle a,b 2 A gilt: wenn (a,b) 2 R, dann (b,a) R antisymmetrisch wenn für alle a,b 2 A gilt: wenn (a,b) 2 R und (b,a) 2 R dann a=b transitiv wenn für alle a,b,c 2 A gilt: wenn (a,b) 2 R und (b,c) 2 R dann (a,c) 2 R

6 Beispiele von binären Relationen: 6 " R " " " " " auf : reflexiv, transitiv, asymmetrisch auf : reflexiv, transitiv, antisymmetrisch auf : reflexiv, transitiv, symmetrisch auf : reflexiv, transitiv, symmetrisch

7 Äquivalenzrelationen Ein Relation auf einer Menge M, die reflexiv, transitiv, und symmetrisch ist, wird Äquivalenzrelation genannt. Definiert die Ähnlichkeit gewisser Eigenschaften Die Teilmengen R a = {b M (a,b) R} der Menge M werden Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation genannt; Objekte die äquivalent zu a sind. Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von M. 7

8 Äquivalenzrelationen Beispiel: Sei M die Menge der Studierenden in der Vorlesung Diskrete Strukturen. Die Relation gehen in dieselbe Übungsgruppe ist dann eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse eines Studierenden ist seine Übungsgruppe. 8

9 Äquivalenzrelationen Beispiel: Die Relation "hat dieselben Eltern wie" auf M ist reflexiv (jeder Mensch hat dieselben Eltern wie er selbst), symmetrisch (wenn a dieselben Eltern hat wie b, dann hat auch b dieselben Eltern wie a) und transitiv (wenn a dieselben Eltern hat wie b und b dieselben Eltern hat wie c, dann hat auch a dieselben Eltern wie c). Die Äquivalenzklassen dieser Relation auf der Menge der Menschen sind die Geschwister. 9

10 Ordnungen Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation heißt partielle Ordnung. Andere Namen für eine partielle Ordnung: Halbordnung, partially ordered set, poset. Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung, falls alle Elemente miteinander vergleichbar sind, d.h für zwei Elemente a,b der Grundmenge ist arb oder bra erfüllt. 10

11 Ordnungen Beispiele: Die Relation über den natürlichen Zahlen ist eine totale Ordnung. A sei eine beliebige Menge und 2 A die Potenzmenge. Dann ist (2 A, ) eine partielle Ordnung. 11

12 Ordnungen Beispiel: M sei eine Menge von Schülern, die eine Reihe von Aufgaben zu lösen haben. Für zwei Schüler x,y sei x y erklärt durch y hat alle Aufgaben, die x gelöst hat, auch gelöst. Diese Struktur ist noch keine partielle Ordnung (man nennt sie eine Quasiordnung sie ist reflexiv und transitiv). 12

13 Ordnungen Beispiel: Sei R={(a,b) 2 N N j b teilt a} Die graphische Darstellung ohne reflexive und transitive Kanten heißt Hasse-Diagramm. 13 Die Relation R stellt eine partielle Ordnung dar.

14 Urbild und Bild einer Relation Definition: Sei R A B eine binäre Relation. Dann heißt {a A es gibt b B mit (a,b) R} das Urbild von R und {b B es gibt a A mit (a,b) R} das Bild der Relation R. 14

15 Inverse einer Relation Definition: Sei R A B eine binäre Relation. Dann heißt R -1 := {(b,a) (a,b) R} die Inverse Relation zu R. 15

16 Relationenprodukt 16 Definition: Seien R A B und T B C binäre Relationen. Dann heißt R T := { (a,c) A C es gibt b mit (a,b) R und (b,c) T } das Produkt der Relationen R und T. Es wird oft auch als RT bezeichnet.

