Elektronik und Informatik. Petri Netze. Sommersemester Christina Chlebisz Marcel Geirhos Tobias Maas. Prof. Dr. habil.

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1 Fakultät Elektronik und Informatik Petri Netze Sommersemester 2016 Autor: Prüfer: Christina Chlebisz Marcel Geirhos Tobias Maas Prof. Dr. habil. Thomas Thierauf

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Komponenten Plätze Transitionen Kanten Netzstruktur Markierungen Beschriftung der Kanten und Transitionen Definition Einfaches Beispiel Funktionsweise 10 4 Problemstellungen Erreichbarkeit Beschränktheit Deadlockfreiheit Sprache Entscheidbarkeit Modellierung 13 6 Anwendungen Fall-Beispiel 1: Interaktion zwischen Computer und Drucker Problemstellung Definition der Stellen Definition der Transitionen Definition der Beziehungen Plausible Anfangsmarkierung Beispiel für die Verwendung der Markierungen Fall-Beispiel 2: Speisende Philosophen Problemstellung Definition der Stellen Definition der Transitionen Definition der Beziehungen Vollständiges Netzwerk

3 6.2.6 Plausible Anfangsmarkierung Fall-Beispiel 3: Ein Improvisationsproblem der deutschen Lufthansa AG Problemstellung Modellierungsbeispiel Störung behandeln Abbildungen 31 Literatur 32

4 1 Einleitung Prof. Dr. Carl Adam Petri 1 Die Theorie für Petri-Netze stammte von dem Informatiker Carl Adam Petri. Dieser entwickelte die nach ihm benannten Petri-Netze ausgehend von endlichen Automaten veröffentlichte C.A. Petri seine Dissertation zu seiner Theorie des Petri-Netzes. Die erste Praktische Anwendung fand erst gegen Ende der 1960er-Jahre durch ein Projekt des MIT statt. In den 1980er-Jahren wurde die Theorie weiterentwickelt. Durch diese Entwicklungen ist es Möglich die Petri-Netze in verschiedensten Bereichen einzusetzen wie z.b. in der theoretischen Biologie, der Modellierung von Geschäftsprozessen und in der Logistik so wie viele weitere. 2 1 [BildCAP] 2 Vgl. [Wiki] 4

5 2 Komponenten In diesem Kapitel werden alle Arten von Komponenten, ohne jegliche Erweiterungen und Verallgemeinerungen, Einzeln betrachtet und erläutert. 2.1 Plätze Abbildung 1: Platz bzw. Stelle Ein Petrinetz ist eine Struktur mit zwei Sorten von Elementen, wovon die Plätze eine davon sind. Diese werden graphisch als Kreis oder Ellipse dargestellt und modellieren eine passive Komponente p; p kann somit Dinge lagern, speichern, sichtbar machen und sich in einem Zustand befinden. 3 Eine andere Bezeichnung für Platz ist Stelle. 2.2 Transitionen Abbildung 2: Transition Die Transitionen sind ebenfalls eine Sorte von Elementen und werden graphisch als Quadrat oder Rechteck dargestellt. Anders als die Plätze modelliert eine Transition eine aktive Komponente t; t kann deshalb Dinge erzeugen, verbrauchen, transportieren und verändern. Eine andere Bezeichnung dafür ist Aktion. 3 Vgl. [Rei86], S. 22 5

6 2.3 Kanten Abbildung 3: Kante Die zwei oben genannten Komponenten sind durch gerichtete Kanten miteinander verbunden. Eine Kante wird als ein Pfeil dargestellt und modelliert lediglich eine abstrakte, gedankliche Beziehung zwischen Komponenten; beispielsweise logischer Zusammenhang, Zugriffsrecht, räumliche Nähe, unmittelbare Kopplung. 4 Somit kann eine Kante auch als Beziehung bezeichnet werden. Eine Kante kann lediglich von einer Transition zu einem Platz bzw. von einem Platz zu einer Transition führen. Keine Kante kann zwei Stellen oder zwei Transitionen miteinander verbinden. 2.4 Netzstruktur Abbildung 4: Netzstruktur Da Kanten als Paare zu betrachten sind, d.h. F als eine Relation F (P T ) (T P ) aufzufassen ist, wobei P die Plätze und T die Transitionen sind, entsteht somit eine Netzstruktur N = (P, T, F ). F ist eine Flussrelation von N, P und T sind die zugehörigen Elemente von N. 5 4 [Rei86], S Vgl.[Rei86], S. 23 6

