) in der Ebene aufgespannten Parallelogramms ist, wie wir wissen, gleich a 1. b 2. ) und b = ( b 1

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1 45 Determinanten Die orientierte Fläche eines von zwei Vektoren a ( a, a und b ( b, b in der Ebene aufgespannten Parallelogramms ist, wie wir wissen, gleich a b a b Bis auf das Vorzeichen ist dies der gewöhnliche Flächeninhalt Das Vorzeichen ist genau dann positiv, wenn man von a nach b gegen den Uhrzeigersinn dreht Das orientierte Volumen eines von drei Vektoren a ( a, a, a, b ( b, b, b und c ( c, c, c im Raum aufgespannten Spats, also das Spatprodukt, läßt sich analog berechnen, und zwar auf mehrere Weisen: abc ( a b a b c + ( a b a b c + ( a b a b c bca ( b c b c a + ( b c b c a + ( b c b c a cab ( c a c a b + ( c a c a b + ( c a c a b Bis auf das Vorzeichen ist dies das gewöhnliche Volumen Das Vorzeichen verrät, ob es sich um ein Rechts- oder Linkssystem handelt Setzt man diese Konstruktion in höhere Dimensionen fort, so bekommt man "orientierte Volumina höherer Ordnung", sogenannte Determinanten

2 Streichmatrizen entstehen aus einer Matrix A aus K ( m x n durch Streichen der der j-ten Zeile und der k-ten Spalte Die resultierende Matrix aus K (( m x ( n wird mit A j, k bezeichnet Die Determinante einer nxn-matrix A [ a j, k ] wird induktiv definiert durch det( A ( n j ( j a, j det( A, j wobei vorher die Determinanten für die (n-x(n--matrizen A j, schon berechnet wurden Der Induktionsbeginn für n ist denkbar einfach: Für n und jede Matrix det( a A ist dann nach der obigen Entwicklungsformel det( A a, a, a, a, a a, a, a, a, die orientierte Fläche des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms Ebenso ergibt sich für n und jede Matrix A a, a, a, a, a, a, mit Hilfe der Entwicklungsformel die Regel von Leibniz-Sarrus: det( A + + a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, also das orientierte Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Spates 4x4-Determinanten reduziert man auf vier x-determinanten, nach folgendem Schema:

3 Rechenregeln für Determinanten Die nachfolgenden Regeln sind beim Rechnen mit Determinanten von großem Nutzen Man beweist sie per Induktion (denn Determinanten sind ja auch induktiv definiert Bei Vertauschung zweier Spalten ändert die Determinante ihr Vorzeichen: ( det(a,,a j,,a k,a n - det(a,,a k,,a j,a n Daraus folgt die allgemeine Laplacesche Entwicklung nach der k-ten Spalte (benannt nach dem französischen Mathematiker Laplace: n (a det( A ( ( j k a j, k det( A j, k j Das jeweilige Vorzeichen der einzelnen Summanden merkt man sich am besten anhand der Schachbrett-Regel Die Determinante ist linear in jeder Spalte: (a det(a,, b j + c j det(a,,b j + det(a,,c j, (b det(a,, ra j r det(a,,a j Insbesondere ergibt sich nach n-facher Anwendung von (b: (c det( r A r n det( A Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente: n ( det(d e,, d n e n d j j Diese Formel folgt aus (b und der Gleichung det E Man kann zeigen, daß die Determinanten durch die drei Eigenschaften (, ( und ( vollständig bestimmt sind

4 Die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Spalten ist stets gleich Null: n j (4 r j a j 0 > det (a 0, sofern mindestens ein r k nicht 0 ist Denn falls zb r 0 und a n r r j a j j gilt, wird aus der Determinante nach (aund (b eine Summe r det(a,a (- det(a r,a + + (- det(a r n,a, deren sämtliche Summanden verschwinden, weil die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten nach ( gleich 0 ist Ebenso zeigt man die folgende besonders nützliche Tatsache: Die Determinante ändert sich nicht, wenn man Vielfache einer Spalte zu anderen addiert: (5 det(a, a j, a n det(a, a j +ra k, a n Im Gegensatz zu (a ist die folgende Gleichung fast immer falsch: det(a+b det(a + det(b??? Beispiel : Determinante einer Summe Für jede quadratische Matrix A mit gerader Zeilenzahl gilt nach (c also det( A det( A det ( A A 0, aber det( A + det( A 0, falls det( A 0 Überraschenderweise hat man jedoch für beliebige nxn-matrizen A und B die Produktformel (6 det(ab det(a det(b Diese Gleichung ist schnell nachzuprüfen für Elementarmatrizen, aufgrund der Identität det ( E + a E j, k + a δ, j k Dabei ist E j, k diejenige Matrix, die in der j-ten Zeile und k-ten Spalte eine und sonst nur Nullen hat, und δ, j k für j k, ansonsten aber δ, j k 0 Da jede invertierbare Matrix Produkt von Elementarmatrizen ist, gilt die Produktformel dann auch für je zwei invertierbare Matrizen Ist hingegen mindestens eine der beiden Matrizen A, B nicht invertierbar, so kommt auf beiden Seiten von (6 Null heraus r n

