Aufgaben zur Analysis I

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1 Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7. Itegralrechug Bitte beachte, dass du icht alle Aufgabe a diesem Wocheede mache kast. Daher solltest du dir aus jedem Thema eiige Aufgabe aussuche ud icht liear alles durchgehe. Die Aufgabe sid icht ach Schwierigkeitsgrad sortiert. Viel Spaß mit de Aufgabe ud viel Erfolg i der Klausur.

2 Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge. Negiere folgede Aussage. Sid die Aussage wahr oder falsch? a) N : 2 N. b) N : 2 = = 5 ) c) x N y Z : x y = 5 d) y Z x N : x y = 54 e) N m N p N : m p 2 p ).2 Beweise per Iduktio: a) b) c) d) ) 2 k 3 = k = ) 2, N k= k= k= kk + ) = +, 2 k=+ k= 2 k = k= k2k + ) 2, N N.3 a) Für welche N gilt 2 > 2? b) Fide de Wert vo ), N k.4 k= ud beweise per Iduktio. Utersuche die folgede Abbilduge auf Ijektivität, Surjektivität ud Bijektivität. a) f : R R, fx) := x 2 5x + 2. b) f 2 : N N, g) := 8. c) g : R R R, hy) := y, y). d) g 2 : R R R R, ix, y) := 2x 3y, x + y). 2

3 .5 Bestimme ud skizziere die folgede Mege: a) A = x R : x + > x 2 } b) B = x C : < x + 3 4} c) C = x C : x + x 2 > 0} } d) D = x C : z i z 2 Supremum, Ifimum 2. Wiederholug Wie laute die Defiitioe vo 2.2 Ifimum? Miimum? Supremum? Maximum? Bestimme jeweils das Ifimum, Supremum, Miimum ud Maximum der folgede Mege, falls diese existiere: a) M = x Q x 2 0 } b) M = x R x 3 < 27 } c) M = + 2 } N d) M = + } 2 m, m N 2.3 e) M = } N [2, 3] Bereche sup, if, mi ud max falls existet) für die folgede Mege ud beweise dies a) A := } N : ist Primzahl, b) A 2 := x 2 x [3, ) }, c) A 3 := =, + ), d) A 4 := x x 4 < 6 }, e) A 5 := π, e}, f) A 6 := [2, 2 + ]. = Wie köte ma if ) ud sup ) sivoll defiiere? 3

4 2.4 Sei M eie ichtleere, ach obe beschräkte Teilmege vo R +. Zeige: } sup M = if t t M a) Seie A R ud x R. Zeige: x < sup A a A mit x < a b) Für A B R gilt Ist B ach ute beschräkt, so gilt if A if B Ist B ach obe beschräkt, so gilt sup A sup B c) supa B) = maxsup A, sup B} a) Zeige: Ist A eie icht-leere Teilmege vo R ud gibt es ei M R, so dass a < M + ɛ für jedes ɛ > 0 ud alle a A gilt, so ist A ach obe beschräkt ud es gilt sup A M. b) Es seie A, B R icht-leer ud ach obe beschräkt. Zeige, dass die Mege A+B := a + b a A, b B} ach obe beschräkt ist ud das gilt supa+b) = supa)+ supb). c) Formuliere ud beweise die Aussage aus a) ud b) für das Ifimum. Seie S, T ichtleere, beschräkte Teilmege i R. Zeige: 3 Folge, Fuktioefolge 3. S T if T if S sup S sup T. Utersuche die Folge auf Kovergez oder Divergez. Bestimme im divergete Fall lim sup, lim if, falls sie existiere ud im kovergete Fall de Grezwert. a) lim ) 5 ) ) b) lim 5 = lim 5 c) lim d) lim + ) + e) lim f) lim + 5 4

5 3.2 Sei a 2. Die Folge a ) sei durch Rekursio defiiert: a + := 2 a + für Zeige, dass a ) koverget ist ud bestimme de Grezwert. Hiweis: Zeige zuerst a 2 N. 3.3 Sei a ) eie Folge. Welche der folgede Eigeschafte sid äquivalet dazu, dass a)... a der Grezwert vo a ) ist: ɛ > 0 0 N 0 : a a < ɛ 2 ɛ > 0 0 N : für uedlich viele 0 gilt a a < ɛ ɛ > 0 0 N 0 : a a < ɛ ɛ > 0 0 N 0 : a a < + ɛ b)... a ei Häufugspukt vo a ) ist: ɛ > 0 0 N : für uedlich viele 0 gilt a a < ɛ ɛ > 0 0 N 0 : a a < 3ɛ ɛ > 0 0 N 0 : a a < 2ɛ Kreuze a, welche logische Verküpfuge eie wahre Aussage ergebe: a ) ist koverget a ) ist beschräkt a + a ) ist Nullfolge a 2 ) ist koverget a ) ist beschräkt ud für udedlich viele gilt a + a a ) ist beschräkt ud ur für edlich viele gilt a + a 3.5 Sei a ) N defiiert durch a := ud a := 2 a + 2, für 2. Zeige: 3.6 Beweise oder widerlege: lim a = 4. a) Sei a eie beschräkte, mooto wachsede Folge. Da gilt lim = supa N} b) x ) N koverget p N : lim x +p x ) = 0 c) Sei a ) N kovergete Folge reeller Zahle mit lim a = a R. a Da ist: lim +a + 2 = a d) Sei a ) N eie Folge positiver reeller Zahle, die gege a R \ 0} kovergiert. a Da gilt lim + a = 5

