Gewöhnliche Dierentialgleichungen

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1 Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat die Form x (n) (t) = F (x (n 1) (t),..., x (t), x(t), t) mit einer Funktion F : R n+1 R. Von einem Anfangswertproblem (AWP) spricht man, wenn zusätzlich die Anfangsbedingung x (n 1) (t 0 ) = x n 1,..., x (t 0 ) = x 1, x(t 0 ) = x 0 für ein t 0 R gefordert wird. dgl1.pdf, Seite 1

2 Beispiele für Dierentialgleichungen 1. Ordnung x (t) = 2x(t), d. h. gesucht ist eine Funktion x(t), deren Ableitung das zweifache der Funktion selbst ist. Hier ist n = 1 und F (x, t) = 2x. Durch Probieren erhält man z. B. die Lösungen x 1 (t) = 0, x 2 (t) = e 2t und x 3 (t) = 2e 2t. Die allgemeine Lösung ist x(t) = c e 2t mit c R beliebig (d. h. jede Funktion x(t), welche die DGL erfüllt, hat die Form x(t) = c e 2t mit einer Konstanten c R). Betrachtet man nun z. B. das AWP mit x(0) = 1, so erhält man als eindeutige Lösung x(t) = e 2t. Die DGL x (t) = t 2 hat alle Stammfunktionen von t 2 als Lösung, d. h. die allgemeine Lösung ist x(t) = 1 3 t 3 + c mit c R beliebig. Hier ist F (x, t) = t 2. Die Integrationskonstante c R kann durch eine Anfangsbedingung x(t 0 ) = x 0 eindeutig festgelegt werden. dgl1.pdf, Seite 2

3 Verschiedene Lösungen x(t) = 1 3 t 3 + c von x = t 2 Eine Anfangsbedingung x(t 0 ) = x 0 gibt einen Punkt (t 0, x 0 ) in der (t, x)ebene vor, durch den der Graph der Lösung gehen soll. Dadurch wird aus der durch die allgemeine Lösung denierten Kurvenschar eine eindeutig bestimme Lösungskurve ausgewählt. dgl1.pdf, Seite 3

4 Weitere Beispiele mit Ordnung n = 1 Bei der DGL x = 3t 2 x ist F (x, t) = 3t 2 x. Die allgemeine Lösung ist x(t) = c e t 3 mit c R. Die Wachstumgleichung x = a x mit einer Konstanten a > 0 modelliert die zeitliche Entwicklung einer Gröÿe, deren Wachstum proportional zum aktuellen Bestand ist. Dabei ist F (t, x) = ax. Die allgemeine Lösung ist x(t) = c e at mit c R. Beschränktes Wachstum kann mit der DGL x = x (1 x) beschrieben werden. Hier ist die allgemeine Lösung x(t) = 1 1+c e t mit c R. dgl1.pdf, Seite 4

5 Beispiel: Lösung von Wachstumsgleichungen dgl1.pdf, Seite 5

6 Weitere Lösungen x(t) = c e t der DGL x = x dgl1.pdf, Seite 6

7 Weitere Lösungen x(t) = 1 1+c e t der DGL x = x (1 x) dgl1.pdf, Seite 7

8 Beispiel x (t) = x(t) ist eine DGL 2. Ordnung mit F (x, x, t) = x. Lösungen sind z. B. x 1 (t) = sin t und x 2 (t) = cos t. Aus der Linearität der Ableitung (Konstanten- und Summenregel) folgt, dass dann auch x(t) = c 1 sin x + c 2 cos x für beliebige Konstanten c 1 und c 2 Lösung der DGL ist. Man kann zeigen, dass jede Lösung diese Form hat, d. h. x(t) = c 1 sin x + c 2 cos x mit c 1, c 2 R ist die allgemeine Lösung. Eine Anfangsbedingung der Form x(t 0 ) = x 0 reicht jetzt nicht mehr aus, um beide Parameter c 1 und c 2 eindeutig festzulegen. Daher gehört zu einen Anfangswertproblem eine zweite Bedingung, die typischerweise die Form x (t 0 ) = x 1 hat, d. h. Funktionswert und Steigung werden in einem Punkt t 0 vorgegeben. dgl1.pdf, Seite 8

