Beispiel: Evolution infizierter Individuen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Beispiel: Evolution infizierter Individuen"

Transkript

1 Differentialgleichungen sind sehr nützlich in der Modellierung biologischer Prozesse, denn: damit kann man auch sehr komplizierte Systeme beschreiben die Mathematik liefert mit der gut entwickelten Theorie der GDGen ein sehr performantes Werkzeug für die Analysis der Modelle Aussagen über die biologischen Prozesse. GDG für eine unbekannte Funktion x(t): x (t) = f (t, x(t)). x (t) beschreibt die zeitliche Änderungsrate der Quantität x(t); f (t, x(t)) beschreibt alle Änderungsquellen von x(t). Philosophie der GDGen: Benutze lokale Information (was passiert demnächst?) um Langzeitverhalten (was passiert in der Zukunft?) zu folgern.

2 Beispiel: Evolution infizierter Individuen Annahmen: Infizierte Individuen stecken gesunde an. Infizierte genesen nach einer Zeit.. Genesene werden immun gegen die Krankheit. Die ganze Population ist homogen im Ort.. Hier interessieren uns lediglich die Infizierten. Seien: x(t) die Anzahl der Infizierten p n die Genesungswahrscheinlichkeit innerhalb n Tagen α n = pn t die Genesungsrate mit t die Zeiteinheit. Dann ist die Anzahl der Infizierten nach einer Zeiteinheit: x(t + t) = x(t) p t x(t). Daraus folgt x(t+ t) x(t) t = αx(t) und im Limes für t 0 folgt x (t) = αx(t).

3 Wir betrachten hier Gleichungen der Form x (t) = f (t, x(t)). Über deren Lösungen wollen wir (ohne die Lösungen zu finden) qualitative Aussagen machen.

4 Beispiel 1: f (t, x) = x(1 x)(2 x). Kritische Punkte (Gleichgewichte, Stationärpunkte): Lösungen von f (x) = 0. Hier: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2.

5 Exponentiellles Wachstum Beispiel 2: f (t, N) = rn, N(0) = N 0. Lösungen: N(t) = N 0 e rt. r > 0: Exponentielles Wachstum; r < 0: Exponentieller Abfall.

6 Logistisches Wachstum (Verhulst-Gleichung) Beispiel 3: f (t, N) = rn ( 1 N K ), N(0) = N 0. r > 0: spezifische Wachstumsrate; K: Tragfähigkeit der Population Die Population wächst und konvergiert für t gegen die Gleichgewichtslösung N K. Wird K erreicht (in endlicher Zeit)?

7 Definition Eine Funktion f : D R R heißt Lipschitzstetig g.d.w. existiert L > 0 mit f (x) f (y) L x y, x, y D. Theorem (Picard-Lindelöf) Sei f : D R R Lipschitzstetig und x(0) = x 0 D. Dann existiert ein ɛ > 0 s.d. das AWP x = f (x), x(0) = x 0 hat eine eindeutige Lösung x(t) für 0 t ɛ.

8 Bemerkungen: 1 Lösungen für verschiedene Anfangswerte schneiden sich nicht. (Warum?) 2 Der Satz gilt auch für Systeme GDGen: x = f(x), x R n, f = (f 1,..., f n ) T, mit f j Lipschitzstetig für alle j = 1,..., n. 3 Eine C 1 -Funktion ist immer Lipschitzstetig auf ein beschränktes Definitionsgebiet.

9 Massenerhaltungsgesetz (MEG): A + B k C Evolution des Produkts C: [ ] Zeitänderung = des Produkts Anzahl Kollisionen der Molekülen A und B (irreversible Reaktion) Wahrscheinlicheit, daß eine Kollision genug Energie hat, um eine Reaktion auszulösen Konzentrationen der Reaktanten: a = [A], b = [B], c = [C]..