6 3.7 e) Das Produkt eier kovergete ud eier beschräkte Folge ist koverget. f) Seie x ), y ) Folge i R. Es existiere der Grezwert lim x + y ). Da kovergiere auch x ) ud y ). g) Es gilt lim sup a = lim if a ) Utersuche die Fuktioefolge f : D R auf puktweise ud gleichmäßige Kovergez. a) f x) := + x2 mit D = R 3.8 b) f x) := x x 2 ) mit D = [0, ] Utersuche folgede Fuktioefolge auf puktweise ud gleichmäßige Kovergez: a) f : R R mit f x) := si x x b) f : [0, 3] R mit f x) := x [ ] 0, x + 2 x, ] 2 x x 2, 3], N c) f : [0, 2π] R mit f x) := cosx + a), wobei a > 0 fest ud N d) f : [0, ] R mit f x) := x e) f : [0, 2 ] R mit f x) := x f) f : [0, ] R mit f x) := x exp x) g) f : [0, ] R mit f x) := x 2 exp x ) + six) 4 Reihe 4. Wiederholug Defiiere folgede Begriffe: Reihe, Kovergez eier Reihe, absolute Kovergez eier Reihe. 4.2 Etscheide, welche der folgede Reihe a koverget, absolut koverget oder diverget sid: 4.3 a) Zeige, dass die Reihe = ) a = c 2 + c R) 2) a = ) ) k=2 b) Utersuche, ob die Reihe kovergiere. k log k) α ) k=2 für α > kovergiert. k 2 k log k) 2 2) k=2 log k) 3 6

7 4.4 Sei die Folge a ) N rekursiv defiiert durch a 0 := a :=, a + := a + a. Zeige, dass a x für alle x R mit x < 2 kovergiert. =0 4.5 Bereche die Kovergezradie der folgede Potezreihe: ) 3) =0 ) x 2)! x 4) = )) x =0 = x2 5 Mootoie ud Stetigkeit 5. Es seie f, g : R R. Zeige oder widerlege: 5.2 a) Sid f ud g jeweils mooto wachsed, so ist auch f + g mooto wachsed. b) Sid f ud g jeweils mooto wachsed, so ist auch f g mooto wachsed. c) Ist f streg mooto wachsed, so ist f icht beschräkt. Zeige: 5.3 a) Ist f : R R stetig i Pukt a R ud fa) > 0, so gilt fx) > 0 i eier Umgebug vo a. b) Sei I ei Itervall, f : I R mooto. Ist fi) ei Itervall, so ist f stetig. Zeige: 5.4 a) Für k N 0 ist f k : R R mit x f k x) := k si ) x, x 0 0, x = 0 stetig geau da, we k 0. Skizziere die Graphe vo f 0, f, f 2. b) Kostruiere eie mootoe Fuktio f : [0, ] R, die uedlich viele Ustetigkeitsstelle hat. Sei f :]a, b[ R stetig. Zeige, dass die folgede Aussage äquivalet sid: a) f ist auf ]a, b[ gleichmäßig stetig. b) stetige Fortsetzug f : R R vo f mit f x) = fx) x ]a, b[. 7

8 5.5 Es seie f, g : R R reelle Fuktioe, g sei stetig i 0 ud es gelte g0) = 0 ud fx) gx) x R. Zeige: f ist stetig i I welche Pukte sid die Fuktioe stetig? x, x R \ Q a) f : R R mit fx) := a, x Q b) g : R R mit gx) := max x N x} 0, x [0, ] c) h : R R mit hx) := x 2, sost 5.7 Atipodepukte Zeige: Auf dem Äquator gibt es stets zwei gegeüberliegede Pukte mit gleichem Luftdruck. 6 Differetialrechug 6. Defiiere Differezierbarkeit für eie Fuktio R R Was besage die folgede Sätze: Mittelwertsatz der Differetialrechug, der Satz vo Taylor 6.2 Utersuche die folgede Fuktioe auf Stetigkeit ud Differezierbarkeit: x + x+ a) f : R R, f x) = x+ falls x 0 falls x = x b) g : R R, g x) = 2 falls x l x ) falls x > x falls x ratioal c) h : [0, ] R, h x) = x falls x irratioal Ma beweise, dass hx) ur für x = 2 stetig ist, aber jede Wert zwische 0 ud geau eimal aimmt. 6.3 Differeziere folgede Fuktioe: a) fx) = x x2 2 + x3 3 x4 4 b) fx) = x2 x 4 c) fx) = si 2 αx) d) fx) = six) 8

