Etwas Spezielles: Zielwertsuche und Solver. Zielwertsuche
|
|
- Paula Klein
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Etwas Spezielles: Zielwertsuche und Solver Zielwertsuche EXCEL kann auch Beziehungen indirekt auflösen. Die einfache Variante ist die Zielwertsuche. Für eine bestimmte Zelle ("Zielzelle") wird ein anderer Wert ("Veränderbare Zelle") so verändert, bis in der Zielzelle ein gewünschter vorgegebener Wert erreicht ist. Wenn diese Suche wegen eines zu komplizierten Zusammenhang nicht erfolgreich ist, gibt dies EX- CEL durch eine Fehlermeldung an. 1. Beispiel (trivial): Auch ohne Computer lösen wir sofort die Aufgabe "Wie groß ist a, damit 4 Ä a = 20 gilt". Nun EXCEL: In Zelle A1 steht nichts oder ein erster Wert für a, in Zelle A2 steht die Formel " = 4 * A1". Es kann nun irgendeine Zelle markiert sein; wählen Sie die Menübefehle Extras / Zielwertsuche. Tragen Sie im Dialogfeld die Werte ein, Adressen können durch Mausklick auf die Zelle im Arbeitsblatt übertragen werden. ÄÅ ÄÇ ÄÉ Die Zielzelle A2 enthält eine Formel, die einen Zahlenwert liefert. (Die Zielwertsuche adressiert hier selbst absolut.) Der Zielwert ist 20; EXCEL soll suchen, ob es einen Wert in der veränderbaren Zelle gibt, damit die Zielzelle diesen Wert 20 erhält. Für die Suche darf der Wert in der Zelle A1 verändert werden. Wenn Sie die Suche starten und die Einfügemarke sich schon in der Zielzelle befindet, wird diese schon richtig (relativ adressiert) eingetragen. Sie können aber auch in einer anderen Zelle starten; dann müssen Sie selbst die Adresse eintragen (Mausklick auf die Zielzelle); dann wird absolut adressiert. OK startet die iterative Suche. Wie zu erwarten findet EXCEL eine Lösung und der gefundene Wert für die veränderbare Zelle A1 ist in dieser Zelle eingetragen. 2. Beispiel: Das Volumen einer Kugel ist 4 Ñ r 3 / 3. Wir suchen den Radius r zu einem vorgegebenen Volumen. In der Zelle B1 soll r stehen, in der Zelle B2 steht die Formel " = 4 * PI() * B1 * B1 * B1 / 3 ". Nun die Zielwertsuche mit der Zielzelle B2, Zielwert 10 und veränderbarer Zelle B1 liefert die Lösung für r, eingetragen in der Zelle B1. (Aufgrund der begrenzten Genauigkeit von Kommarechnungen im Computer wird ein nahe an 10 gelegener Wert für das Volumen gefunden.) Wir können mit dem Taschenrechner kontrollieren, dass für den Wert r = 1, das angegebene Volumen folgt. Zielwertsuche und Solver - Seite 1 (von 6)
2 3. Beispiel: ph-wert einer schwachen Säure. Wir verwenden die Formeln ph = - log c(h + ) und c(h + ) = KS Ö cs. EXCEL soll nun mit der Zielwertsuche bestimmen, für welche Konzentration c S der ph-wert 3,3 ist. (Natürlich wissen wir, dass man so etwas auch durch Umstellen der Formel lösen kann; c(h + ) = 10 -ph und c S = c 2 (H + ) / K S. Wir wollen aber überprüfen, ob die Zielwertsuche für diesen "umgekehrten Weg" über 2 Zellen hinweg möglich ist.) Legen Sie in einem Arbeitsblatt folgende Zellen an: Zelle C1: Zelle C2: enthält die Säurekonzentration c S als Wert 1 eingeben {falls c S = 0 führt die Formel für den ph-wert zu einem Fehler und die Zielwertsuche funktioniert nicht!} enthält die Säurekonstante K S als Wert 0,00001 oder 1,E- eingeben Zelle C3: enthält die Formel für c(h + ): = Wurzel ( C1 * C2 ) Zelle C4: enthält die Formel für den ph-wert: = - log (C3) {log tut dasselbe wie log10!} Die Zielzelle ist C4, der Zielwert ist 3,3, die veränderbare Zelle ist C1. EXCEL findet eine Lösung, und dafür den Wert der veränderbaren Zelle c S = 0,0167. Eine Zielwertsuche über 2 Formeln hinweg war möglich! Aufgabe 1: Lösen Sie die quadratische Gleichung "x 2 - x - 6 = 0" mit der Zielwertsuche! Wählen Sie verschiedene Anfangswerte im Bereich - bis + in der veränderbaren Zelle! Sie erhalten dann zwei verschiedene Werte der veränderbaren Größe. Bei Schwierigkeiten: ÄÜ Welche Formel muss in der Zielzelle stehen? á Die Funktion x 2 - x - 6 Äà Welchen Zielwert haben wir? á Der Zielwert ist 0. (Wir suchen, für welchen Wert x die Funktion x 2 - x - 6 den Wert 0 hat.) Äâ Was ist die veränderbare Zelle? á Dafür legen wir eine Zelle fest, die den Wert x aufnimmt. Auf diese