9 Lösungskurven der DGL x = x x(t) = c 1 sin x + c 2 cos x Hier reicht die Vorgabe eines Punktes (t 0, x 0 ) nicht mehr aus, um eine Lösung eindeutig festzulegen. Wird zusätzlich die Steigung in diesem Punkt vorgegeben, so wird die Lösung des entsprechenden Anfangswertproblems wieder eindeutig. dgl1.pdf, Seite 9

10 Beispiel: Schwingungsgleichung x = 2x 5x ist eine DGL 2. Ordnung mit F (x, x, t) = 2x 5x. Die Lösungen sind gedämpfte Sinunsschwingungen der Form ) x(t) = e (c t 1 cos 2t + c 2 sin 2t dgl1.pdf, Seite 10

11 Beispiel x = 2x 5x + sin t ist eine DGL 2. Ordnung mit F (x, x, t) = 2x 5x + sin t. Die allgemeine Lösung ist ) x(t) = (c 1 cos t + 1 sin t e t 1 cos 2t + c 2 sin 2t dgl1.pdf, Seite 11

12 Bemerkung Die allgemeine Lösung einer DGL n-ter Ordnung enthält typischerweise n frei wählbare Parameter c 1,..., c n R Ein AWP ist unter relativ allgemeinen Voraussetzungen eindeutig lösbar (Satz von PicardLindelöf), die Anfangsbedingung x (n 1) (t 0 ) = x n 1,..., x (t 0 ) = x 1, x(t 0 ) = x 0 legt dabei den Wert der frei wählbaren Parameter fest. Dabei ist die Lösung auf einem oenen Intervall (a, b) mit a < t 0 < b deniert. Die Fälle a = und b = sind möglich, jedoch ist die Lösung nicht immer auf ganz R deniert. dgl1.pdf, Seite 12

13 Beispiel Die DGL x (t) = x(t) 2 hat die allgemeine Lösung x(t) = 0 oder x(t) = 1 mit c R (sowie als Sonderfall zusätzlich die t+c konstante Funktion x(t) = 0 als spezielle Lösung). Ist z. B. die Anfangsbedingung x(0) = 1 vorgegeben, muss c = 1 gelten (einsetzen ergibt 1 = x(0) = 1 = 1 c = 1). 0+c c Damit hat das AWP x (t) = x(t) 2 mit x(0) = 1 die eindeutige Lösung x(t) = 1 = 1 t 1 1 t. Der Dentionsbereich der Lösung ist dabei das maximale Intervall, auf dem x(t) dierenzierbar ist und die DGL erfüllt, in diesem Fall also (, 1). Somit ist a = und b = 1. Die Funktion f (t) = 1 t 1 für t > 1 zählt nicht mehr zur Lösung, da f (t) zwischen t 0 = 0 und t nicht durchgängig deniert ist. dgl1.pdf, Seite 13

14 Beispiel Verschiedene Lösungskurven der DGL x = x 2. Die allgemeine Lösung ist x(t) = 1 mit dem Parameter c t c R, dessen Wert duch eine Anfangswertbedingung festgelegt werden kann. dgl1.pdf, Seite 14

15 Autonome Dierentialgleichungen Die DGL heiÿt autonom, wenn die rechte Seite nicht explizit von t abhängt, also x (n) (t) = F (x (n 1) (t),..., x (t), x(t)) Beispiele x = 2x, x = x (1 x), x = x, x = 2x 5x und x (t) = x(t) x (t) sin x (t) 1+cos 2 x(t) sind autonome Diernzialgleichungen. Dagegen sind x = t 2, x = t 2 x, x = t x und x = 2x 5x + sin t nicht autonom. dgl1.pdf, Seite 15

