14.3 Berechnung gekrümmter Flächen

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1 4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher in kartesischen Koordinaten Zur Bestimmung der Fläche, die ein derartiger Graph über einem Gebiet hat, wird das Gebiet wie bei der Volu- y f menberechnung in n Rechtecke o ( x ) y ( A k ) mit Kantenlängen x und y unterteilt. In jedem dieser Rechtecke ersetzt man den Graph durch die Tangen- y k f u ( x ) tialebene in einem beliebigen Punkt ( x k / y k ) ε ( A k ) (vgl. Längenberechnung für Funktionen y = f ( x ) ). a b x k ( A k ) x x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie

2 In jedem dieser Rechtecke ersetzt man den Graph durch die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt ( x k / y k ) ε ( A k ). y y f o ( x ) Der über dem Rechteck ( A k ) liegende Teil dieser Tangentialebene ist ein Parallelogramm. y k f u ( x ) a y ( A k ) a x y a b x k ( A k ) x x ( x k / y k ) x Sind a x und a y die beiden aufspannenden Vektoren dieses Parallelogramms, so beträgt seine Fläche A k = a x x a y. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie

3 Sind a x und a y die beiden aufspannenden a y Vektoren dieses Parallelogramms, so beträgt seine Fläche A k = a x x a y. ( A k ) a x y Dabei gilt: ( x k / y k ) x a x = x f x ( x k ; y k ). x und a y = y, also f y ( x k ; y k ). y - f x ( x k ; y k ). x. y - f x ( x k ; y k ) a x x a y = - x. f y ( x k ; y k ). y = - f. x. y ( x k ; y k ) y und damit x. y A k = a x = (f x ( x k ; y k )) + (f y ( x k ; y k )) +. x. x a y y Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 3

4 Sind a x und a y die beiden aufspannenden Vektoren dieses Parallelogramms, so beträgt seine Fläche A k = a x = (f x ( x k ; y k )) + (f y ( x k ; y k )) +. x. x a y y Die Fläche dieses Parallelogramms ist eine Näherung für den über dem Rechteck ( A k ) liegenden Teil des Graphen der Funktion f ( x ; y ). Durch Summation über alle Teilgebiete ( A k ) erhält man hieraus als Näherung für die Fläche A des Graphen über dem ganzen Gebiet : n A ~ (f x ( x k ; y k )) + (f y ( x k ; y k )) +. x. y, und damit im Grenzwert k = n / x, y : A = + (f x ( x ; y )) + (f y ( x ; y )). dx dy 8 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 4

5 Beispiel Welche Fläche hat der Graph der Funktion f ( x ; y ) = ln ( - x - y ) über dem Ursprungskreis ( K ) mit Radius r =? - x f x ( x ; y ) = - x - y - y f y ( x ; y ) = - x - y - x - y A = + +. dx dy - x - y - x - y A = + (f x ( x ; y )) + (f y ( x ; y )). dx dy ( K ) ( - x - y ) + 4x + 4y =. dx dy ( - x - y ) ( K ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 5 =. dx dy ( K ) ( - ( x + y )) + 4. ( x + y ) ( - ( x + y ))

6 = ( K ) π π ( - ( x + y )) + 4. ( x + y ) ( - ( x + y )) ( - r ) + 4. r ( - r ). r. dr dφ + r = + r 4. r. dr dφ ( - r ) =. r. dr dφ π + r - r r < <. dx dy - r + r r =. r. dr dφ ( - r ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 6 π Transformation auf Polarkoordinaten π ( + r ) =. r. dr dφ ( - r ) π + r - r. r. dr dφ

7 π π r - r. r. dr dφ t = - r dt = - r dr - t t. - dt dφ π = - + dt dφ t 3 4 π 3 = 4 - ln ( t ) +. t dφ π 3 3 = - ln ( ) dφ = π. - - ln ( ) =, Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 7

8 Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher in Polarkoordinaten da Zur Bestimmung der Fläche, die ein derartiger y Graph über einem Gebiet hat, wird der Graph über da durch die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt ( r / φ) von da ersetzt. r. dφ dr ( r / φ) x r. dφ dr ( r / φ) Betrachtet man das Flächenelement da als Rechteck, so ist der über da liegende Teil dieser Tangentialebene wie bei kartesischen Koordinaten ein Parallelogramm. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 8

9 Betrachtet man das Flächenelement da als Rechteck, so ist der über da liegende Teil dieser Tangentialebene wie bei kartesischen Koordinaten ein Parallelogramm. Um die aufspannenden Vektoren dieses Parallelogramms leichter bestimmen zu können, verwenden wir die neben- v a v a u u stehenden u - und v - statt x - und y - Koordinaten. Im u, v, z - Koordinatensystem gilt dann: r. dφ dr ( r / φ) a u = dr f r ( r ; φ). dr und a v = r. dφ = r. dφ f φ ( r ; φ ) r. r. dφ f φ ( r ; φ ). dφ Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 9

10 dr a u =, a v = f r ( r ; φ). dr r. dφ f φ ( r ; φ ). dφ Daraus ergibt sich a u x a v = - f r ( r ; φ ). r. dr. dφ - f φ ( r ; φ ). dr. dφ r. dr. dφ - f r ( r ; φ ) = f φ ( r ; φ ) - r. r. dr. dφ und damit a u f φ ( r ; φ ) a v x = (f r ( r ; φ )) + +. r. dr. dφ r Die Fläche A des Graphen einer Funktion f ( r ; φ ) über einem Gebiet beträgt daher A = + (f r ( r ; φ )) +. r. dr dφ f φ ( r ; φ ) r Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie

11 Beispiel in Polarkoordinaten f ( x ; y ) = ln ( - x - y ) - r f r ( r ; φ ) = - r f φ ( r ; φ ) = f ( r ; φ ) = ln ( - r ) A = + (f r ( r ; φ )) +. r. dr dφ f φ ( r ; φ ) r - r A = + +. r. dr dφ - r ( K ) π = ( - r ) + 4. r ( - r ). r. dr dφ = π. - - ln ( ) s.o. =, Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie

12 Beispiel Welche Fläche hat der Graph der Funktion f ( r ; φ ) = r. sin ( φ ) über dem Einheitskreis? f r ( r ; φ ) = r. sin ( φ ) A = + (f r ( r ; φ )) +. r. dr dφ f φ ( r ; φ ) r f φ ( r ; φ ) = r. cos ( φ ) A = + (r. sin ( φ )) + (r. cos ( φ )). r. dr dφ ( E ) π = + 4r. (sin ( φ ) + cos ( φ )). r. dr dφ Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie

13 π + 4r. (sin ( φ ) + cos ( φ )). r. dr dφ = z = + 4r dz = 8r dr π 5 z. 8. dz dφ π =.. z dφ π = dφ π = = 5,33 ( Plausibilitätsprüfung: Fläche des Einheitskreises = π. = 3,4 ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 3

14 Hinweise zu den Übungen Übung 93c: Torus = Autoreifen y R R x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 4.3 Folie 4

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