Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass

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1 Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma. Für jedes n N konvergiert das Integral gilt lim t + tn e t. t n e t dt und es Beweis. Wir beweisen dieses Resultat durch Induktion nach n. Für n ist lim t + e t und e t r dt lim r + e t dt lim r + e r ). Sei n >. Dann ist lim t + tn e t t n lim ) t + e t n )t n t n lim n ) lim. t + e t t + }{{ e t } Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass lim r + lim r n e r) r + t n e t dt lim r + r n e r + } n {{ e} +n ) lim r + r r t n e t dt e t ) r +n ) t n e t dt t n e t dt n ) ) t n e t dt gilt. Weil nach Induktionsvoraussetzung t n e t dt konvergiert, konvergiert daher auch t n e t dt. Proposition. Für jedes x R mit x > konvergiert es gilt lim t + tx e t. t x e t dt und Beweis. Seix R,x >. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es einn N mitx n. Fürt gilt dann t x e t t n e t. Weillim t + t n e t nach Lemma gilt, erhalten wir lim t + t x e t. Wegen Lemma

2 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL konvergiert t n e t dt und daher konvergiert auch t n e t dt. Deshalb konvergiert auch t x e t dt nach dem Majorantentest. Falls x ist, dann ist t t x e t stetig auf [,]. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung existiert daher tx e t dt. Im Fall < x < ist t x e t t x. Weil dann x >, konvergiert tx dt. Nach dem Majorantentest konvergiert daher tx e t dt. Somit existieren sowohl tx e t dt als auch t x e t dt. Daher konvergiert auch t x e t dt. Definition. Sei x R, x >. Dann setze Γx) : t x e t dt. Man nennt Γ : {x R : x > } R die Gamma-Funktion. Wegen Proposition ist Γx) in Definition wohldefiniert. Man könnte x! : Γx+) definieren. Lemma. Für jedes x R mit x > konvergiert Beweis. Es ist t x e t logt t x logt)e t. Nachdem logt lim t + t ) t lim t + lim t + t t x e t logt dt. gibt es ein R > mit R, sodass logt t für alle t R gilt. Somit gilt logt t für alle t R. Daher ist für t R t x e t logt t x e t. t Nach Proposition konvergiert R tx e t dt. Daher konvergiert t x e t dt, und deshalb konvergiert auch R tx e t logtdt R tx e t logt dt wegen des Majorantentests. Jetzt betrachten wir den Fall x >. Weil logt lim logt lim t +tx t + t ) x t lim t + x)t x x lim t +tx

3 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL 3 kann die Funktion t t x e t logt zu einer stetigen Funktion auf [,R] fortgesetzt werden. Deshalb existiert R tx e t logt dt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Somit konvergiert t x e t logt dt im Fall x >. Schließlich nehmen wir an, dass < x. Wegen logt lim logt) lim t + tx t + t x ) lim t + x t x lim t x + t }{{ +tx } gibt es ein r,) mit r < R, sodass t x logt für alle t,r). Daher ist logt für alle t,r), und deshalb gilt t x t x e t logt t x e t logt) t x t x für allet,r). Weil x >, konvergiert r tx dt. Nach dem Majorantentest konvergiert daher r tx e t logt)dt r tx e t logt dt. Wegen der Stetigkeit von t t x e t logt auf [r,r] existiert R r tx e t logt dt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Somit konvergiert t x e t logt dt auch im Fall < x. Proposition. Die Gamma-Funktion ist stetig. Beweis. Sei t >. Betrachte die Funktion x t x auf {x R : x > }. Dann gilt ) t x e x )logt logt t x logt. e x )logt Seix R mit x >. Weiters seiy R mit y > und x y < min {, } x. Dann gilt nach dem Mittelwertsatz, dass es einξ zwischenxundy gibt, sodass t x t y t ξ logt)x y). Es ist x x x ξ x, weil ξ zwischen x und y liegt, und x y < min {, } x. Für t ist dann t ξ t x, und wegen logt ist deshalb < t ξ logt t x logt. Somit ist t } x {{ t y } t ξ logt) x y t x logt) x y. t ξ logt)x y) t x logt Daher ist t x t y )e t t x e t logt) x y. Nach Lemma konvergiert

4 4 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL t x e t logt dt, und daher konvergiert auch t x e t logt dt. Somit ist t x e t dt t y e t dt ) t x t y )e t t x e t logt) x y x y t x e t logt dt. Falls hingegen t, dann ist t ξ t x, und wegen logt ist somit < t ξ logt t x logt. In diesem Fall ist deshalb t x t y t ξ logt)x y) t ξ logt) x y t x logt x y. t x logt Also ist t x t y )e t t x e t logt x y. Wegen Lemma konvergiert t x e t logt dt, und deshalb konvergiert auch tx e t logt dt. Daher ist t x e t dt t y e t dt ) t x t y )e t t x e t logt x y x y t x e t logt dt. Setze C : tx e t logt dt+ t x e t logt dt. Dann ist C >. Es ist Γx) tx e t dt Γy) ty e t dt t x t y ) e t dt t x t y ) e t dt + t x t y ) e t dt. Wegen ) und ) ist daher Γx) Γy) t x t y ) e t dt + t x t y ) e t dt x y tx e t logt dt x y tx e t logt dt ) t x e t logt dt+ t x e t logt dt x y C x y. C nach Definition von C