17 Relationenprodukt Theorem: Das Relationenprodukt ist assoziativ und distributiv über und. Beweis als Hausaufgabe! 17

18 Komposition von Relationen Definition: Sei R A A eine binäre Relation. Dann heißt R 0 := {(a,a) a A} (=: Id A Identität ) R n+1 := R n R für n N 0 Beispiel: Sei Kind die Relation {(k,v) k ist Kind von v} Dann bezeichnet Kind 2 die Enkel-Relation. 18

19 Abschluss von Relationen Definition: Sei R A A eine binäre Relation. Der reflexive (symmetrische, transitive) Abschluss (auch als reflexive, symmetrische bzw. transitive Hülle bezeichnet) ist die kleinste (im mengentheoretischen Sinn) Relation, die R enthält und reflexiv (symmetrisch, transitiv) ist. 19

20 Abschluss von Relationen Die transitive Hülle von R wird gewöhnlich mit R + bezeichnet. Die reflexive transitive Hülle von R wird gewöhnlich mit R* bezeichnet. 20

21 Reflexive Hülle (R µ A A) Es gilt: R refl = R Id A Beispiele: Die reflexive Hülle von < ist. Die reflexive Hülle von ist selbst. Allgemein: die reflexive Hülle einer reflexiven Relation ist die Relation selbst. 21

22 Transitive Hülle (R A A) Es gilt: R + = n 1 R n Wir werden diese Aussage später in der Vorlesung sorgfältig beweisen. 22

23 Transitive Hülle Beispiele: Sei R = {(x,y) y = x + 1 x,y N} die Nachfolgerelation auf den natürlichen Zahlen. Dann ist R + die Größer-Relation auf N. Die transitive Hülle der Relation x kennt y verbindet (vermutlich) alle Menschen auf der Welt direkt. Die transitive Hülle von x ist mit y durch eine Straße verbunden verbindet praktisch alle Orte eines Kontinents oder einer Insel miteinander 23

24 Definition: Für zwei Mengen A, B ist eine Funktion eine Abbildung von A nach B (f : A B), die jedem Element a A genau ein Element f(a) B zuordnet. d.h., für alle a A ist {b B (a,b) R} = 1. Wir schreiben dann a f(a). Eine Funktion ist somit eine spezielle Relation, 24 die aus genau einem Element (a,f(a)) jedes Element aus A besteht. AxB für

25 Graphische Darstellung von Funktionen a f b = f(a) A B 25 f

26 Definition: Eine n-stellige Operation über der Menge A ist eine Funktion von der Menge der geordneten n-tupel von Elementen von A auf A. Mengenvereinigung und Durchschnitt ( und ) sind binäre Operationen auf der Potenzmenge einer Menge. 26

27 Konstruktion von Funktionsoperationen Eine beliebige Operateion ( dot ) über B ist gleichzeitig auch Operation über Funktionen f :A B. z.b.: Gegeben sei eine beliebige binäre Operation : B B B und Funktionen f,g: A B, dann ist (f g): A B die Funktion a f(a) g(a). 27

28 Konstruktion von Funktionsoperationen Beispiel: Mit der Addition und der Multiplikation als binäre Operationen über R können wir auch Funktionen f,g: R R addieren bzw. multiplizieren: (f g): R R, mit (f g)(x) = f(x) g(x) (f g): R R, mit (f g)(x) = f(x) g(x) 28

29 Die Komposition von Funktionen (siehe auch Komposition von Relationen): Die Operation ( ) setzt aus zwei Funktionen g: A B und f: B C eine neue Funktion zusammen, indem f auf das Resultat von g angewendet wird. Wir schreiben: (f g): A C, wobei (f g)(a) := f(g(a)). Da g(a) B, ist f(g(a)) definiert und C. Der Operator (wie, aber im Gegensatz zu +,, ) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt: f g g f. 29

30 Graphische Darstellung der Komposition (f g)(a) a g(a) g(a) f(g(a)) f(g(a)) g f A B C 30 f g

31 Bilder und Urbilder von Funktionen Gilt a f(a), dann wird f(a) als Bild von a unter f bezeichnet. 31

32 Bilder und Urbilder von Funktionen Gilt a f(a), dann wird f(a) als Bild von a unter f bezeichnet. Gegeben f: A! B und A T µ A. Dann ist das Bild von A T unter f die Menge aller Bilder (unter f) der Elemente von A T : f(a T ) = {f(a) a 2 A T } 32

33 Bilder und Urbilder von Funktionen Das Urbild f -1 (b) eines Elements b 2 B T ist definiert als f -1 (b) := {a A j f(a) = b} Für eine Menge B T B gilt: f -1 (B T ) := f -1 (b). 33

34 Graphische Darstellung von Funktionen f -1 (b) a = f -1 (b) f(a) b = f(a) A f -1 B 34 f

35 Eine Funktion f: A B heißt 35 injektiv, wenn alle Elemente aus A unterschiedliche Bilder haben, wenn also für alle b B gilt: f -1 (b) 1. surjektiv, wenn jedes Element aus B ein Bild von mindestens einem Element aus A ist, wenn also für alle b B gilt: f -1 (b) 1.

