Zufallssignal Stationär (z.b. gleichverteiltes Rauschen) Nicht-stationär (z.b. normalverteiltes Rauschen mit wechselnder Streuung) Deterministisches
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- Erica Dressler
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2 Zufallssignal Stationär (z.b. gleichverteiltes Rauschen) Nicht-stationär (z.b. normalverteiltes Rauschen mit wechselnder Streuung) Deterministisches Signal Periodisch harmonische Schwingung Summe harmonischer Schwingungen Nicht-periodisch Transientes Signal (z.b. ausschwingendes Pendel) Quasi-periodisch (z.b. EKG)
3 Welcher Art sind diese Signale?
4 12-Kanal-EKG 22-Kanal-EEG
5 Biosignale sind im allgemeinen kontinuierliche Signale (analoge Signale) a = x(t) mit der Zeit t als unabhängiger Veränderlicher und der Amplitude a als abhängige Veränderlicher. In der Praxis: sowie
6 a
7 Beispiel I: Beispiel II:
8 Darstellung des Signals als additive Überlagerung eines deterministischen Anteils s(t) ( signal ) eines stochastischen Anteils n(t) ( noise ) führen zu folgendem linearen Modell Viele Biosignale sind quasi-periodische Signale und können im allgemeinen sehr gut über diese Modellannahme analysiert werden
9 Darstellung des Signals als additive Überlagerung eines deterministischen Anteils s(t) ( signal ) eines stochastischen Anteils n(t) ( noise )
10 Signalverarbeitungsschritte im Allgemeinen
11 biologischer Prozess analoge Signalverarbeitung z.b. Meßaufnehmer, Verstärker, Filter A/D-Umsetzung Diskretisierung nach Zeit und Amplitude digitale Signalverarbeitung z.b. Bildberechnung, Parameterbestimmung, Filterung D/A-Umsetzung u(t) u(t) t t
12 Für die computergestützte (Weiter-) Verarbeitung kontinuierlicher Signale ist es notwendig, diese in diskrete Signale umzuformen. Diskretisierung erfolgt im Zeitbereich sowie im Werte-/Amplitudenbereich
13 u[v ] t = h f a = 1/h f s t[s] Durchführung der Diskretisierung durch einen Analog-Digital-Umsetzer (ADU oder auch ADC: Analog-Digital-Converter)
14 Ein Analogsignal x(t) wird durch Abtastung zu diskreten Zeitpunkten t i = i*h zu einem zeitdiskreten Signal x a (t) = Σ i [x(i*h)*δ(t-i*h)] Dabei ist h das Abtastintervall und δ(t) = 1 falls t = 0 0 sonst die Dirac- oder Delta-Funktion. Die Größe f a = 1/h bezeichnet man als Abtastfrequenz. t[s] t 1 t 2 t n t n+1 t i h
15 Ein zeitdiskretes Signal x a (t) kann als Zahlenfolge (x i ) i = 0, 1,, N-1 x i [c, d] dargestellt werden.
16 Aus dem zeitdiskreten Signal entsteht durch Quantisierung/Diskretisierung des Wertebereichs das Digitalsignal (x i ) i = 0, 1,, N-1 x i [c 0, c 1,, c M-1 ] Wertebereich: M diskrete, feste Amplitudenwerte Üblich: Quantisierung in 2 n konstanten Amplitudenschritten n ist abhängig von der (geforderten) Amplitudenauflösung sehr oft wird n = 12 gewählt 4096 Amplitudenstufen
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18 u[v ] u[v ] u[v ] U t[s] t[s] t[s] 1 th 1 = f a = 1/h t h = f a = 1/h f s Amplitudendiskretisierung Zeitdiskretisierung Amplituden- & Zeitdiskretisierung U... Spannungsauflösung f s U
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20 Die Abtastung des zu verarbeitenden Signals muss mit mehr als der im Signal vorkommenden doppelten oberen Grenzfrequenz erfolgen: f a = 1/h > 2 * f max u(t) t 1 h f s f a = 1/h
21 Daher wird in der Praxis eine Abtastfrequenz von etwa dem 2,5- bis 3-fachen der maximalen im Signal auftretenden Grenzfrequenz gewählt Signal f max f S Auflösung Sprache/Telefon 3.1 khz 8 khz 12 Bit Hifi-Musik / CD 16 khz 44.1 khz 16 Bit TV / digital MHz 8 Bit
22 (Mathematische) Grundlagen der Biosignalverarbeitung
23 Bei der Analyse von Signalen interessiert man sich oft für die in einem Signal enthaltenen Frequenzanteile und geht dabei von der Vorstellung aus, dass das Signal periodisch fortgesetzt ist. Durch schlichtes Aneinanderreihen des im Definitionsbereiches [a, b] vorliegenden Signals ist dies einfach zu bewerkstelligen. Ein periodisches Signal kann immer in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt, d.h., in eine Fourierreihe, entwickelt werden.