5 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL 5 Es gilt also 3) Γx) Γy) C x y für alle x,y R mit x >, y > und x y < min {, } x. Sei x R mit x > und sei ε >. Setze δ : min { ε,, x C }. Sei jetzt y R mit y > und y x < δ. Dann gilt wegen 3), dass Γx) Γy) C x y < ε. <δ ε C Deshalb ist die Gamma-Funktion stetig. Jetzt beweisen wir die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion. Proposition 3. Für alle x R mit x > gilt Γx+) xγx). Beweis. Partielles Integrieren ergibt t x e t dt t x e t + xt x e t dt t x e t +x e t ) t x e t dt. Wegen Proposition ist lim r + r x e r. Da x > ist x e und daher ist Γx+) also Γx+) xγx). t x e t dt lim r + rx e r ) + } x {{ e } +x t x e t dt xγx), Korollar. Für alle n N gilt Γn+) n!. Γx) Beweis. Wir beweisen das Korollar durch Induktion nach n. Für n ist Γ+) Γ) t Sei n >. Dann ist nach Proposition 3 also Γn+) n!. e t dt lim r e r Γn+) n Γn) nn )! n!, n )! +!.

6 6 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL Als nächstes wollen wir das Produkt von Wallis, also berechnen. Proposition 4. Es gilt mit n. Weiters gelten sin n xdx n n sin xdx π und , sin n xdx für alle n N sin xdx. Beweis. Es ist sin }{{ x} dx π und nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung sin x dx cos π +cos. Sei n. Unter cosx) Verwendung der partiellen Integration erhalten wir sin n π cos π sin n xdx +sin }{{ n } cos+ n ) sin n x) sinx ) cosx) dx n )sin n x)cosx)cosx) dx cos x sin x sin n xdx n ) sin n xdx. Deshalb ist n sinn xdx n ) sinn xdx, woraus sofort das gewünschte Resultat folgt. Proposition 5. Für alle n N gelten sin n xdx π n n sin n+ xdx n n+. Beweis. Wir beweisen das Resultat durch Induktion nach n. Im Fall n ist nach Proposition 4 sin xdx sin xdx π und π sin 3 xdx sin xdx 3 3. und

7 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL 7 Sei n >. Dann gilt nach Proposition 4 sin n xdx n n sin n xdx π n 3 n sin n+ xdx n sin n xdx n+ womit unser Resultat bewiesen ist n n π 3 n... 4 n n n+, und Damit können wir jetzt das Produkt von Wallis berechnen. Beachte, dass n n)n) n )n+) und 9 n k)k) n... n n n. k )k+) n 3 n n n+ k Proposition 6. Für alle n N gelten n n)n) n )n+) lim n Beweis. Setze a n : n k n k k)k) k )k +) π. k)k) k )k+). Sei n. Auf [, π ] ist x sinx stetig, es gilt sinx und sin π. Daher ist sinn+ x sin n x sin n x und sin n+ π. Somit gilt nach Proposition 5, dass 4) < sin n+ xdx sin n xdx sin n xdx n n+ π n Umformen der zweiten Ungleichung in 4) ergibt n n n }{{ n+ } a n n n also a n π. Aus der dritten Ungleichung in 4) erhalten wir durch Umformen, dass π 4 4 n... n. Durch Multiplizieren mit n n n n+ π,

8 8 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL ergibt sich n π } n+ {{} n n n }{{ n+ } + n π also a + n. Wegen lim n n + n π + n π a n, gilt deshalb a n π, π woraus sich lim n a n π ergibt, und unser Resultat bewiesen ist. Schließlich wollen wir die Stirling sche Formel beweisen, die eine Näherungsformel für n! liefert. Salopp gesagt gilt n! n n e) πn. Zuvor müssen wir dazu einige Hilfsresultate beweisen. Lemma 3. Es seien a,u R mit u >. Weiters sei f : [a u,a+u] R eine konkave Riemann-integrierbare Funktion. Dann gilt a+u a u fx)dx ufa). Beweis. Sei t [,u]. Dann ist a a t) + a+t). Weil f konkav ist, gilt fa) fa t)+ fa+t). Daher ist u fa)dt ufa) u fa t)dt+ Durch die Substitution s a t erhalten wir u fa t)dt a u a fs))ds und die Substitution s a+t liefert u fa+t)dt a a u fs)ds+ Deshalb ist ufa) sich ufa) a+u fs)ds ergibt. a u a u a a+u a u fa+t)dt. fs)ds fs)ds. a+u a fs)ds a+u a u a a u fs)ds, fs)ds, woraus

