Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

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1 Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n a x +a Der Grad eines Polynoms = n = der höchste Exponent von x kartesisches Koordinatensystem: Abszisse: x-achse Ordinate: y-achse Koordinatenursprung: O= (; Graph: Menge aller geordneten Paare (x;f(x eingezeichnet in ein Koordinatensystem Schnittpunkt mit y-achse: S=(;f( Schnittpunkt vom Graph mit x-achse: N= (x ; mit f(x = Nullstellen: alle x i mit f(x i = -ein Polynom vom Grad n kann maximal n Nullstellen haben Linearfaktor: ein Term (x-a wobei a eine reelle Zahl ist Hat ein Polynom vom Grad n genau n Nullstellen x,...,x i, so zerfällt es in ein Produkt aus Linearfaktoren in der Form f(x= (x-x *(x-x *...*(x-x n lineare Funktion: f(x = mx + n wobei m = Anstieg und n = Schnittpunkt mit y-achse Rechenoperationen: Addition: Summand + Summand = Summe Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz Multiplikation: Faktor Faktor = Produkt Division: Dividend / Divisor = Quotient Binomische Formeln: (a+b(a+b = (a+b² = a² +ab +b² (a -b(a -b = (a -b² = a² -ab +b² (a+b(a -b =(a-b(a+b = a² - b² Satz des Pythagoras: c² = a² + b² - gilt nur für rechtwinklige Dreiecke - der rechte Winkel liegt zwischen den beiden kleineren Seiten (Katheten - die längste Seite c heißt Hypotenuse

2 Ableitung: Die Ableitung einer Funktion f(x ist eine Funktion f '(x, die für jede Stelle x den Anstieg von f(x angibt. Ableitungsregeln: für u(x, v(x Funktionen, x Variable und a konstant Faktorregel: f(x = a u(x f '(x = a u'(x f(x = u(x + a f(x = u(x + v(x Konstantenregel: Summenregel: f '(x = u'(x f '(x = u'(x + v'(x Potenzregel: f(x = x n f '(x = n x n- f(x = u(x v(x Produktregel: f '(x = u'(x v(x + u(x v'(x Quotientenregel: f(x = u(x f '(x = u'(x v(x - u(x v'(x v(x v(x f(x = u ( v(x Kettenregel: f '(x = v'(x u'(v(x Symmetrie: Achsensymmetrie: - zur y-achse! f(-x = f(x Beispiele: x² x x 6 + x 4 - x² + 5 Punktsymmetrie: - zum Absolutglied f(-x = - f(x Beispiele: x zu (; x 5 + x 3-7x + zu (; 5x 5-3x 3 + x zu (; x zu (;5 alle Exponenten gerade: alle Exponenten ungerade: achsensymmetrisch zur y-achse punktsymmetrisch zu (;Absolutglied

3 Monotonie: monoton steigend: - wenn a < b dann gilt f(a f(b - also ist der Anstieg positiv es gilt f '(x > monoton fallend: - wenn a < b dann gilt f(a f(b - also ist der Anstieg negativ es gilt f '(x < Extrema: -Extrempunkte können lokales Minimum bzw. Maximum sein. Der Anstieg ist dort. Minimum: f ' (x = Maximum: f ' (x = f '' (x > f '' (x < Berechnung zu gegebenem f(x:. f(x zwei mal ableiten f '(x, f ''(x. Nullstellen der Ableitung ermitteln f '(x = x,x,...,x n 3. Extrempunkt durch zugehöriges y bestimmen y i = f(x i 4. NS in zweite Ableitung einsetzen f ''(x,...f ''(x n 5. Art des Extremums bestimmen f ''(x i < (x i ;y i ist Maximum f ''(x j > (x j ;y j ist Minimum 6. Extrempunkte angeben P min = (x j,y j, P max = (x i ;y i Trigonometrie: - Der Einheitskreis wird durch die Funktion x²+y²= beschrieben. - Sinus und Kosinus sind π - periodische Winkelfunktionen Sinus gibt für einen Winkel α den y-wert des Schnittpunktes mit dem Einheitskreis an Kosinus gibt für einen Winkel α den x-wert des Schnittpunktes mit dem Einheitskreis an - daher gilt: - sin(α - cos(α sin(α² + cos(α² = π/ = 9 π = 8 3π/ = 7 π = 36 sin(α - cos(α - 3

