Grundkurs Semantik. Sitzung 3: Mengenlehre. Andrew Murphy

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1 Grundkurs Semantik Sitzung 3: Mengenlehre Andrew Murphy Grundkurs Semantik HU Berlin, Sommersemester murphy/semantik Mai 2015 Basiert auf Kapitel 4 von Krifkas Skript GK Semantik Mengenlehre

2 Was sind Mengen? Menge Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. λ abstrakt heißt, dass die Objekte nicht physisch zusammengefasst werden müssen, vgl. Briefmarkensammlung in einem Album. λ wohlunterschieden heißt, dass man in der Lage sein muss, die Elemente der Menge voneinander unterscheiden zu können. λ Aus der Definition wird auch klar, dass wir auch eine Menge definieren kann, von Dingen, die nicht existieren: (1) Menge der Planeten des Sonnensystems Gondon : {Vla, Zumatan IV, Blagazor,...} λ Die Elemente einer Menge werden dargestellt in geschweiften Klammern wie oben. GK Semantik Mengenlehre

3 Wichtige Eigenschaften von Mengen λ Nehmen wir als Beispiel die folgende Menge: (2) Die Menge der Grundvokale {a, o, u, i, e} λ Mengen sind ungeordnet. Dies bedeutet, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge, die Elemente der Menge vorkommen. λ Folglich sind die folgenden Mengen gleich (2): (3) a. {a, o, i,e, u} b. {o, i, e, u, a} c. {i, e, o, u, a} d. {u, a, i, o, e} e.... GK Semantik Mengenlehre

4 Wichtige Eigenschaften von Mengen λ Außerdem können Mengen unendlich sein. λ Dies wird klar, wenn wir die Mengen aller natürlichen Zahlen N betrachten: (4) Menge natürlicher Zahlen: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} λ Eine Menge, die nur ein Element enthält nennt man eine Einermenge ({1}). λ Außerdem gibt es die leere Menge ({ }). λ Die leere Menge wird wie folgt dargestellt:. GK Semantik Mengenlehre

5 Wichtige Eigenschaften von Mengen λ Eine weitere wichtige Eigenschaft von Mengen ist, dass deren Elemente wohlunterschieden sein müssen. λ Dies bedeutet, dass wenn ein Element mehrfach in einer Menge aufgelistet wird, dies nur als ein Vorkommen des Elements gilt: (5) a. {1, 2, 3, 4, 5, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. {a, b, c, d} = {a, a, b, c, d, d, d} λ Dies bedeutet, dass beide Mengen in (5) enthalten sechs Elemente. λ Mengen, die das mehrfache Vorkommen eines Elements erlauben heißen Multimengen. GK Semantik Mengenlehre

6 Mengentheoretische Aussagen λ Wir können Aussagen über Mengen machen. λ Die erste Aussage haben wir schon gesehen; Mittels = können wir ausdrücken, dass zwei Mengen gleich sind. (6) a. {a, e, i, o, u} = {u, o, i, e, a} b. {1, 2, 3, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} λ Normalerweise sind mengentheoretische Aussagen entweder wahr (1) oder falsch (0). λ Die oben genannten Beispiele sind eigentlich Abkürzungen für die folgenden: (7) a. ({a, e, i, o, u} = {u, o, i, e, a}) = 1 b. ({1, 2, 3, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}) = 1 GK Semantik Mengenlehre

7 Mengentheoretische Aussagen λ Wir können ausdrücken, dass ein Objekt zu einer Menge gehört. λ Hierfür benutzten wir das Symbol (Elementenbeziehung): (8) a. a {a, b, c, d} b. b {a, b, c, d} c. (c {a, b, c, d}) = 1 λ Es ist auch möglich auszudrücken, dass ein Element nicht Teil einer Menge ist mit dem Symbol : (9) e {a, b, c, d} GK Semantik Mengenlehre

8 Mengentheoretische Aussagen λ Andere Mengen können natürlich auch in anderen Menge enthalten sein: (10) a. {a, b} {{a, b}, c, d} b. {a, c} {{a, b}, c, d} λ Außerdem ist die leere Menge in jeder Menge enthalten: (11) a. {a, b, c, d} b. {a, b, c, d} = {, a, b, c, d} GK Semantik Mengenlehre

9 Mengentheoretische Aussagen λ Wir können die Gleichzeit zweier Menge über die -Relation definieren: λ Wann sind zwei Mengen (A und B) gleich? λ Gdw. sie dieselben Elemente enthalten. (12) Gleichheit von Mengen: A = B gdw. für alle x gilt: [x A x B] GK Semantik Mengenlehre