9 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL 9 Lemma 4. Für x R mit x > gilt x+ ) log + ) >. x Beweis. Betrachte die Funktionfx) : x+ ) log + x) als eine Funktion f : {x R : x > } R. Dann gilt f x) log Daraus ergibt sich f x) x ) + x } {{ } x +x + } x {{ +x } x +x) x x) + x ) + x+ ) log + ) x+ x x +x x+ ) + x x ) x +x ) x +x. x +x+ ) x +x) ) x +x) x+) x +x) >. Weil f x) > für alle x >, ist f streng monoton wachsend, und ) daher ist f x) < lim y + f y) für alle x >. Wegen f y) log + y+ und y y +y y+ y + y y +y + y ist f x) < lim y + f y) lim y + log + ) y + ) y y + log+. y Es ist daher f x) < für alle x >, und deshalb ist f streng monoton fallend. Somit ist fx) > lim y + fy) für alle x >. Wir erhalten ) lim fy) lim y + ) log + )) log + y lim y + y + y y + ) lim y + + y y ) y+ ) lim y + Somit ist x+ ) log + x) fx) >. ) y + y +y lim y + y+ + y + y ).

10 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL n! Satz. Es gilt lim n n n. e) πn Beweis. Betrachte die Funktion fx) : logx auf {x R : x > }. Dann ist f x) x und f x) x <. Deshalb ist x logx konkav. Für k N ist daher nach Lemma 3 Sei n N. Dann ist k+ k logxdx logk logk. n+ logxdx n k k+ k logxdx } {{ } logk n n logk log k logn!. k k Durch partielle Integration erhält man logxdx logxdx xlogx x x dx xlogx x. x Wegen des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung ist daher Es gilt daher logn! n+ ) log n+ 5) logn! n+ ) n+ ) log n+ ) logxdx n+ ) log log n+ log n+ ) log n+ ) n+ log.. +

11 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL Setze b n : logn! n+ ) logn+n für n N. Dann ist b n b n+ logn! + n+ ) logn+n logn+)! n+ + ) logn+) n+ )logn+)+logn+) log n!+logn+) n+) logn! n+ ) logn+n logn! logn+)+ + n+ ) logn+)+logn+) n+) n+ ) logn+) logn) n+ ) log + ) >. n log n+ n log+ n) > wegen Lemma 4 Somit ist b n+ < b n für alle n N, also b n ) n N ist streng monoton fallend. Weiters ist wegen 5) b n logn! n+ ) logn+n n+ )logn+ ) n+ log n+ ) log n+ ) n+ log n+ n+ ) log n+ ) ) logn n+ ) log n+ n + n + log log n+ n n+ ) > log + log + ) n > + ) logn+n + log > log Also b n ) n N ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt. Daher konvergiert b n ) n N. Setze β : lim n b n und α : e β. Dann ist α >. Weiters definiere.

12 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL a n : n! n e) n n. Wir erhalten nach der Definition von b n, dass e bn e logn! n+ )logn+n e logn! e n+ )logn e n n! n n n n n n! n n n e n n n n e n n! n e) n n a n gilt. Wegen der Stetigkeit von x e x ergibt sich daraus lim n a n lim e bn e limn bn n e β α. e bn α a Da α gilt, erhalten wir lim n n a n α α a n a n n!) n n)! n n! n e) n n ) n)! n e ) n n n n!) n)! α. Es ist n!) e n n n n n n)!n n ne n n n!) n ) n) n ) n) n ) n ) n) n ) n) n 3) n ) n. n Wir setzen jetzt c n : n ) n) n 3) n ) n. Nach den obigen Überlegungen ist daher lim n c n lim n a n a n α. Deshalb ergibt sich,

13 GAMMA-FUNKTION, PRODUKT VON WALLIS, STIRLING SCHE FORMEL 3 dass lim n c n α. Es ist c n ) n ) n) n 3) n ) n n ) n ) n) n) n 3) n 3) n ) n ) n n ) n ) n) n) n 3) n ) n ) n n) n) n ) n+) n+) }{{ n} 4+ n n ) n ) n) n) n 3) n ) n ) n+) n) n) n ) n+) π 4+ ) n Nach Proposition 6 ist lim n Proposition 6 ist das Produkt von Wallis). Daher ist α lim c n) n) n lim 4+ ) n n n ) n+) n π 4. π 4 π. Daraus ergibt sich α π. Somit gilt lim n n e n! ) n lim πn π n! n n e ) n lim n π a n womit unser gewünschtes Resultat bewiesen ist. n a n α π π π,