Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.

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1 Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte w vo w d bereche Se das Prodkt ww. b) Bereche Se de Absoltbetrag w vo w d de Absoltbetrag w vo w. c) Stelle Se de komplexe Zahl w der Form x y dar. d) Stelle de komplexe Zahl w w der Form x y dar.. Komplexe Zahle kartessche Form, Polarform d Expoetalform Stdere Se de folgede Zsammefassg der verschedee Darstellge komplexer Zahle: We der Vorlesg behadelt, lässt sch jeder komplexe Zahl, de kartesscher Form x y gegebe st, der Absoltbetrag r d der Polarwkel we folgt bereche: x arccos, falls y 0 r r x y d. x arccos, falls y 0 r Wrd de Zahl x y als Pkt Z der Gaßsche Zahleebee dargestellt wrd, so etsprcht r dem Abstad des Pktes Z vom Koordatersprg O, währed der Wkel st, de de Strecke OZ mt der reelle Achse eschleßt. Legt der Absoltbetrag r d der Polarwkel eer komplexe Zahl vor, so ka dese Polarform dargestellt werde: r cos s. De Polarform lässt sch de sogeate Expoetalform mforme: rexp r e. De ach eem Resltat vo Leohard Eler glt e cos s. De Expoetalform erlechtert de Mltplkato komplexer Zahle sehr: We we komplexe Zahle Expoetalform gegebe sd also etwa r e d r e, so glt ach dem Expoetalgeset (vgl. Kaptel 8 der Vorlesg) rre e rre rr e. De Zahl hat also de Absoltbetrag r r d de Polarwkel. I de folgede Afgabe. d 7. se stets HFU / Dgtale Mede / Prof. Dr. T. Scheder: Mathematk, Sommersemester 0 Sete vo = + d v=.. Komplexe Zahle kartessche Form, Polarform d Expoetalform a) Stelle Se de komplexe Zahle d v als Pkte der Gaßsche Zahleebee dar. b) Bestmme Se de Zahle d v jewels de Polarwkel d de Absoltbetrag. c) Schrebe Se de Zahle d v jewels Expoetalform. d) Verwede Se de Expoetalforme, m de Prodkte, v d vv bereche. e) Bereche Se de Prodkte, v d vv och emal ter Verwedg der (rsprüglch gegebee) kartessche Darstellge.

2 . Komplexe Lösge efacher algebrascher Glechge a) Skere Se de Lösge der Glechg = als Pkt der Gaßsche Zahleebee. b) De Glechg = bestt we komplexe Lösge. Überlege Se sch geometrsch, welche des se müsse d skere Se jede deser Lösge als Pkt der Gaßsche Zahleebee. Hwes: Das Prodkt = hat de doppelte Polarwkel we. We gelte soll, so mss de Polarwkel oder beste. Des st jedefalls da der Fall, we de Polarwkel oder best. c) Gebe Se alle komplexe Lösge der Glechg = Expoetalform a d skere Se jede deser Lösge als Pkt der Gaßsche Zahleebee. Hwes: I Afgabe werde allgeme, d.h. für belebge atürlche Zahle, de Lösge der Glechge = d = w behadelt.. Ehetswrel d Lösge vo Glechge vom Typ Es se ee atürlche Zahl. De Glechg = hat da Lösge, ämlch 0 =, π = e, π = e,, k π k ( ) π = e,, = e. Hwes: De komplexe Lösge der Glechg = heße -te Ehetswrel. a) Bestmme Se de ver Lösge der Glechg Pkt der Gaßsche Zahleebee. Es se w ee komplexe Zahl mt Expoetaldarstellg = w = d skere Se jede deser Lösge als w= r e α. Da bestt de Glechg α α α de folgede Lösge: 0 = r e 0 = r e = r e, α α π α + π k k α α k π α + π k = r e = r e e = r e,, = r e = r e e = r e,, α ( ) α α π + π ( ) = r e = r e e = r e. b) Bestmme Se de dre Lösge der Glechg Pkt der Gaßsche Zahleebee. c) Bestmme Se de dre Lösge der Glechg als Pkt der Gaßsche Zahleebee. = w = 8 d skere Se jede deser Lösge als = 8 d skere Se jede deser Lösge d) Jede der folgede ver Glechge hat ver komplexe Lösge. Gebe Se dese jewels Expoetalform d kartesscher Form a: ) ) ) v) 6 ; 6 ; 6 ; 6. HFU / Dgtale Mede / Prof. Dr. T. Scheder: Mathematk, Sommersemester 0 Sete vo

3 6. Klasrafgabe vom Wtersemester 0/ a) Es se = +. Bereche Se de kartessche Darstellg der komplexe Zahl. b) Bestmme Se de Expoetaldarstellg der Zahl v = + = +. Hwes: De Expoetaldarstellg eer komplexe Zahl hat de Gestalt r e ϕ. c) Es se weterh v = +. Bereche Se kartesscher Darstellg. v Expoetaldarstellg oder d) Gebe Se alle komplexe Lösge der Glechg Hwes: =. = Expoetalform a. e) Skere Se jede deser Lösge als Pkte der Gaß sche Zahleebee. f) Skere Se m obge Dagramm ferer de komplexe Lösge der Glechg =, d war jewels mt dem Symbol. HFU / Dgtale Mede / Prof. Dr. T. Scheder: Mathematk, Sommersemester 0 Sete vo

