n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre)

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1 1 2. Zinsrechnung 2.1. Grundbegriffe K... Kapital (caput das Haupt) = Betrag, der der Verzinsung unterworfen ist; Geldbetrag (Währung) z... Zinsen = Vergütung (Preis) für das Überlassen eines Kapitals für eine bestimmte Zeit ( Laufzeit einer Kapitalanlage) Habenzinsen: Preis, der für ein Guthaben gezahlt wird Sollzinsen: Preis, der für ein Darlehen zu zahlen ist n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre) i... Zinssatz (Zinsrate) = Betrag an Zinsen, der für ein Kapital von 1 e in einer Zinsperiode (z.b. ein Jahr) anfällt p... Zinsfuß = Betrag an Zinsen, der für ein Kapital von 100 e in einer Zinsperiode anfällt (p = i 100) Die Höhe der Zinsen ist abhängig von Kapital Laufzeit Zinssatz Bei einer Laufzeit von einer Zinsperiode gilt z = K i (2.1)

2 Bemerkung: - Der Zinssatz i bezieht sich in der Regel auf ein Jahr. - Es können auch andere Zinsperioden festgelegt werden, die kürzer sind als ein Jahr (z.b. 1/2 Jahr, 1 Monat, 1 Woche, 1 Tag). Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung (oder unterjährlicher Verzinsung). - Das bedeutet nicht, dass man das Kapital für ein Jahr oder entsprechend der Zinsperiode der Bank anlegen muss. Kürzere und längere Laufzeiten sind durchaus üblich. In diesen Fällen muss man Rechenregeln angeben, wie die Zinsen zu berechnen sind. - Man muss also immer unterscheiden zwischen Zinsperiode und Laufzeit der Kapitalanlage. Vereinbarung: Wenn nicht anders angegeben, soll die Zinsperiode im Folgenden immer ein Jahr sein. Zinsen können unterschiedlich berechnet werden nach der Länge der Zinsperiode Behandlung der bereits gezahlten Zinsen Zeitpunkt der Zinszahlung, wenn das Kapital weiterhin angelegt bleibt jährliche unterjährige einfache Zinseszinsen nachschüssige vorschüssige Verzinsung Verzinsung Verzinsung Zinszahlung Zinszahlung 2

3 Einfache Verzinsung: Die Zinsen werden pro Zinsperiode ermittelt und (gleich oder am Laufzeitende) ausbezahlt, selbst aber nicht mitverzinst. auch Bürgerliche Verzinsung genannt Verzinsung mit Zinseszinsen: Zinsen werden wiederangelegt und in der darauffolgenden Zinsperiode mitverzinst. Nachschüssige Zinszahlung: Zahlung der Zinsen am Ende der Zinsperiode (bzw. am Ende der Laufzeit der Kapitalanlage, falls diese vor dem Ende der Zinsperiode liegt). Vorschüssige Zinszahlung: Zinszahlung am Anfang der Zinsperiode oder am Anfang der Laufzeit der Kapitalanlage (von untergeordneter Bedeutung). Vereinbarung: Wir betrachten ausschließlich nachschüssige Verzinsung. Bezeichnungen: K 0... Anfangskapital n... Laufzeit der Kapitalanlage in Zinsperioden K n... (End ) Kapital nach n Zinsperioden z... Zinsen pro Jahr (bei einfacher Verzinsung) z k... Zinsen im k ten Jahr, k = 1... n Z n... Zinsen nach n Jahren Die Berechnung von K n aus K 0 wird als Aufzinsen, die Berechnung von K 0 aus K n als Abzinsen, Diskontierung oder Barwertbestimmung bezeichnet. Der Barwert eines nach n Zinsperioden anfallenden Betrages K n ist der Anfangsbetrag ( K 0 ), der im entsprechenden Zinsmodell nach n Zinsperioden den Betrag K n liefert. 3

4 Einfache Verzinsung Einfache jährliche Verzinsung Beispiel: K 0 = n = 3 i = 0,04 Kapital nach einem Jahr: K 1 = K 0 + z = Kapital nach zwei Jahren: K 2 = K 0 + 2z = Kapital nach drei Jahren: K 3 = K 0 + 3z = Allgemein: K n = K 0 + n K 0 i = K 0 (1 + ni) (2.2) Z n = nk 0 i (2.3) n = 1 i ( ) Kn 1 K 0 (2.4) i = 1 n ( ) Kn 1 K 0 (2.5) Barwertformel der bürgerlichen Verzinsung: K 0 = K n 1 + ni (2.6)