24 Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir das Definitionsintervall [0, 2p] an und entwickeln das Signal x(t) in eine Fourierreihe: Für die Fourierkoeffizienten ergibt sich: Die Fourierkoeffizienten a k sowie b k geben somit an, mit welchem Faktor, d.h., wie stark, die harmonische Schwingung mit der Frequenz k im Originalsignal x(t) enthalten ist.
25 Der Übergang des Signals x(t) (definiert im Zeitbereich/temporal domain) zur Funktion x(k) = (a k, b k ) (definiert im Frequenzbereich/ frequency domain) wird Fourier- Transformation (FT) genannt. x(t) x(k)
26 Rechteckfunktion mit Periode L = 2π: x(t) = +1 für 0 < t π -1 für π < t 2 π
27 Rechteckfunktion ist ungerade lediglich Sinus-Terme treten in der Fourierreihe auf: Damit ergibt sich für die Fourierreihe:
28 Annäherung an die Funktion x(t) mittels der einzelnen Terme aus der Fourierreihe
29 Im Diskreten entspricht die FT einer linearen Transformation des Koordinatensystems, bei der von der kanonischen Basis aus Einheitsvektoren zu der neuen Orthonormalbasis übergegangen wird, die aus diskretisierten, normierten harmonischen Schwingungen besteht. Jedes Signal (x 0, x 1,, x N-1 ) wird als Vektor eines N-dimensionalen Vektorraumes aufgefasst.
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31 Die diskrete Fourier-Transformation weist ein periodisches Spektrum auf, das Spektrum wiederholt sich mit der Abtastfrequenz und ist symmetrisch zur Abtastfrequenz. Enthält das abgetastete Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz, überlappen sich die Spektren des ursprünglichen Signals mit den an der Abtastfrequenz gespiegelten Signalanteilen, und es kommt zum Alias-Effekt.
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33 Um 1965 entwickelt von Cooley und Tukey Geläufigste Form der FFT: Radix-2 Cooley- Tukey Voraussetzung: Für eine Anzahl an Samples N muss die Wurzel aus N eine ganze Zahl ergeben DFT benötigt für 1024 Samples etwa um das 100fache länger als FFT
34 Aliasing
35 Unterabtastung des Signals im Zeitbereich (= Verletzung des Nyquist-Shannon- Theorems) führt zu einer Überlappung im Spektrum Aliasing
36 Daher wird in der Praxis eine Abtastfrequenz von etwa dem 2,5- bis 3- fachen der maximalen im Signal auftretenden Grenzfrequenz gewählt Signal f max f S Auflösung Sprache/Telefon 3.1 khz 8 khz 12 Bit Hifi-Musik / CD 16 khz 44.1 khz 16 Bit TV / digital MHz 8 Bit
37 Zur Messung des Grades der Übereinstimmung bzw. Ähnlichkeit zweier Signale x(t) und y(t) bedient man sich der Korrelation. Die Korrelationsfunktion ist definiert als: Das Signal x(u) und das um t nach links verschobene Signal y(u + t) werden miteinander komponentenweise multipliziert, die Produkte zu einem Wert aufintegriert. Dieser Wert fällt umso höher aus, je ähnlicher oder deckungsgleicher die beiden Signale sind.
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39 Maxima der Korrelationsfunktion R xy zeigen also Verschiebungswerte t an, für die eine gute Deckung beider Signale erreicht wird. Im allgemeinen ist das Signal x(t) ein aufgezeichnetes längeres Biosignal, z.b. ein EKG, und y(t) ein kurzes, d.h., maximal eine Quasiperiode langes Mustersignal, das außerhalb dieses Abschnitts als konstant Null angenommen wird. Bei Digitalsignalen werden zur Bestimmung der Korrelationsfunktion Skalarprodukte aus den beiden Funktionsvektoren berechnet.
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42 Die Korrelationsfunktion kann auch zum Auffinden von Periodizitäten oder Quasi- Periodizitäten in (verrauschten) Biosignalen x(t) verwendet werden. Dazu verschiebt man das Signal gegen sich selbst und berechnet die Autokorrelationsfunktion
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44 Um ein Signal x(t) mit einem anderen Signal y(t) zu modulieren, benutzt man die Faltung: Dabei ist im allgemeinen x(t) ein aufgenommenes Biosignal, y(t) eine kurze, d.h. auf einem relativ zum Signal x(t) kleinen Intervall von Null verschiedene Faltungsmaske. Diese Maske wird am Nullpunkt gespiegelt (negativer Term x(t) unter dem Integral) und dann wie bei der Korrelation über das Signal x(t) geschoben.
