Aufgabe 11.1 (Fragen zu Kreisbewegungen und Drehungen)

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1 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Aufgabe. Fragen zu Kreisbewegungen und Drehungen) a) Beurteilen Sie, welche der folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch ist: Wenn sich ein Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, dann ) ist seine Beschleunigung a gleich Null. 2) wirkt auf ihn in Bezug auf den Kreismittelpunkt ein konstantes Drehmoment τ, das ungleich Null ist. 3) ist der Betrag seiner Winkelgeschwindigkeit ω konstant. 4) ändert die Winkelgeschwindigkeit ω dauernd ihre Richtung. 5) ist in jedem Zeitintervall die durch die Zentripetalkraft geleistete mechanische Arbeit W gleich Null. 6) ist die kinetische Energie erhalten. 7) gilt Impulserhaltung. 8) ist das Kreuzprodukt ω v immer Null. 9) gilt Drehimpulserhaltung bezüglich aller Koordinatensysteme mit Ursprung auf der Drehachse. b) Beantworten Sie, ob und wie sich die Geschwindigkeit eines sich gleichförmig linear entlang einer festen Richtung bewegenden Wagens bzw. die Winkelgeschwindigkeit eines sich gleichförmig um eine feste Achse drehenden Karussells ändert, wenn ein Kind davon wie folgt abspringt: i) von einem Insassen im Wagen aus gesehen ) senkrecht zur Fahrtrichtung zur Seite. 2) nach schräg vorn. 3) nach hinten. 4) senkrecht nach oben mit Ergreifen eines Astes). ii) von einem anderen Insassen des Karussells aus gesehen ) radial zur Seite 2) tangential in Drehrichtung 3) tangential entgegen Drehrichtung 4) senkrecht nach oben mit Ergreifen eines Astes). Was passiert jeweils bei Sprüngen nach oben, wenn kein Ast verfügbar ist?

2 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Aufgabe.2 Sonne und Erde) Sonne und Erde umkreisen den gemeinsamen Schwerpunkt auf Kreisbahnen im jeweiligen Abstand l S und l E. Vernachlässigen Sie die anderen Planeten. i) Was ist das Verhältnis der beiden Trägheitsmomente J S /JE in Bezug auf den Schwerpunkt, ausgedrückt durch die Massen und? in Bezug auf den Schwer- ii) Wie groß ist das Verhältnis der Drehimpulse L S /LE punkt? iii) Können diese Drehimpulse durch die Anziehungskraft zwischen Sonne und Erde geändert werden? iv) Die Massen der Himmelskörper betragen 2 3 kg und 6 24 kg und ihr Gesamtabstand ist l : l E + l S 5 6 km. Liegt der gemeinsame Schwerpunkt innerhalb oder außerhalb der Sonne mit Radius R S.7 6 km? Aufgabe.4 Kraftstoß und Drehstoß) Auf einen quadratischen, auf deis ruhenden Puck mit Masse m 65 g und Kantenlänge l 6.6 cm wirkt über eine Zeitdauer von t. s eine Kraft von F. N entlang einer Wirkungslinie mit minimalem Abstand d 2.6 cm rechts vom Mittelpunkt des Pucks bei Betrachtung von oben). Reibung wird vernachlässigt. i) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J des Pucks mithilfe der Information, dass es doppelt so groß ist wie das eines dünnen Stabes der Länge l Formel aus Vorlesung)! ii) Mit welcher linearen Geschwindigkeit bewegt sich der Puck nach dem Kraftstoß? iii) Wie groß ist das Drehmoment τ des Drehstoßes, den die Kraft zusätzlich verursacht, und in welche Richtung zeigt das Drehmoment? iv) Mit welcher Drehfrequenz f bewegt sich der Puck nach detoß? 2

3 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Aufgabe 2.4 Energiebilanz auf schiefer Ebene) Auf einer schiefen Ebene mit Steigungswinkel α liegen drei Körper nebeneinander in Höhe h über dem Fuß der Ebene: ein Vollzylinder, ein Hohlzylinder und ein Quader. Alle drei haben dieselbe Masse m und sind zum Zeitpunkt t in Ruhe. Die beiden Zylinder rollen nun die Ebene hinab, der Quader rutscht zunächst reibungsfrei. Aus der Vorlesung bekannt sind die Trägheitsmomente J hohl mr 2 und J voll 2 mr2. a) Die Rollbewegung kann man als Überlagerung einer Translation und einer Rotation beschreiben, wobei der Auflagepunkt jeweils momentan in Ruhe ist. Betrachten Sie den während eines Umlaufs von einem Punkt auf der Oberfläche zurückgelegten Weg für die Translation und die Rotation und begründen Sie, warum sich daraus ergibt, dass dieser Punkt in beiden Bewegungen denselben Geschwindigkeitsbetrag besitzt. Welche Beziehung Rollbedingung ) gilt daher zwischen der Translationsgeschwindigkeit v und der Winkelgeschwindigkeit ω für beide Zylinder? b) Schreiben Sie jeweils den Energieerhaltungsatz für die Körper auf, indeie die Energien vor und nach dem Herunterrollen bzw. -rutschen betrachten und berechnen Sie daraus die Endgeschwindigkeiten v f der Körper bei Ankunft am Fuß der Ebene. Hängt diese voteigungswinkel α ab? c) Welcher Teil der anfänglichen potenziellen Energie wird jeweils in kinetische Translationsenergie E trans umgewandelt, welcher in Rotationsenergie E rot? 3