16 Dierentialgleichungen 1. Ordnung haben die allgemeine Form x (t) = F (x(t), t) bzw. kurz x = F (x, t), wobei F eine Funktion in zwei Variablen x und t ist. Im Fall x = F (x) liegt eine autonome DGL 1. Ordnung vor. Dierentialgleichungen 1. Ordnung lassen sich oft explizit lösen. Die wichtigsten Lösungsansätze dafür sind: geometrisch mittels Richtungsfeld Trennung der Variablen Wichtiger Spezialfall: Lineare Dierentialgleichungen dgl1.pdf, Seite 16

17 Richtungsfeld Durch x (t) = F (x, t) ist die Steigung einer Lösung x(t) in jedem Punkt der t, xebene vorgegeben. Dies kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden. x(t) ist genau dann Lösung der DGL, wenn die Linienelemente des Richtungsfeldes in jedem Punkt tangetial zum Graphen von x(t) sind. dgl1.pdf, Seite 17

18 Richtungsfeld von x = x dgl1.pdf, Seite 18

19 Richtungsfeld für x = 1 x + sin 3t 2 dgl1.pdf, Seite 19

20 Trennung der Variablen ist ein Ansatz, mit dem sich viele Dierentialgleichungen 1. Ordnung lösen lassen. Beispiel 1: x (t) = t x(t) = 2t c mit c R 3 Beispiel 2: x (t) = x(t) 2 x (t) x(t) 2 = 1 Durch Intergration beider Seiten mit der Substitution y = x(t) folgt t + c = 1 dt = 1 x(t) 2 x (t) dt = dy y 2 = 1 y = 1 x(t) Auösung der Gleichung t + c = 1 x(t) Lösung x(t) = 1 t+c. Beispiel 3: x (t) = t x(t) 2 x (t) x(t) 2 Durch Integration erhält man nun 1 x(t) = t dt = 2 3 t 3/2 + c x(t) = nach x(t) ergibt die = t 1 2 t 3/2 +c 3 dgl1.pdf, Seite 20

21 Allgemeiner Ansatz Hat eine DGL die Form x (t) = g(t) h(x(t)), d. h. die rechte Seite lässt sich als Produkt eines von t abhängigen und eines von x abhängigen Teils schreiben (die Variablen x und t können getrennt werden), so erhält man x (t) = g(t) h(x(t)) x(t) h(x(t)) = g(t) x(t) h(x(t)) dt = g(t) dt Im linken Integral kann die Substitution y = x(t) dy = x (t) dt gemacht werden. Ist H(y) eine Stammfunktion von 1 und G(t) eine Stammfunktion von h(y) g(t), so folgt H(x(t)) = G(t) + c. Wenn sich diese Gleichung nach x(t) auösen lässt, hat man die Lösung der DGL. dgl1.pdf, Seite 21

22 Notation mit Dierentialen Die Vorgehensweise wird übersichtlicher, wenn man Dierentiale betrachtet: Gegeben sei die DGL x (t) = g(t) h(x(t)) dx dt Durch Umstellung erhält man dx = g(t) dt h(x) dx h(x) = g(t) dt + c = g(t) h(x) Findet man auf beiden Seiten eine Stammfunktion, so erhält man eine Lösung der DGL, indem man obige Gleichung nach x auöst. Bemerkung Die beiden Integrationskonstanten links und rechts können zu einer Konstanten c zusammengefasst werden, die auf der rechten Seite notiert wird. dgl1.pdf, Seite 22

23 Beispiele Die vorigen Beispiele sehen in Dierentialschreibweise wie folgt aus: Beispiel 1: x = t dx = t dx = t dt dt t dx = dt x = 2 t c 3 Beispiel 2: x = x 2 dx = x 2 dx = dt dt x 2 dx x = dt 1 2 x = t + c x = 1 t + c Beispiel 3: x = t x 2 dx = t x 2 dx = t dt dt x 2 dx t x = 1 dt 2 x = 2t c x = t c 3 dgl1.pdf, Seite 23

