15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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1 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben ) Drei Statistiker gehen auf die Jagd. Der erste legt an, zielt, und - und schießt links daneben. Der zweite legt an, zielt, und - und schießt rechts daneben. Ruft der dritte: Getroffen! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie

2 5. Grundbegriffe Definition.) 2.) Ein Experiment ( wird nach einer genau festgelegten Vorschrift durchgeführt und kann unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden ) heißt Zufallsexperiment, wenn es verschiedene Möglichkeiten für den Ausgang des Experiments gibt und nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, welcher dieser möglichen Ausgänge sich bei Durchführung des Experiments einstellen wird. Die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse oder Ergebnisse. Die Menge M aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge des Zufallsexperiments. 3.) Eine Teilmenge A der Ergebnismenge M heißt Ereignis ( ein Ereignis ist also eine Menge von Elementarereignissen ). Spezielle Ereignisse: A = M heißt sicheres Ereignis A = heißt unmögliches Ereignis A = M A heißt das zu A komplementäre Ereignis oder Gegenereignis zu A Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 2

3 Beispiele.) Würfeln M = ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; Ereignis A Primzahl gewürfelt : A = 2 ; 3 ; 5 Das zu A komplementäre Ereignis A keine Primzahl gewürfelt : A = M A = ; 4 ; 2.) Münze werfen M = Kopf ; Zahl 3.) Zweimal Münze werfen a) mit unterscheidbaren Münzen: b) mit nicht unterscheidbaren Münzen: M = M = KK ; KZ ; ZK ; ZZ KK ; ZK ; ZZ bzw. M = 0 ; ; 2 4.) Lebensdauer einer Glühlampe M = R + Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 3

4 Definition 3 Wird ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge M n - mal durchgeführt, so heißt die Anzahl n ( A ), mit der ein Ereignis A M bei diesen n Durchführungen auftritt, die absolute Häufigkeit des Ereignisses A bei n Durchführungen des Zufallsexperiments. n ( A ) Der Quotient h n ( A ) = heißt relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n n Durchführungen des Zufallsexperiments. Beispiel Ist die nebenstehende Tabelle das Ergebnis nach 00 - maligem Würfeln, so gilt etwa für das Ereignis k n ( k ) A = mindestens 5 gewürfelt = 5 ; : n ( A ) 34 n ( A ) = = 34 und h n ( A ) = = = 0,34 = 34 % n 00 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 4

5 Satz Für die absolute bzw. relative Häufigkeit gelten die folgenden Beziehungen: 0 < n ( A ) < n n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A B ) n ( M ) = n n ( ) = 0 0 < h n ( A ) < h n ( A B ) = h n ( A ) + h n ( B ) - h n ( A B ) h n ( M ) = h n ( ) = 0 Schwaches Gesetz der großen Zahl Berechnet man für verschiedene Anzahlen n von Durchführungen eines Zufallsexperiments jeweils die relative Häufigkeit h n ( A ), so stellt man fest, dass sie sich mit wachsender Anzahl von Durchführungen n mit immer kleiner werdenden Schwankungen um einen bestimmten Wert einpendelt. Daher vereinbart man: Definition 4 Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A wird definiert als Grenzwert der relativen Häufigkeit : p ( A ) = l i m h n ( A ) n 8 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 5

6 Bemerkung Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A für verschiedene Anzahlen n von Durchführungen eines Zufallsexperiments kann man nur empirisch bestimmen ( also indem man das Zufallsexperiment entsprechend häufig durchführt ) ; es gibt keine explizite oder rekursive Rechenformel. Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A kann daher in vielen Fällen nicht exakt bestimmt werden. In diesen Fällen nimmt man die relative Häufigkeit h n ( A ) für ein hinreichend großes n als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit und nennt diese Wahrscheinlichkeit dann statistische Wahrscheinlichkeit. Bei Zufallsexperimenten, bei denen die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A exakt bestimmt werden kann, spricht man von mathematischer Wahrscheinlichkeit. Beispiele a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schwangere Zwillinge entbinden wird, beträgt 8908 = 0, =,23459 % statistische Wahrscheinlichkeit b) Die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel eine zu würfeln, beträgt = 0,7 =,7 % mathematische Wahrscheinlichkeit Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie

