Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

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Ulrich Baumgartner
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1 Geometrie I Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2

3 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 3

4 Grundlagen Punkte: P = (x, y, z) Vektoren: v 1 v =... v n 4

5 Grundlagen - Skalarprodukt Skalarprodukt: A B = a 1 * b 1 + a 2 * b 2 + a 3 * b 3 A B = A * B * cos(φ) Wenn A B = 0 sind die Vektoren senkrecht aufeinander 5

6 Grundlagen - Kreuzprodukt Kreuzprodukt: x 2D: A x B = det a y a = x a * y b y a * x b x b y b 3D: A x B = y a * z b z a * y b z a * x b x a * z b x a * y b y a * x b A x B ist die Fläche, die A und B als Parallelogramm aufspannen 6

7 Grundlagen - Kreuzprodukt Beispiel: Fläche eines Dreiecks Gegeben sind 3 Punkte A,B und C, die ein Dreieck bilden. Durch ausrechnen von ABxAC erhält man die Fläche des Parallelogramms. Damit ist die Fläche: A Dreieck = ½ * ABxAC 7

8 Grundlagen - Geraden Geradengleichung (Koordinatenform): Ax + By = C Mit 2 gegeben Punkten P 1 (x 1, y 1 ) und P 2 (x 2, y 2 ) ergibt sich: A = y 1 y 2 B = x 2 x 1 C = x 2 * y 1 x 1 * y 2 8

9 Grundlagen - Geraden Lotgerade von Punkt p durch Gerade g: double c = -g.b * p.x + g.a * p.y; return new Gerade(-g.b, g.a, c); Parallele von Gerade g zu Punkt p: //C = A * x + B * y double c = g.a * p.x + g.b * p.y; return new Gerade(g.a, g.b, c); 9

10 Grundlagen - Geraden 10

11 Grundlagen Geraden Abstand von Punkt zu Gerade (bzw. 2 Punkten) : Vektor AP = P A Vektor AB = B A Fläche durch AP x AB Teilen durch AB //Fläche = Breite * Höhe 11

12 Grundlagen - Geraden Abstand von Punkt zu Segment: Mit Hilfe von Skalarprodukt Position von P bestimmen: AB BP > 0: Abstand = BP BA AP > 0: Abstand = AP Ansonsten so wie Punkt zu Gerade! 12

13 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 13

14 CCW Counterclockwise: Beschreibt die Richtung von einer Strecke zu einem dritten Punkt (hier Reihenfolge A,B,C) CW CCW kollinear 14

15 CCW - Berechnung Berechnung: AC x AB Positiv: clockwise Negativ: counterclockwise Null: kollinear 15

16 CCW - Anwendung Gibt es zwischen 2 Strecken einen Schnittpunkt? 3 Fälle: Kein SP SP Punkt liegt auf Strecke 16

17 CCW - Code CCW (p1, p2, p3){ } return (p3 p1) x (p2 p1); ON-SEGMENT(p1, p2, p3){ if(min(p1.x, p2.x) <= p3.x && p3.x <= max(p1.x, p2.x) && min(p1.y, p2.y) <= p3.y && p3.y <= max(p1.y, p2.y)) return true; else return false; } 17

18 CCW - Code SEGMENTS-INTERSECT(p1, p2, p3, p4){ d1 = CCW(p3, p4, p1); d2 = CCW(p3, p4, p2); d3 = CCW(p1, p2, p3); d4 = CCW(p1, p2, p4); if( ((d1 > 0 && d2 < 0) (d1 < 0 && d2 > 0)) && ((d3 > 0 && d4 < 0) (d3 < 0 && d4 > 0)) ) return true; } elseif d1 == 0 && ON-SEGMENT(p3, p4, p1) return true; elseif d2 == 0 && ON-SEGMENT(p3, p4, p2) return true; elseif d3 == 0 && ON-SEGMENT(p1, p2, p3) return true; elseif d4 == 0 && ON-SEGMENT(p1, p2, p4) return true; else return false; 18

19 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 19

20 Polygone Definition: Eine geometrische Figur, die mindestens 3 miteinander verbundene Punkte enthält, sodass eine Fläche entsteht. Typen (Auswahl): n-eck (Anzahl der Ecken) überschlagen (Kanten schneiden sich) einfach/simpel (Keine Kanten schneiden sich) planar (2D Ebene) regelmäßig (gleiche Seiten und Winkel) 20

21 Polygone - Typen Konvex: Innenwinkel <= 180 Verbindung zwischen 2 Punkten immer im Polygon Konkav: Mind. 1 Innenwinkel > 180 Mind. 1 Verbindung zwischen 2 Punkten außerhalb des Polygons 21