4 Tangentengleichung: Eine Tangente am Punkt x o ist eine lineare Funktion y = m t x + n, die die Funktion f(x in x o berührt wobei gilt: m t = f '(x o Normalengleichung: Die Normale an x o ist eine lineare Funktion y = m N x + n die die Tangente in x o im rechten Winkel schneidet. Daher gilt: m N = (- / m t Berechnung zu gegebenem f(x und x o :. Funktion ableiten f '(x. Anstieg der Tangente berechnen m t = f '(x o 3. vollständigen Punkt P o (x o ;y o ermitteln y o = f(x o 4. n t durch Einsetzen von m t,x o,y o errechnen y o = m t x o + n 5. Tangentengleichung hinschreiben t: y = m t x + n t 6. Anstieg der Normalen berechnen m N = (- / m t 7.n N durch Einsetzen von m N,x o,y o errechnen y o = m N x o + n 8.Normalengleichung hinschreiben N: y = m N x + n N Kurven im Graphen: - Der Graph einer Funktion f bildet eine Rechts- bzw. Linkskurve in einem Intervall [a,b], wenn die Ableitung f '(x in [a,b] monoton fällt, bzw. wächst. - Die zweite Ableitung f ''(x gibt die Krümmung der Ausgangsfunktion f(x an Rechtskurve: f ''(x < Linkskurve: f ''(x > Der Übergang zwischen je zwei unterschiedlichen Kurven heißt Wendepunkt: f '' (x = Berechnung zu gegebenem f(x:. f(x drei mal ableiten f '(x,f ''(x, f '''(x. Nullstellen der zweiten Ableitung ermitteln f ''(x = x,x,...,x n 3. für genauen Wendepunkt zugehöriges y berechnen y i = f(x i 4. Art des Wendepunktes bestimmen f '''(x i < (x i ;y i ist LR - Kurve f '''(x j > (x j ;y j ist RL - Kurve 5. Wendepunkte angeben W i = (x i ;y i Sattelpunkte: sind Wendepunkte mit waagerechter Tangente also x : f ' (x = f ''(x = f '''(x Integration: Integrieren ist das "Gegenteil" von Differenzieren Potenzregel: f '(x = a n x n f(x = a x n F (x = a x n+ n+ Summenregel: f(x + g(x dx = f(xdx + g(x dx Faktorregel: a f(x dx = a f(x dx Partielle Integration: u v' dx = u v u' v dx Hauptsatz: 4

5 gebrochenrationale Funktion: eine Funktion mit Polynomen im Zähler und Nenner: Zähler = p(x = a n x n a o Nenner q(x b m x m b o Nullfolge: eine gebrochen-rationale Funktion bei der gilt n < m da für x gilt x m > x n und damit folgt auch lim f(x = x Polstellen: Nullstellen des Nenners q(x Asymptoten: Geraden gegen die f(x im Unendlichen konvergiert: m > n m = n m < n x-achse ist Asymptote da lim f(x Nullfolge für x ist y = a n b m Funktion geht für x ± ebenfalls gegen ± Definitionslücken: gemeinsame Nullstellen von p und q also Zähler und Nenner Vektoren: sind gerichtete Größen, die sich durch Pfeile veranschaulichen lassen Der Vektor zwischen zwei Punkten A B berechnet sich durch ā = OB OA Länge: Betrag eines Vektors ā = (a,a,a 3 ist ā = a + a + a 3 Skalarprodukt: ā ō = a o + a o + a 3 o 3 = ā ō cos (ā,ō Winkel zwischen Vektoren: ā, ō ist ermittelbar durch cos (ā,ō = ā ō ā ō a ( c Kreuzprodukt: b x y = Geraden: g: x = s + t r s Stützvektor, r Richtungsvektor, t Parameter Bsp: Gerade durch die Punkte (;; und (;3;5 Stützvektor ( 5 x ( z ( Richtungsvektor 3 = x = + t Ebenen: Parameterdarstellung E: x = p + a v + b u p Stützvektor, b z c y c x a z ( a y b x ( u, v Richtungsvektoren a,b Parameter ( Normalenform E: n x + n x + n 3 x 3 = d n = (n ; n ; n 3 Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene d gibt die Position der Ebene an p 5

6 3 Punkte Parameterdarstellung Stützvektor p=a, Richtungsvektoren u=b-a, v=c-a E: x = p + s u + t v = a + s (b-a + t (c-a Parameterdarstellung Normalenform n = u x v (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, d = n r (Skalarprodukt mit Stützvektor Normalenform 3 Punkte zwei Variablen beliebig festlegen, dritte Variable ausrechnen ein Punkt in der Ebene Beispiel: Ebene durch die Punkte (;;, (;3;5 und (3;4; Stützvektor 3 Richtungsvektoren 3 = und 4 = 3 x = + a + b ( 5 ( ( 3 4 ( 3 Normalenvektor x 3 = 4 = 7 d: 7 = (- = -4 - x + 7 y + (- z = -4 ( - ( - ( ( - ( - ( ( ( 3 ( Linearkombination: von ā,ā,ā 3 ist c ā +c ā +c 3 ā 3 lineare Abhängigkeit: ā,ā,ā 3 sind linear abhängig wenn es c,c,c 3 gibt so dass c ā +c ā +c 3 ā 3 = wobei nicht alle c i = sein dürfen Vektoren linear abhängig: beide Vektoren sind parallel, d.h. sie zeigen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung. 3 Vektoren linear abhängig: die drei Vektoren liegen in einer Ebene Lagebeziehung zweier Geraden: g : x = s + a r und g : x = s + b r Überprüfung gemeinsame Punkte: g =g gleichsetzen s + a r = s + b r lassen sich solche a,b finden dann haben g,g gemeinsame Punkte Überprüfung lineare Abhängigkeit: existiert ein c so dass: r = c r Lage gemeinsame Punkte keine gemeinsamen Punkte linear abhängig identisch parallel linear unabhängig schneiden sich windschief Geradengleichung der Koordinatenachsen: x-achse y-achse z-achse Lagebeziehung Gerade Ebene: g: x = s + t r und E: x = p + a v + b u Überprüfung gemeinsame Punkte: g = E gleichsetzen s + t r = p + a v + b u lassen sich solche a,b,t finden dann haben g und E gemeinsame Punkte Überprüfung lineare Abhängigkeit: existieren c und d, so dass: r = c v + d u Lage gemeinsame Punkte keine gemeinsamen Punkte linear abhängig g liegt in E g parallel zu E linear unabhängig g schneidet E x ( y ( ( z 6