I.6.3 Potentielle Energie eines Teilchensystems. m i. N z i. i=1. = gmz M. i=1. I.6.4 Kinetische Energie eines Teilchensystems

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1 I.6.3 Potentielle Energie eines Teilchensystems Beispiel: Einzelmassen im Schwerefeld U i = m i gz i jetzt viele Massen im Schwerefeld: Gesamtenergie U = m i gz i m i z i = gm m i = gmz M Man muss also m mit M und z mit z M ersetzen. I.6.4 Kinetische Energie eines Teilchensystems Man erwartet: W kin = M v M Ergebnis ist falsch, gilt nur in Sonderfällen! Warum: Bewegung in Bezug auf Massenmittelpunkt wurde hier nicht berücksichtigt. Setze Richtig ist: W kin = 1 v kin = v m + u i v kin = v m + u i v m + u i m i v i Es gilt: m i u i = m i v i v M m i 66

2 = m i v i m i m i v M = 0 daher: W kin = 1 v M m i + 1 m i u i W kin = 1 Mv M + 1 m i u i W kin = W kin,m + W kin,u heißt innere Energie Sonderfall: starrer, nicht rotierender Körper, keine Vibration der Moleküle, dann W kin = 1 Mv M, d.h. u i = 0 Jedoch oszillieren die Moleküle in einem starren Körper um ihre Ruhelage. ist Wärme und ist in der Regel groß, Wärmeenergieinhalt des Körpers I.7 Stöße Stöße zwischen Teilchensystemen führen zu großen Veränderungen von und in kurzer Zeit, d. h. es treten große Kräfte auf. Einzelheiten der Änderungen sind schwierig zu verfolgen. Die Prozesse müssen Erhaltungssätzen gehorchen. 67

3 Folie: p = m i v i = const. (abgeschlossenes System, d.h. ohne äußere Kräfte) I.7.1 Der Kraftstoß Angenommen im Zeitintervall t 1 <t<t wirke die Kraft, sonst =0 Def. Kraftstoß: t p F dt = dp = t 1 p 1 p p 1 = Δ p Man kann mit Kraftstoß die mittlere Kraft definieren. F = t t 1 F dt t t 1 = p p 1 t t 1 Beispiel 1: Kraftstoß Video x 68

4 m m( ) = t Fdt = F (t t 1 ) t 1 F = m( + ) t t 1 Beispiel : Z Stahlkugeln der Einzelmasse m pro Zeiteinheit stoßen auf eine Wand, v und v gegeben m(v + v ) = t t 1 Fdt = F Δt Zahl der Kugeln pro Zeiteinheit: Impulsänderung: Δ Δt = Z m(v + v )Δ = m(v + v )ZΔt = F tot Δt F tot = m(v + v )Z Kugeln fallen auf Waage Video 69

5 I.7. Elastische, inelastische Stöße Def. elastischer Stoß: Impulse und kinetische Energie bleiben erhalten. p vor = p nach W kinvor = W kinnach Beispiel: Billardbälle Elektronen - Elektronenstoß +m v = vor +m nach v + m v = m 1 + m v Impulssatz Energiesatz Def. inelastischer Stoß: Kinetische Energie bleibt nicht erhalten, ein Teil der Energie wird in andere Energieformen umgewandelt (Wärme). W kinvor = W kinnach + Q Dies tritt bei nicht konservativen Kräften auf (z. B. F(v)). Beispiel: Stoß von Plastikkugeln Folie: Klassifikation I.7.3 Zentraler elastischer Stoß Vor und nach dem Stoß befinden sich die Körper auf Geraden. Ergebnis: Teilchen und Körper tauschen Impuls und Energie aus. 70

6 Impulssatz: +m v = +m v ( - ) = m (v - v ) Energiesatz: + m v = v 1 + m v (v 1 - v 1 ) = m (v - v ) ( - v 1 )( + v 1 ) = m (v - v )(v + v ) für und : + v 1 = v + v v = v - v 1 v 1 = - m +m + m +m v v = +m + m - +m v 71

