Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will.

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Rudolf Krüger
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Master Umweltingenieur, 1. Semester, Modul 42439,, 420607, VL, Do. 11:30-13:00, R. 3.

1 Master Umweltingenieur, 1. Semester, Modul 42439,, , VL, Do. 11:30-13:00, R , UE, Do. 13:45-15:15, R Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will

2 Reynoldszahl Phänomene der Viscosität Rohrströmung Hindernisse in Strömungen Übung

3 Vorlesung 8: Reibungskraft in Flüssigkeiten Entdimensionierung der Impulsgleichung Die Impulsgleichung (im absoluten Koordinatensystem) mit Newton'scher Reibung lautet: v/ t + v v = -1/ p -g+ ν v (1) Entdimensionalisierung: Alle Terme der Gleichung (1) haben die selbe Dimension. Schreibt man jede Größe ψ(x,t) eines Terms als Produkt eines typischen, dimensionsbehafteten Werts ψ 0 mal variablem, dimensionslosermfaktor ψ (x,t), kann jeder Term der Gleichung als typische dimensionsbehaftete, konstante Größe mal dimensionsloser, variabler Term der Größenordnung eins geschrieben werden. Teilt man die Gleichung durch die typische Größe eines Referenzterms, wird die Gleichung dimensionslos. Die Vorfaktoren der dimensionslosen Terme geben dann ihre Größe relativ zum Re-ferenzterm an. Als Referenzterm wird üblicherweise die Advektion ( bzw. dieträgheitskfraftdichte) verwendet. Zerlegung der Größen in (1) ergibt: v=v 0 v and v=v 0 v with V 0 = v, t 0 = L/V 0 t, =1/L, p 0 /( 0 V 2 )=1 (2) Setzt man (2) in (1) ein, erhält man: V 02 /L ( v / t + v v )= -p 0 /( 0 L) 1/ p -ge z + νv 0 /L 2 ν v Teilungdurch die typische Größe der Advektion V 2 /L und Ersetzung von Ψ durch Ψ, ergibt: v/ t + v v = - p/ gl/v 2 e z + 1/Re v mit Re = V 0 L/ν Reynoldszahl (Trägheitskraft /Reibungskraft) und Fr= V 0 / (gl) Froudezahl (Trägheitskraft/Gravitationskraft), erhält man v/ t + v v = - p/ 1/Fr 2 e z + 1/Re v

Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten Reynoldszahlen v/ t + v v = - p/ 1/Fr 2 e z + 1/Re v Unterschiedliche Strömungen können die gleiche oder sehr unterschiedliche dimensionslose Zahlen haben.

4 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten Reynoldszahlen v/ t + v v = - p/ 1/Fr 2 e z + 1/Re v Unterschiedliche Strömungen können die gleiche oder sehr unterschiedliche dimensionslose Zahlen haben. Die gleiche dimensionslose Zahl bedeutet, daß der Einfluß des entsprechenden Terms gleich groß ist. Bei gleichen Randbedingungen sind auch die Lösungen gleich. ν [m2/s] L [m] V [m/s] Re Atmosphäre: 1E-5 1E6 10 1E12 Ozean 1E-6 1E6 1 1E12 Fluß 1E-6 1E2 1 1E8 Klärbecken 1E-6 5E1 2 1E8 Gleitlager 1E-5 1E E2 Laborströmung 1 1E E7 Laborströmung 2 1E E5 Laborströmung 3 1E E2

Das Strömungsverhalten kann durch die Reynoldszahl (Re) charakterisiert werden, die als Quotient von Advektion und Reibungskraftdichte definiert

5 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten: Rohrströmung Wir betrachten eine Strömung durch ein Rohr mit Durchmesser D. Die Reibungskraft hängt von den Strömungsparametern ab. Das Strömungsverhalten kann durch die Reynoldszahl (Re) charakterisiert werden, die als Quotient von Advektion und Reibungskraftdichte definiert ist: Re = V D/ν Laminare Strömung Re < 2300 (Rotta, 1950) mit Δv=v und D : Rohrdurchmesser ν : kinematische Viscosität V : Strömungsgeschwindigkeit Bei dieser definition der Reynoldszahl Re ist die Strömung turbulen für Re>2300. Turbulente Strömung Re > 2300