24 Weitere Beispiele x = ( ) t 2 = t 2 1 x 2 dx = t 2 dt x x 2 x 2 dx = t 2 dt 1x 3 = 1t 3 + c 3 3 x(t) = 3 t 3 + c mit c = 3c x = dx dt = ex cos t 1 e x dx = cos t dt e x dx = cos t dt e x = sin t + c x = ln( sin t c) x = ln( sin t c) Hier sind Lösungen nur deniert, wenn sin t c > 0. x = (t + 1) x = t + 1 x x 1/2 dx = (t + 1) 1/2 dt x 1/2 dx = (t + 1) 1/2 dt 2 x = 2 3 (t + 1)3/2 + c x(t) = ( 1 3 (t + 1)3/2 + c ) 2 dgl1.pdf, Seite 24

25 Bemerkung Um alle Lösungen einer DGL zu bekommen, müssen oft Sonderfälle, bei denen die benutzten Gleichungsumstellungen nicht zulässig sind, getrennt betrachtet werden. Anmerkung: Zur Lösung der von mir hier gestellten Aufgaben werden solche Sonderbetrachtungen nicht verlangt. Beispiel Die Lösung der DGL x = x 2 mit dem Ansatz dx = x 2 dx dx = 1 dt x = 1 dt x 2 t+c funktioniert nur, wenn für eine Lösung x(t) 0 angenommen wird. Da die konstante Funktion x(t) = 0 ebenfalls Lösung ist (Beweis durch einsetzen), lautet die allgemeine Lösung der DGL x(t) = 0 oder x(t) = 1 t+c mit c R dgl1.pdf, Seite 25

26 Allgemein gilt Ist h(x 0 ) = 0 für ein x 0 R, so ist die konstante Funktion x(t) = x 0 Lösung der DGL x = g(t) h(x). Man spricht von einer stationären Lösung. Beispiel Die DGL x = (1 x 2 ) cos t hat die stationären Lösungen x 1 (t) = 1 und x 2 (t) = 1. Weitere (nichtkonstante) Lösungen erhält man durch Trennung der Variablen. dgl1.pdf, Seite 26

27 Anfangswertprobleme Ist die Anfangsbedingung x(t 0 ) = x 0 vorgegeben, so kann erst die allgemeine Lösung der DGL bestimmt werden. Die spezielle Lösung des AWP wird dann bestimmt, indem die Anfangsbedingung eingesetzt wird, wodurch die frei wählbare Konstante c festgelegt werden kann. Beispiel Gesucht ist eine Lösung des AWP x = e x cos t mit x(0) = 1. Die allgemeine Lösung der DGL ist x(t) = ln( sin t c). Einsetzen der Anfangsbedingung liefert 1 = x(0) = ln( sin 0 c) = ln( c) ln( c) = 1 c = e 1 c = 1 e Also ist x(t) = ln ( sin t + 1 e) Lösung des AWP. dgl1.pdf, Seite 27

28 Alternative Durch Betrachtung bestimmter Integrale bei der Trennung der Variablen kann die Lösung eines AWP ohne den Umweg über die allgemeine Lösung bestimmt werden: Beispiel dx dt = g(t) h(x) und x(t 0) = x 0 x x 0 dξ h(ξ) = t t 0 g(s) ds Lösung des Anfangswertproblems x (t) = x t mit x(1) = 2: x 2 dξ t ξ = s ds ln x ln 2 = t ln x = ln t 2 x(t) = e ln e t2 2 = 2 e e t2 2 dgl1.pdf, Seite 28

29 Bemerkungen Der Denitionsbereich der Lösung ergibt sich als das maximale Intervall um t 0, auf dem x(t) dierenzierbar ist. Zum Beispiel hat das AWP x = 2t x 2 mit x(0) = 1 die Lösung x(t) = 1 1 t 2. Diese Funktion hat Pole in t = 1 und t = 1 und ist daher nur für t ( 1, 1) Lösung des AWP. Der Ansatz der Variablentrennung setzt voraus, dass sich die rechte Seite der DGL als Produkt eines nur von x abhängigen Anteils und eines nur von t abhängigen Anteils schreiben lässt. Es gibt Verallgemeinerungen, die in Situationen eine Lösung liefern, wo die rechte Seite der DGL x = F (x, t) nicht die Form F (x, t) = g(t) h(x) hat. Dazu werden geeignete Variablensubstitutionen benutzt. dgl1.pdf, Seite 29