5 Speziell haben wir das Invertierbarkeitskriterium Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht Null ist Für A aus K ( n x n gilt somit: (7 Rang( A n <> det( A 0 Beispiel : Determinante eines Produkts zweier invertierbarer Matrizen: 0 0 A 0, B 0 0, AB Aus der Produktformel (6 resultiert die Potenzierungsformel (8 det( A m det( A m det( A, det( B -, det( A B -, det( A det( B - für ganzzahlige (auch negative! Exponenten m Wir überprüfen sie anhand der obigen Matrix A Beispiels : Potenzen einer Matrix A 5 5 6, A, A , A 5 det( A 8, det( A det( A 5 8, 8 det( A Immer das gleiche Ergebnis! Ohne weitere Rechnung wissen wir jetzt: Vorsicht! Die Produktformel det( A B det( B A gilt nur für quadratische Matrizen A und B! m -, det( A m m -, det( A m 4 m -, det( A m

6 Beispiel 4: Verschiedene Produkt-Determinanten A,,, 0 B 0 AB 0 BA det( AB -, det( BA 0 Die Determinante der zweiten Produktmatrix muß Null sein (egal wie die Koeffizienten aussehen! Denn ihr Rang ist höchstens so groß wie der Rang der Faktoren, also kleiner als Mit Hilfe der Produktformel und der Regel (5 beweist man die Kästchenregel (9 det A B 0 C det A 0 B T det(a det(c, C wobei A eine kxk-matrix, B eine kx(n-k-matrix und C eine (n-kx(n-k-matrix ist Beispiel 5: Determinante einer Kästchenmatrix A,,, B 0 O 0 0 C M, A B M O C det( A, det( C, det( A det( C, det( M Aus den vorangehenden Regeln gewinnt man auch noch die Transpositionsregel (0 det( A det( A T Schließlich haben wir die besonders interessante Cramersche Regel ( A x b > det(a x j det(a j (b wobei die Matrix A j (b aus A hervorgeht, indem man die j-te Spalte durch b ersetzt Mit Hilfe dieser Regel kann man die Lösung eines linearen Gleichungsystems Ax b, sofern sie eindeutig ist, explizit bestimmen: Ist det(a nicht 0, so bekommt man den eindeutigen Lösungsvektor x in der Form

7 x x n d c, c, d d det( A j det ( A j ( b n Der Beweis für die Cramersche Regel ist mit Hilfe der Linearität (a und (b recht einfach: Aus a x + + a j x j ++ a n x n A x b folgt det( A j ( b det(a,,b det(a,,a x + + det(a,,a j x j ++ det(a x n det(a,,a j x j, da alle anderen Summanden verschwinden Beispiel 6: Elektrische Widerstände Wir betrachten ein elektrisches Netzwerk mit vorgegebenen Widerständen R,, und der Gesamtstromstärke J: Kirchhoffsche Gesetze An jedem Knoten ist die Summe der ankommenden gleich der Summe der abfließenden Ströme Die Spannungsdifferenz zwischen zwei Knoten ist unabhängig vom Weg des fließenden Stroms Ohmsches Gesetz Spannung Widerstand mal Stromstärke Damit ergibt sich folgendes lineare Gleichungssystem für die gesuchten elektrischen Ströme x x 5 : x + x J x 4 + x 5 J x x x 4 0 R x x + x 0 x x 4 + x 5 0

8 Am unteren Knoten besteht zwar noch eine weitere Gleichung, nämlich x + x x 5 0 aber diese folgt aus den ersten drei Gleichungen durch Subtraktion der zweiten und dritten von der ersten, kann also weggelassen werden Wir haben daher in Matrixform das Gleichungssystem A x b mit J J A , b 0 R R Die Determinante von A ist am schnellsten mit (5 und der Kästchenregel (7 zu bekommen Wir ziehen die erste von der zweiten Spalte und die vierte von der fünften Spalte ab: A : R R Jetzt vertauschen wir noch Spalte mit Spalte 4 (wobei sich das Vorzeichen ändert: A : R 0 R Nach der Kästchenregel ist diese Determinante gleich derjenigen der Matrix also gleich - R ( R ( + ( R + + R R R R R R Diese Zahl ist das Negative der Determinante der Ausgangsmatrix A, und MAPLE errechnet ebenfalls: det( A R R + R + R Da alle Widerstände positiv sind, kann diese Determinante nie Null werden, so daß das