10 r 1 ab t: Anzahl Kollisionen in Zeit t (r 1 Konstante); r 2 : Wahrscheinlichkeit, daß die Kollision genug Energie hat, um eine Reaktion auszulösen; C: Zeitliche Änderung des Produkts C. C = abk t, k := r 1 r 2. Daraus folgt (teile durch t und t 0): dc dt = k a b Reversible Reaktionen: A + B C System GDGen: (Massenerhaltungsgesetz) c t = k + a b k c a t = k c k + a b b t = k c k + a b.

11 Michaelis-Menten-Kinetik (MM): E + S E + P E: Enzym, S: Substrat, P: Produkt. (Enzymreaktion). Hier kann man das MEG nicht mehr direkt anwenden (E ist ein Katalysator). E + S C k 2 E + P, wobei k 1, k 1, k 2 Reaktionskonstanten. Notation: s = [S], e = [E], c = [C], p = [P]. s t = k 1 s e + k 1 c (MM) e t = k 1 s e + k 1 c + k 2 c c t = k 1 s e k 1 c k 2 c p t = k 2 c.

12 ẋ = αx + βxy ẏ = γy + δxy x(t) und y(t): Konzentrationen (Anzahl) zweier Populationen; α, β, γ, δ: konstante Parameter (reelle Zahlen).

13 α β γ δ Nomenklatur Räuber (x)-beute (y)-modelle (RBM) Mutualismus (Symbiose) Konkurrenzmodelle Klassifizierung des Interaktionsmodells

14 Entdimensionalisierung Zweck: Reduziere die Anzahl der freien Parameter ohne Eigenschaften des Modells einzubüßen. ( ) Beispiel (Verhulst-Modell): N = rn 1 N K. N hat die Dimension einer Populationsgröße. Entdimensionalisierung durch Bezug auf eine Referenzgröße, z.b. K. Notation: Ñ := N K. Dann gilt Ñ = rñ(1 Ñ). Weitere Notation: t := rt. Dann gilt die (parameterfreie) Differentialgleichung N = Ñ(1 Ñ). weglassen: N = N(1 N). Wie erhält man die Originalfunktion? N(t) = K Ñ(r t).

15 Beispiel (Interaktion zweier Populationen): ẋ = αx + βxy ẏ = γy + δxy Seien α, β, δ > 0. Mit den Notationen x = δ α x, ỹ = β α y, t = αt, µ = γ α folgt wie vorhin ( wieder weglassen) das System ẋ = x + xy ẏ = µy + xy. Das neue Modell hängt nur vom Parameter µ ab. Die Trafos sind invertierbar und die Originalfunktionen x und y können wiedergefunden werden.

Räuber-Beute-Modelle, Auslese/Schwellensatz

Räuber-Beute-Modelle, Auslese/Schwellensatz Räuber-Beute-Modelle, Auslese/Schwellensatz Mareike Franz und Brigitte Steinhauser 15. Dezember 2008 1 / 37 1 Räuber-Beute-Modelle 2 Prinzip der Auslese durch Wettbewerb 3 Schwellensatz der Epidemiologie

Mehr

Dynamische Systeme eine Einführung

Dynamische Systeme eine Einführung Dynamische Systeme eine Einführung Seminar für Lehramtstudierende: Mathematische Modelle Wintersemester 2010/11 Dynamische Systeme eine Einführung 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 2. Flüsse,

Mehr

Flüsse, Fixpunkte, Stabilität

Flüsse, Fixpunkte, Stabilität 1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Kapitel Differentialgleichungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 05/6 Differentialgleichungen / Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachstumsmodell treffen wir die folgenden Annahmen: () Erhöhung der

Mehr

Analysis und Lineare Algebra mit MuPAD

Analysis und Lineare Algebra mit MuPAD Analysis und Lineare Algebra mit MuPAD Dehling/Kubach Mögliche Themen für Abschlussprojekte 1 Fourier-Reihen Zu einer integrierbaren Funktion f : [0,2π] R definieren wir die Fourier-Reihe wobei a 0 = 1