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46 Es besteht ein mathematischer Zusammenhang zwischen Faltung und Korrelation. Dieser ist:
47 Dieser wichtige Satz beschreibt einen grundlegenden Zusammenhang zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich: Dabei ist IFT die Inverse Fourier-Transformation. In Worten besagt dieser Satz, dass die Faltung zweier Signale im Zeitbereich der Multiplikation ihrer beiden Fourier- Transformierten im Frequenzbereich entspricht. Eine Faltung im Zeitbereich kann also auch über den Umweg dreier Fourier-Transformationen und einer komponentenweisen komplexen Multiplikation zweier Fourier- Transformierter berechnet werden. Dies ist von Bedeutung bei großen Filtermasken und beim Entwurf von Filtern mit bestimmten gewünschten Eigenschaften.
48 Zeitbereich Frequenzbereich Transformation k k k
49 Filter
50 energetisch aktiv passiv Signalart analog digital Transformationsverhalten linear nicht-linear Selektionsverhalten Tiefpaß Hochpaß Bandpaß Bandstopp Allpaß Übertragungsfunktion Butterworth Bessel Tschebyscheff Cauer
51 Zur Bearbeitung oder Vorverarbeitung (preprocessing) von Signalen existiert eine Vielzahl an Filtern. Allen Filtern ist gemeinsam, dass sie aus einem Eingangssignal ein modifiziertes (bzw. im Normalfall ein verbessertes besser in Beziehung zur Aufgabenstellung) Ausgangssignal erzeugen. Filter modifizieren also die Daten, sie reduzieren oder aggregieren sie aber nicht.
52 x[n] y[n] = Σa k y[n - k] + Σ b k x[n - k] y[n]
53 Aus der Vielzahl an Filtern sollen hier nur die einfachsten exemplarisch vorgestellt werden. Diese sind die sogenannten linearen lokalen Filter. Das sind solche, die mithilfe der Faltung beschrieben werden können: Binomial- bzw. Mittelwertfilter (Tiefpaßfilter) Gradienten- bzw. Ableitungsfilter (Hochpaßfilter)
54 Die zugehörige Filtermaske approximiert die Gauss sche Glockenkurve. Die Werte sind die Binomialkoeffizienten (siehe Pascal sches Dreieck) und die Summe der Filtermaskeneinträge wird auf 1 normiert. Die Filtermaske der Länge 3 hat also die Form Jeder Abtastwert x i des zu filternden Signals wird durch den gewichteten Mittelwert ersetzt.
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58 Dieser Filtertyp bewirkt eine Glättung des Signals. Hohe Frequenzanteile werden gedämpft, und zwar umso stärker, je höher die Frequenz ist. Im Frequenzbereich entspricht dies einer Verkleinerung höherer Fourier-Koeffizienten. Man bezeichnet einen solchen Filtertyp wegen dieser oben erwähnten Eigenschaft auch als Tiefpaßfilter (Lowpass). Da dieser Filtertyp Rauschen (Rauschen beinhaltet im allgemeinen hohe Frequenzanteile) unterdrückt, wird er auch Rauschfilter genannt, wenn dies als besonderes Ziel der Filteranwendung hervorgehoben werden soll.
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61 idealer 5512 Hz Tiefpaß-Filter A Hz f
62 Ableitungen von Signalen
63 Die Maske eines einfachen symmetrischen Gradientenfilters hat die Form Jeder Abtastwert x i des zu filternden Signals wird durch die Differenz ersetzt.
64 Dieser Filtertyp entspricht der Berechnung einer Approximation der 1. Ableitung des Signals. Bei konstanten Signalstücken liefert dieser Filtertyp den Wert 0, bei Anstieg Werte > 0, bei Abfall der Signalstücke Werte < 0. Mit anderen Worten: Amplitudenänderungen, auch Kanten (siehe Bildverarbeitung!) oder Flanken genannt, werden durch diesen Filtertypen detektiert, flache oder konstante Bereiche im Signal werden gedämpft bzw. unterdrückt. Kanten entsprechen hohen Frequenzanteilen, weswegen von einem Hochpaßfilter (Highpass) gesprochen wird. Im Frequenzbereich entspricht dies einer Dämpfung der niedrigen Fourier-Koeffizienten.
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66 Beispiele für den Zusammenhang zwischen Signal- und Bildverarbeitung
67 Quelle:
68 TP Quelle:
69 HP Quelle:
70 BP Quelle:
71 Ausgangsbild Tiefpaß Hochpaß Bandpaß Quelle:
Notwendige Voraussetzungen zur Zulassung zur schriftlichen Prüfung:
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