Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.

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1 I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme f sei eine uf dem Intervll [;] definierte, positive Funktion f() G f A Wir wollen den Inhlt A der Fläche estimmen, den der Grph von f mit der -Achse und den zu und gehörendenden Ordinten einschließt. f() f() Untersumme U(6) Oersumme (6) Mn unterteilt ds Intervll [;] in n gleiche Teile der Breite =. n Die Flächensumme der n dem Grphen eineschrieenen Rechtecke der Breite heißt die Untersumme U(n) und die der umeschrieenen Rechtecke die Oersummer O(n) der Funktion f uf [; ] Es ist U(n) A O(n) Eistieren lim U(n) und lim O(n) und sind eide Grenzwerte gleich, dnn heißt f üer [;] integrierr. n Mn schreit n

2 lim U(n) = lim O(n) = n n und nennt f()d estimmtes Integrl von f üer [;]. f()d ist dnn der gesuchte Inhlt A. f()d Bezeichnungen : heißt Integrtionszeichen und die Funktion f Integrnd heißt untere und oere Integrtionsgrenze heißt Integrtionsvrile Bemerkung : Oftmls etrchtet us der Untersummen- und Oersummenfolge nur die Teilfolgen U 1, U, U 4, U 8,... und O 1, O, 4, O 8,... Bei ihnen entstehenden die Teilintervlle durch fortgesetzte Hlierung und mn spricht dher vom Intervllhlierungsverfhren.

3 1.. Beispiele A Berechnung von d für f : Sei = y Breite eines Rechtecks : = n -Koordinten der Teilpunkte :,,..., (n 1) y-koordinten der Teilpunkte :,,..., (n 1) = /n Oersumme : O(n) = n = ( n) = = ( n ) n i = n(n + 1) n i=1 = (1 + 1 n ) Untersumme : U(n) = O n = O(n) n Grenzwerte : lim O(n) = lim n n (1 + 1 n ) = lim U(n) = lim (O(n) n ) = n n Also ist d =

4 y Sei > : Dnn ist d = y = Üerprüfung mit Trpezformel : A = 1 ( + )( ) = 1 ( ) B Berechnung von d y y = ² = /n Sei = Breite eines Rechtecks : = n -Koordinten der Teilpunkte :,,..., (n 1) y-koordinten der Teilpunkte :,,..., (n 1)

5 Oersumme : O n = n = = ( n ) 3 = = n 3 n i i=1 = 3 6 (1 + 1 n )( + 1 n ) Untersumme : U = O n = S n 3 n Grenzwerte : lim O n = lim n n 3 6 (1 + 1 n )( + 1 n ) = 3 3 lim U n = lim (O n 3 n ) = 3 3 n n Also ist d = Sei > y y = ² Dnn ist d =

6 Allgemein gilt Stz :. Jede uf [;] definierte, nichtnegtive und stetige Funktion ist üer [;] integrierr.. Beweisskizze für monoton steigende Funktionen : 1. Die Oersummenfolge O(n) ist monoton fllend.. Die Untersummenfolge U(n) ist monoton steigend. 3. lim n O(n) U(n) = lim n f() f() = lim n f() f() = = lim n f() f() n = Die Intervlle U(n) ; O(n) ilden eine Intervllschchtelung.

7 1.3 Aufheung von Beschränkungen - Ergänzungen Erweiterung der Menge integrierrer Funktionen Es lässt sich zeigen : Jede uf einem Intervll [;] stetige, positive Funktion ist üer [;] integrierr. Integrtion von Funktionen mit negtiven Funktionswerten Die Definition des estimmten Integrls ist uch uf Funktionen, die uf [;] negtiv sind, nwendr. Bildet mn wie ei positiven Funktionen Oer- und Untersumme, d. h. wählt mn ls "Höhen" der Rechtecke Funktionswerte, dnn ergit sich, flls f integrierr ist, ein negtiver Wert für ds estimmte Integrl f()d, dessen Betrg gleich dem Flächeninhlt ist, den der Grph von f mit der -Achse und den zu und gehörenden Ordinten einschließt. Die isherigen Integrtionsformeln leien weiterhin gültig. Beispiel : 1 d = ( 1) 3 ( 3) = 1 9 = 4 Folgerung : Wechselt f in [;] ds Vorzeichen, dnn zählen die üer der -Achse liegenden Flächenstücke positiv, die unter der -Achse liegenden Flächenstücke negtiv zum Integrlwert. Ds ergit einen Integrlwert, der gleich der Inhltsdifferenz der oerhl und der unterhl der -Achse liegenden Flächenstücke ist. Bei Flächenerechnungen drf mn lso nicht üer Schnittstellen mit der -Achse hinweg integrieren.