22 Allgemeine Polygone Ist ein Punkt P im Polygon? 1. Wähle Punkt Q außerhalb des Polygons 2. Zähle Schnittpunkte von PQ mit Polygon 3. Werte Anzahl der Schnitte aus Gerade: P liegt außerhalb vom Polygon Ungerade: P liegt im Polygon 22

23 Allgemeine Polygone Problematik: PQ liegt auf einer Kante des Polygons => Prüfen z.b. mittels CCW PQ schneidet einen Eckpunkt des Polygons => Prüfen ob PQ Eckpunkte enthält => Bei Treffen auf Eckpunkt mit neuem Q prüfen => Koordinaten von Q mit Eckpunkten abgleichen um Schnittpunkte präventiv zu umgehen => Nur zählen wenn Kante des Eckpunkts über PQ 23

24 Konvexe Polygone Mit Hilfe von binärer Suche in O(log n): //n ist die Anzahl der Punkte if(on-segment(p 0, p 1, P) ON-SEGMENT(p 0, p n-1, P)) return true; if(ccw(p 0, p 1, P) > 0 CCW(p 0, p 1, P) < 0) return false; int a = 1, b = n-1; while (b a > 1){ int m = (a+b)/2; if(ccw(p 0, p m, P) <= 0) a = m; else b = m; } if(ccw(p a, p b, P) <= 0) return true; else return false; 24

25 Konvexe Polygone 25

26 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 26

27 Picks Theorem Hat ein Polygon ganzzahlige Randpunkte, so ist dessen Fläche: A = I + R/2 1 I = Gitterpunkte im Polygon R = Gitterpunkte auf dem Rand Beispiel: A = 7 + 8/2-1 = 10 27

28 Picks Theorem Algorithmus zum Finden der Anzahl der Randpunkte: anzahl = 0; foreach Kante k anzahl += ggt( k.dx, k.dy ); return anzahl; 28

29 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 29

30 Konvexe Hülle - Definition Das kleinste konvexe Polygon, das alle Punkte einer Menge umschließt Dabei müssen die Punkte einzigartig sein Die Menge muss mindestens 3 nicht kollineare Punkte enthalten 30

31 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 31

32 Konvexe Hülle Graham Scan Suche den Punkt p 0 mit kleinstem y-wert (bei gleichen Werten den mit kleinstem x-wert) Sortiere die Restpunkte nach aufsteigendem Polarwinkel entgegen dem Uhrzeigersinn (bei gleichem Winkel nur den hinteren Punkt behalten) 32

33 Konvexe Hülle Graham Scan 33

34 Konvexe Hülle Graham Scan 34

35 Konvexe Hülle Graham Scan 35

36 Konvexe Hülle Graham Scan 36

37 Konvexe Hülle Graham Scan Erzeuge Stapel und lege die ersten 3 Punkte darauf: let S be an empty stack PUSH(p 0, S); PUSH(p 1, S); PUSH(p 2, S); Gehe die restliche Liste der Punkte durch: for i = 3 to m //m ist die Länge der Liste while CCW(NEXT-TO-TOP(S), TOP(S), p i ) >= 0 POP(S) PUSH(p i, S) return S 37

38 Konvexe Hülle Graham Scan Aufwand? Startpunkt p 0 finden: O(n) Liste nach Winkel sortieren: O(n * log n) Durchlauf der Restliste: O(n) Gesamt: O(n * log n) 38

39 Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 39

40 Konvexe Hülle Jarvis March Auch gift wrapping ( Geschenk einpacken ) genannt Suche den Punkt p 0 mit kleinstem y-wert (bei gleichen Werten den mit kleinstem x-wert) Suche solange Startpunkt nicht erreicht ist, nächsten Punkt mit kleinstem Winkel bezüglich einer Horizontale durch aktuellen Punkt 40

41 Konvexe Hülle Jarvis March Aufwand? Startpunkt p 0 finden: O(n) Für jeden Eckpunkt(!) nächsten Punkt finden: O(n*h) Gesamt: O(n*h) Schneller als Graham Scan, wenn Anzahl der Eckpunkte kleiner als log n Worst Case: O(n 2 ), wenn jeder Punkt Eckpunkt ist 41

42 Ende Fragen? 42

43 Quellen Introduction to Algorithms Third Edition (u.a. Cormen) Hallo Welt Vorträge 2011 und 2013 Hallo Welt Wiki: Punkt in Polygon Wikipedia: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geradengleichung, Polygon, Picks Theorem, Jarvis March 43

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