7 2.5 Markierungen Abbildung 5: Beispiele für Markierungen Eine Markierung, oder auch Token genannt, ist eine Verteilung von Marken auf Plätzen, meist wird dadurch der Anfangszustand dargestellt. Es gibt symbolische Marken, dies sind Elemente aus der realen Welt, siehe Abbildung 5, und es gibt abstrakte Marken, schwarze Marken. Häufig wird durch solch eine Marke beschrieben, dass eine Bedingung, die als Platz dargestellt ist, erfüllt ist Beschriftung der Kanten und Transitionen Abbildung 6: Beschriftung der Kanten Eine Kante und eine Transition können durch einen Ausdruck beschriftet sein, d.h. durch Elemente der realen Welt, wie oben bei Markierungen schon 6 Vgl. [Rei86], S. 24 7

8 beschrieben, oder durch Funktionen und Variablen. Durch die zentrale Eigenschaft eines Ausdrucks, dass in diesem alle Variablen durch Elemente ersetzt werden, kann dieser ausgerechnet werden und es entsteht ein neues Element. Eine Transition wird durch die verschiedenen Instanziierungen einer Variablen beschrieben und tritt nur ein, wenn sie eine Beschriftung mit dem Wahrheitswert wahr erhält. 2.7 Definition Definition 1 Ein Petri-Netz P = (S, T, G) besteht aus einer Menge von Stellen S, einer Menge von Transitionen T und einem gerichteten Verbindungsgraphen G, bei dem nur Stellen mit Transitionen und Transitionen mit Stellen verbunden sind, Einfaches Beispiel G (S T ) (T S) Abbildung 7: Petri-Netz. In der Abbildung 7 sind die Transitionen mit t 1, t 2, t 3 und t 4 beschriftet. Die Stellen werden als p 1, p 2 und p 3 gekennzeichnet. Transitionen und Stellen werden in Petri Netzen durch gerichtete Kanten miteinander verbunden. Diese Stellen sind vergleichbar mit Speicherbausteinen. Sie speichern die Markierungen (engl. Tokens), die als kleine schwarze Kreise dargestellt 7 [Hs-Osna] 8

9 sind. Eine bestimmte Verteilung von Tokens nennt man einen Zustand der durch ein Tupel (p 1, p 2,..., p n ) identifiziert wird. Wie viele Tokens von einer Stelle genommen und auf eine andere Stelle transportiert werden hängt von dem Gewicht der gerichteten Kanten ab, die zwei Stellen über eine Transition miteinander verbindet. Dabei darf zu keinem Zeitpunkt eine Stelle eine negative Anzahl an Tokens aufweisen. Wenn man also die Transition t 3 ausführt, verändert sich der Zustand von (0, 2, 0) auf (0, 1, 1), da von der Stelle p 2 ein Token entnommen wird und auf die Stelle p 3 gelegt wird. Führt man nun die Transition t 4 aus würde dies zu dem Zustand (0, 3, 1) führen was eine negative Anzahl der Tokens auf Stelle p 3 zur Folge hätte und somit nicht erlaubt ist. 8 8 Vgl. [Wim08], S.7 9