Zelle greifen wir in der Formel in der Zielzelle zu. Lehrreich ist die Frage, wie die gefundenen Lösung erklärbar sind! (Warum erhalten wir für verschiedene Anfangswerte verschiedene Lösungen?) Lösung und Antwort auf die Frage: Lösung 1 Aufgabe 2: Gegeben ist eine bestimmte Anfangszahl x. Daraus werden Folgezahlen gebildet, jede davon ist jeweils 1/2 des Vorgängers. (z.b. 4; 2; 1; 0,;...) Für welchen Wert x ist die Summe der ersten 20 so gebildeten Zahlen 24690? Geben Sie als Lösung die nächstliegende Ganzzahl zum von der Zielwertsuche gefundenen Wert an! Hilfe: Die Anfangszahl x steht in der veränderbaren Zelle (möglicher Anfangswert 1). Danach müssen wir Folgezahlen mit einer Formel erzeugen, bei denen jede die Hälfte des Vorgängers ist. Schließlich schreiben wird in die Zielzelle die Formel über die 20 so erzeugten Zahlen. Für die Zielwertsuche soll der Zielwert dann sein. Hinweis: Sie erhalten für x keine Ganzzahl; runden Sie auf eine Ganzzahl und sie erhalten ein "schönes" Ergebnis! (Lösung 2) Aufgabe 3: Gegeben ist der Ausdruck "x 2 + 9x + 30". Versuchen Sie mit einer Zielwertsuche herauszufinden, für welches x der Ausdruck wird. Können Sie das gefundene Verhalten erklären, vor allem, wenn Sie ganz und gar nicht zu einem Wert für x kommen? Hinweis: Sie müssen Ähnliches wie bei der Aufgabe 1 überlegen! (Lösung 3) Zielwertsuche und Solver - Seite 2 (von 6)
3 A B C D E a = 1 b = -1 x y 2,9 11,1 18,9 27,1 y' ( y - y' ) 2 3,61 6,61 193,21 404,01 Å 666,44 Solver Wesentlich mehr Möglichkeiten als die Zielwertsuche bietet ein Zusatzprogramm "Solver". Wenn dieses Programm unter "Extras" nicht gefunden wird, müsste es über den "Add-Ins-Manager" nachinstalliert werden. 1. Beispiel: Schreiben Sie folgende Tabelle: Die Texte und Zahlen in den "weißen" Feldern sind zu schreiben. In den "grauen" Feldern stehen Formeln, die dann die angegebenen Zahlen liefern sollten! In B6: Die Geradengleichung y = a Ö x + b die Konstanten A und B stehen in den Zellen B1 und E1 die Variable x steht jeweils oberhalb; für B6 in B3 =$B$1 * B3 + $E$1 (Formel dann bis E6 ziehen) In B7: Die Abweichungsquadrate zwischen y und y' y sind die bekannten Werte der Punktewolke y' sind die mit den aktuellen Werten für a und b berecheten y-werte =(B4-B6)*(B4-B6) (Formel dann bis E7 ziehen) In B9: Die Summe der Abweichungsquadrate Als Bedingung fordert man, dass diese Summe möglichst klein sein soll =SUMME(B7:E7) Mathematisch lösen wir damit das Problem der "Trendlinie" bzw. "Regressionsgeraden", y = a Ö x + b. Die Werte x und y sind vorgegebene Datenwerte; die Werte y' werden als Gerade unter Verwendung der Konstanten a und b berechnet. Die Bestwerte von a und b liefern eine kleinste Summe der Quadrate der Abweichungen ( y - y' ). {Im Unterricht "Statistik" haben Sie sicher fertige Endformeln kennen gelernt, mit denen dieses Problem auch lösbar ist!} Hier können wir die Zielwertsuche nicht mehr verwenden: 1. Wir suchen nicht nach einem festen Wert, sondern nach einer Bedingung "Minimum". 2. Es soll nicht nur 1 Wert verändert werden, sondern 2 (a und b). Rufen Sie mit Extras / Solver das Programm auf und geben Sie die Parameter Zielzelle, Zielwert und Veränderbare Zellen ein. Mehrere veränderbare Zellen werden durch Strichpunkt getrennt angegeben. Am besten starten Sie schon mit der Einfügemarke in der Zielzelle! Druck auf die Schaltfläche "Lösen" liefert über eine (komplizierte) iterative Suche Lösung. (Zusätzlich können "Berichte" erzeugt werden, die weitere Informationen liefern. Interessant ist eventuell nur der "Antwortbericht" - sie sehen die Ausgangs- und die Lösungswerte.) Zielwertsuche und Solver - Seite 3 (von 6)