30 Lineare Dierentialgleichungen Eine wichtige Klasse sind lineare Dierentialgleichungen 1. Ordnung in der allgemeinen Form x + p(t) x = g(t) mit stetigen Funktionen p(t) und g(t). Bemerkung: Die Funktionen p(t) und g(t) müssen nicht linear sein. Der Begri linear bezieht sich lediglich auf die Abhängigkeit von x. Spezialfälle Die Gleichung heiÿt homogen, wenn g(t) 0. Man spricht von einer linearen DGL mit konstantem Koezienten, wenn der Koezient p(t) p nicht von t abhängt (die rechte Seite g(t) darf dabei von t abhängen). dgl1.pdf, Seite 30

31 Beispiele x + 2x = 0 ist eine homogene lineare DGL mit konstantem Koezienten p = 2. x = t 2 + x x x = t 2 ist eine inhomogene lineare DGL mit konstantem Koezienten p = 1 und der Inhomogenität g(t) = t 2. x x 2 = t ist wegen dem Term x 2 keine lineare DGL. x + 2tx = 0 ist eine homogene lineare DGL mit nichtkonstantem Koezienten p(t) = 2t. x t 2 sin t x = e t 2 ist eine inhomogene lineare DGL mit nichtkonstantem Koezienten p(t) = t 2 sin t und der Inhomogenität g(t) = e t 2. x = t (x t) x t x = t 2 ist eine inhomogene lineare DGL mit nichtkonstantem Koezienten p(t) = t und der Inhomogenität g(t) = t 2. dgl1.pdf, Seite 31

32 Homogene lineare DGL x + p(t) x = 0 Durch Trennung der Variablen erhält man dx x = p(t) x x = p(t) dt ln x = P(t) + c, wobei P(t) eine Stammfunktion von p(t) ist. Jetzt sind 3 Fälle zu unterscheiden: (1) x(t) > 0 ln x = P(t) + c x(t) = e c e P(t) (2) x(t) < 0 ln( x) = P(t) + c x(t) = e c e P(t) (3) x(t) = 0 ist als Sonderfall eine konstante Lösung. Alle 3 Fälle lassen sich zur allgemeinen Lösung zusammenfassen. x(t) = c e P(t) mit c R beliebig dgl1.pdf, Seite 32

33 Beispiel 1 Die DGL x x cos 5t = 0 hat die allgemeine Lösung x(t) = c cos 5t e = c e 1 sin 5t 5 mit c R. Lösungskurven für verschiedene Werte des Parameters c R dgl1.pdf, Seite 33

34 Beispiel 2 x + x sin t = 0 hat die allgemeine Lösung x(t) = c e cos t mit c R. Spezialfall konstanter Koezient Ist zusätzlich p(t) p R, so folgt für die Lösung der DGL x + px = 0 x = px x(t) = c e pt mit c R Beispiel x = 2x x + 2x = 0 hat die allgemeine Lösung x(t) = c e 2t mit c R. dgl1.pdf, Seite 34

35 Inhomogene Gleichung mit konstantem Koezienten Für die Lösung der DGL x + px = g(t) macht man den Lösungsansatz x(t) = k(t) e pt Variation der Konstanten Mit der Produktregel folgt dann x (t) = k (t) e pt p k(t) e pt Andererseits ergibt sich aus der DGL x (t) = p x(t) + g(t) = p k(t) e pt + g(t) Setzt man beide Ausdrücke gleich, so folgt k (t) e pt = g(t) k (t) = g(t) e pt und somit ( k(t) = g(t) e pt dt+c x(t) = e pt ) g(t) e pt dt + c dgl1.pdf, Seite 35