7 Spezialfälle: 1) = m Pendelkugeln = m vor dem Stoß nach dem Stoß Luftkissenbahn = m Rechner Albert = m = m = m = v,v = + v = + v v = v - v v = + v = v,v = 7

8 v = 0 = 0,v = Billiard ) m, v = 0 Luftkissenbahn = m Rechner Albert = m Kugelgerät Pendelkugeln << m Flummi auf Erde = +m v v 1 = - m +m a) >> m m =0 v = +m v 1 = v = 73

9 a) << m =0 v 1 = - v = 0 Kinetische Energie: W kin 1 = 1 v 1 = 1 m - m 1 +m m = W 1 - m kin1 +m W kin = 1 m v = 1 4m 1 m ( +m ) v 1 = 1 m 4 m 1 +m ( ) = W 4 m kin 1 ( +m ) 74

10 Das Verhältnis W kin /W kin1 stellt die relative Energieabgabe der ersten Masse an die zweite dar. Analog für Impuls einsetzen: Folie: Δp p = m (v 1 1 ) = 1 m = m +m +m Anwendung: Kernkraftwerk Moderation von eutronen mit Hilfe leichter Atome. Die schnellen eutronen, die bei der Kernspaltung erzeugt werden, müssen schnell abgebremst werden, bevor sie entkommen. ΔW W = 4m ( +m ) kin für 35 Uran = 1 ΔW m 35 W =1 (eutron), m = 35 kin = % Graphitmoderator: = 1 ΔW m 1 W kin = = 30% =1, m =1 Superelastisch 3 Flummis 75

11 I.7.4 Zentraler komplett inelastischer (= unelastischer) Stoß Rechner Albert = m inelastisch Sandsäcke = m Flummi auf Sand Ergebnis der Versuche: = v Beide Massen haften nach dem Stoß aneinander und haben daher die gleiche Geschwindigkeit. Der Gesamtimpuls liefert in diesem Fall die Geschwindigkeit der beiden Massen nach dem Stoß. +m v = ( +m )v Energieverlust: v = +m v +m Q = W kinvor W kinnach = m v m v ( +m )v v einsetzen Q = m ( +m ) ( v ) 76

12 Dieser Verlust an kinetischer Energie wird in Wärme umgesetzt. I.7.5 Stöße in zwei Dimensionen Ergebnis: zwei Massen auf Luftkissentisch Albert Rechner Albert Die beiden Massen laufen senkrecht auseinander. Elastischer Stoß in zwei Dimensionen mit gleichen Massen: =m =m, v =0 Beachte: Impulssatz Gleichungen, Energiesatz 1 Gleichung Jedoch: 4 Unbekannte v x1, v x, v y1, v y Es fehlt eine Gleichung. m = m +m v 90 0 Energiesatz: m 1 = mv + mv Winkel zwischen und ist: 90 77

13 Elastischer Stoß ungleicher Massen: m,v = 0 Energiesatz: = v 1 + m v Impuls x - Komp.: x = v 1 cosϑ +m v cosφ y Komp.: 0 = v 1 sinϑ - m v sinφ 3 Gleichungen, 4 Unbekannte,v,ϑ,Φ Spezialfall: Ein Proton mit einer Geschwindigkeit = 5km/s stößt auf ein zweites Proton mit v = 0. =m =m gemessen ϑ = = v cosφ 0 = v sinφ 5 = v 1 + v v cos Φ = 5 10x0.8 + (0.8 ) v sin Φ = (0.6 ) v (cos Φ + sin Φ) = 5 10x0.8 + (0.8 ) + (0.6 ) v = = v 1 + v 78

14 5 - = = = 4 5 = 16 + v v = 3km/s einsetzen Φ = 53 0 ϑ + Φ =