4 Im Blatt sind für die veränderbaren B1 und E1 sind die dazugehörenden Werte der Veränderbaren Zellen eingetragen: a = 4, b = -, Die Regressionsgerade hat also (gerundet) die Formel: y = 4,02 x -,1. Wir können die Lösung auch kontrollieren: Aus x und y erzeugen wir eine Punktgrafik und darin die Trendlinie. (Dies ist genau das gleiche Problem wie die eben durchgeführte Rechnung). Das Ergebnis zeigt, dass (gerundet) dieselbe Gleichung gefunden wird. Aufgabe 4: Tippen Sie die Punktewolke (x,y) ein. Diese Punkte passen genau zu einer Parabel y = a Ö x 2 + b Ö x + c. x y Bestimmen Sie mit dem Solver eine Lösung: Gesucht ist das Minimum der Summe der Quadrate der Abweichungen, ä ( y - y' ) 2. y sind die vorhandenen Datenwerte y, y' sind die mit der Funktionsgleichung zum jeweiligen x-wert berechneten y-werte. In dieser Formel kommen die Konstanten a, b, c vor; achten Sie dafür auf die richtige Adressierung! Legen Sie 3 Zellen für die 3 Konstanten an. Zielzelle ist die Summe der Abweichungsquadrate, veränderbare Zellen sind die Zellen für die 3 Konstanten. Vergleichen Sie die gefundene Lösung mit einer geeigneten Trendlinie eines Punktdiagramms. (Keine Lineare Trendlinie!) (Lösung 4) Aufgabe : Gegeben ist ein 7 x 7 - Feld, in dem einige Zellen besetzt sind. Gesucht ist eine Zelle in diesem Feld, die zu allen anderen Zellen die kleinste Summe der Entfernungen hat; Entfernung = Betrag der Differenz der Koordinaten. Hilfe: 1. Geben Sie für alle besetzten (grauen) Felder die Koordinaten x und y an. { ( 1 7 ) ; ( 7 7 ) ; ( 4 6 ) ; usw. } 2. Legen Sie 2 Zellen an für die Koordinaten der gesuchten Zelle; ich nenne diese hier ( x Z y Z ). 3. Berechnen Sie für alle Felder den Betrag des Abstands mit der Formel x - x Z + y - y Z. 4. Bilden Sie in einer Zelle die Summe der Abstandsbeträge.. Lösen Sie mit dem Solver auf das Minimum dieser Summe. (Lösung ) 7 y x Zielwertsuche und Solver - Seite 4 (von 6)
5 Lösung 1: Lösungen Äã Zelle A1 für x Äå Zelle A2 für die Formel der Funktion = A1*A1 - A1-6 " Äç Zielwertsuche für A2 mit Zielwert 0 á Für Startwerte x > 0, wird x Ç 3, für kleinere Startwerte x Ç -2 gefunden. Von einem Startwert ausgehend wird die Lösung durch Wiederholung (Iteration) gesucht; die beiden exakten Nullstellen sind -2 und +3, weil x 2 - x - 6 é (x+2) Ö (x-3). Die Suche führt zu dem Endwert, der dem Startwert am nächsten liegt. Nullstelle f(x) = x 2 - x - 6 Nullstelle Minimum Beim Start links vom Ort des Minimums bei x = 0, wird bei schrittweiser Annäherung die Nullstelle bei x = -2 gefunden, rechts davon die Nullstelle bei x = 3. Lösung 2: Zelle A1 Startwert (z.b. 1); Zelle A2 die Formel: = A1 / 2 ; diese Formel bis zur Zelle A20 herunterziehen (in dieser müsste dann also = A19 / 2 stehen). In Zelle B20 " = Summe ( A1 : A20 ) ". Zielwertsuche mit Zielzelle B20, Zielwert und Veränderbarer Zelle A1 liefert gerundet den Wert x = Lösung 3: Eine Zielwertsuche, bei der auch EXCEL überfordert ist! á Der Ausdruck ist minimal 9,7 bei x = -4,; kann also nie erreicht werden! f(x) = x 2 + 9x Gefunden wird bei günstigen ca. 9, bei ca. -4,; EXCEL findet wenigstens das Minimum, weist aber auf den Fehler hin ("u.u. nicht zulässige Lösung"). Bei ungünstigen Anfangswerten wird totaler Unsinn gefunden (z.b. è mit einem Startwert 100). Zielwertsuche und Solver - Seite (von 6)
6 Lösung 4: Im verwendeten Layout (siehe unten!) stehen die Konstanten a, b und c in den Zellen A2, B2 und C2. Die x- und y-werte sehen in B4 : I. Die y'-werte sind berechnet mit einer Formel berechnet: In B6 =$A$2*B4*B4+$B$2*B4+$C$2; die Formel ist dann bis I6 nach rechts gezogen. Formel für die Abweichungsquadrate, in B7 geschrieben und dann nach rechts gezogen: =(B-B6)*(B-B6) Formel für die Summe der Abweichungsquadrate in B8: =SUMME(B7:I7) Sie sollten bei "Lösen" ähnliche Werte erhalten. Geringe Abweichungen sind möglich, weil unter "Optionen" Details zur Berechnungsmethode einstellbar - und diese an anderen Rechnern auch anders eingestellt sein können A B C D E F G H I a b c y = ax 2 + bx + c 2-3, , x y y' 30, , , , , , , , ( y - y' ) 2 1,0643E-11 1,9937E-12 1,1921E-13 1,28744E-1 2,48169E-13 2,9836E-12 1,38634E-11 4,20717E-11 Å 7,1842E-11 Gerundet sollten Sie als Lösung erhalten: a = 2,0; b = -3,0; c = 4,0 Ein Punktdiagramm und darin eine quadratische Trendlinie ("Polynomisch, Reihenfolge 2") liefert zum Vergleich auch diese Lösung: Weil die Bestimmung der Trendlinie ein häufig benutzter Teil ist, haben die Programmierer von EXCEL offenkundig dafür einen direkten, schnelleren Weg eingebaut, und der Umweg über den Solver