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

Populations Modelle Das Lotka-Volterra Model. Robin Gwinner Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak

Populations Modelle Das Lotka-Volterra Model. Robin Gwinner Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak Populations Modelle Das Lotka-Volterra Model Robin Gwinner Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak 04.05.2016 Motivation Rote Liste: Motivation Rote Liste: Motivation Rote Liste: Motivation Motivation Motivation

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken Seite in Teilbrüche zerlegt werden: = + =

Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken Seite in Teilbrüche zerlegt werden: = + = ist ( 6.4 Logistisches Wachstum Ein Nachteil des Modells vom beschränkten Wachstum besteht darin, dass für kleine t die Funktion ungefähr linear statt exponentiell wächst. Diese chwäche wird durch das

Mehr

6 Differentialgleichungen

6 Differentialgleichungen 88 6 Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y = y(x) und Ableitungen (die erste oder auch höhere) von y vorkommen. Lösungen einer Differentialgleichung

Mehr

4. Differentialgleichungen

4. Differentialgleichungen 4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 10.11.2011 Seite 1 Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter

Mehr

Differenzengleichungen

Differenzengleichungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Differenzengleichungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführungsbeispiele 2. Definition 3. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung (Wiederholung)

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse Analysis II (FS 215): Vektorfelder und Flüsse Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 7. April 215 1 Der Fluss eines Vektorfeldes Sei U R n eine offene Menge und sei f : U R n eine lokal Lipschitz-stetige Abbildung.

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 20/202 Mathematik für Anwender I Vorlesung 30 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Definition 30.. Eine Differentialgleichung der Form y = g(t)

Mehr

Abbildung 5.1: stabile und instabile Ruhelagen

Abbildung 5.1: stabile und instabile Ruhelagen Kapitel 5 Stabilität Eine intuitive Vorstellung vom Konzept der Stabilität vermitteln die in Abb. 5.1 dargestellten Situationen. Eine Kugel rollt unter dem Einfluss von Gravitation und Reibung auf einer

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

Mathematik in der Biologie

Mathematik in der Biologie Erich Bohl Mathematik in der Biologie 4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 65 Abbildungen und 16 Tabellen ^J Springer Inhaltsverzeichnis Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Mehr

14 Lineare Differenzengleichungen

14 Lineare Differenzengleichungen 308 14 Lineare Differenzengleichungen 14.1 Definitionen In Abschnitt 6.3 haben wir bereits eine Differenzengleichung kennengelernt, nämlich die Gleichung K n+1 = K n q m + R, die die Kapitalveränderung

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

6 Komplexe Integration

6 Komplexe Integration 6 Komplexe Integration Ziel: Berechne für komplexe Funktion f : D W C Integral der Form f(z)dz =? wobei D C ein Weg im Definitionsbereich von f. Fragen: Wie ist ein solches komplexes Integral sinnvollerweise

Mehr

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω 5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,

Mehr

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,

Mehr

Modelle mit zwei Zustandsgrößen Seminar für Lehramt Mathematik

Modelle mit zwei Zustandsgrößen Seminar für Lehramt Mathematik Modelle mit zwei Zustandsgrößen 106.081 Seminar für Lehramt Mathematik Modelle mit zwei Zustandsgrößen Grundlegende Wechselwirkungsmodelle aus der Ökologie Mutualismus Konkurrenz Räuber-Beute-Modell Modelle

Mehr

Asymmetrische Spiele. Eric Barré. 13. Dezember 2011

Asymmetrische Spiele. Eric Barré. 13. Dezember 2011 Asymmetrische Spiele Eric Barré 13. Dezember 2011 Gliederung 1 Einführung Allgemeines Definition Begründung Nash-Gleichgewicht 2 Kampf der Geschlechter Allgemein Auszahlungsmatrix Nash-Gleichgewicht Beispiel