7 Satz 2 Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge M und Ereignisse A, B M gilt: 0 < p ( A ) < p ( A B ) = p ( A ) + p ( B ) - p ( A B ) p ( M ) = ( sicheres Ereignis ) p ( ) = 0 ( unmögliches Ereignis ) p ( A ) = - p ( A ) ( zu A komplementäres Ereignis ) p ( B A ) = p ( B ) - p ( A B ) A B p ( A ) < p ( B ) Für endliche Ergebnismengen M = x ; x 2 ;... ; x n mit Wahrscheinlich- keiten p, p 2,..., p n (also p ( x ) = p, p ( x 2 ) = p 2,..., p ( x n ) = p n ) gilt: n a) p i = b) p i = p ( A ) i = x i ε A für jedes Ereignis A M Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 7

8 Definition 5 ( Laplace - Experimente ) Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Elementarereig- nissen heißt Laplace - Experiment. Beispiele a) Würfeln mit einem idealen Würfel b) Werfen einer idealen Münze c) Roulette mit einem idealen Ziehungsgerät Satz 3 Für ein Laplace - Experiment mit Grundmenge M = x ; x 2 ; x 3 ;... ; x n gilt: a) p ( x i ) = für alle i =,..., n n Bemerkungen.) 2.) # A heißt Mächtigkeit oder Kardinalzahl der Menge A. # A b) p ( A ) = für jedes Ereignis A M n Bei endlichen Mengen entspricht dies der Anzahl der Elemente. Bei Laplace - Experimenten lässt sich also stets die mathematische Wahrschein- lichkeit bestimmen. Daher nennt man die mathematische Wahrscheinlichkeit auch Laplace - Wahrscheinlichkeit. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 8

9 Methoden zur Bestimmung von (mathematischen) Wahrscheinlichkeiten Beispiel : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln die Augensumme 0 zu erzielen? Mögliche Grundmenge: M = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; 2 Diese Ergebnisse sind aber nicht gleich wahrscheinlich. Es liegt daher kein Laplace - Experiment vor; die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann mit diesem Ansatz also nicht bestimmt werden. Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( z.b ein roter und ein blauer Würfel ), so erhält man als mögliche Grundmenge M = ( / ) ; ( / 2 ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / 5 ) ; ( / ) ; ( 2 / ) ; ( 2 / 2 ) ; ( 2 / 3 ) ; ( 2 / 4 ) ; ( 2 / 5 ) ; ( 2 / ) ; ( 3 / ) ; ( 3 / 2 ) ; ( 3 / 3 ) ; ( 3 / 4 ) ; ( 3 / 5 ) ; ( 3 / ) ; ( 4 / ) ; ( 4 / 2 ) ; ( 4 / 3 ) ; ( 4 / 4 ) ; ( 4 / 5 ) ; ( 4 / ) ; ( 5 / ) ; ( 5 / 2 ) ; ( 5 / 3 ) ; ( 5 / 4 ) ; ( 5 / 5 ) ; ( 5 / ) ; ( / ) ; ( / 2 ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / 5 ) ; ( / ) Diese 3 Ergebnisse sind alle gleich wahrscheinlich; es liegt daher ein Laplace - Experiment vor, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann. Das Ereignis A = Augensumme 0 = ( 4 / ) ; ( 5 / 5 ) ; ( / 4 ) hat also die Wahrscheinlichkeit p ( A ) = 3 # A p ( A ) = für jedes Ereignis A M 3 = 2. n Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 9