ist nicht nötig. Eine Suche im Internet würde Ihnen zusätzlich zeigen, dass der Solver eher für teilweise recht umfangreiche Aufgaben, z.b. im Finanzwesen, vorgesehen ist! Lösung : In den Zellen A1:B8 liegt die Tabelle der Koordinaten, mit den Überschriften x und y. Die Koordinaten der gesuchten Zelle sind in den Zellen A11 und B11. Neben den Koordinaten der bekannten Zellen wird in C2:C8 jeweils der Entfernungsbetrag berechnet: =ABS(A2-$A$11)+ABS(B2-$B$11) In der Zelle C11 die Summe davon: =SUMME(C2:C8) x y Für den Solver ist C11 die Zielzelle, der Zielwert ist "Minimum", veränderbare Zellen sind A11 und B11. á Der Solver findet eine Lösung, die je nach den Anfangswerten in den veränderbaren Zellen etwas verschieden ist. Gerundet ist aber stets die Lösung x Z = und y Z = 4. (Die Summe der Entfernungen ist dann 27; für die vielleicht als Lösung vermutete mittlere Zelle ( 4 4 ) ist die Entfernung 28.) Zielwertsuche und Solver - Seite 6 (von 6)
Arbeiten mit der Zielwertsuche
Arbeiten mit der Zielwertsuche Die Zielwertsuche ist eine Funktion, die auf einem iterativen Verfahren beruht. Iteration bedeutet Wiederholung. Im mathematischen Sinne versteht man darunter ein Rechenverfahren
MehrF u n k t i o n e n Quadratische Funktionen
F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die
MehrKurvenanpassung mit dem SOLVER
1 Iterative Verfahren (SOLVER) Bei einem iterativen Verfahren wird eine Lösung durch schrittweise Annäherung gefunden. Der Vorteil liegt in der Verwendung einfacher Rechenoperationen und darin, dass der
MehrDie Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.
Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m
MehrQuadratische Funktion - Übungen
Quadratische Funktion - Übungen 1a) "Verständnisfragen" zu "Scheitel und Allgemeine Form" - mit Tipps. Teilweise: Trotz der Tipps nicht immer einfach! Wir haben die Formeln: Allgemeine Form: y = a x 2
MehrBisher haben wir nur Gleichungen kennengelernt, die ein einfaches x beinhalten: x + 9 = 17-9 x = 8. D. Faber
Bisher haben wir nur Gleichungen kennengelernt, die ein einfaches x beinhalten: x + 9 = 17-9 x = 8 Bisher haben wir nur Gleichungen kennengelernt, die ein einfaches x beinhalten: x + 9 = 17-9 x = 8 Diese
MehrMethode der kleinsten Quadrate
1. Phase: Methode der kleinsten Quadrate Einführung Im Vortrag über das CT-Verfahren hat Herr Köckler schon auf die Methode der kleinsten Quadrate hingewiesen. Diese Lösungsmethode, welche bei überbestimmten
Mehr1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen
1. Selbsttest 1.1. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Führe die ersten drei Schritte des Heron- Verfahrens durch. Gib dann unter Verwendung der Werte
MehrKlasse 9+ (Mittelstufe Plus) Hinweise und Lösungen
Klasse 9+ (Mittelstufe Plus) Hinweise und Lösungen. a) (x + y) (x y) = x + xy + y [x xy + y ] = = x + xy + y x + xy y = 4xy b) z 3 z ) = z + z z z(z ) z (z ) (z 0; ) c) (8a 3 b) = ( 3²a3 b) = 3 4 a 6 b
Mehr1.2 Das Lösen von linearen Problemen mit Hilfe eines Computerprogramms.
1.2 Das Lösen von linearen Problemen mit Hilfe eines Computerprogramms. An Hand eines Beispiels werden wir ein lineares Problem mit Hilfe eines Computerprogramms lösen. Das hier angewandte Programm ist
MehrDoing Economics with the Computer Sommersemester 2002. Excel Solver 1
Universität Bern Kurt Schmidheiny / Manuel Wälti Doing Economics with the Computer Sommersemester 2002 Excel Solver 1 Mit dem Solver unterstützt Excel eine Funktion, mit der u.a. komplex verschachtelte
MehrHeron-Verfahren. Inhaltsverzeichnis. Beispiel. aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
1 of 7 28.05.2010 20:16 Heron-Verfahren aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Das Heron-Verfahren oder babylonische Wurzelziehen ist ein Rechenverfahren zur Berechnung einer Näherung der Quadratwurzel
MehrSkript EXCEL Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme
Skript EXCEL 2010 Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme 1. Einleitung Eine Matrixformel kann mehrere Berechnungen durchführen und dann entweder ein einzelnes Ergebnis oder mehrere Ergebnisse liefern.