6 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten: Rohrströmung Wir betrachten nun die Rohrströmung in Rohren mit unterschiedlichen Wandmaterialien. Die Reibungskraft hängt nun von der Reynoldszahl und den Eigenschaften der Wand ab: Laminare Strömung (Re < 2300) : f = 64/Re (theoretische Lösung) Turbulente Strömung (Re > 2300) : 1/ (f) = -1.8 log[(6.9/re) + (k/3.7) 1.11 ] k = Z 0 /D Re =v D/ν=Advektion/Reibung: Reynoldszahl Z 0 : Rauigkeitslänge. Wandabstand, bei dem im logarithmischen Profil der turbulenten mittleren Strömung v=0 auftreten würde. D : Rohrdurchmesser L : Rohrlänge ν : kinematische Viskosität der Strömung material Stahl Kupfer Glas Polyethylen Flexibles P.V.C. Steifes P.V.C. Gusseisen Beton Darcy-Weisbach Gleichung: Die Druckdifferenz zwischen zwei Punkten im Abstand L kann mithilfe der folgenden empirischen Formel bestimmt werden: Z mm mm mm mm mm mm mm mm

7 Vorlesung 8: Reibungskraft in Flüssigkeiten: Hindernisumströmung Wir betrachten einen Zylinderförmigen Gegenstand in einer gleichförmigen Anströmung Die Reynoldszahl (Re) Re = V D/ν ist definiert durch D : Zylinderdurchmesser ν : kinematische Viskosität der Flüssigkeit V : Geschwindigkeit der Anströmung Mit dieser Definition von Re, ist die laminare Strömung beschränkt auf 1<Re<10. Im Bereich 90<Re<1000 tritt stromabwärts die Wirbelstrasse auf. Für Re > 1E4 tritt eine voll entwickelte turbulente Strömung stromabwärts auf.

8 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten: von Karman Wirbelstrasse Beispiel einer von Kármán Wirbelstrasse in der Troposphäre: Umströmung der Juan Fernández Insel vor der Chilenischen Küste.

9 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten von Karman Wirbelstrasse V L/T : v/ t + v v = - p/ 1/Fr 2 e z + 1/Re v St= Instationarität/Trägheit= L/vT= ωl/v St v/ t + v v = - p/ 1/Fr 2 e z + 1/Re v Bedingungen für das Auftreten der von Karman Wirbelstraße: St= (1-19.7/Re) 250 < Re < , 0.18 < St < 0.198

10 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten Reynoldszahl Resonanz: Die maximale Amplitude der Oscillation tritt bei der Resonanzfrequenz auf: Rechts: Amplituden des harmonischen Oszillators (wikipedia)

11 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten: von Karman vortex street Möglichkeiten der Verhinderung der Druckoscillationen (die die Bauwerke zerstören können): 1. Verlängerung des umströmten Objekts 2. Spirale um den Schornstein Prosperine/Mill, 2012, wikipedia

Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten body in a uniform flow Wir betrachten nun unterschiedlich geformte Körper mit gleicher Fläche senkrecht

12 Vorlesung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten body in a uniform flow Wir betrachten nun unterschiedlich geformte Körper mit gleicher Fläche senkrecht zur Strömungsrichtung: die Reibungskraft F d hängt von der Körperform ab und kann mithilfe einer empirischen Formel bestimmt werden. Die empirische Formel lautet: F d = 0.5 C w A v 2 Sie wurde mithilfe von Labormessungen vielfach bestätigt durch Bestimmung der Koeffizienten einer Taylor- Reihenentwicklung. Es wurde festgestellt, daß die Koeffizienten der Terme mit dem Exponenten der Geschwindigkeit 1, 3 und 4 klein sind im Vergleich mit C w.

13 Übung 8: Reibungskraftin Flüssigkeiten Übung 1 Gebe die C w Werte für 5 unterschiedliche Körper an. Übung 2: Berechne die Reynoldszahl der Atmosphäre und des Flusses Elbe Übung 3 Bei welcher Geschwindigkeit wird die Strömung turbulent in einem Rohr mit Durchmesser 2cm? A) Wenn Wasser durchströmt B) Wenn ein typisches Öl durchströmt C) Wenn Luft durchströmt Übung 4. Welche Geschwindigkeit erreicht eine Fahrradfahrerin, wenn sie 100 W, und welche, wenn sie 500 W leistet. Nehme typische Werte an für C w A.

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