27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

Transkript

1 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen und Untersuchung ihres Konvergenzverhaltens Frage: Versuchen Sie, den Kosinus in eine Potenzreihe um 0 zu entwickeln. Lineare Approximationen. a) Es seien I R ein offenes Intervall, a I und f : I R eine Funktion. Ist f differenzierbar in a, so gilt f(x) = f(a)+f (a)(x a)+r(x); (1) hierbei wird f nahe a durch das Polynom ersten Grades f(a)+f (a)(x a) bis auf einen Fehler r(x) approximiert, der lim x a r(x) x a = 0 (2) erfüllt, für x a also schneller als x a gegen 0 geht. b) Umgekehrt folgt aus (1) und (2) sofort die Differenzierbarkeit von f in a. Diese Umformulierung des Differenzierbarkeitsbegriffs ist für dessen Erweiterung auf Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen wichtig, vgl. Abschnitt 38 und [A2], Landau-Symbole. Eigenschaft (2) kann mit Hilfe eines Landau-Symbols kurz formuliert werden: Für Funktionen f : I\{a} R und g : I\{a} (0, ) setzt man f(x) f(x) = o(g(x)) für x a : lim x a g(x) f(x) = O(g(x)) für x a : δ > 0 : = 0, (3) f(x) sup <. (4) g(x) 0< x a δ Entsprechend werden klein o - und groß O -Bedingungen für x a +, x a und x ± erklärt. In (1) gilt also r(x) = o( x a ) für x a. Approximationen durch Polynome. Eine Funktion f : I R sei in eine Potenzreihe um a I entwickelbar, z.b. sei f ein Polynom von einem Grad > m N. Nach (26.19) gilt dann f(x) = m (x a) k + r m (x), (5)

2 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 137 wobei für den Approximationsfehler r m (x) = k=m+1 (x a) k = O( x a m+1 ), erst recht also r m (x) = o( x a m ) für x a gilt. Das in (5) auftretende Polynom vom Grad m sollte auch für eine beliebige C m -Funktion f eine ähnlich gute Approximation nahe a I an f sein. Definition. Es seien I R ein offenes Intervall und f C m (I,R). Für a I und m N 0 heißt T a m(f)(x) := T a mf (x) := m das Taylor-Polynom vom Grad m zu f in a. (x a) k (6) 27.1 Beispiele. a) Für f(x) = e x ist = e a für k N 0 und somit T a m(exp)(x) = m e a (x a)k. (7) b) Für f(x) := sinx und a R erhält man f (a) = cosa, f (a) = sina, f (a) = cosa, f (4) (a) = sina. Allgemein gilt f (2j) (a) = sina und f (2j+1) (a) = cosa, also T a mf(x) = sina 0 2j m Speziell für a = 0 hat man (2j)! (x a)2j +cosa 0 2j+1 m (2j+1)! (x a)2j+1. T 0 m (sin)(x) = 0 2j+1 m (2j+1)! x2j+1, x R. (8) c) Analog zu b) ergeben sich für f(x) := cosx = sin x sofort die Formeln f (2j) (a) = cosa und f (2j+1) (a) = +1 sina, also T a mf(x) = cosa 0 2j m (2j)! (x a)2j +sina 0 2j+1 m +1 (2j+1)! (x a)2j+1, T 0 m(cos)(x) = 0 2j m (2j)! x 2j, x R. (9) d) Es seien I = (0, ) und f(x) = logx. Dann gelten log x = 1, x log x = 1,..., log (k) (x) = ( 1) k 1 (k 1)!, also x 2 x k T a m(log)(x) = loga+ m k=1 ( 1) k 1 ka k (x a) k für a > 0. (10) Die Güte der Approximation einer Funktion durch ihre Taylor-Polynome wird nun durch das folgende sehr wichtige Resultat geklärt:

3 138 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27.2 Theorem (Taylor). Es seien I R ein offenes Intervall, a I und f C m+1 (I,R). Dann gilt für x I : f(x) = m (x a) k + Rm+1 a (f)(x) (11) mit einem Fehler oder Restglied R a m+1 (f)(x) = O( x a m+1 ) für x a. Genauer hat man für dieses die Integral-Form R a m+1 (f)(x) = x a f (m+1) (t) (x t)m oder auch die Cauchy- und Lagrange-Formen (vgl. (24.6)) R a m+1(f)(x) = f (m+1) (ξ) (x ξ)m R a m+1 (f)(x) = f(m+1) (ξ) (x a)m+1 (m+1)! dt, (12) (x a) für ein ξ \a,x\, (13) für ein ξ \a,x\. (14) Bemerkungen. a) Am besten einprägsam ist sicher die Lagrange-Form des Restgliedes wegen ihrer formalen Ähnlichkeit zum (m + 1)-ten Term des Taylor-Polynoms. b) Für m = 0 reduzieren sich (13) und (14) auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. c) Der Satz von Taylor lässt sich auch so formulieren: f(a+h) = m h k f (m+1) (a+sh) h m+1 (1 s) m ds. (15) Hier wird also das Taylor-Polynom als Polynom in h = x a betrachtet; in (12) wurde t = a + sh substituiert. Die Lagrange-Form des Restgliedes lautet dann so: R a m+1(f)(h) = f(m+1) (a+θh) (m+1)! h m+1 für ein θ [0,1]. (16) 27.3 Satz. Für ein offenes Intervall I R, f C m (I,R) und a I gilt f(x) = m (x a) k + o( x a m ). (17) Das folgende Resultat haben wir in Satz 11.9 bereits für Polynome gezeigt: 27.4 Satz. Es seien I R ein offenes Intervall, f C m (I,R) und a I. Es sei f (a) =... = f (m 1) (a) = 0, aber f (m) (a) 0. Dann gilt: a) Ist m gerade und f (m) (a) > 0, so hat f ein lokales Minimum in a. b) Ist m gerade und f (m) (a) < 0, so hat f ein lokales Maximum in a. c) Ist m ungerade, so hat f kein lokales Extremum in a.

4 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 139 Man beachte, daß der Satz im Fall f (m) (a) = 0 für alle m N (vgl. Beispiel 27.11) keine Aussage macht Beispiele. a) Für f(x) = sinx oder f(x) = cosx gilt f (m+1) (t) 1 für alle t R und m N; für x R gilt folglich Rm+1 a (f)(x) 0 für m, und aus (8), (9) ergeben sich Potenzreihenentwicklungen des Sinus und Kosinus um 0: sinx = j=0 cosx = j=0 (2j+1)! x2j+1, x R, (18) (2j)! x 2j, x R. (19) b) Für f(x) = e x gilt f (m+1) (t) e t für alle t R und m N. Also gilt auch hier R a m+1(f)(x) 0 für m und alle x R, und aus (7) folgt e x = e a (x a)k, x R, (20) für a = 0 speziell die Potenzreihenentwicklungen der Exponentialfunktion um 0: e x = Insbesondere ist (vgl. (18.6)) x k, x R. (21) e = 1. (22) Taylor-Reihen. a) Es seien I R ein offenes Intervall, f C (I) und a I. Dann heißt die Potenzreihe T a (f)(x) := T a f(x) := k 0 (x a) k (23) die Taylor-Reihe von f in a I. Es stellt sich sofort die Frage, ob diese stets gegen f konvergiert. b) Aufgrund der Taylor-Formel ist dies für einen Punkt x I genau dann der Fall, wenn lim n R a n(f)(x) = 0 gilt. c) Kann f irgendwie in eine Potenzreihe um a entwickelt werden, d. h. gilt f(x) := a k (x a) k für x a < ρ, (24) so stimmt nach (26.19) diese Potenzreihe mit der Taylor-Reihe von f in a überein; somit gilt also dann T a f(x) = f(x) für x a < ρ.