10 Alternative Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme 0 ist die Einzelbetrachtung der beiden Würfel mit anschließender Multiplikation der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten: Das Ereignis A = Augensumme 0 lässt sich zerlegen in die beiden Ereignisse B = roter Würfel mindestens 4, und C = blauer Würfel = 0 - roter Würfel. Daher gilt p ( A ) = p ( B ). 3 p ( C ) =. = 2 Alternative 2 Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme 0 ist die Erstellung eines Baumdiagramms; dabei wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation und ggf. Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet, die einfacherer zu bestimmen sind: Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 0

11 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie Alternative 2 Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme 0 ist die Erstellung eines Baumdiagramms; dabei wird die gesuchte Wahrschein- lichkeit durch Multiplikation und ggf. Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet, die einfacherer zu bestimmen sind: Würfeln mit zwei Würfeln roter Würfel blauer Würfel = 3 p = = 2 3 p = Augensumme 0

12 Bemerkung Das Baumdiagramm wird einfacher, wenn man nicht alle möglichen Ergebnisse einzeln aufführt, sondern nur nach dem betrachteten Ereignis unterscheidet: A = Augensumme 0 A = Augensumme 0 Würfeln mit zwei Würfeln A A A A A A A A A A A A roter Würfel blauer Würfel Augensumme 0 p = = 2 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 2

13 Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln als. Methode Augensumme mindestens 0 zu erzielen? Das Ereignis A = Augensumme > 0 = ( 4 / ) ; ( 5 / 5 ) ; ( / 4 ) ; ( 5 / ) ; ( / 5 ) ; ( / ) hat die Wahrscheinlichkeit 2. Methode Das Ereignis A = Augensumme p ( A ) = =. 3 B = roter Würfel mindestens 4, und C = blauer Würfel > 0 - roter Würfel. > 0 lässt sich zerlegen in die beiden Ereignisse In diesem Beispiel ist aber die Wahrscheinlichkeit p ( C ) nicht nur davon abhängig, ob B eingetreten ist, sondern auch vom genauen Ergebnis. Daher ist eine genauere Unterscheidung notwendig: B = roter Würfel = 4 C = blauer Würfel > B 2 = roter Würfel = 5 C 2 = blauer Würfel > 5 B 3 = roter Würfel = C 3 = blauer Würfel > 4 Dann gilt p ( A ) = p ( B ). p ( C ) + p ( B 2 ). p ( C 2 ) + p ( B 3 ). p ( C 3 ) =. = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 3

14 Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln als 3. Methode Augensumme mindestens 0 zu erzielen? A = Augensumme > 0 A = Augensumme < 0 Würfeln mit zwei Würfeln A A A A A A A A A 3 roter Würfel blauer Würfel Augensumme > p = + + = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 4

15 Beispiel 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 25 Personen mindestens zwei den gleichen Geburtstag haben? Die Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit p ( A ) ist recht schwierig. Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) des Gegenereignisses ist einfacher zu bestimmen: Die 25 Personen werden in eine beliebige Reihenfolge gebracht und nennen nacheinander ihr Geburtsdatum. Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn Person 2 einen Geburtstag hat, den Person nicht hat, und Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen und 2 nicht haben, und Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 3 nicht haben, und Person 5 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 4 nicht haben, und Person 25 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 24 nicht haben. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie 5

16 Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn Person 2 einen Geburtstag hat, den Person nicht hat, und Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen und 2 nicht haben, und Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 3 nicht haben, und Person 5 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 4 nicht haben, und Person 25 einen Geburtstag hat, den die Personen bis 24 nicht haben. Nach Methode 2 beträgt die Wahrscheinlichkeit p ( A ) des Gegenereignisses daher p ( A ) = Mit Hilfe der Formel p ( A ) = - p ( A ) ergibt sich hieraus p ( A ) = -. = 0, = 5,9 % ( bei 23 Personen gilt p ( A ) = 0,507 = 50,7 %, und bei einer Gruppe von 05 Personen gilt p ( A ) = 99, % und damit p ( A ) < p ( Richtige im Lotto ) ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5. Folie