10 3 Funktionsweise In einem Petri-Netz gibt es folgende Schaltregeln zum Bewegunsablauf der Marken: Eine Transition kann erst dann schalten, wenn in jeder Eingabestelle dieser Transition mindestens eine Marke liegt. Sobald eine Transition schaltet, wird eine Marke aus jeder Eingabestelle dieser Transition entfernt und zu jeder Ausgabestelle hinzugefügt. Abbildung 8: Beispiel für Schaltmöglichkeiten In Abbildung 8 ist zunächst ein Petri-Netz dargestellt, mit fünf Transitionen und fünf Stellen. Im darauf Folgenden Schritt wird die Transition t 1 aktiviert bzw. geschaltet, somit werden in die Stellen s 1 und s 2 Tokens gelegt, da diese die Ausgangsstellen von t 1 sind. Allerdings sind s 1 und s 2 auch die Eingangsstellen von t 2 und t 3, da diese nun markiert sind, können die Transitionen t 2 und t 3 schalten. Im nächsten Schritt schalten t 2 und t 3, deshalb werden die Tokens der Eingangsstellen s 1 und s 2 entfernt und somit in die Ausgangsplätze s 3 und s 4 gelegt. Zugleich sind s 3 und s 4 die Eingangsstellen von der Transition t 4, weil beide belegt sind kann t 4 schalten. T 4 schaltet, somit werden dessen Eingangsstellen frei und s 5 wird belegt. Aufgrund des Entfernens der Marken aus den Stellen s 3 und s 4, kann auch wieder t 1 schalten, da die zugehörigen Ausgangsstellen frei sind. 9 9 Vgl.[Hs-Osna] 10

11 4 Problemstellungen Bei Petri Netzen steht man oft vor folgenden Problemstellungen: Erreichbarkeit Beschränktheit Deadlockfreiheit Sprache Entscheidbarkeit 4.1 Erreichbarkeit Bei der Problemstellung von Erreichbarkeit in Petri Netzen beschäftigt man sich mit der Frage, ob durch bestimmte Aktionen ein bestimmter Zustand im Netz erreicht werden kann. Im obigen Beispiel könnte man sich die Frage stellen, ob aus dem Zustand (0, 2, 0) der Zustand (2, 2, 2) erreichbar ist. Durch die Aktionssequenz: t 2, t 2, t 1, t 2, t 2, t 1, t 2, t 2, t 1, t 2, t 2, t 1, t 2, t 2, t 3 und t3 wird der Zustand (2, 2, 2) erreicht daraus folgt das der Zustand (0, 2, 0) in den Zustand (2, 2, 2) überführbar ist. 4.2 Beschränktheit Bei der Beschränktheit stellt man sich die Frage, ob man die Tokens einer oder mehrerer Stellen beliebig erhöhen kann. Wenn wir nun das Beispiel der Erreichbarkeit erweitern, ob wir vom Zustand (0, 2, 0) den Zustand (10, 10, 10) erreichen können, können wir auch diese Frage mit ja beantworten. Durch die Aktionssequenz: t 2,t 2,t 1 können wir beliebig viele Tokens erzeugen und durch die Aktion t 3 auf die Stelle p 3 verteilen. 4.3 Deadlockfreiheit Unter Deadlockfreiheit beschäftigt man sich mit der Frage gibt es einen Zustand in der keine Aktionen im Netz mehr ausführbar sind. Wir untersuchen das obige Beispiel mit dem Zustand (0, 2, 0) auf Deadlockfreiheit. Wenn wir die Aktionssequenz t 2 und t 3 ausführen haben wir den Zustand (1, 0, 1). In diesem Zustand sind keine weiteren Aktionen mehr möglich. Daraus folgt das die Deadlockfreiheit im Beispiel nicht gegeben ist. 11

12 4.4 Sprache Diese Problemstellung bezieht sich auf die durchführbaren Aktionen eines Petri-Netzes. Dort betrachtet man die Menge aller Sequenzen, die durch die Aktionen ausgeführt werden können und stellt sich die Frage ob diese Menge leer, regulär, endlich, etc. ist. Eine andere Fragestellung beschäftigt sich damit, ob zwei Petri Netze die gleiche Sprache aufweisen können. Die Menge des Zustands (1, 0, 1) ist zum Beispiel leer, da keine weiteren Aktionen ausgeführt werden können. 4.5 Entscheidbarkeit Die Entscheidbarkeit spielt in Petri Netzen ebenfalls eine große Rolle. Dabei stellt man sich eine Ja Nein Frage, ob ein Petri Netz N mit den Zuständen s 1 und s 2 mithilfe von geeigneten Aktionen von Zustand s 1 auf s 2 überführt werden kann. Diese Parameter sind dabei variabel und somit hat man es gleichzeitig mit unendlich vielen Fragestellungen zu tun. Wenn wir nun das Beispiel aus der Problemstellung der Beschränktheit zu Hilfe nehmen mit dem Petri Netz N und den Zuständen s 1 = (0, 2, 0) und s 2 = (10, 10, 10) hat man eine Instanz des Problems. Wie oben gezeigt kann man diese Fragestellung mit Ja beantworten Vgl. [Wim08], S