8 y Wechsel der Integrtionsvrilen Ein Wechsel der Integrtionsvrilen ändert den Integrlwert nicht : f()d = f(t)dt = f(u)du etc. Verllgemeinerung der Definition des estimmten Integrls

9 Ds estimmte Integrl f()d einer integrierren Funktion f erhält mn uch, wenn mn eine einzige Folge von Rechtecken zur Approimtion enützt. Für diese Folge muss gelten ) Die Anzhl der Rnd und Teilpunkte i, i n, durchläuft eine elieige, gegen gehende Folge ntürlicher Zhlen. ) Die Breiten der Rechtecke dürfen unterschiedlich sein, müssen er mit wchsendem n gegen Null gehen. c) Die "Höhe" des i.ten, 1 i n, Rechtecks ist gleich f(z i ) mit z i [ i 1 ; i ] Dnn ist f()d = lim n n i = 1 f(z i ) ( i ) i 1.

10 1.4 Eigenschften des estimmten Integrls d = = 7 3 Vertuschen der Integrtionsgrenzen Ist f üer [;] integrierr, dnn ist f() d = f() d Begründung : Sind i 1 und i (1 i n) ufeinnderfolgende Teilpunkte ( =, n = ), dnn gilt = i i 1 < Üereinstimmende Integrlgrenzen Ist =, dnn f() d = Additivität des estimmten Integrls Ist f üer [;] integrierr, dnn ist c, < c <, f() d = f() d c + f() d c

11 Ist f üer [;] integrierr, dnn ist uch k f, k R üer [; ] integrierr, und es gilt : k f() d = k f()d k R Begründung : lim n n k f(z i ) ( i i 1 ) i=1 = lim n n k f(z i ) ( i i 1 ) i=1 = k lim n n f(z i ) ( i i 1 ) i=1 Sind f und g üer [;] integrierr, dnn ist uch f + g üer [;] integrierr, und es gilt : [f() + g()] d = f() d + g() d Beispiel : Dmit ist ( )d = Sind f und g üer [;] integrierr und ist f() g() [; ], dnn ist f() d g() d Folgerung : Sei f uf [;] stetig mit m : = min f() und M : = m f() uf [;]. Dnn gilt m( ) f() d M( ).

12 y M m G f

13 1.5 Die Integrlfunktion Definition : Die Funktion f sei uf einem offenen I definiert und stetig. Ist I, dnn heißt die Funktion Integrlfunktion zur Funktion f. f heißt Integrnd der Integrlfunktion F : f(t) dt DF = D f Beispiel: Sei F : t dt. Dnn ist F() = = y t Differenziert mn F, dnn erhält mn F '() = ', lso f n der Stelle. = = f() Ds ist kein Zufll!

14 1.6 Die Aleitung der Integrlfunktion Allgemein gilt : Eine Funktion F ist n einer Stelle differenzierr, wenn gilt lim h F( + h) F() h = lim h F( h) F() h = F '() Rechtseitige Aleitung der Integrlfunktion : Für F : f(t)dt ist F( + h) F() = +h f(t)dt f(t)dt = +h f(t)dt y M(h) m(h) h +h t Sei m(h) : = min f(t) t + h M(h) : = m f(t) t + h m(h) h Dnn gilt : m(h) f() F( + h) F(h) F( + h) F() h F ' () M(h) h M(h) f() Eine nloge Rechnung ergit f() ls linksseitige Aleitung von F.

15 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnungrechnung Die Funktion f sei uf dem offenen Intervll I definiert und stetig. Für I ist die Funktion F : f(t) dt DF = D f uf I differenzierr und es gilt F ' () = d f(t) dt = f() d In Worten : Jede Integrlfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierr. Ihre Aleitung ist gleich dem Wert des Integrnden n der oeren Grenze. Dmit ergit sich folgender Zusmmenhng zwischen einer uf einem Intervll I stetigen und differenzierren Funktion f und einer Integrlfunktion F : f(t)dt mit I : Integrnd : f : y = f() keine Fläche zw. Inhlte der Flächen oerzw. unterhl der -Achse zwischen den Integrtions-grenzen sind gleich Integrlfunktion : F : f(t)dt Nullstelle 1 positiv streng monoton wchsend negtiv streng monoton fllend Nullstelle Etrem ) Vorzeichenwechsel + Hochpunkt ) Vorzeichenwechsel + Tiefpunkt