5 Einfache jährliche Verzinsung bei unterjährlicher Laufzeit Die (Rest ) Laufzeit der Kapitalanlage liegt unter einem Jahr (= Zinsperiode) Zahlung der Zinsen am Ende der Laufzeit Berechnung der Zinsen erfolgt proportional zum Jahreszins bzw. zur Anzahl der Zinstage Die kleinste Zeitspanne, für die Zinsen berechnet werden, ist ein Tag. Berechnung der Zinstage: Dafür gibt es verschiedene Methoden (Usancen): Usance 30/360 alle Monate werden mit 30 Tagen gerechnet, das Jahr mit = 360 Tagen Usance act/360 Zinstage exakt (actual), das Jahr mit 360 Tagen Usance act/act beides exakt (im Euro-Anleihenmarkt) Vereinbarung: Die Usance act/act wird im folgenden unterstellt. 5

6 Bezeichnung: f = t Anzahl der Tage im Jahr... gebrochene Zinsperiode (2.7) z f... Zinsen für t Tage, t {1,..., 365} Zinsen für t Tage: z f = f K 0 i (2.8) Interpretation: z f = (f i) K 0 = f (i K 0 ) anteiliger Jahreszinssatz anteilige Jahreszinsen Für 0 < f < 1: K f = K 0 + z f = K 0 + fk 0 i (2.9) = K 0 (1 + fi) K 0 = K f 1 + fi (2.10) Formel der bürgerlichen Diskontierung Sonderfall: Kaufmännische Diskontierung (Zinssatz j) K 0 = K f fk f j = K f (1 fj) (2.11) statt K 0! 6

7 7 Praktische Bedeutung: Zahlungsversprechen S c h u l d n e r Z a h l u n g s e m p f ä n g e r Schuldner kann nicht bezahlen; ZE stellt einen Wechsel oder Schuldschein aus Tilgung des Kredits durch den Schuldner ZE geht mit dem Wechsel zur Bank Bank diskontiert den Wechsel, d.h. zieht die Zinsen ab und bezahlt den Restbetrag Bank Bundesbank Wechseldiskontierung = kurzfristiger Kredit (i.d.r. 90 Tage)

8 2.3. Zinseszinsrechnung Zinszahlungen erfolgen auch während der Laufzeit einer Kapitalanlage Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen, sofort wieder angelegt und somit in der nächsten Zinsperiode mitverzinst Zinszahlungen erfolgen jeweils am Ende einer Zinsperiode Jährliche Zinseszinsrechnung Beispiel: Wir betrachten eine Kapitalanlage mit einer Laufzeit von 3 Jahren und einem Zinssatz von 6% (p.a.). Der angelegte Betrag sei e. K 0 = n = 3 i = 0, 06 Kapital nach einem Jahr: K 1 = K 0 (1 + i) = ,00 nach zwei Jahren: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2 = ,00 nach drei Jahren: K 3 = K 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 3 = ,16 Allgemein erhält man: Diese Formel heißt auch Zinseszinsformel. Die Zinsen in dieser Zeit belaufen sich auf Bezeichnung: K n = K 0 (1 + i) n (2.12) Z n = K n K 0 = K 0 ((1 + i) n 1) (2.13) q n = (1 + i) n... Aufzinsfaktoren (geben an, auf welchen Betrag ein Kapital von 1 e bei einem Zinssatz i und Wiederanlage der Zinsen nach n Zinsperioden anwächst) 8

9 9 Vergleich von einfacher und zinseszinslicher Verzinsung: K 0 = i = 5% K n n Problem: Was geschieht zwischen den Punkten bei zinseszinslicher Verzinsung? Gemischte Verzinsung entspricht dem Verbinden der Punkte durch Geradenstücke. (später) Durchgehend zinseszinsliche Verzinsung entspricht der Exponentialfunktion K 0 (1 + i) x durch die Punkte. Das heißt, für die Laufzeit n kann jede positive reelle Zahl eingesetzt werden.

10 10 Weiter gelten: K 0 = K n (1 + i) n (2.14) i = n Kn K 0 1 (2.15) n = ln K n ln K 0 ln(1 + i) = ln(k n/k 0 ) ln(1 + i) (2.16) Formel (2.14) heißt Barwertformel oder Formel der zinseszinslichen Diskontierung. Mit q = 1 + i definieren wir v := 1 q = 1 (1 + i) = v n 1 = (1 + i) = 1 n q n v n... Abzins oder Diskontierungsfaktor

11 11 Bei durchgehend zinseszinslicher Verzinsung kann n jeden beliebigen (nichtnegativen) Wert annehmen. Das entspricht zum Teil nicht der in Deutschland üblichen Praxis, z.b. bei Sparbüchern (gemischte Verzinsung, siehe nächster Abschnitt), der Trend geht aber in diese Richtung. Beispiel: i = 12 % (p.a.) Zinsen für einen Tag: q Tag = 1, 12 f = 1, = 365 1, 12 i Tag = 365 1, 12 1 = 0, = 0, 03105% Bei täglicher Verzinsung mit i Tag ergibt sich nach einem Jahr q Jahr = (1 + i Tag ) 365 = ( ) , 12 = 1, 12 Bei m Zinsperioden im Jahr mit Zinssatz i m zinseszinslicher Verzinsung heißt und durchgehend i eff = (1 + i m ) m 1 der effektive Jahreszinssatz bzw. der konforme Jahreszinssatz zu i m. Bei einem Zinssatz von i (p.a.) heißt i m = m 1 + i 1 der zu i konforme Zinssatz für die unterjährliche Verzinsung. Also ist z.b. i 365 = 0, der zu i = 0, 12 konforme Tageszinssatz.