13 5 Modellierung In diesem Abschnitt wird erläutert, wie man Schritt für Schritt bei einer Modellierung eines Petri-Netzes vorgehen sollte. 1. Definition der Stellen: Jedes Objekt bzw. Substantiv wird als Platz definiert, somit wird die Anzahl der benötigten Kreise bzw. Ellipsen des Petri-Netzes festgelegt. 2. Definition der Transitionen: Jedes Verb bzw. Methode der Aufgabenstellung wird als eine Transition definiert, somit wird die Anzahl der Quadrate bzw. Rechtecke des Petri- Netzes festgelegt. 3. Definition der Beziehungen: Beziehungen werden definiert, d.h. es werden wenn-überlegungen getätigt, wann Transitionen statt finden können und welche Zustände benötigt werden. 4. Vollständiges Netzwerk: Das vollständige Netzwerk wird aufgezeichnet, inklusive der Plätze, Transitionen und Beziehungen. 5. Plausible Anfangsmarkierung: Das vollständige Petri-Netz wird inklusive der Markierungen aufgezeigt, die Marken müssen logisch gesetzt sein Vgl. [Hs-Karls] 13

14 6 Anwendungen 6.1 Fall-Beispiel 1: Interaktion zwischen Computer und Drucker Hierbei handelt es sich um einen einfachen Anwendungsfall um die grundlegende Vorgehensweise von Petri-Netzen zu erläutern Problemstellung Ein Computer ist mit einem Drucker verbunden. Der Computer sendet Druckaufträge an eine Warteschlange. Wenn die Warteschlange nicht leer ist, entfernt der Drucker ein Druckauftrag aus der Warteschlange und druckt dieses Definition der Stellen Der Computer besteht aus einer Stelle S 0, die Warteschlange wird als Stelle S 1 definiert, der Drucker hat zwei Zustände der erste Zustand in dem er druckt wird als S 2 gekennzeichnet und eine Stelle welchen den Zustand Drucker bereit speichert mit der Bezeichnung S Definition der Transitionen Zwischen jede Stelle kommt eine Transition. Transition T 1 beschreibt die Aktion das der Computer einen Druckauftrag an die Warteliste sendet. T 2 ist aktiv wenn der Drucker bereit ist und dieser etwas aus der Warteliste holen kann. Transition T 3 wird nachdem der Drucker fertig ist mit Drucken ausgeführt und kommt dadurch wieder in den Status Drucker bereit Vgl. [UebPetNetz] 14

15 6.1.4 Definition der Beziehungen Abbildung 9: Computer Drucker Problem Der Computer S 0 sendet einen Druckauftrag T 1 an die Warteliste S 1. Durch die Rückkopplung von T 1 auf S 0 kann der Computer erneut einen Druckauftrag senden. Wenn der Drucker bereit ist, Markierung in S 3 und es Druckaufträge in der Warteschlange gibt Markierung in S 1, wird die Transition T 2 geschaltet. Wenn der Drucker S 2 den Druckauftrag abgearbeitet hat wird dieser über T 3 auf Drucker bereit S 3 gesetzt, dadurch kann der nächste Druckauftrag abgearbeitet werden Plausible Anfangsmarkierung Wie in Abbildung 9 und in Kapitel beschrieben benötigt der Computer S 0 eine Startmarkierung um erste Druckaufträge zu starten, des weiteren muss der Drucker bereit sein weshalb auf S 3 ebenfalls eine Startmarkierung vorhanden sein muss Vgl. [UebPetNetz] 15