16 c) kein Vorzeichenwechsel Terrssenpunkt monoton steigend Linkskrümmung monoton fllend Rechtskrümmung Hochpunkt Wendepunkt Tiefpunkt Wendepunkt Bechte : Jede Integrlfunktion esitzt die untere Integrtionsgrenz ls Nullstelle Beispiel : f : 1 3 F : 1 ( t 3t)dt 1

17 1.7 Stmmfunktionen, estimmte und unestimmte Integrle Für die Integrlfunktion einer üer dem Intervll [; ] integrierren Funktion f gilt d d f(t) dt = f() Ist F eine Funktion mit der Aleitung f, dnn knn sich F von oiger Integrlfunktion nur durch eine Konstnte C unterscheiden. Also f(t) dt = F() + C Einsetzen von = liefert den Wert dieser Konstnten Ds ergit f(t)dt = = F() + C C = F() f(t) dt = F() F() mit einer differenzierren Funktion F, deren Aleitung gleich f ist. Einsetzen von ergit den Wert des estimmten Integrls f(t) dt = F() F() f() d = F() F() Beispiel : 3 (3 + 1 )d = = ( ) ( 3 3 1) = 1 3

18 Definition : Jede differenzierre Funktion F mit F ' = f uf gnz D f heißt Stmmfunktion von f. Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f heißt unestimmtes Integrl von f i. Z:. f() d = F F ' = f, D F = D f Bemerkung : Jede Integrlfunktion eines Integrnden f ist eine Stmmfunktion von f, er nicht jede Stmmfunktion von f ist eine Integrlfunktion von f. Beispiel : F() = ist eine Stmmfunktion von, er keine Integrlfunktion, + 1 f() = denn diese hen die Form I() =, R Stz : Die Differenz F 1 F zweier Stmmfunktionen einer Funktion f ist uf jedem Intervll I D eine Konstnte. Beweis : (F 1 F ) ' = F 1 ' F ' = f() f() = uf einem Intervll.

19 1.8 Einige unestimmte Integrle n d = n+1 n C n N n d = n+1 n C 1, > n+1 n C, < n =, 3,... Bechte : ) Die Bestimmung des unestimmten Integrls der Funktion ist uf diese Art f : 1 = 1 nicht möglich. ) Für n < esteht die Definitionsmenge von f : n us zwei Intervllen. Die Stmmfunktionen müssen"stweise" definiert werden. Anwendung : Integrtion von Polynomen (n n + n-1 n ) d = n n+1 n+1 + n-1 n n C Allgemein gilt ei geeigneter Definitionsmenge : [f() + g()] d = f()d + g()d k f() d = k f() d, k R Weitere wichtige unestimmte Integrle : cos d = sin + C sin d = cos + C

20 Ergänzung : Die grphische Bestimmung einer Stmmfunktion von f : 1 mit, D f = R F (1) = F '() = f() = = Mit Hilfe der Tngentensteigungen lässt sich der Grph von F näherungsweise zeichnen.

21 1.9 Bestimmtes Integrl und Flächeninhlt ) Flächen zwischen einem Grphen, zwei Ordinten und der -Achse y y Liegt keine Nullstelle im Intervll ];[, dnn gilt A () = f() d Ist F eine Stmmfunktion, dnn ht sich folgendes Vorgehen ewährt A () = f() d = F() = F()- F() Üer Nullstellen die im Innern des Intervlls [;] liegen, drf nicht hinwegintegriert werden. Die Bestimmung des Flächeninhlts muss dnn schnittsweise durchgeführt werden. ) Flächen, die von einem Grphen mit der -Achse eingeschlossen werden Sind und 1 die enchrten Nully stellen, dnn gilt : 1 A = 1 f() d

22 c) Flächen zwischen zwei Grphen 1. f und g sind positiv y 1 Sind und 1 die -Koordinten der Schnittpunkte und üerschneiden sich die Grphen in ] ; 1 [ nicht, dnn gilt : A S = 1 1 f()d- g()d. f und g nehmen elieige Werte n = 1 [f()- g()] d Eine Verschieung der Grphen ins "Positive" ändert den Flächeninhlt nicht. y 1