10 Kardinalität λ Manchmal wollen wir wissen, wie viele Elemente eine Menge hat. λ Dies nennen wir die Kardinalität einer Menge. λ Die Kardinalität einer Menge A wird durch card(a), #(A) oder manchmal A ausgedrückt: (13) #({a, b, c, d}) = 4 λ Dies ist wieder eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. GK Semantik Mengenlehre

11 Die Teilmengenbeziehung ( ) λ Eine (für uns) sehr wichtige Aussage der Mengenlehre ist die Teilmengenbeziehung ( ). λ Eine Menge A ist eine Teilmenge von einer anderen Menge B, wenn jedes Element der Menge A auch ein Element von B ist. (14) Teilmenge: A B gdw. für jedes x gilt: x A x B (15) a. {a, b, c} {a, b, c, d} b. {c, d} {a, b, c, d} c. {d, e} {a, b, c, d} λ Jede Menge ist natürlich eine Teilmenge von sich selbst: (16) {a, b, c} {a, b, c} GK Semantik Mengenlehre

12 Die echte Teilmengenbeziehung ( ) λ Jede Menge ist natürlich eine Teilmenge von sich selbst: (17) {a, b, c} {a, b, c} λ Wenn wir dies ausschließen wollen, benutzen wir den Begriff der echten Teilmenge ( ): (18) Echte Teilmenge: A B gdw. A B (B A) (19) a. {a, b, c} {a, b, c} b. {a, b, c} {a, b, c} (20) a. {a, b} {a, b, c} b. {a, b} {a, b, c} λ Der Begriff der Teilmenge ist also allgemeiner. GK Semantik Mengenlehre

13 Drei Gesetze der Teilmengenbeziehung (21) Reflexivität: Für jede Menge A gilt: A A (22) Transitivität: Wenn A B und B C, dann gilt auch: A C (23) Antisymmetrie: Wenn A B und B A, dann gilt A = B. GK Semantik Mengenlehre

14 Venn-Diagramme λ Es ist möglich Teilmengenbeziehungen graphisch darzustellen mittels sog. Venn-Diagramme: B A A B A B, A B A B, A B GK Semantik Mengenlehre

15 Obermengen λ Zusätzlich zu der Teilmenge gibt es die gegenteilige Beziehung, die man Obermenge ( ) nennt. λ Wenn A B, dann B A. (24) Obermenge: A B gdw. für alle x gilt: [x B x A] λ Genau das gleiche gilt für die echte Teilmenge: λ Wenn A B, dann B A. GK Semantik Mengenlehre

16 Kontrollfragen λ Wie würde das Venn-Diagram für A B, A B aussehen? λ Welche der folgenden mengentheoretische Aussagen sind wahr? (25) a. {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1} b. {a, b} {a, b, c, d} c. {, 6} {5, 2, 4, 6, 1, 0, 22} d. {a, b, c, d} {a, b, c, d} (26) a. {Hans, Maria, Peter} {Julia, Maria, Stefan, Hans, Markus, Peter} b. #({blau, grün, rot, orange, blau, lila}) = 5 c. #({a, b, c, {d, e}}) = 5 GK Semantik Mengenlehre

17 Mengentheoretische Operationen λ Bisher haben wir mengentheoretische Aussagen kennengelernt. Wir haben gesagt, dass diese entweder wahr oder falsch sind. λ Es gibt aber auch mengentheoretische Operationen. λ Das Ergebnis einer mengentheoretischen Operation ist keinen Wahrheitswert (1,0), sondern eine neue Menge. λ Ein Beispiel ist das sog. Potenzmenge (pow(a) od. (A)) (engl. power set). (27) pow({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}} λ Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. GK Semantik Mengenlehre

18 Die Vereinigung ( ) λ Die Vereinigung zweier Mengen A und B (A B) ergibt eine neue Menge, die alle Elemente von A und B enthält: (28) a. {a, b, c} {c, d, e} = {a, b, c, d, e} b. {a} {b, c} = {a, b, c} c. {a, b, c} = {a, b, c} U A B A B GK Semantik Mengenlehre

19 Der Durchschnitt ( ) λ Der Durchschnitt zweier Mengen A und B (A B) ergibt eine neue Menge, die alle Elemente enthält, die A und B gemeinsam haben: (29) a. {a, b, c} {c, d, e} = {c} b. {a} {b, c} = c. {a, b, c} {a, b, c} = {a, b, c} U A B A B GK Semantik Mengenlehre