16 6.1.6 Beispiel für die Verwendung der Markierungen Abbildung 10: Computer Drucker Problem Der Computer S 0 sendet Druckauftrag an Warteliste S 1. T 1 erzeugt eine Markierung in S 1 und eine durch die Rückkopplung in S Abbildung 11: Computer Drucker Problem Der Computer S 0 sendet ein weiteren Druckauftrag an Warteliste S 1. T 1 erzeugt eine Markierung in S 1 und eine durch die Rückkopplung in S 0. Dadurch sind zwei Markierungen in S 1. Abbildung 12: Computer Drucker Problem Da in S 3 sowie in S 1 mindestens eine Markierung vorhanden ist kann T 2 schalten. Dies Bedeutet das der Drucker S 2 einen Druckauftrag von der 14 Vgl. [UebPetNetz] 16

17 Warteliste druckt. Eine Markierung in S 1 und in S 3 wird entfernt und dem Drucker S 2 eine Markierung hinzugefügt. Der Drucker ist nicht bereit, keine Markierung in S 3. Abbildung 13: Computer Drucker Problem Drucker S 2 ist mit Druckauftrag fertig, Transition T 3 wird geschaltet. Die Markierung von S 2 wird entfernt und der Stelle S 3 hinzugefügt. Drucker ist wieder bereit für neuen Druckauftrag. 15 Abbildung 14: Computer Drucker Problem Da nun wieder die Markierungen auf S 1 sowie S 3 sind kann die Schaltung T 2 aktiviert werden. Markierungen von S 1 und von S 3 werden entfernt. Der Drucker S 2 bekommt eine Markierung. 15 Vgl. [UebPetNetz] 17

18 Abbildung 15: Computer Drucker Problem Die Vorbedingung für Transition T 3 ist erfüllt wodurch die Markierung von S 2 entfernt und der Stelle S 3 hinzugefügt wird. Das Petri-Netz erreicht den Ausgangszustand [UebPetNetz] 18

19 6.2 Fall-Beispiel 2: Speisende Philosophen Im Folgenden wird nun das Problem der speisenden Philosophen von Dijkstra mittels eines Petri-Netzes gelöst Problemstellung Bei dem Philosophenproblem von Dijkstra handelt es sich um fünf Philosophen, diese sitzen alle gemeinsam an einem runden Tisch. Vor jedem dieser fünf Philosphen steht ein Teller mit Essen auf dem Tisch. Zudem gibt es insgesamt fünf Gabeln, diese liegen jeweils zwischen zwei Philosophen verteilt. Abbildung 16: Stellen und Transitionen Da die Philosophen zum speisen nur die Gabeln links und rechts von ihnen verwenden dürfen, können nicht alle Philosophen gleichzeitig esssen. Deshalb wird im Folgenden eine Lösung für das Problem mittels eines Petri-Netzes erläutert Definition der Stellen Ein Philosoph kann sich in zwei Zuständen befinden, einerseits im Zustand isst, falls er zwei Gabeln zur Verfügung hat oder im Zustand denkt, falls er keine bzw. nur eine Gabel besitzt. Somit werden die Stellen als S 1, ein 17 Vgl. [Hs-Karls] 19

20 Philosoph isst oder als S 2, ein Philosoph denkt, definiert. Zusätzlich zu den zwei Philosophenstellen wird die Gabel als S 3 Stellen definiert, da eine Gabel eine Bedingung ist, damit ein Philosoph speisen kann. Insgesamt werden 15 Stellen für diese Problemstellung benötigt: 18 5Philosophen 2Zustände + 5Gablen = 15Stellen Definition der Transitionen Für jeden Philosophen gibt es jeweils zwei Transitionen, zum Einen die Transition T 1, d.h. ein Philosoph nimmt Stäbchen und beginnt zu speisen. 19 und zum Anderen die Transition T 2, d.h. ein Philosoph legt seine Gabel weg und beginnt sich zu unterhalten bzw. zu denken. Insgesamt werden somit zehn Transitionen benötigt: 5Philosophen 2Ereignisse = 10Transitionen 18 Vgl. [Hs-Karls] 19 [Hs-Karls] Abbildung 17: Stellen und Transitionen 20