Mehr

Katharina Kausel, April 2012

Katharina Kausel, April 2012 Mathematische Modelle in der Biologie Seminar Biomathematik Seminar Biomathematik Katharina Kausel, April 2012 Mutualismus Was ist Mutualismus? SYMBIOSE Unterschied: eine Art ist ohne die andere LEBENSUNFÄHIG

Mehr

Dynamische Systeme in der Mikrobiologie

Dynamische Systeme in der Mikrobiologie Dynamische Systeme in der Mikrobiologie Gruppe G Mi: Severine Hurni, Esther Marty, Giulia Ranieri, Matthias Engesser, Nicole Konrad Betreuer: Roman Kälin 1. Einleitung Ein dynamisches System ist ein System,

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa

1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

Der Primzahlsatz. Es gibt eine Konstante A, so daß f(x) g(x) Ah(x) für alle genügend großen x.

Der Primzahlsatz. Es gibt eine Konstante A, so daß f(x) g(x) Ah(x) für alle genügend großen x. Der Primzahlsatz Zusammenfassung Im Jahr 896 wurde von Hadamard und de la Vallée Poussin der Primzahlsatz bewiesen: Die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich verhält sich asymptotisch wie / log. Für ihren

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009 Übung 11 Einleitung Es wird eine 15-minütige Mikroklausur geschrieben. i) Sei D R oderd C. Wann heißt

Mehr

Bachelorarbeit. Deterministische Modelle zur Beschreibung der Ausbreitung von Krankheiten

Bachelorarbeit. Deterministische Modelle zur Beschreibung der Ausbreitung von Krankheiten Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Bachelorarbeit Im Studiengang Technomathematik Deterministische Modelle zur Beschreibung der Ausbreitung von Krankheiten Marcel Merkle Betreut von

Mehr

Wellen und wandernde Wellen Ähnlichkeitslösungen. Crashkurs PDG anhand von Beispielen. Wellen

Wellen und wandernde Wellen Ähnlichkeitslösungen. Crashkurs PDG anhand von Beispielen. Wellen Wellen Crashkurs PDG anhand von Beispielen Eine Welle ist ein erkennbares Signal, welches innerhalb eines Mediums von einer Seite zur anderen übertragen wird, mit einer erkennbaren Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Mehr

Lotka-Volterra-Gleichungen für mehr als zwei Populationen

Lotka-Volterra-Gleichungen für mehr als zwei Populationen Lotka-Volterra-Gleichungen für mehr als zwei Populationen Dennis Kunz 06.12.2011 Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics Lotka-Volterra-Gleichungen für mehr als zwei

Mehr

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen 5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten

Mehr

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Christian Nawroth, Erstellt mit L A TEX 23. Mai 2002 Inhaltsverzeichnis 1 Vollständige Induktion 2 1.1 Das Prinzip der Vollstandigen Induktion................

Mehr

Lösung zur Übung 19 SS 2012

Lösung zur Übung 19 SS 2012 Lösung zur Übung 19 SS 01 69) Beim radioaktiven Zerfall ist die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne dn/dt direkt proportional zur momentanen Anzahl der Kerne N(t). a) Formulieren Sie dazu die

Mehr

Das Paket raeuber_beute_modelle enthält 3 Modelle mit denen das Verhalten von Lotka-Volterra-Systemen simuliert werden kann.

Das Paket raeuber_beute_modelle enthält 3 Modelle mit denen das Verhalten von Lotka-Volterra-Systemen simuliert werden kann. Räuber Beute Modell 1. Versionsgeschichte: Version 0.1 2. Aufgabenstellung für das Modell Das Paket raeuber_beute_modelle enthält 3 Modelle denen das Verhalten von Lotka-Volterra-Systemen simuliert werden

Mehr

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und

Mehr

Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass

Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma.