23 1 1 A S = [f() + c]d [g() + c]d 1 = [f() g()]d

24 Ergänzungen : Symmetrieeziehung zwischen f(t) und der Integrlfunktion F() = f(t)dt Der Integrnd f ist chsensymmetrisch zur y-achse Dnn dnn ist Grph der Funktion F : f(t)dt punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. F ( ) = f(t)dt = F () = f(t)dt Die Umformung F() = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt zeigt, dss der Grph von F us dem von F durch Verschieung in y-richtung hervorgeht und dher punktsymmetrisch zu P(; f(t)dt) ist. f : + 1 F : (t + 1)dt =

25 . Der Integrnd f ist punktsymmetrisch zum Ursprung Dnn ist der Grph der Funktion F : f(t)dt F ( ) = f(t)dt = F () = f(t)dt chsensymmetrisch zum Ursprung d.h. Die Umformung F() = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt zeigt, dss der Grph von F us dem von F y-achse liegt. durch Verschieung in y-richtung hervorgeht und eenflls symmetrisch zur f : 3 F : (t 3 + t)dt = Der Integrnd f ist chsensymmetrisch zur Gerden = Dnn ist F : f(t)dt punktsymmetrisch zum Punkt P(;). 1 Die Umformung F() = punktsymmetrisch zum f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt zeigt, dss der Grph von F Punkt P(; f(t)dt) ist.

26 f : ( ) 1 = F : ( 4 + 3)dt = Der Integrnd f ist punktsymmetrisch zum Punkt P(;) Hier liegt ußer im Fll = i.. keine Symmetrie vor Prktische Anwendungen Physiklische Areit F s Wirkt eine konstnte Krft F längs eines Weges s uf einen Körper, dnn wird n diesem Körper die Areit W = F s

27 Diese Areit wird i.. ls kinetische Energie oder poten tielle Energie gespeichert zw. in innere Energie verwndelt. F F s s Flächendeutung : Die Fläche unter dem s - F - Digrmm ist ein ist gleich der verrichteten Areit. Ist die Krft F längs des Weges nicht konstnt, dnn gilt Beispiel : n W F i s oder ekt W = i=1 s 1 F(s)ds s Welche Mindestreit ist erforderlich um einen der Msse Körper m von der Erde (Erd-rdius r ) in die Entfernung r vom Erdmittelpunkt zu ringen? W = r m k r dr = - m k r r r r = km r - km r = km( 1 r - 1 r ) Mit k folgt r = g W = mg(r - r r ) Um den Körper gnz us dem Anziehungsereich der Erde zu ringen ist die Areit W = lim mg(r - r r ) = mgr r erforderlich. Diese Areit wird meist der kinetischen Energie des Körpers entzogen. Für die erforderliche Mindestgeschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) gilt dnn m v = mgr v = gr = 9,81 6, m s = 7,9 km s

28 Kinemtik Bewegt sich ein Körper mit zeithängigen Geschwindigkeit v(t) uf einer Gerden (eindimensionle Bewegung), dnn gilt für seine Entfernung (t) vom Bezugspunkt nch Aluf der Zeit T (t) = + T v(t)dt Der Mittelwert G(p) p Der Mittelwert einer prmeterhängigen Größe G(p) ht im Prmeterintervll [;] den Mittelwert G(;) = G(p)dp : ( ) Beispiel : Gleichrichtwert einer sinusförmigen Wechselspnnung T U(t) = U sinωt U = U sinωt dt T = U T 1 ω cosωt T = U T π T = U π

29 4. Volumenerechnung vom Rottionskörpern Volumen einer Scheie : V = π f( ν ) Gesmtvolumen : V = lim ν π f( ν ) Für ds Volumen des Rottionskörpers, der von der Fläche eingeschlossen wird, die entsteht, wenn der Grph einer Funktion f im Bereich [; ]um die -Achse rotiert, gilt V = π [f()] d Beispiel : Der Grph der Funktion f :, D = [; 9] rotiert um die -Achse. Bestimme den Inhlt des Rottionskörpers des von der entstehenden Fläche eingeschlossenen Körpers Lösung : V = π d = π

30 Bechte : Rotiert der Grph um die y-achse., dnn erechnet mn ds Rottionsintegrl der Umkehrfunktion zwischen den entsprechenden Grenzen. Beispiel : Der Grph der Funktion f : 1, D = [1; 5] rotiert um die y-achse. Bestimme ds Volumen des entstehenen Rottionsörpers. Lösung : 1. Umkehrfunktion : y = 1 = y + 1. Volumen V = π (y + 1) dy = π (y 4 + y + 1)dy = π y y3 3 + y = π

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