4 7. Mltplkato mt komplexe Zahle geometrsche Detg a) Prüfe Se ach, dass 0 e glt. b) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Mltplkato eer belebge komplexe Zahl mt, also de Abbldg? Hwes: Nehme Se a, dass de Expoetaldarstellg der Zahl we folgt latet: r e. c) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Dvso eer belebge komplexe Zahl drch, also de Abbldg? Hwes: Bestmme Se ächst de Expoetaldarstellg der Zahl. d) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Mltplkato eer belebge komplexe Zahl mt, also de Abbldg? e) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Mltplkato eer belebge komplexe Zahl mt, also de Abbldg? Hwes: Bestmme Se ächst de Expoetaldarstellg der Zahl. f) Bestmme Se de Potee,, d de Prodkte v d vv ohe Rechg, dem Se Ihre Ergebsse as Afgabe.a) d b) heraehe. Es se w ee komplexe Zahl mt w =. d.h. es glt w= e α mt eem Polarwkel α. g) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Abbldg w? h) Welcher geometrsche Operato etsprcht de Abbldg? w 8. Addtostheoreme Bewese Se de (te och emal afgeführte) Addtostheoreme (vgl. Mathematk d Physk) ß ( ß) mthlfe des Expoetalgesetes e α e e α + ϕ e = cos ϕ + s ϕ : = d der Eler-Idettät ( ) ( ) ( α + β) = ( α) ( β) ( α) ( β) ( α β) = ( α) ( β) + ( α) ( β) ( α + β) = ( α) ( β) + ( α) ( β) ( α β) = ( α) ( β) ( α) ( β) cos cos cos s s, cos cos cos s s, s s cos cos s, s s cos cos s. HFU / Dgtale Mede / Prof. Dr. T. Scheder: Mathematk, Sommersemester 0 Sete vo

5 9. Komplexe Lösge qadratscher Glechge a) Gebe Se de komplexe Lösge der Glechg b) Überege Se sch davo, dass de Glechg ( ) = a = 0 äqvalet r Glechg = st. Nte Se des as, m de bede komplexe Lösge deser Glechg fde. Prüfe Se ach, ob Ihre Lösge de Glechg wrklch erfülle (Probe). c) Verwede Se ee belebge Methode Ihrer Wahl, m de bede komplexe Lösge der Glechg + + = 0 bestmme. Prüfe Se ach, ob Ihre Lösge de Glechg wrklch erfülle (Probe). d) Betrachte Se de Glechg a + b + c = 0, wobe abc,, reelle Koeffete se solle. Modfere Se de bekate Lösgsformel für qadratsche Glechge drch ee Fallterschedg, as der sch de reelle bw. komplexe Lösge ablese lasse. 0. Awedg komplexer Zahle der Elektrotechk Se kee das Ohmsche Geset U = R I, welches de Zsammehag wsche dem Spagsabfall U a eem Ohmsche Verbracher d dem Strom I drch dese Verbracher agbt. As dem Ohmsche Geset folgt sbesodere, dass ee am Wderstad alegede Wechselspage Phase mt dem drch de Wderstad fleßede Strom st. N gbt es jedoch Baelemete (m Bespel Kodesatore oder Sple), be dee m Wechselstromkres Strom d Spag cht Phase sd. So hkt der Strom drch ee Sple eer dort alegede ssförmge Wechselspag stets m ee Vertelperode hterher. Um deses Verhalte beschrebe, lässt sch ee dem Ohmsche Geset ählche Glechg afstelle, d war der Form U = Z I, wobe U, I d Z komplexe Größe sd. Zr Beschrebg eer ssförmge Wechselspag mt Kresfreqe ω sete wr () ˆ t Ut = U e ω, was Se sch als Zeger der Läge U ˆ vorstelle köe, der der Gaßsche Zahleebee mt der Wkelgeschwdgket ω rotert. Im Falle eer Sple glt Z = ωl, herbe wrd de reelle Größe L de Idktvtät der Sple geat. a) Bereche Se as der Glechg Ut () = Z It () der komplexe Wechselspag () ˆ t Ut = U e ω dem komplexe Wderstad Z = ωl ee Asdrck für de komplexe Strom It (). b) Stelle Se de Zeger für Strom d Spag m Zetpkt t = 0 dar, eche Se also de Zeger U (0) d I (0) de Gaßsche Zahleebee. Wähle Se herfür de Werte L = d ω =. c) Skere Se de Realtele vo Ut () bw. It () Abhäggket vo der Zet t. Hwes: De Realtele vo Ut () bw. It () etspreche de real beobachtbare Wechselspage bw. ströme. De komplexe Größe dee dagege der beqeme mathematsche Beschrebg. Nach erfolgrecher Probe dürfe de Aführgseche etfert werde. HFU / Dgtale Mede / Prof. Dr. T. Scheder: Mathematk, Sommersemester 0 Sete vo

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