MehrQUADRATISCHE FUNKTIONEN
QUADRATISCHE FUNKTION DARSTELLUNG MIT DER FUNKTIONSGLEICHUNG Allgemeine Form - Vorzeichen von a gibt an, ob die Funktion nach oben (+) oder unten (-) geöffnet ist. Der Wert (Betrag) von gibt an, ob die
MehrÜbungsblatt: Selbstständiger Tabellenentwurf, Verwendung von WENN-Funktionen
Übungsblatt: Selbstständiger Tabellenentwurf, Verwendung von WE-Funktionen Hier sind teilweise einige Überlegungen nötig, wie man den Aufgabentext in eine EXCEL- Tabelle mit geeigneten Formeln "übersetzt"!
Mehr2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen
2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für
MehrEine zweidimensionale Stichprobe
Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,
MehrAnalytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade (R 3 )
Analytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade R 3 ) Gerade - Gerade in R 3 ) Der Fall sich schneidender Geraden ist uninteressant. Es existiert dann ein beliebiger Abstand je nach der
MehrLösungen - mit Lösungswegen
Lösungen - mit Lösungswegen Geradengleichung 1) Umformen in die Steigungsform: 3 y = 6 x - 9 y = 2 x - 3; durch Vergleich mit y = m x + b sind direkt ablesbar: Steigung m = 2; Achsenabschnitt auf der y-achse
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen TEIL 1: Die Quadratische Funktion und die Quadratische Gleichung Bei linearen Funktionen kommt nur in der 1. Potenz vor. Bei quadratischen Funktion kommt in der. Potenz vor. Daneben
Mehr1. Allgemeine Hinweise Alexander.Martin.Koenig@TU-Clausthal.de
1. Allgemeine Hinweise Alexander.Martin.Koenig@TU-Clausthal.de Man sollte eine Excel-Tabelle immer so übersichtlich wie möglich halten. Dazu empfiehlt es sich, alle benötigten Daten, Konstanten und Messwerte
MehrQuadratische Funktionen
Quadratische Funktionen Aufgabe 1 Verschieben Sie die gegebenen Parabeln so, dass ihr Scheitelpunkt in S liegt. Gesucht sind die Scheitelpunktsform und die allgemeine Form der Parabelgleichung a) y = x²,
MehrVerschiedene Varianten von Aufgaben zu Parabeln
Verschiedene Varianten von Aufgaben zu Parabeln 1) Gesucht werden die Nullstellen der Parabel mit der Gleichung: a) f(x) = 2x² 4x 16 b) f(x) = 5/3 (x 1) (x + 3) c) f(x) = - 1/2 (x + 4)² + 8 d) f(x) = 2x²
MehrVersuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel
Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel Aufgabenstellung: Gegeben sei die in Bild 1 gezeigte Excel-Tabelle mit Messwertepaaren y i und x i. Aufgrund bekannter physikalischer Zusammenhänge wird
Mehrf. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion 1. Übliche Formen 1) Allgemeine Form: y = f(x) = a x 2 + b x + c a, b, c Konstanten Grundlegender Fall a = 1, b = 0, c = 0, also y = x 2 : "Normalparabel" Vorteil: Keine Brüche für
MehrParabeln - quadratische Funktionen
Parabeln - quadratische Funktionen Roland Heynkes 9.11.005, Aachen Das Gleichsetzungsverfahren und die davon abgeleiteten Einsetzungs- und Additionsverfahren kennen wir als Methoden zur Lösung linearer
MehrKugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen
. Kugelgleichung. Lage Punkt / Kugel 3. Lage Gerade / Kugel 3. Standardverfahren 3. Alternative Kugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen. Lage Ebene / Kugel 5. Lage Kugel / Kugel (Schnittkreis, Berührungspunkt).
MehrLineare Funktionen. Die generelle Form der Funktion lautet dabei:
Lineare Funktionen Das Thema lineare Funktionen begleitet euch in der Regel von der 7. Klasse an und wird stufenweise erlernt. Meist beginnt es mit einfachem Zeichnen oder Ablesen einer linearen Funktion
MehrLineare Funktionen. y = m x + n
Lineare Funktionen Das Thema lineare Funktionen begleitet euch in der Regel von der 7. Klasse an und wird stufenweise erlernt. Meist beginnt es mit einfachem Zeichnen oder Ablesen einer linearen Funktion
MehrEinführung in Excel. AP- / FP- Seminarreihe
Einführung in Excel AP- / FP- Seminarreihe ℏ Gliederung Excel an sich Excel eine Tabellenkalkulationssoftware Daten eintragen Einfache Formeln Zellen benennen Diagramme und Fits Diagramme erzeugen Diagrammtools
MehrPolynome. Analysis 1 für Informatik
Gunter Ochs Analysis 1 für Informatik Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperation Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung
MehrIII. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil 1 - Integralrechnung
III. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil - Integralrechnung Beachten Sie auch die Materialien aus dem Unterricht. Hier finden Sie viele Übungen, die Sie entweder noch nicht gemacht haben oder
MehrIch kenne den Nullproduktsatz und kann ihn anwenden, um Gleichungen in faktorisierter Form (wie (2x+5) (7 5x)=0 ) zu lösen.