5 140 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27.6 Beispiel. a) In Beispiel 27.1 d) wurden die Taylor-Polynome von log x in Punkten a > 0 berechnet. Für die entsprechenden Taylor-Reihen gilt daher: T a (log)(x) = loga+ k 1 ( 1) k 1 ka k (x a) k. Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ist offenbar a. Eine Abschätzung des Restgliedes liefert logx = loga+ k=1 ( 1) k 1 ka k (x a) k (25) für a x 2a. Speziell für a = 1 und x = 2 ergibt sich wieder die Summe der 2 alternierenden harmonischen Reihe zu ( 1) k 1 = log2 (vgl. (24.10)). k k=1 b) Für 0 < x < a ist 2 Ra n (f)(x) 0 nicht unmittelbar ersichtlich. Durch Integration einer Reihenentwicklung von 1 nach Potenzen von (x a) erhält man aber, daß (25) x auch für 0 < x < 2a gilt. Die Gültigkeit von (25) auch für x = 2a kann dann auch wie in Beispiel 27.8 b) unten gezeigt werden Beispiel. a) Für die Funktion Artanhx = 1 2 Artanh x = 1 1 x 2 = x 2k, x < 1; Integration liefert wegen Artanh 0 = 0 sofort log 1+x 1 x = 2Artanhx = 2 x log 1+x 1 x gilt nach Tabelle 17.2 x3 = 2(x+ + x5 + ), x < 1. (26) 3 5 b) Die Entwicklung (26) ist zur Berechnung von Logarithmen oft besser geeignet als (25) im Fall a = 1. Für x = 1 1+x etwa ist = 2, also 3 1 x log2 = 2 1 (2k +1) Beispiel. a) Für die Ableitung des Arcus-Tangens gilt arctan x = 1 = ( 1) k x 2k für x < 1; 1+x 2 durch Integration folgt wegen arctan0 = 0 für x < 1 sofort arctanx = ( 1) k x = x x3 + x , x < 1. (27) b) Die Reihe in (27) erfüllt für 0 x < 1 die Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums Wie in (23.11) gilt daher arctanx n 1 ( 1) k x x2n+1 2n+1 1 2n+1 für x [0,1) und n N.

6 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 141 Die Konvergenz ist also gleichmäßig auf [0,1), und mit x 1 folgt auch arctan1 n 1 ( 1) k 1 1 für n N. 2n+1 Wegen arctan1 = π 4 erhält man die Summe der Leibnizschen Reihe: ( 1) k = π 4 = (28) 27.9 Beispiel. a) Für α R wird die Funktion f : x (1+x) α auf ( 1,1) in ihre Taylor-Reihe um 0 entwickelt. Es gilt f (x) = α(1+x) α 1, f (x) = α(α 1)(1+x) α 2,..., f (m) (x) = α(α 1) (α m+1)(1+x) α m = ( ) α m (1+x) α m, wobei die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten durch ( ) α 0 := 1 und ( ) α m := α(α 1) (α m+1), α R, m N, (29) definiert seien. Somit gilt also T 0 (f)(x) = ) x k. k 0 ( α k Für α N 0 ist dies eine endliche Summe; für α N 0 hat diese Taylor-Reihe den Konvergenzradius ρ = 1. b) Es sei nun g(x) := T 0 (f)(x) für x < 1. Dann gilt (1+x)g (x) = αg(x), x < 1. (30) c) Offenbar wird (30) auch von f(x) = (1+x) α erfüllt. Es folgt d dx (g(x) f(x) ) = f(x)g (x) f (x)g(x) f(x) 2 = 0, wegen g(0) = 1 = f(0) also g = f. Somit gilt die Binomialentwicklung (1+x) α = ( α k ) x k, x < 1. (31) Definition. Eine Funktion f C (I) heißt reell-analytisch, wenn es zu jedem a I ein δ > 0 gibt, so daß für x a < δ die Taylor-Reihe (x a) k von f in a gegen f(x) konvergiert. Polynome sind reell-analytisch auf R, ebenso die Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus aufgrund der Beispiele 27.1 und Nach Beispiel 27.6 ist der Logarithmus reell-analytisch auf (0, ). Jedoch sind nicht alle C - Funktionen reell-analytisch: k 0

7 142 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel Beispiel. a) Die Funktion g : x { exp( 1/x 2 ), x > 0 0, x 0 (32) liegt inc (R) mit g (k) (0) = 0 für alle k N 0. Somit gilt T 0 (g) = 0; dietaylor-reihe von g in 0 konvergiert also auf ganz R, für x > 0 aber nicht gegen g(x). Es gibt auch Taylor-Reihen, die nur im Entwicklungspunkt selbst konvergieren. Allgemeiner gilt das folgende wichtige Theorem (Borel). Es sei (c n ) n N0 eine beliebige Folge. Dann gibt es eine Funktion f C (R) mit f (n) (0) = c n für alle n N 0. Einen Beweis findet man in [A1],