20 Die Differenz (\) λ Die Differenz zweier Mengen A und B (A \ B) ergibt eine neue Menge, die alle Elemente von A enthält, die nicht in B sind: (30) a. {a, b, c} \ {c, d, e} = {a, b} b. {a} \ {b, c} = {a} c. {a, b, c} \ {a, b, c} = U A B GK Semantik Mengenlehre

21 Das Komplement (Ā) λ Wenn wir über Mengen sprechen, beschänken wir uns auf eine bestimmte Menge von Objekt (z.b. die Mengen der Buchstaben). λ Die Menge der Buchstaben gilt in unseren Beispielen als Universum. λ Das Komplement einer Mengen A (Ā) ergibt eine neue Menge, die alle Elemente von A enthält, die in dem Universum enthalten sind, aber nicht in A: (31) a. A = {a, b, c} b. Ā = {d, e, f, g, h, i, j, k,...} A U GK Semantik Mengenlehre

22 Spezifikation von Mengen λ Es gibt verschiedene Weisen, wie man Mengen angeben kann. λ Bisher haben wir Mengen aufgezählt, indem wir alle Elemente der Menge innerhalb von geschweiften Klammern aufgelistet haben: (32) A = {a, e, i, o, u} λ Die Menge A (die 5 Grundvokale) kann man aber durch Abstraktion definieren. (33) {x x ist ein Grundvokal} λ (33) ist so vorzulesen: Die Menge aller x, sodass x ein Grundvokal ist λ Die Mengenabstraktion ist besonders nützlich für unendliche Mengen (z.b. die Menge der natürlichen Zahlen, wo es nicht möglich wäre, alle Elemente aufzuzählen. λ Wir können auch Mengen definieren, obwohl wir nicht genau wissen, welche Elemente sie enthalten: z.b. Die Menge aller Einhörner: GK Semantik Mengenlehre

23 Definition der Teilmengenoperationen λ Durch Abstraktion können wir Teilmengenoperation genauer definieren: (34) Vereinigung: A B = {x x A x B} (35) Durchschnitt: A B = {x x A x B} GK Semantik Mengenlehre

24 Kontrollfragen λ Wie könnte man die folgenden Mengen durch Abstraktion definieren? (36) a. {blau, grün, rot, gelb} b. {Nord, West, Ost, Süd} c. {London, Paris, Berlin, Rom} λ Was ist das Ergebnis der folgenden mengentheoretischen Operationen? (37) a. {Hans, Peter, Maria} {Maike, Peter, Linda} = b. {1, 2, 3} {4, 5, 6} = c. U = {x x ist eine Jahreszeit}, {Herbst, Sommer} = d. {1, 2, 3, 4} \ {2, 1, 4, 5, 7, 6} = GK Semantik Mengenlehre

25 Mengenlehre in der natürlichen Sprache λ Nun wollen wir sehen, wie man die Konzepte der Mengenlehre für die Analyse natürlicher Sprache einsetzen können. λ Eine Möglichkeit wäre lexikalische Beziehungen wie die der Hyponomie zu analysieren. (38) a. Käfer Insekt b. rot farbig c. Junggeselle Mann d. rennen sich bewegen λ Das jeweils linke Wort ist ein Hyponym zu dem rechten (Hyperonym). λ Überlegen wir uns nun was die Bedeutung von Italiener ist: (39) a. Italiener = {x x ist Italiener} b. Andrea Pirlo = Andrea Pirlo λ Dann ist wahr, dass Andrea Pirlo Italiener. GK Semantik Mengenlehre

26 Hyponomie λ Was ist die Bedeutung von Europäer? (40) Europäer = {x x ist Europäer} λ In welcher Beziehung stehen Europäer und Italiener? (41) a. Italiener / Europäer b. {x x ist Italiener} / {y y ist Europäer} c. {Luigi, Marco, Gianni, Mario,...} / {Stefan, Pascal, John, Gianni,...} λ In welcher Beziehung stehen Gianni und Europäer, wenn Gianni Italiener Italiener Europäer? λ Welches Gesetz sagt uns das? GK Semantik Mengenlehre

27 Literatur Krifka, Manfred (2015): Satzsemantik. Vorlesungsskript, Humboldt-Universität zu Berlin. GK Semantik Mengenlehre

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