Klasse 9c Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. am 1..018 Themen: Quadratische Funktionen und Gleichungen Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne die allgemeine Form f(x) = ax²+bx+c und
MehrTheorie: Quadratische Funktionen
1 Theorie: Quadratische Funktionen Ben Hambrecht Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenfolgen und ihre Differenzen 2 2 Parabeln 3 3 Einfache quadratische Funktionen 4 4 Allgemeine quadratische Funktionen 5 5 Quadratische
MehrTipps zur Anwendung des Excel-Solvers. Vom Solver verwendete Algorithmen und Methoden
Installieren und Laden von Solver 1. Klicken Sie im Menü Extras auf Add-Ins-Manager. Wenn Solver nicht im Dialogfeld Add-Ins-Manager aufgeführt wird, führen Sie Setup erneut aus, und vergewissern Sie sich,
MehrNullstellen quadratischer Funktionen berechnen
Arbeitsblätter zum Ausdrucken von sofatutorcom Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen Gib an, in welcher Form die jeweilige Funktion vorliegt und wie du ihre Nullstellen berechnen kannst Berechne
MehrInhaltsverzeichnis Trendanalysen Linearer Trend Exponentieller Trend... 1
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 1 Trendanalysen... 1 Linearer Trend... 1 Exponentieller Trend... 1 Trend bei unveränderten Vergangenheitswerten (Ausfüllfunktion)... 2 Trend mit einbezogenen Vergangenheitswerten
Mehr(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 4
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 017/018 Übung Aufgabe 1 : Äquivalenzumformungen Bestimmen Sie ohne Taschenrechner die Lösungsmengen für folgende Gleichungen/Ungleichungen
MehrGrundkenntnisse. Begriffe, Fachtermini (PRV) Gib die Winkelart von an.
Begriffe, Fachtermini (PRV) / Sätze / Formeln (PRV) / Regeln / Funktionen und Darstellung (PRV) / Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (PRV) / Tabellenkalkulation (PRV) TÜ-Nr. 501D Begriffe, Fachtermini
Mehrnumerische Berechnungen von Wurzeln
numerische Berechnungen von Wurzeln. a) Berechne x = 7 mit dem Newtonverfahren und dem Startwert x = 4. Mache die Probe nach jedem Iterationsschritt. b) h sei eine kleine Zahl, d.h. h. Wir suchen einen
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus:
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Grundlagen der Integralrechnung: Übungsaufgaben zur Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale Das komplette Material finden
MehrAusführliche Lösungen zu ausgewählten Aufgaben von ÜB 5 und 6. Streudiagramm
y Aufgabe 3 Ausführliche Lösungen zu ausgewählten Aufgaben von ÜB 5 und 6 a) Zur Erstellung des Streudiagramms zeichnet man jeweils einen Punkt für jedes Datenpaar (x i, y i ) aus der zweidimensionalen
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 202 Regressionsgerade und Korrelation Lernumgebung. Teil Hans Walser: Modul 202, Regressionsgerade und Korrelation. Lernumgebung. ii Inhalt Messwertpaare...
MehrLineare Gleichungssysteme lösen Einsetzungsverfahren
Arbeitsblatt: Lineare Gleichungsssteme lösen Einsetzungsverfahren Mathematik / Terme und Gleichungen / Lineare Gleichungsssteme / Einsetzungsverfahren Arbeitsblätter zum Ausdrucken von sofatutor.com Lineare
MehrDer Solver. Gerald Kurz
Der Solver Gerald Kurz Was ist der Solver Der Solver ist ein Calc-Zusatzprogramm zur Lösung von Optimierungsaufgaben. Im Gegensatz zur Zielwertsuche können hier Aufgaben auch mit mehreren Variablen und
MehrK l a u s u r N r. 1 G K M 12
K l a u s u r N r. G K M 2 Aufgabe Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion zu den folgenden Funktionen! a) f (x) (sin x) 2 (cos x) 2 b) f (x) (6 x 2 5) sin (2 x 3 + 5 x) c) f (x) 2 x 6 4 2 x 3 d) f (x) 4
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrFUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität
FUNKTIONEN ein Leitprogramm für die Berufsmaturität von Johann Berger 2000 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Arbeitsanleitung 3 1 Der Funktionsbegriff 3 2 Lineare 6 3 Quadratische 10 EINLEITUNG Dieses Leitprogramm
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002
MehrVorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben
Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen
MehrLeWis» ph-wert Berechnungen «Kapitel 5
Additum 5. Wässrige Lösungen mehrprotoniger Säuren und Basen Ziel dieses Kapitels ist es, eine weitere Anwendungsmöglichkeit des bisher erlernten Vorgehenskonzepts vorzustellen. Die Berechnung von ph-werten
MehrQuadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf
Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Lüdenscheid Friedrich Hattendorf 4. September 2014 Vorbemerkung Die Datei entsteht noch; noch nicht alles ist optimal Hinweis zum Ausdruck: (Fast) Alles sollte noch gut
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 4. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 17. März 2016 Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung: Normen, Jacobi-Matrix,
MehrMathematik Klasse 9d, AB 14 Übungszettel Parabel Lösung
Aufgabe : Gegeben sind die folgenden Parabeln: a) f x =2x 2 8x 2 b) f 2 x = 0 x2 x c) f 3 x = 4 x2 2 x 2 Beschreibe die Parabel, in dem du den Scheitelpunkt angibst, ob sie enger oder weiter als die ist,
MehrLineare Gleichungen Exkurs: Binomische Formeln Quadratische Gleichungen Exkurs: Polynomdivision Polynomgleichungen
Gleichungen Lineare Gleichungen Exkurs: Binomische Formeln Quadratische Gleichungen Exkurs: Polynomdivision Polynomgleichungen Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen ax + b = 0 Lineare Gleichungen ax
MehrWirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen
Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.