36 Grafische Darst. der Injektivität/Surjektivität. a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d a b c d e e e 4 5 d a b c d d 1: injektiv, surjektiv 2: surjektiv, injektiv 3. injektiv, surjektiv 4. Keine Funktion 5. injektiv, surjektiv 4 5

37 Bijektivität Eine Funktion f: A B ist bijektiv, oder reversibel, 37 oder invertierbar, genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also für alle b B gilt: f -1 (b) = 1. Für Bijektionen f:a B existiert eine eindeutige inverse Funktion von f (f -1 :B A) für die gilt: f -1 f = I A wobei I A die Identitäts-Funktion bezeichnet (I A (a) = a für alle a 2 A).

38 Einige spezielle Funktionen In der diskreten Mathematik haben wir es häufig mit den folgenden Funktionen über den reelen Zahlen zu tun. Die floor Funktion ( untere Gaußklammer ) : R Z, wobei x ( floor of x ) die größte ganze Zahl x bedeutet, also x := max({i Z i x}) 38 Die ceiling Funktion ( obere Gaußklammer ) : R Z, wobei x ( ceiling of x ) die kleinste ganze Zahl x bedeutet, also x := min({i Z i x})

39 Einige spezielle Funktionen Reele Zahlen fall to their floor oder rise to their ceiling. Wenn x Z: -x - x und -x - x 39 Wenn x Z: x = x = x

40 Unendliche Kardinalität Unter Verwendung dessen, was wir im letzten Kapitel über Funktionen gelernt haben, können wir nun den Begriff der Kardinalität (sogar für unendliche Mengen) formalisieren. Wir können damit sogar zeigen, dass unendliche Mengen in unterschiedlichen Größen der Unendlichkeit erscheinen. 40

41 Definition: Zwei (möglicherweise unendliche) Mengen A und B, haben die gleiche Kardinalität ( A = B ) genau dann wenn eine Bijektion (bijektive Funktion) von A nach B existiert. Man sagt auch, dass A die gleiche Mächtigkeit wie B hat. Bemerkung: Sind A und B endlich, dann existiert eine solche Funktion genau dann wenn A und B dieselbe Anzahl von Elementen haben. 41

42 Definition: Eine Menge B ist mindestens so mächtig wie A, wenn es eine injektive Abbildung von A in B gibt. B ist mächtiger als A, wenn es eine injektive Abbildung von A in B, aber keine injektive Abbildung von B in A gibt. Es gilt (Schöder-Bernstein): 42 Wenn A mindestens so mächtig wie B ist und B mindestens so mächtig wie A, dann haben A und B die gleiche Mächtigkeit.

43 Abzählbarkeit vs. Überabzählbarkeit Eine beliebige Menge S ist abzählbar, wenn S endlich ist oder S = N. Andernfalls ist S überabzählbar. Intuitiv: eine Menge ist abzählbar, wenn ihre Elemente aufgelistet werden können. Dagegen kann keine unendliche Liste alle Elemente einer überabzählbaren Menge enthalten. 43

44 Beispiel abzählbare Mengen: Theorem: Die Menge Z ist abzählbar. Beweis: Definiere f: Z N, wobei f(i) = 2i für i 0 und f(i) = -2i 1 für i < 0. Da f bijektiv ist, ist Z abzählbar. 44

45 Beispiel überabzählbare Mengen: Das Interval [0,1]: {r R 0 r 1} ist überabzählbar. Beweis durch Diagonalisierung. Allgemeiner gilt für jede beliebige Menge M: Potenzmenge P(M) von M ist mächtiger als M. Georg Cantor