Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Transkript

1 Wirsber-Gymnasium Grundwissen Mathematik 7. Jahransstufe Lerninhalte Fakten-Reeln-eispiele Symmetrie Eienschaften der chsensymmetrie: - Zueinander symmetrische Strecken sind leich lan. - Zueinander symmetrische Winkel sind leich roß. - Der Umlaufsinn von Fiuren ändert sich. - Zueinander symmetrische Geraden sind parallel oder sie schneiden sich auf der chse. Wie konstruiert man den ildpunkt P, wenn der Punkt P und die Spieelachse eeben sind? - Zeichne einen Kreis um P, der die chse in den Punkten und schneidet. - Zeichne die Kreise k ( ; P) und k ( ; P), die sich in einem weiteren Punkt schneiden. Das ist der ildpunkt P. Wie konstruiert man die Spieelachse, wenn der Punkt P und der ildpunkt P eeben sind? - Zeichne die Kreise k( P ; r) und k ( P' ; r) mit r > PP'. - Verbinde die Schnittpunkte beider Kreise. P Die entstandene Spieelachse ist leichzeiti Mittelsenkrechte auf [PP ]. P' Der Schnittpunkt der entstandenen chse mit PP ist der Mittelpunkt der Strecke [PP ]. Wie konstruiert man die Winkelhalbierende? h - Zeichne einen Kreis um S mit beliebiem Radius, der den Schenkel im Punkt G und den Schenkel h im Punkt H schneidet. - Die Symmetrieachse zu G und H ist die Winkelhalbierende. H w S G Seite

2 Wie konstruiert man das Lot l zu einer Geraden durch einen Punkt P? - Zeichne einen Kreisboen mit Mittelpunkt P, der die Gerade zweimal schneidet. Diese Punkte heißen S und T. - Die Mittelsenkrechte von [ST] ist das esuchte Lot. P T S Eienschaften der Punktsymmetrie: - Zueinader symmetrische Strecken sind leich lan und parallel. - Zueinander symmetrische Winkel sind leich roß. - Der Umlaufsinn von Fiuren ändert sich nicht. Wie konstruiert man das Symmetriezentrum Z zu zwei zueinander punktsymmetrischen Punkten P und P? ' - Konstruiere den Mittelpunkt Z der Strecke [ PP ]. Wie konstruiert man einen Spieelpunkt zu, wenn das Symmetriezentrum Z eeben ist? - Zeichne die Halberade [ Z. - Zeichne den Kreis um Z mit r = Z. - Der Kreis schneidet [ Z in '. Zeichne ein punktsymmetrisches und ein achsensymmetrisches Viereck mit nabe des Zentrums bzw. mit allen Symmetrieachsen. z.. Paralleloramm: z.. Rechteck Z Z Seite

3 Winkelesetze Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzun. β Nebeneinander lieende Winkel heißen Nebenwinkel, sie ereben zusammen stets Geenüberlieende Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind leich roß. Doppelkreuzun: Die Winkelpaare α und α, β und β, γ und γ sowie δ und δ heißen Stufenwinkel (F-Winkel). α und γ, β und δ, γ und α sowie δ und β heißen Wechselwinkel (Z-Winkel). α und δ sowie β und γ heißen Nachbarwinkel (Eränzunswinkel, E-Winkel). Stufen- und Wechselwinkel sind enau dann leich roß, wenn die Geraden und h parallel sind. Nachbarwinkel eränzen sich enau dann zu 80, wenn und h parallel sind. Winkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der (Innen-)Winkel eribt in jedem Dreieck 80, in jedem Viereck 0. h α δ α δ α γ β β γ β α Terme Was sind Terme? Terme sind sinnvolle Zusammenstellunen von Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Termarten und eispiele: - Summen: T ( b) = b +, T( a, c) = c + 7a - Differenzen: T ( b) = b - Produkte T( x, y) = x y, T (, k, n) = (k ) ( n + 7) Zur erechnun von Termwerten werden die Variablen mit Zahlen bzw. Größen belet: k - 0 eispiel: T ( k) = k + Wertetabelle: T(k) ufstellen von Termen: eispiel: ei einer Geburtstasesellschaft stößt jeder Gast mit jedem anderen Gast an. Wie oft erklinen die Gläser, wenn n Gäste eladen sind? Was sind leichwertie (äquivalente) Terme? Zwei Terme, die bei jeder mölichen Ersetzun der Variablen durch Zahlen jeweils den leichen Termwert ereben. Seite Lösun: Jeder der n Gäste kann mit n- Gästen anstoßen. Da je zwei Gäste nur ein Gläserklinen erzeuen, eribt sich T ( n) = n( n ) als nzahl für das Erklinen von Gläsern. eispiel: äquivalente Terme: ac + 8ab und a ( c + b) a a a und a nichtäquivalente Terme: b + a und ( b + a) Termumformunen: - Umformunen nach den ültien Rechenesetzen (Kommutativ-, ssoziativ- und Distributivesetze, Klammerreeln siehe Jst. ) - Klammern auflösen: Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne weiteres welassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man die Klammer we und kehrt leichzeiti alle Rechenzeichen in der Klammer um. z.. x - (y -x) + y = x - y + x + y - Summen werden vereinfacht, indem man leichartie Summanden zusammenfasst. z.. x - y + x + y = x + x - y + y = x - ei einer Summe unleichartier Terme, etwa a + a, ist kein Zusammenfassen mölich. - ei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die leichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen, zusammenefasst.