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H

Mehr

6.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

6.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 98 6.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Eine Differentialgleichung erster Ordnung heisst linear, wenn sie auf die Form y = p(x)y +q(x) (I) gebracht werden kann. Die DGL y = p(x)y (H) heisst

Mehr

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0. Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales

Mehr

2 Die Dimension eines Vektorraums

2 Die Dimension eines Vektorraums 2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1

Mehr

Ausgehend vom Lotka-Volterra Modell der Populationsdynamik sind für die Testaufgabe zwei Teilaufgaben

Ausgehend vom Lotka-Volterra Modell der Populationsdynamik sind für die Testaufgabe zwei Teilaufgaben Praxis 2 - Tabellenkalkulation 9 Fig. 3 Teil C: Testaufgabe 1. Einführung Populationsdynamik bei Tieren in einem Lebensraum Wenn Tiere verschiedener Arten den gleichen Lebensraum besiedeln, können sie

Mehr

2. Räumliche Bewegung

2. Räumliche Bewegung 2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

also ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges

also ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges 11. Kompakte Operatoren Seien X, Y Banachräume, und sei T : X Y ein linearer Operator. Definition 11.1. T heißt kompakt, enn T (B) eine kompakte Teilmenge von Y ist für alle beschränkten Mengen B X. Wir

Mehr

Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix

Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix Konrad Waldherr Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.1/14 Motivation In einem Quantensystem ist folgendes Produkt von besonderer Bedeutung: e

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen

Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory

Mehr

Wachstum und Zerfall / Exponentialfunktionen. a x = e (lna) x = e k x

Wachstum und Zerfall / Exponentialfunktionen. a x = e (lna) x = e k x Wachstum und Zerfall / Exponentialfunktionen Mit Exponentialfunktionen können alle Wachstums- und Zerfalls- oder Abnahmeprozesse beschrieben werden. Im Allgemeinen geht es dabei um die Exponentialfunktionen

Mehr

2. Mathematische Grundlagen

2. Mathematische Grundlagen 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,

Mehr

Proseminar Mathematik. Ungleichungen I Betreuung: Natalia Grinberg. Karlsruher Institut für Technologie

Proseminar Mathematik. Ungleichungen I Betreuung: Natalia Grinberg. Karlsruher Institut für Technologie Proseminar Mathematik Ungleichungen I 12.6.215 Betreuung: Natalia Grinberg Karlsruher Institut für Technologie Inhaltsverzeichnis 1 Young-Ungleichung 2 2 Hölder-Ungleichung 4 3 Minkowski-Ungleichung 5

Mehr

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume

Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit 9 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit Wir wollen uns nun komplexen Funktionen zuwenden dabei zunächst die ersten in der Analysis betrachteten Eigenschaften untersuchen,

Mehr

Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome

Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Proseminar Lineare Algebra SS10 Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Natalja Shesterina Heinrich-Heine-Universität ASymmetrische Polynome Definition 1 Sei n

Mehr

10 Di erentialgleichungen Reaktionskinetik

10 Di erentialgleichungen Reaktionskinetik 0 Di erentialgleichungen Reaktionskinetik Sei f eine Funktion, t 2 IR dann ist x (n) = f(x (n ),x (n 2),...,x 0,x,t) eine gewöhnliche Di erentialgleichung n-ter Ordnung. (Die höchste Ableitung, die in

Mehr

16 Vektorfelder und 1-Formen

16 Vektorfelder und 1-Formen 45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung

Mehr

Seltsame Attraktoren

Seltsame Attraktoren 1 Seltsame Attraktoren Proseminar: Theoretische Physik Jonas Haferkamp 9. Juli 2014 Abbildung: Poincaré-Schnitt der Duffing-Gleichungen 2 3 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor?