9 Gleichungssystem Ax b sogar universell (also für jedes b und stets eindeutig lösbar ist Wir wollen die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel gewinnen und berechnen dazu die fünf Determinanten, die jeweils beim Ersetzen einer Spalte von A durch den Vektor b entstehen Einsetzen in die Cramersche Regel liefert: m J J R det ( A m ( b J ( m J J R det ( A m ( b J ( + R + R + R m J J R R det ( A m ( b J ( R R m 4 0 J J R R det ( A m ( b J ( + R + R m J J R R det ( A m ( b J ( + R

10 det( A x x x x 4 x 5 + R + R + R J R + R + R + R + R Maple bestätigt das durch den Befehl linsolve(a,b Beachten Sie, daß der Wert von x positiv oder negativ werden kann, je nachdem ob R größer oder kleiner als R ist Im negativen Fall fließt der Strom nicht von oben nach unten, sondern von unten nach oben! Man kann MAPLE auch das Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren durchführen lassen und bekommt so das obige Ergebnis auf einen Schlag Beispiel 7: Hilbertmatrizen Bei diesen Matrizen steht in der j-ten Zeile und k-ten Spalte der Stammbruch j + k 4 [ ],, 4 5, Die Determinanten der ersten sieben Hilbertmatrizen sehen folgendermaßen aus:,,,,,, Ein Folge winziger Stammbrüche! Faktorisieren wir den letzten: ( 8 ( ( 5 5 ( 7 7 ( ( Wir sehen, daß nur die Teiler der in den Matrixkoeffizienten auftretenden Nenner vorkommen Ist das allgemein so? Ja, denn die Determinante ist ein Polynom in den Koeffizienten Rundungsfehler Probleme gibt es bei der Berechung von Determinanten, wenn wir durch Einführung von Gleitkommazahlen Rundungen hervorrufen Hier benehmen sich die Hilbertmatrizen H n ganz schlecht Berechnen wir die inverse Determinante

11 ( d n det( H n det( H n einmal exakt und einmal in Gleitkomma-Näherung, gerundet auf ganze Zahlen! n, d n, gerundet n, d n, gerundet n, d n 60, gerundet 60 n 4, d n , gerundet n 5, d n , gerundet n 6, d n , gerundet n 7, d n , gerundet n 8, d n , gerundet n 9, d n , gerundet O Graus! Im letzten Fall ergibt die (miserable Rundung eine riesige negative Zahl! Da die Wahrscheinlichkeit der Invertierbarkeit (dh einer von Null verschiedenen Determinante sehr groß ist, dürfen wir erwarten, daß eine zufällig erzeugte x-matrix meist invertierbar sein wird Probieren wir es aus! Beispiel 8: Eine zufällige Matrix und ihre Inverse: A : Inversion der Hilbertmatrizen bereitet die gleichen Probleme wie die Berechnung ihrer Determinanten Wir notieren jeweils die exakte inverse Matrix und die durch Rundungsfehler verunstaltete Matrix Am Anfang ist noch kein Unterschied zu sehen:

12 [ ], [ ] , , , Beim Koeffizienten h 4, 4 von H 5 tritt zum ersten Mal ein Rundungsfehler auf: Exakt ist H 5 gleich Gerundet hingegen Für n 6 sieht die Differenz zwischen exakter und gerundeter Inverser schon erheblich schlimmer aus, und für n 0 ergeben sich bereits Fehler von fast 00%! Interpolation durch Kurven Abschließend erwähnen wir, daß man Determinanten häufig bei der Interpolation von mehreren gegebenen Punkten durch eine Kurve geeigneter Art verwenden kann Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte (a,b, (c,d erhält man, indem man die Determinante der folgenden Matrix gleich Null setzt: x y a b c d Denn die Entwicklung nach der letzten Spalte ergibt die Geradengleichung x ( b d y ( a c ( a d b c 0 und Einsetzen von (a,b bzw (c,d für (x,y zeigt, dass diese Punkte auf der Geraden liegen

13 Die Gleichung eines Kreises durch drei Punkte (a,b, (c,d, (e,f erhält man, indem man die Determinante der folgenden Matrix gleich Null setzt: x + y x y K : a + b a b c + d c d e + f e f Denn die Entwicklung nach der letzten Spalte führt auf eine Kreisgleichung der Form p ( x + y + q x + r y + s 0 und die Ersetzung von (x,y durch (a,b bzw (c,d bzw (e,f ergibt jeweils zwei gleiche Zeilen, also die Determinante 0 Somit liegen die drei Punkte tatsächlich auf dem Kreis Der Koeffizient p ist die Determinante der Matrix a b c d e f also genau dann von 0 verschieden, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen Beispiel 9: Der Kreis durch die Punkte (,0, (,- und (, genügt der Gleichung 7 x + 7 y 9 x + 5 y + 0 Aus der allgemeinen Kreisgleichung x + y + p x + q y + s 0 gewinnt man durch quadratische Ergänzung Mittelpunkt und Radius: p x + q + y + p 4 q + s 4 also sind p und q die Koordinaten des Mittelpunktes, und d p + q 4 s ist der Durchmesser In unserem Beispiel: 9 x y