36 Beispiel Die DGL x + 2x = t hat die Lösung ( ) x(t) = e 2t t e 2t dt + c = e 2t ( 1 2 te2t 1 4 e2t + c ) = 1 2 t c e 2t mit c R beliebig. (Das Integral wurde mittels partieller Integration gelöst.) Struktur der Lösung Man stellt fest, dass sich die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL x + px = g(t) aus einer speziellen Lösung (im Beispiel x s (t) = 1 2 t 1 4 ) plus der durch x h(t) = c e pt gegebenen allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen DGL x + px = 0 zusammensetzt. dgl1.pdf, Seite 36

37 Beispiel Verschiedene Lösungskurven 1 2 t c e 2t der DGL x + 2x = t. dgl1.pdf, Seite 37

38 Ansätze zur Bestimmung spezieller Lösungen von x + px = g(t) Ist g eine lineare Funktion der Form g(t) = at + b, so gibt es immer eine Lösung der Form x s (t) = αt + β mit geeigneten α, β R. allgemeiner: Ist g(t) ein Polynom vom Grad n, so gibt es eine Lösung x s (t), die ebenfalls ein Polynom vom Grad n ist. Ist g eine Exponentialfunktion der Form g(t) = ae bt mit b p, so gibt es eine Lösung der Form x s (t) = αe bt. Hat g die Form g(t) = a cos ωt + b sin ωt, so gibt es eine Lösung der Form x s (t) = α cos ωt + β sin ωt. Eine solche Lösung kann durch Einsetzen der Ansatzfunktion in die DGL, was Gleichungen für die gesuchten Koezienten α und β liefert, bestimmt werden. dgl1.pdf, Seite 38

39 Beispiel x + 2x = 1 + 2t Der Ansatz x s (t) = αt + β x s(t) = α führt zu x s(t) + 2x s (t) = 1 + 2t α + 2(αt + β) = 1 + 2t 2α t + α + 2β = 1 + 2t Damit diese Gleichung für alle t erfüllt ist, muss sowohl als auch 2α = 2 α = 1 α + 2β = 1 2β = 1 α gelten. Mit α = 1 folgt aus der zweiten Gleichung β = 0, also ist x s (t) = t. Mit x h (t) = ce 2t (Lösung der homogenen Gleichung x + 2x = 0) ist die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL somit x(t) = x s (t) + x h (t) = t + ce 2t mit c R. dgl1.pdf, Seite 39

40 Beispiel x + 2x = t Der Ansatz x s (t) = αt 2 + βt + γ x s(t) = 2αt + β führt zu 2αt + β + 2αt 2 + 2βt + 2γ = t α = 1, 2α + 2β = 0 und β + 2γ = 1 Dies ist ein lineares Gleichungssystem für α, β und γ mit der Lösung α = 1 2, β = α = 1 2 und γ = 1 2 (1 β) = 3 4, also ist x s (t) = 1 2 t t Die allgemeine Lösung der DGL ist somit x(t) = x s (t) + x h (t) = 1 2 t t ce 2t mit c R. dgl1.pdf, Seite 40

41 Beispiel x + 2x = 2e 3t Der Ansatz x s (t) = αe 3t x s(t) = 3αe 3t führt zu 3αe 3t + 2αe 3t = 2e 3t (5α 2) e 3t = 0 5α = 2 α = 2 x 5 s(t) = 2 5 e3t Die allgemeine Lösung der DGL ist somit x(t) = x s (t) + x h (t) = 2 5 e3t + ce 2t mit c R. dgl1.pdf, Seite 41

42 Beispiel x + 2x = sin 3t Der Ansatz x s (t) = α sin 3t + β cos 3t x s(t) = 3α cos 3t 3β sin 3t liefert 3α cos 3t 3β sin 3t + 2α sin 3t + 2β cos 3t = sin 3t Durch Koezientenvergleich erhält man das lineare Gleichungssystem { 3α + 2β = 0 2α 3β = 1 mit der eindeutigen Lösung α = 2 13 und β = Die allgemeine Lösung der DGL ist somit x(t) = x s (t) + x h (t) = 2 13 sin 3t 3 13 cos 3t + ce 2t mit c R. dgl1.pdf, Seite 42