MehrTag der Mathematik 2013
Tag der Mathematik 2013 Einzelwettbewerb Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden Taschenrechner sind nicht zugelassen Teamnummer Die folgende Tabelle
MehrDemo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
MehrLizenziert für: Seite 8 Aufgabe 3 Exercise-ID Ex
: Funktionen und ihre Graphen Im Kapitel Funktionen und ihre Graphen lernst du, verschiedene Eigenschaften einer Funktion zu bestimmen. Mit den ausführlichen Lösungswegen von MatheScout siehst du, wie
MehrTrendanalysen, Datentabellen, Zielwertsuche
Trendanalysen, Datentabellen, Zielwertsuche Inhaltsverzeichnis Trendanalysen, Datentabellen, Zielwertsuche... 1 Inhaltsverzeichnis... 1 Trendanalysen... 2... 2 Vergangenheitswerte bleiben unverändert...
MehrLineare Funktionen. Die lineare Funktion
1 Die lineare Funktion Für alle m, t, aus der Zahlenmenge Q heißt die Funktion f: x m x + t lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q (oder je nach Zusammenhang ein Teil davon). Der Graph der linearen
MehrExcel Diagramme. Diagramme erstellen Ein Diagramm erzeugen Darstellung des Diagramms
Excel Diagramme Diagramme erstellen Ein Diagramm erzeugen Darstellung des Diagramms Zellbezüge Die Werte in der x-spalte Die Werte in der y-spalte Relative Bezüge Absolute Bezüge Die Steigung Ein Diagramm
MehrWettspiele auswerten
Benötigte Hard- oder Software Tabellenkalkulationsprogramm Anmerkung: Die Anleitung ist optimiert für Microsoft Excel 07 Ziel Mit Hilfe einer Excel-Tabelle Wettspiele auswerten können Aufträge Von deiner
MehrZahlen und Funktionen
Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen
MehrStatistik mit Tabellenkalkulation
Tabellenkalkulation 1. Grundlagen Wir werden statistische Daten am Computer mit einem Tabellenkalkulationsprogramm bearbeiten. Dazu sind einige grundlegende Kenntnisse nötig. Ein neues Dokument einer Tabellenkalkulation
MehrKreis - Kreisgleichung (+ Lagebeziehung Punkt / Kreis)
Kreis - Kreisgleichung (+ Lagebeziehung Punkt / Kreis. Kreisgleichung. Kreis durch 3 Punkte 3. Lage Punkt / Kreis. Kreisgleichung Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M - Ortsvektor m - und dem Radius r ist beschrieben
MehrMit Word Rechenaufgaben durchfu hren
Mit Word Rechenaufgaben durchfu hren Word 2000, 2002/XP, 2003, 2007, 2010 1 Frage: Ich habe einmal gelesen, dass man mit Word addieren kann. Wie muss ich vorgehen? Antwort: Microsoft Word besitzt eine
Mehr1. die ganzen Zahlen, denn 7= 1. a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: 16 = 4; 0 = = 36 = 25 = e) Grundwissen 9.
Grundwissen 9. Klasse Quadratwurzel a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: ( a ) a Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl.
MehrGeben Sie an, wie die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion von den Parametern a und b der Funktion abhängt!
Aufgabe 3 Quadratische Funktion und ihre Nullstellen Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x 2 + b mit a 0 und a, b. Skizzieren Sie den Graphen einer möglichen quadratischen
MehrZentrale Abschlussprüfung Sekundarstufe I
Die Senatorin für Kinder und Bildung Freie Hansestadt Bremen Zentrale Abschlussprüfung Sekundarstufe I Erweitertes Anforderungsniveau 2016 Mathematik (B) Teil 2 Taschenrechner und Formelsammlung dürfen
MehrÜberbestimmte lineare Gleichungssysteme
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen September 2009 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Übersicht 1 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
MehrInterstaatliche Maturitätsschule für Erwachsene St.Gallen/Sargans
Interstaatliche Maturitätsschule für Erwachsene St.Gallen/Sargans Einstufungstest Mathematik für den Vorkurs PH an der ISME Erlaubte Hilfsmittel: Formelsammlung für den Vorkurs PH, Taschenrechner ohne
MehrQuadratische Funktionen Arbeitsblatt 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer
MehrGrundwissen Jahrgangsstufe 9. Lösungen. Berechne ohne Taschenrechner: a) 2, a) = -1, b) = = = 4000
Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Berechne ohne Taschenrechner: a),5 + 7 1 9 b) 16 000 000 4 c) 81a 8 Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: a) ( x)² = 9 b) -x² = -5 c) x² + 50 = 0 Sind folgende
MehrSekantenverfahren. Aufgaben und gestufte Arbeitshilfen für das. mit OpenOffice CALC
Studienseminar für Gymnasien in Kassel ALEXANDER KALLMEYER und MARTIN SCHULTE M10: Methoden und Medien Vortrag: Computer im Mathematikunterricht Aufgaben und gestufte Arbeitshilfen für das mit OpenOffice
MehrMathematik Semester 3 / Arbeitsblatt f (x) = x x 3 4 x. 5 x 3 20 x. x 2 1
9.2 Aufgaben Aufgabe 16.39 aus dem Buch. 1. f (x) = x4 + 1 x 3 + x 4. f (x) = x4 1 2 x 3 8 x 2. f (x) = x3 + 1 x 3 4 x 5. f (x) = x5 + 1 5 x 3 20 x 3. f (x) = 4 x2 x 2 + 1 6. f (x) = x2 2 x 2 7. f (x)
MehrGymnasium Bäumlihof Maturitätsprüfungen Aufgabe 1 Raumgeometrie: Modellflugzeuge 17 P P S(300/0/0), Z(0/300/120)
Gymnasium Bäumlihof Maturitätsprüfungen 007 Seite von 0 Aufgabe Raumgeometrie: Modellflugzeuge 7 P.......3 S(300/0/0), Z(0/300/0) SZ = 300 300 0 300 0 x 300 300 Gerade durch S und Z: y = 0 + t z 0 Für
MehrEinfache quadratische Funktionen und Gleichungen. x y Wertetabelle. y-achse
Einfache quadratische Funktionen und Gleichungen Eine quadratische Funktion hat allgemein die Funktion: y = ax 2 + bx + c Dabei gilt: a, b und c R und a 0 Der Graph, der hierbei entsteht ist eine Parabel.