21 6.2.4 Definition der Beziehungen Ein Philosoph kann erst dann essen, wenn beide Gabeln links und rechts von ihm frei sind, deshalb kann T 1 nur eintreten, wenn S 3 und S vorhanden sind (allerdings müssen diese somit vorher belegt sein) und der Philosoph sich im Zustand S 1 befinden, d.h. im denkenden Zustand. Also wird S 3,S 3 +1 und S 1 geleert und der Zustand S 2 belegt. Ein Philosoph fängt an sich zu unterhalten und legt somit beide Gablen zurück auf den Tisch, so muss er sich vorher im speisenden Zustand befinden, d.h. S 2 muss vor dem Zustandswechsel belegt sein und daraufhin wird S 3,S und S 1 belegt und S 2 geleert Vgl. [Hs-Karls] Abbildung 18: Stellen und Transitionen 21

22 6.2.5 Vollständiges Netzwerk Abbildung 19: Vollständiges Petri-Netz Abbildung 19 stellt das vollständige Petri-Netz der Problemstellung der speisenden Philosophen dar. Im Allgemeinen ist zu erläutern, dass alle Stellen S 1 den jeweiligen Philosophen im denkenden Zustand darstellen, alle Stellen S 2 im Gegensatz dazu im speisenden Zustand. Die Plätze S 3 stellen die Gabeln dar. Schaltet die Transition T 1, so nimmt der Philosoph seine Gabel und beginnt zu essen. Gegensätzlich zu T 1, legt der Philosoph bei der Transition T 2 seine Gabel weg und beginnt zu denken bzw. sich zu unterhalten Vgl. [Hs-Karls] 22

23 6.2.6 Plausible Anfangsmarkierung Abbildung 20: Anfangsmarkierung In der Abbildung 20 wird ein Beispiel einer Anfangsmarkierung gezeigt. In diesem Beispiel speist am Anfang nur ein Philosoph(3), d.h. die Stelle S 2 des Philosophen ist markiert und seine Gabeln S 3 und S 3 +1 sind nicht markiert. Somit können die benachbarten Philosophen(2, 4) rechts und links von dem speisenden Philosophen nicht essen, da T 1 nicht gesetzt werden kann, weil eine Eingangsstelle S 3 nicht markiert ist, um schalten zu können müssen alle Eingangsstellen markiert sein. Die beiden restlichen Philosophen(1, 5)können als nächstes speisen, da alle Eingangsstellen von T 1 markiert sind, somit kann T 1 der beiden Philosophen im Nächsten Schritt aktiviert werden und S 2 markiert werden Vgl. [Hs-Karls] 23

24 6.3 Fall-Beispiel 3: Ein Improvisationsproblem der deutschen Lufthansa AG Im folgenden wird nun ein konkretes Improvisationsproblem der Deutschen Lufthansa AG und anderen Luftverkehrsgesellschaften kurz LVG genannt betrachtet Problemstellung Eine LVG, die nach festen Flugplänen arbeitet hat die Hauptaufgabe Passagiere und Fracht von einem Ort A zu einem Ort B sicher und termingerecht zu befördern. Darüber hinaus muss eine LVG weitere Aufgaben wie zum Beispiel die Kraftstoffversorgung, die Personalbereitstellung oder die technische Überprüfung des Flugzeugs erledigen. Bei der Erstellung von Flug-, Wartungs- und Personaleinsatzplänen gibt es im wesentlichen drei Teilprobleme: Die Festlegung des Streckennetzes, die Abflugzeiten und die Bereitstellung von Flugzeugen und Crews. Diese Pläne werden jedoch von unvorhersehbaren Störungen wie zum Beispiel: 1. technische Probleme z.b. Motorschaden 2. Personalschwierigkeiten z.b. Streik, Krankheit 3. Wetterbedingungen z.b. Gewitter 4. Verspätungen z.b. von anderen Flugzeugen 5. Abfertigungsprobleme z.b. Boarding, Betanken 23 und viele mehr gefährdet. Diese Störungen können jederzeit und variantenreich auftreten und müssen abgefangen werden um die Hauptaufgabe möglichst plangerecht erfüllen zu können und die daraus resultierenden Kosten möglichst gering zu halten. Störungen die auftreten haben meist negative Auswirkungen auf andere Flüge. Eine LVG kann mit folgenden vier Lösungsvarianten gegen eine Störung vorgehen: 1. Abflugzeit des Fluges verspätet sich, 2. unterschiedliche Flüge werden zusammengelegt, 23 Vgl. [uuw91], S