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 12 1. Dezember 2009 Kapitel 3. Differenzialrechnung einer Variablen (Fortsetzung) Satz 19. Es seien M und N zwei nichtleere Teilmengen von R,

Mehr

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2)

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2) 73 5.2 Lineare Systeme Sei weiterhin IK = C oder IK = IR. Seien = I IR ein offenes Intervall, x 0 I, y 0 IK n, A: I IK n n und b: I IK n stetige matrix- bzw vektorwertige Funktionen. Wir betrachten komplexe

Mehr

Laplace-Transformation

Laplace-Transformation Laplace-Transformation Gegeben: Funktion mit beschränktem Wachstum: x(t) Ke ct t [, ) Definition: Laplace-Transformation: X(s) = e st x(t) dt = L{x(t)} s C Re(s) >c Definition: Inverse Laplace-Transformation:

Mehr

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis) Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben

Mehr

Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat

Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat Vortrag von Kristina Rupp und Benjamin Letschert am 29.01.2008 Inhaltsverzeichnis 13 Speziallfälle des Satzes von Fermat 1 13.1 Der Große Satz

Mehr

4. Woche: Mehrdimensionale Modelle

4. Woche: Mehrdimensionale Modelle Systemanalyse I: 4. Woche: Mehrdimensionale Modelle Nicolas Gruber Umweltphysik Institut für Biogeochemie und Schadstoffdynamik ETH Zürich nicolas.gruber@env.ethz.ch 1 Inhalt INHALT 1. Zusammenfassung

Mehr

Stabilität von n-spezies Gemeinschaften

Stabilität von n-spezies Gemeinschaften Stabilität von n-spezies Gemeinschaften Julia Klein 20.12.2011 Joseph Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Kap.15 Übersicht 1 Einführung 2 Mutualismus und M-Matrizen 3

Mehr

Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla

Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Sätze über Konvexität von Kapitel 4.7 bis 4.10 Theorem 4.7-1. Sei U ein konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann

Mehr

Katalytische Hyperzyklen

Katalytische Hyperzyklen Katalytische Hyperzyklen Lara Münster 20.12.2011 Literatur: Hofbauer J., Sigmund K. (1998). Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge University Press: Cambridge Katalytische Hyperzyklen 1

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition N N 0 Z Q Z + + Q 0 A = {a 1,, a n } Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen

Mehr

Kurzskript: Mathematische Modellierung und Differentialgleichungen. Gehalten im Wintersemester 2005/2006 and der Uni Duisburg-Essen, Campus Essen

Kurzskript: Mathematische Modellierung und Differentialgleichungen. Gehalten im Wintersemester 2005/2006 and der Uni Duisburg-Essen, Campus Essen Kurzskript: Mathematische Modellierung und Differentialgleichungen. Gehalten im Wintersemester 2005/2006 and der Uni Duisburg-Essen, Campus Essen Priv. Doz. Dr. Patrizio Neff Department of Mathematics

Mehr

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Prof. Dr. Torsten Wedhorn SoSe 22 Daniel Wortmann Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Aufgabe 5: 6+6+6* Punkte Bestimme alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen: a b c* f : R 3 R g : R 2 R

Mehr

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska

Mehr

Aufgaben zum logistischen Wachstum. Buscharten-Aufgabe. Punktsymmetrie zum Wendepunkt. Sonnenblumen-Aufgabe. Typische Fragestellungen

Aufgaben zum logistischen Wachstum. Buscharten-Aufgabe. Punktsymmetrie zum Wendepunkt. Sonnenblumen-Aufgabe. Typische Fragestellungen Aufgaben zum logistischen Wachstum Kürbis-Aufgabe Buscharten-Aufgabe Punktsymmetrie zum Wendepunkt Sonnenblumen-Aufgabe Typische Fragestellungen Aufgaben zum logistischen Wachstum 1. Eine Untersuchung