43 Einige Lösungen von x + 2x = sin 3t Da der Lösungsanteil c e 2t exponentiell gegen 0 strebt, münden alle Lösungen in die spezielle Lösung x s (t) mit c = 0 ein. dgl1.pdf, Seite 43

44 Bemerkung Die allgemeine Lösung einer DGL der Form x + px = g 1 (t) + g 2 (t) setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung x h (t) = c e pt der homogenen DGL x + px = 0, einer speziellen Lösung x 1 (t) der DGL x + px = g 1 (t) und einer speziellen Lösung x 2 (t) der DGL x + px = g 2 (t). Beispiel Die DGL x + 2x = t } 2 {{ + 1 } + sin }{{ 3t } hat die allgemeine Lösung g 1 (t) g 2 (t) x(t) = 1t 2 1t }{{} sin 3t 3 cos 3t + ce }{{}}{{ 2t } x x 1 (t) x 2 (t) h (t) mit c R. dgl1.pdf, Seite 44

45 Anfangswertprobleme werden gelöst, indem man durch Einsetzen der Anfangsbedingung die Konstante c bestimmt. Dabei ist zu beachten, dass die frei wählbare Konstante c immer als Faktor an der Lösung am von der homogenen DGL kommenden Lösungsanteil x h (t) auftritt. Die durch die vorgestellten Ansätze vom Typ der rechten Seite bestimmten speziellen Lösungen x s (t) enthalten grundsätzlich keine freien Parameter. dgl1.pdf, Seite 45

46 Beispiel 1 Gesucht ist eine Lösung von x + 2x = t mit x(0) = 0. Einsetzen in die allgemeine Lösung x(t) = 1t 2 1t ce 2t liefert 0 = x(0) = c e0 = c c = 3 4 Also lautet die (eindeutige) Lösung des Anfangswertproblems x(t) = 1 2 t t e 2t Beispiel 2 Zum AWP x + 2x = 2e 3t mit x(0) = 1 wird die Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung x(t) = 2 5 e3t + ce 2t eingesetzt: 1 = x(0) = 2 5 e0 + ce 0 = c c = 3 5. Also ist die Lösung des AWP x(t) = 2 5 e3t e 2t dgl1.pdf, Seite 46

47 Allgemeine lineare DGL x + p(t)x = g(t) Auch hier führt der Ansatz der Variation der Konstanten zum Erfolg: Dir allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen DGL mit g(t) 0 ist x h (t) = k e P(t) mit k R, wobei P(t) eine Stammfunktion von p(t) ist. Bei der Lösung der inhomogenen DGL führt der Ansatz x(t) = k(t) e P(t) zu k (t) = g(t) e P(t) und somit k(t) = g(t) e P(t) dt + c. Für die Lösung der DGL folgt die allgemeine Formel ( ) x(t) = e P(t) k(t) = e P(t) g(t) e P(t) dt + c dgl1.pdf, Seite 47

48 Beispiel x + 3 t x = 2t 2 P(t) = 3 ln t ist Stammfunktion von p(t) = 3 t, wobei e P(t) = e 3 ln t = t 3 und e P(t) = e 3 ln t = t 3. Mit g(t) = 2t 2 erhält man k(t) = g(t) e P(t) dt = 2t 2 t 3 dt = 2 t 5 dt = 1t 6 +c 3 und damit als allgemeine Lösung der DGL x(t) = e P(t) k(t) = t 3 ( 1 3 t 6 + c ) = 1 3 t 3 + c t 3 Bemerkung mit c R Auch im allgemeinen Fall gilt: Die allgemeine Lösung setzt sich aus einer speziellen Lösung (im Beispiel x s (t) = 1 3 t 3 ) und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DGL (im Beispiel x h (t) = c t 3 ) zusammen. dgl1.pdf, Seite 48

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