25 3. anderes Flugzeug einsetzen oder 4. Flug wird ersatzlos gestrichen dies ist nur in Ausnahmefällen möglich. Improvisierte Lösungswege stellen sich als hochkomplexes Problem dar und sind in programmierter Fassung, wenn überhaupt nur ineffizient lösbar. Da in jeder Situation viele verschiedene Randbedingungen in die Lösungssuche mit einwirken und somit verändern können. Ohne technische Systeme werden die menschlichen Analyse- und Beurteilungsfähigkeiten schnell an ihre Grenzen stoßen. Die oben beschriebenen Probleme werden von Operation Controllern gelöst. Durch den nachfolgenden Vorschlag sollen ad hoc- Improvisationen wirksam und wirtschaftlich gestaltet werden. Über eine Petri- Netzmodellierung würde es dem Controller ermöglicht, alternative Lösungsmöglichkeiten schneller und effizienter testen zu können. Wenngleich die Erfahrung und Improvisationsideen der Controller weiterhin das wichtigste Mittel für derartige Problemlösungen sind. Im folgenden werden nun die Elemente eines Flugplans in die Petri-Netz-Theorie übertragen und zu einem Petri-Netz zusammengefügt Modellierungsbeispiel In einem einfachen Modellierungsbeispiel werden wir einen kleinen Ausschnitt eines Flugplans betrachten, der jedoch von vielen Einflussfaktoren befreit ist. Es gibt drei Flugzeuge A, B und C die jeweils unterschiedliche Flugstrecken mit dazugehörigen Flugnummern und Anschlussflügen haben. In der nachstehenden Tabelle werden diese Flüge aufgelistet: Flugnummer Flugstrecke Flugzeug Anschlussflüge 100 London - Frankfurt A Frankfurt - London A Barcelona - Frankfurt B 101, Frankfurt - Barcelona B Barcelona - Paris C Paris - Barcelona C 104 Der erste Schritt zur Modellierung des Flugplans in ein Petri-Netz ist die Beschreibung der einzelnen Prozesse eines Fluges. Ein Prozess besteht aus 24 Vgl. [uuw91], S

26 einer Stelle und einem Ereignis. Die folgende Abbildung beschreibt die drei Prozesse des Flugzeugs A. Abbildung 21: Stellen und Ereignisnetz. 25 Die Stelle A 100 bedeutet das, dass Flugzeug A für das Ereignis 100 am Flughafen London vorhanden ist. A 100 flugbereit ist die Stelle die kennzeichnet, ob A für das Ereignis 100 flugbereit ist. Diese Stelle könnte man in mehrere Stellen aufteilen wie zum Beispiel: A 100 betankt, A 100 überprüft und viele mehr. Zur Einfachheit sind diese Stellen zusammengefasst zu einer Stelle. Der dritte Prozess bedeutet das der Flug 100, sobald dieser beendet ist das Flugzeug A für die Flugnummer 101 vorhanden ist. Für die Flugzeuge B und C sind diese Prozesse identisch. Als zweiter Schritt der Modellierung werden diese Prozesse nun zu einem Petri-Netz verbunden. In der nachfolgenden Abbildung ist das Flugzeug A mit seiner Flugstrecke in ein Petri-Netz abgebildet. 25 Vgl. [uuw91], S

27 Abbildung 22: Prozessnetz für Flugzeug A. Die beiden Stellen A 100 und A 100 flugbereit müssen beide jeweils mit einer Markierung belegt sein, damit der Flug 100 starten kann. Sobald das Ereignis 100 gestartet ist wird dieses Ereignis markiert und die beiden Markierungen von A 100 und A 100 flugbereit werden verworfen. Wenn das Ereignis 100 beendet wird geht die Markierung zu der Stelle A 101. Das Flugzeug A befindet sich nun am Flughafen Frankfurt und sobald dieses wieder flugbereit ist wird der Flug 101 nach London gestartet. Die beiden Markierungen von A 101 und A 101 flugbereit werden wieder verworfen und das Ereignis 101 wird markiert. Sobald das Ereignis 101 beendet ist geht die Markierung wieder zu A 100 und der Kreislauf fängt wieder von vorne an. 26 Im dritten Schritt der Modellierung wird das Petri-Netz um die beiden Flugzeuge B, C und deren zugehörigen Flugstrecken erweitert. In der nächsten Abbildung wird diese Modellierung grafisch dargestellt: 26 Vgl. [uuw91], S

