Gleichungsarten. Quadratische Gleichungen

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1 Gleichungsarten Quadratische Gleichungen Normalform: Dividiert man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch a, erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung. x 2 +px+q=0 Lösungsformel: x 1/2 = p 2 ± (p 2 )2 q Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante D mit Die Gleichung hat für D = p2 4 q D = 0 genau eine Lösung (x 1 = x 2 = p 2 ) D > 0 D < 0 zwei Lösungen keine Lösung

2 Allgemeine Form: Jede quadratische Gleichung kann stets in folgender Form dargestellt werden: ax 2 +bx+c=0 (a 0) Man nennt diese Form allgemeine Form einer quadratischen Gleichung. Lösungsformel: x 1/2 = b± b2 4ac 2a Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante D mit D = b 2 4ac Die Gleichung hat für D = 0 D > 0 D < 0 genau eine Lösung x 1 = x 2 = b 2a ) zwei Lösungen keine Lösung

3 Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. z.b = 1 x 1 x.1 x+1+2(x-1)=(x-1)(x+1) x 2-3x=0 (x-1)(x+1) x1 = 0; x2 = 3 erfüllen die Bruchgleichung Lösung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, Äquivalenzumformungen und anschließende Prüfung der Ergebnisse.

4 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Ein lineares Gleichungssystem der Form: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 (Formvariablen a 1,a 2,b 1,b 2,c 1,c 2 R) lässt sich mithilfe des Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahrens rechnerisch nach den Lösungsvariablen x und y auflösen. Je nach Wahl der Formvariablen hat das Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Zur zeichnerischen Lösung werden die beiden Gleichungen im Koordinatensystem dargestellt. Man unterscheidet in drei Möglichkeiten: Die Geraden schneiden sich in S. Die geraden sind parallel. Die Geraden sind identisch L = {(x s,y s )} L = {} Genau eine Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen

5 Folgende Gleichungen werden wir durch die verschiedenen Verfahren nun lösen: 1. ) 3x 4x = ) 2x + 2y = 8 Zeichnerisch Um eine Lösung für die beiden Gleichungen zu erhalten, löst du beide Gleichungen nach y auf und zeichnest die erhaltenen linearen Funktionen in ein Koordinatensystem ein. 1.) 3x-4y=12-4y=12-3x y=0,75x-3 2.) 2x+2y=8 2y=-2x+8 y=-x+4 Der Schnittpunkt ist bei S(4/0).

6 Rechnerisch Gleichsetzungsverfahren Beim Gleichsetzungsverfahren muss man beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten / Variable auflösen. 1.) 3x-4y=12-4y=12-3x y=0,75x-3 2.) 2x+2y=8 2y=-2x+8 y=-x+4 Nun setzen wir die beiden Gleichungen gleich, sodass wir eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten / Variablen erhalten. Wir können das machen, da beide Gleichungen ein Ergebnis für y liefern. 0,75x-3 = -x+4 Jetzt kann man x ermitteln, indem man die Gleichung nach x auflöst. 0,75x-3=-x+4 / +3 0,75x=-x+7 / +x 1,75x=7 / 4 x=4 Die zweite Unbekannte, in diesem Fall y wird ermittelt, indem wir die Lösung für x in eine der Ursprungsgleichungen einsetzen. 1.) 3x-4y=12 (für x setzen wir jetzt die 4 ein) 3 4-4y=12 (jetzt nach y auflösen) 12-4y=12 / -12-4y=0 /: (-4) y=0 Nun haben wir den x- und den y-wert errechnet. Der Schnittpunkt lautet also S(4/0).

7 Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wir nur eine der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst. Wir lösen die zweite Gleichung diesmal nach x auf. 2.) 2x+2x=8 / -2y 2x=8-2y / :2 x=4-y Der Term, der hierbei entsteht (4-y) wird nun in die andere Gleichung für x eingesetzt, damit wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten (diesmal y) erhalten. 1.) 3x-4y=12 (für x wird jetzt der Term (4-y) eingestetzt) 3 (4-y)-4y=12 (zuerst Klammern auflösen) 12-3y-4y= y=12 / -12-7y=0 / : (-7) y=0 Um jetzt wiederum ein Ergebnis für x zu ermitteln, müssen wir das erzielte Ergebnis (y=0) in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. (Nach Möglichkeit die andere Gleichung wählen, mit der man noch nicht gerechnet hat.) 2.) 2x+2y=8 (für y setzen wir 0 ein) 2x+2 0=8 (nach x auflösen) 2x+0=8 2x=8 / :2 x=4 Nun haben wir beide Werte ermittelt. Der Schnittpunkt lautet S(4/0).

8 Ungleichungen Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein es der Ungleichheitszeichen < (kleiner), > (größer), (kleiner gleich), (größer gleich) verbunden sind. Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn man beide Seiten mithilfe von Äquivalenzumformungen verändert. ABER: Werden beide Seiten mit einer negativen Zahl c multipliziert oder durch eine negative Zahl c dividiert, bleibt die Lösungsmenge nur erhalten, wenn die Richtung des Ungleichheitszeichens umgekehrt wird! 3x < 5x 1 3x c > (5x 1) c c < 0 3x c > (5x 1): c

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