9 x e) fx) = x m a m 6.4 Seie f : [, ] R ud g : [, ] R gegebe, mit gx) := x fx) für x. Zeige: 6.5 a) f beschräkt g stetig i 0 b) f stetig i 0 g differezierbar i 0 a) Zeige: Ist I R ei offees Itervall ud f : I R differezierbar i x 0 I, so gilt: f fx 0 + h) fx 0 h) x 0 ) = lim. h 0 + 2h icht im- fx 0 + h) fx 0 h) b) Zeige durch ei Gegebeispiel, dass die Existez des lim h 0 + 2h pliziert, dass f i x 0 differezierbar ist. 6.6 Beweise oder widerlege für Fuktioe f, g : R R, a R: a) f ist i a geau da stetig, we f i a stetig ist. b) f g ist i a geau da stetig, we f, g i a stetig sid. c) Eie Fuktio ist geau da stetig, we sie differezierbar ist. d) Die Umkehrfuktio eier differezierbare, bijektive Fuktio ist immer differezierbar. a) Sei f : R R, f C R). Zeige: f achsesymmetrisch puktsymmetrisch) f puktsymmetrisch achsesymmetrisch). b) Zeige: fx) = six) < x x R, x > 0 MWS). c) Beweise oder widerlege: Polyome ugerade Grades besitze immer midestes eie reelle Nullstelle. ZWS) d) Formuliere die Aussage vo Zwischewertsatz ud Mittelwertsatz umgagssprachlich. Worüber wird jeweils eie Aussage gemacht? e) Leite eie Formel für f g) her. Verallgemeiere diese da für die -te Ableitug vo f g. Sei f : R R eie differezierbare Fuktio mit f x) x R. Zeige, dass f höchstes eie Fixpukt habe ka. Hiweis: Mittelwertsatz) 6.9 Sei a < b ud f : [a, b] R stetig differezierbar mit fa) < fb), f a), f b) < 0. Zeige: c, c 2 ]a, b[ : f c ) = f c 2 ) = 0. 9

10 6.0 Bereche die folgede Grezwerte mit Hilfe des MWS 4 a) lim 2 + log ) ) b) lim e +e e c) lim cos )) d) lim a 2 3 ) 2 für a R 6. Sei g : [, ] R eie beschräkte Fuktio. Zeige, dass die Fuktio f : [, ] R mit fx) := x 2 gx) i x = 0 differezierbar ist. Bereche f 0). 6.2 a) Sei f : R R ud es existiere ei c R, so dass fx) cx 2 x R. Zeige, dass f a der Stelle x = 0 differezierbar ist. Bereche f 0). b) Sei g : R R ud es existiere L > 0, α >, so dass gx) gy) L x y α x, y R Zeige, dass g kostat ist. Hiweis: Überprüfe zuächst, ob g differezierbar ist.) 6.3 Zeige e x + x x R 6.4 Ableitug periodischer Fuktioe Eie Fuktio f : R R heißt periodisch, we es ei ω R gibt mit fx + ω) = fx) für alle x R. Zeige: Ist f periodisch ud differezierbar, da ist auch f periodisch. 7 Itegralrechug 7. Was besagt der Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug? 0

11 7.2 Bereche die folgede Itegrale: ) xx + a) m dx 2) 3) 5) 7) 9) ) 3) 5) dx 2x ) x 4 x dx 6) dx a2 x 2 8) si x ) cos 3x) dx 0) dx a2 x 2 2) cos 3 x ) dx 4) x 3 + 5x 2 + 3x + x 3 dx + x 0 2π 0 x 3 + x 4 ) 2 dx dx + 2x cos a) + x 2 0 < a < π) x x 2 dx cos ax) cos bx) dx x arcta x) dx cos 5 x) si x) dx 2x + 4 2x 2 + 8x + 7 dx a, b Z 7.3 Zeige, dass eie Regelfuktio, die a edlich viele Stelle abgeädert wird, immer och eie Regelfuktio ist mit demselbe Itegral. Zeige auch, dass dies icht gilt bei Äderug a uedlich viele Stelle. 7.4 Sid folgede Fuktioe im Itervall [0, 2] itegrierbar? Bereche gegebeefalls die Itegrale. ) f x) := x, 0 x < x 2, x 2 2) f x) := x + [x]

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