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 4. Semester ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN
ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN Definition: Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Wurzelzeichen auftritt, nennt man Wurzelgleichungen. Das Rechnen mit diesen Gleichungen können wir nach der Anzahl
MehrBin ich in Mathe fit für die Oberstufe? Lösungen der Checkliste der Kompetenzen der Sekundarstufe I
Gymnasium St. Wolfhelm Bin ich in Mathe fit für die Oberstufe? Lösungen der Checkliste der Kompetenzen der Sekundarstufe I Mit ihrer Hilfe kannst du selbstständig kontrollieren, ob du die abgefragten Kompetenzen
MehrMicrosoft Excel 2007 Basis. Leseprobe
Microsoft Excel 2007 Basis Kapitel 4 - Mit Formeln und Funktionen arbeiten 4.1 Formeln und Funktionen eingeben 4.1.1 Aufbau von Formeln und mathematische Operatoren in Formeln 4.1.2 Aufbau von Funktionen
MehrVierte Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am xx
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am xx.05.2016 SCHÜLERNAME: Punkte im ersten Teil: Punkte im zweiten Teil: Davon Kompensationspunkte: Note: Notenschlüssel: Falls die Summe der erzielten Kompensationspunkte
MehrTechnische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 2009 Mathematik Teil 2 (Mit Hilfsmitteln) Lösungen
Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 009 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Aufgabe Es sei ein Rechteck mit Umfang in einem Halbkreis einbeschrieben. [ Punkte] Berechnen Sie die Seitenlängen des
MehrWas-wäre-wenn-Analysen - Zielwertsuche
Was-wäre-wenn-Analysen - Zielwertsuche Excel 2010 - Fortgeschritten ZID/Dagmar Serb V.01/Mär-12 WAS-WÄRE-WENN-ANALYSEN... 1 ZIELWERTSUCHE... 1 Übung 1: Zielwertsuche Sparen... 2 Übung 2: Zielwertsuche
MehrÜbungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln
Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x - 1 9 und k(x) = - 8 x - 1 1 8 x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen
MehrLö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik
Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik I) Zahlenbereiche. Zu welchem Zahlenbereich (N, Z, Q, R) gehören die folgenden Zahlen: N, Z, Q, R R Q, R N, Z, Q R -7 Z, Q, R -7, Q, R 0 N, Z, Q, R i) Z, Q,
MehrTabellenkalkulation Excel
Tabellenkalkulation Excel Teil 7.2 Rechnen mit Bezügen Wichtige Funktionen 1 von 13 Inhaltsverzeichnis 3... Eingabe von Daten in Excel! 4... Wie berechnet man die Ersparnis? 5... Wie berechnet man die
Mehr4 x
Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational
Mehr= 1 3 n3 n n 4. b n. b n gilt, reicht es zu zeigen, dass für irgendein n die Gleichheit a n
2005-2-2 Klausur 2 Klasse b Mathematik Lösung Zwei Folgen sind gegeben, in rekursiver und b n in expliziter Form: =2 4 ;a = 2 b n = 3 n3 n 2 8 3 n 4 a) Geben Sie die ersten drei Folgenglieder jeder Folge
MehrMathematische Funktionen
Mathematische Funktionen Viele Schüler können sich unter diesem Phänomen überhaupt nichts vorstellen, und da zusätzlich mit Buchstaben gerechnet wird, erzeugt es eher sogar Horror. Das ist jedoch gar nicht
MehrAbiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2.
1 Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2.2 klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de 2 Aufgabe A 2.1
MehrSchwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung
Schwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Taschenrechner. ganzzahlig
MehrInterpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression
Interpolation, lineare Gleichungen (mit und ohne Lösungen) und lineare Regression Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at
Mehr1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
Mehr