4 Daten, Diaramme und Prozentrechnun z.. x + 7y (x) y = x + 7y x y = x + 7y y - Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert (unter erücksichtiun der Vorzeichen) und die Produkte addiert: (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd z.. (x + y)( - x) = x - 8x + 9y - xy Systematisches Lösen von Gleichunen: Mit Äquivalenzumformunen (die die Lösunsmene nicht verändern) ermittelt man eine Gleichun, die die Lösun(en) leicht erkennen lässt. Vorehen: - auf beiden Seiten den selben Term addieren bzw. subtrahieren - auf beiden Seiten den selben Term multiplizieren bzw. durch den selben Term dividieren. rithmetisches Mittel: Das arithmetische Mittel (=Durchschnitt) einer Datenreihe erhält man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann durch die nzahl der Werte dividiert. Verschiedene Diarammtypen zu obiem eispiel: eispiel: x+ = +x -x x+-x = +x-x x+ = - x+- = - x = 8 : x = eispiel: nverteilun bei einer Mathematikschulaufabe nzahl ( ) : 0 =, Säulendiaramm alkendiaramm Liniendiaramm Kreisdiaramm nzahl nzahl nzahl % 7% 7% % % 7% Konruenz und Dreiecke Grundleichun der Prozentrechnun: Prozentsatz mal Grundwert = Prozentwert eispiel: Frisch eerntete Kartoffeln enthalten 78% Wasser. Wie viel k Kartoffeln enthalten etwa l (= k) Wasser? 0,78 x = k x = k : 0,78 x, 8k Fiuren, die sich beim ufeinanderleen decken, heißen deckunsleich oder konruent. Sind zwei Fiuren F und G konruent, so schreibt man kurz: F G In konruenten Fiuren sind einander entsprechende Winkel leich roß und einander entsprechende Seiten leich lan. Konruenzsätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind konruent, wenn sie - in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS) - in einer Seite und zwei leichlieenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW) - in zwei Seiten und dem eineschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS) - in zwei Seiten und dem Geenwinkel der läneren Seite übereinstimmen (SsW). Seite

5 esondere Dreiecke. Das leichschenklie Dreieck Ein Dreieck mit zwei leich lanen Seiten (Schenkel) heißt leichschenkli. Die dritte Seite heißt asis. Jede der folenden ussaen ist leichwerti: - Das Dreieck ist leichschenkli. - Das Dreieck ist achsensymmetrisch. - Das Dreieck besitzt zwei leich roße Winkel.. Das leichseitie Dreieck Ein Dreieck mit drei leich lanen Seiten heißt leichseiti. Seine Winkel betraen jeweils 0 0. Schenkel asis Schenkel. Das rechtwinklie Dreieck Ein Dreieck hat enau dann bei einen rechten Winkel, wenn auf dem Halbkreis über [] (Thaleskreis) Die Schenkel des rechten Winkels sind die Katheten, die Geenseite des rechten Winkels ist die Hypotenuse (länste Seite). Hypotenuse liet. esondere Linien im Dreieck Jedes Dr ieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der emeinsame Schnittpunkt U der Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten. Inkreis Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Sein Mittelpunkt ist der emeinsame Schnittpunkt W der Winkelhalbierenden. W U Umkreis In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in enau einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt. H Schwerpunkt S Verbindet man in einem Dreieck einen Eckpunkt mit der eenüberlieenden Seitenmitte, so entsteht eine Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. Sie heißen deshalb auch Schwerlinien. Seite