Wirtschaftsmathematik für International Management (BA)

Transkript

1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 Logarithmen Wie löst man die Gleichung a x = b nach x auf? (dabei soll gelten a, b > 0 und a 1) Neues Symbol: Der Logarithmus von b zur Basis a: a x = b x = log a b 1.1. Reelle Zahlen Beobachtungen: log a a = 1 log a 1 = 0 log a (a n ) = n Rechenregeln: log a (c d) = log a c + log a d log a c d = log a c log a d log a b n = n log a b 1.2. Ganzzahlige Potenzen 1.3. Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 22

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6 Logarithmen Spezielle Logarithmen: log 2 x = ld x Logarithmus dualis log 10 x = log x Dekadischer Logarithmus log e x = ln x Logarithmus naturalis Umrechnung von Basen 1.1. Reelle Zahlen 1.2. Ganzzahlige Potenzen Beispiel log a b = log c b log c a Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Anfangskapital K mit einem jährlichen Zins von 5%? Lösung: 2K = K (1 + 5%) n = K 1,05 n 1,05 n = 2 n = log 1,05 2 = ln 2 ln 1,05 14, Algebraische Umformungen 1.4. Brüche 1.5. Nichtganzzahlige Potenzen 1.6. Logarithmen 23

7 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Lineare Algebra 4 Lineare Programme 5 Folgen und Reihen 6 Finanzmathematik 7 Reelle Funktionen 8 Differenzieren 1 9 Differenzieren 2 2 Grundlegende Notation von Summen Binomische Formel Doppelsummen Grundbegriffe der Logik Grundlegendes über Mengen 10 Integration

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10 Summenzeichen Oft sinnvoll: Abkürzen von längeren Summen durch das Summenzeichen (Großes griechisches Sigma) Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen: N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = 6 Sprechweise: Summe von i gleich 1 bis 6 über N i Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.b. q a i = a p + a p a q i=p Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.b. 8 i 2 = i=3 N i 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 25

11 Summenzeichen Rechenregeln für das Summenzeichen (a i + b i ) = a i + c a i = c a i b i Damit leicht zu zeigen (Setze µ x = 1 n (a i µ x ) = 0 ( n (a i µ x ) 2 = a 2 i Additivität Homogenität a i ): ) n µ 2 x 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 26

12 Produktzeichen Analog zum Summenzeichen: Das Produktzeichen n a i = a 1 a 2... a n 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel Zum Beispiel: 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 2 ( x + ( 1) i ) = (x 1)(x + 1) Spezielle Abkürzung: n i = n = n! n Fakultät 27

13 Binomialkoeffizient Man definiert den Binomialkoeffizienten als: ( ) m = k m i=(m k+1) k j j=1 Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also: ( ) m 0 = 1 Beispiel: ( ) 5 = = 10 Rechenregeln: ( ) ( ) m m = k m k und i = ( ) m + 1 = k + 1 m! k! (m k)! ( ) ( ) m m + k k Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 28

14 Binomische Formel Newtons binomische Formel Kurzform: ( ) ( ) m m (a + b) m = a m + a m 1 b ( ) ( ) m m + ab m 1 + b m m 1 m Zum Beispiel: (a + b) m = m k=0 ( ) m a m k b k k 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 29

15 Doppelsummen Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m Zeilen Einzelne Einträge: a ij mit i 1,..., m und j 1,..., n Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen: m m m a i1 + a i a in = ( m ) a ij j= Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen Es gilt: m m a ij = j=1 j=1 a ij 30