Mehr

Motivation. Motivation 2

Motivation. Motivation 2 Grenzzyklen 1 Motivation Grenzzyklen modellieren von selbst oszillierende Systeme Stabile Grenzzyklen kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen gehen in Grenzzyklus über Beispiele: Van-der-Pol Schwingkreis

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

Modell der Punktmasse

Modell der Punktmasse Kinematik Die Kinematik (kinema, griech., Bewegung) ist die Lehre von der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch die Größen Weg (Änderung der Ortskoordinate) s, Geschwindigkeit v und

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler gehalten von Claus Diem Übungen Die Seminare / Übungsgruppen / Tutorien finden wöchentlich statt. Alle zwei Wochen am Montag wird ein Übungsblatt ausgegeben. Dies

Mehr

Kointegration. Kapitel 19. Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser

Kointegration. Kapitel 19. Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 1 / 28 Kointegration Kapitel 19 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 28 Inhalt I(d), Trends, Beispiele Spurious Regression Kointegration, common trends Fehlerkorrektur-Modell Test

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26. 02. 2015 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl (max) 28 15 15 2 60 Notenpunkte PT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max) 2 2 3 5 4 3 3 4 2 WT Ana A.1a) b) c) d) Summe P. (max) 6 4 3

Mehr

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...

Mehr

Mathematische Ökologie

Mathematische Ökologie Mathematische Ökologie Eine Zusammenfassung von Bernhard Kabelka zur Vorlesung von Prof. Länger im WS 2002/03 Version 1.04, 15. März 2004 Es sei ausdrücklich betont, dass (1) dieses Essay ohne das Wissen

Mehr

Medizinische Biophysik. Stephan Scheidegger ZHAW School of Engineering

Medizinische Biophysik. Stephan Scheidegger ZHAW School of Engineering Medizinische Biophysik Stephan Scheidegger ZHAW School of Engineering Modelle in der medizinischen Biophysik Inhalt ROETGETECHIK Teil A Systembiophysik (Kapitel 1-4) Teil B Strahlenbiophysik (Kapitel 5-8)

Mehr

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i 3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen

4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 19. Juli 2009 341 4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Schon in Abschnitt 1.4 hatten wir die Dichte einer Kugelpackung, speziell eines Gitters bzw. einer quadratischen

Mehr

74 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008

74 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 74 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 15 Flüsse Bisher wurde im wesentlichen die Abhängigkeit der Lösungen autonomer Systeme von der Zeit bei festem Anfangswert untersucht. Nun wird

Mehr

Konvexe Funktionen und Legendre-Transformation

Konvexe Funktionen und Legendre-Transformation Konvexe Funktionen und Legendre-Transformation Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x, y auch stets deren Verbindungsstrecke xy = {x +t xy 0 t 1} = {(1 t)x +ty 0 t 1} enthält.

Mehr

Kapitel 8. Rekursionsgleichungen. Landau-Symbole. Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen

Kapitel 8. Rekursionsgleichungen. Landau-Symbole. Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen Rekursionsgleichungen Landau-Symbole Kapitel 8 Lösen von Rekursionsgleichungen Allgemeines Iterationsmethode Spezialfälle Erzeugende Funktionen Kapitel 8 Rekursionsgleichungen p./42 Landau-Symbole () Modellierung

Mehr

Mathematik I für Chemie

Mathematik I für Chemie Mathematik I für Chemie Dr. Sebastian Franz WS 2012/13 sebastian.franz@tu-dresden.de Mathematik I 1 / 24 Physikalische und chemische Gesetzmäßigkeiten werden häufig mittels mathematischer Formeln beschrieben.

Mehr

Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik. Übungsaufgaben. Ellen Baake, Mareike Esser Sommersemester 2014

Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik. Übungsaufgaben. Ellen Baake, Mareike Esser Sommersemester 2014 Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Übungsaufgaben Inhaltsverzeichnis Übungsblatt 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 1 Aufgabe 1.1 AWP ẏ = cy 2, Lösung bestimmen,

Mehr