28 Abbildung 23: Prozessnetz für alle Flugzeuge. Die Flugstrecken für B und C sind zu dem Prozessnetz hinzugekommen. Das besondere ist hierbei das der Flug 102 Umsteigepassagiere für den Flug 101 hat. Damit der Flug 101 starten kann müssen alle drei Stellen A 101, A 101 flugbereit und UP 102 markiert sein. Erst dann kann der Flug 101 von Frankfurt nach London starten Vgl. [uuw91], S

29 6.3.3 Störung behandeln Im folgenden betrachten wir nun eine Störung die den Flugplan beeinträchtigt. Im Beispiel hat das Flugzeug B in Barcelona bei der technischen Überprüfung schwerwiegende Mängel aufgewiesen und kann deshalb nicht starten. Das Beispiel ist vereinfacht und es werden auf viele Einflussfaktoren wie zum Beispiel: die Sitzplatzanzahl, andere Störungen, etc. verzichtet. Der neue Flugplan ist in nachfolgender Tabelle dargestellt: Flugnummer Flugstrecke Flugzeug Anschlussflüge 100 London - Frankfurt A Frankfurt - London A Frankfurt - Barcelona C Barcelona - Paris C Paris - Frankfurt C 103 Durch Flugzeug C das ebenfalls in Barcelona steht kann die Störung abgeschwächt werden. Die Passagiere von Flugzeug B fliegen nun mit dem Flugzeug C mit einem Zwischenstopp in Paris nach Frankfurt. Somit erreichen die Passagiere von C termingerecht Paris und die Passagiere von Flug B erreichen ihr Ziel Frankfurt mit einer kleineren Verspätung und dadurch auch ihren Anschlussflug 101. Das Flugzeug C kann nun auch den Flug von Frankfurt nach Barcelona mit der Flugnummer 103 übernehmen. Im abschließenden Petri-Netz wird die Störung grafisch dargestellt: 29

30 Abbildung 24: Prozessnetz mit einer Störung. In diesem Beispiel müsste der Flug von Paris nach Barcelona noch durch ein anderes Flugzeug ersetzt werden um die volle Funktionstüchtigkeit des Flugplans wiederherzustellen Vgl. [uuw91], S

31 Abbildungsverzeichnis 1 Platz bzw. Stelle Transition Kante Netzstruktur Beispiele für Markierungen Beschriftung der Kanten Petri-Netz Beispiel für Schaltmöglichkeiten Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Computer Drucker Problem Stellen und Transitionen Stellen und Transitionen Stellen und Transitionen Vollständiges Petri-Netz Anfangsmarkierung Stellen und Ereignisnetz Prozessnetz für Flugzeug A Prozessnetz für alle Flugzeuge Prozessnetz mit einer Störung

32 Literatur [Bau90] Bernd Baumgarten. Petri-Netze: Grundlagen und Anwendungen. BI-Wiss.-Verlag, 1 edition, [Rei86] Dr. Wolfgang Reisig. Petrinetze: Eine Einführung. Springer, 2 edition, [udhw02] Lutz Priese und Dr. Harro Wimmel. Petri-Netze. Springer, 2 edition, [uuw91] Bernd Rosenstengel und Udo Winand. Petri-Netze: Eine anwendungsorientierte Einführung. Vieweg, 4 edition, [Wim08] Dr. Harro Wimmel. Entscheidbarkeit bei Petri Netzen: Überblick und Kompendium. Springer, 1 edition, [Hs-Karls] lino0001/skripte/ Automatisierungsprojekte/FolienPDF/VorlesungAuto2 5.pdf [Hs Osna] http : //home.edvsz.fh osnabrueck.de/skleuker/ss10 F MSE/SS10 F MSE T eil4 4.pdf [BildCAP ] https : //idw online.de/de/news [UebP etnetz] http : // u ebungen p etrinetze.pdf [W iki] https : //de.wikipedia.org/wiki/p etri N etz 32