12 12 Allgemein: Der jährliche Zinssatz, bei dem sich bei einmaliger Verzinsung am Jahresende die gleichen Zinsen wie bei der unterjährlichen Verzinsung mit Zinssatz i m ergeben, heißt effektiver Zinssatz oder effektiver Jahreszins. Wir bezeichnen den effektiven Zinssatz mit i eff. Außerdem nennt man bei unterjährlicher Verzinsung i nom = m i m den nominellen Jahreszinssatz. Z.B. i nom = 365 0, = 11, 33%. Dieser ist leicht zu bestimmen und eine Näherung für den effektiven Zinssatz, aber nicht gleich diesem!

13 13 Beispiel: Es bezeichne m die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, i m den Zinssatz und i nom = m i m den nominellen Jahreszinssatz. K 0 = 1000 i nom = 6% Anzahl der n=1 n=2 n=3 Zinsperioden m=1, d.h. 1000(1 + 0, 06) 1000(1 + 0, 06) (1 + 0, 06) 3 jährl. Verzinsung = 1060, 00 = 1123, 60 = 1191, 02 m=2, d.h. halb- 1000(1 + 0,06 2 )2 1000(1 + 0,06 2 ) (1 + 0,06 2 )2 3 jährl. Verzinsung = 1060, 90 = 1125, 51 = 1194, 05 m=4, d.h. viertel- 1000(1 + 0,06 4 )4 1000(1 + 0,06 4 ) (1 + 0,06 4 )4 3 jährl. Verzinsung = 1061, 36 = 1126, 49 = 1195, 62 m=12, d.h. 1000(1 + 0,06 12 ) (1 + 0,06 12 ) (1 + 0,05 12 )12 3 monatl. Verzinsung = 1061, 68 = 1127, 16 = 1196, 68 Beobachtungen: 1) bei unterjährlicher Verzinsung ergeben sich höhere Endwerte als bei jährlicher Verzinsung anschaulich klar, da schon nach kürzerer Zeit anfallende Zinsen mitverzinst werden. 2) Gewinnmöglichkeiten durch immer kürzere Zinsperioden scheinen begrenzt zu sein stetige Verzinsung.

14 14 Bemerkung zur stetigen Verzinsung: Es gilt: ( K n m = K i ) m n m Frage: Was passiert für m? Wir betrachten: lim K n m = lim K 0 m m ( 1 + m) i m n ( = K 0 lim 1 + i ) m n m m [( = K 0 lim 1 + i ) m ] n [ = K 0 m m = K 0 (e i ) n = K 0 e i n lim m ( 1 + i ) m ] n m Ein Kapital wächst bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz i in n Jahren auf K n = K 0 e in

15 Gemischte Verzinsung Problem: Gelder sind nicht über genau eine oder mehrere Zinsperioden festgelegt; sie werden auch innerhalb der Zinsperiode angelegt und wieder abgehoben, unterjährlich wird einfach verzinst Einzahlung von Auszahlung von Kapital K A Kapital K D A B C D Jahre }{{}}{{}}{{} t 1 Tage N Jahre t 2 Tage Anfang bzw. Ende einer Zinsperiode Berechnung des Endkapitals: Anfangskapital : K A Kapital im Punkt B : K B = K A (1 + i f t1 ) Kapital im Punkt C : K C = K B (1 + i) N Endkapital im Punkt D : K D = K C (1 + i f t2 ) Legt man ein Kapital K A innerhalb eines Jahres bis Jahresende (t 1 Tage) an, lässt es dann N Jahre zinseszinslich angelegt und hebt es danach im Laufe des nächsten Jahres nach t 2 Tagen ab, so erhält man bei konstantem Zinssatz i (p.a.) und gemischter Verzinsung ein Endkapital K D von K D = K A (1 + i f t1 ) (1 + i) N (1 + i f t2 ) (2.17)

16 Probleme: Umständlich zu berechnen Barwert hängt von dem Zinsterminen ab. Bemerkung: Werden unterjährlich Zinsen gezahlt, so behalten alle Formeln ihre Gültigkeit, nur dass n dann die Anzahl der Zinsperioden und i der (konforme) Zinssatz der entsprechenden (kürzeren) Zinsperiode ist. 16

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