4 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Lösung zu Aufgabe.2 i) Der Schwerpunkt bzw. Massenmittelpunkt r M von N Punkten der Masse m i, die sich an den Orten r i befinden, ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Positionen der Massepunkte: r M M N m i r i mit M i N m i. Man beachte, dass die Lage des Schwerpunktes relativ zu den Punktmassen unabhängig vom Referenzpunkt O ist, bezüglich dessen die Ortsvektoren vorgegeben sind siehe nebenstehende Abbildung). i m ~r 2 O ~r m 2 m 3 ~r ~r M 2 ~r 3 ~r m O m 2 m 3 ~r 3 ~r M m 4 ~r 4 ~r 5 ~r m 4 4 Das Systeonne Erde besteht aus der Sonne der Masse am Ort r S und der Erde der Masse am Ort r E. Der Schwerpunkt ergibt sich somit zu r M + r S + r E ). ) ~r 5 m 5 m 5 ~r ~e M ~re y ~e x Sonne Schwerpunkt Erde Das Koordinatensystem legen wir so, dass Sonne und Erde auf der x-achse liegen und sich die Sonne im Ursprung befindet siehe Abbildung). Es gilt dann r S und r E r E e x, also r M r Mx e x + r My e y + r Mz e z ) r Mx ) + r E e x + + r E r My r Mz. + r E e x Der Schwerpunkt liegt somit ebenfalls auf der x-achse, d. h. auf einer Geraden, die durch Sonne und Erde verläuft. Da der Koordinatenursprung im Mittelpunkt der Sonne liegt, entspricht r Mx dem Abstand zwischen Schwerpunkt und Sonne, wohingegen r E dem Abstand zwischen Erde und Sonne entspricht, d. h. r Mx l S und r E l S + l E, so dass wir folgende Gleichung erhalten: l S + l S + l E ) l S l E l S l E. 2) Kommen wir nun zu den Trägheitsmomenten. Bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt, die senkrecht auf der Verbindungslinie zwischen Sonne und Erde steht, betragen die Trägheitsmomente von Sonne und Erde J S l 2 S, J E l 2 E, 4

5 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) so dass man für das Verhältnis J S J E l 2 S l 2 E ls l E 2) me 3) bekommt, d. h. die Trägheitsmomente verhalten sich umgekehrt proportional zu den Massen. ii) Die Drehimpulse beider Objekte in Bezug auf den Schwerpunkt lauten L S J S ω S L S J S ω S, L E J E ω E L E J E ω E. Weil sich der gemeinsame Schwerpunkt stets auf der Verbindungslinie zwischen Sonne und Erde befindet, müssen die Winkelgeschwindigkeiten ω S und ω E, mit Sonne und Erde den Schwerpunkt umkreisen, gleich groß sein, folglich gilt ω S ω E : ω. Für das Verhältnis der Drehimpulse bekommt man nun das Ergebnis L S J S ω S J S ω L E J E ω E J E ω 3). iii) Der Drehimpuls eines Systems ändert sich genau dann, wenn das äußere Gesamtdrehmoment ungleich Null ist. Wir berechnen also die Drehmomente τ ES und τ SE bezüglich des Schwerpunktes, welche die Erde auf die Sonne bzw. die Sonne auf die Erde ausüben, τ ES r MS F r MS F ES ES, τ SE r ME F r ME F SE SE und stellen fest, dass beide Null sind, weil die Gravitationskräfte entlang der Verbindungslinie Sonne Erde und somit parallel zu den Hebelarmen r MS bzw. r ME wirken. Folglich bleiben die Drehimpulse zeitlich konstant. iv) In Teilaufgabe iv) haben wir Gleichung 2) hergeleitet, in die wir nun die gegebenen Zahlenwerte einsetzen: 2) l S + l S + l E ) + l 6 24 kg 2 3 kg kg 5 6 km 45 km.7 6 km R S. ~r ME ~e y ~rms ~e x Sonne Schwerpunkt Erde Der gemeinsame Schwerpunkt von Sonne und Erde ist nur 45 km vom Mittelpunkt der Sonne entfernt, liegt also sehr tief im Innern der Sonne! 5

6 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Lösung zu Aufgabe.4 i) Das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes der Länge l beträgt J Stab 2 ml2. Laut Aufgabe ist das Trägheitsmoment des quadratischen Pucks doppelt so groß wie das des Stabes, wenn man die Länge des Stabes durch die Kantenlänge des Pucks ersetzt: J Puck 2J Stab 2 2 ml2 6 ml2 4) 6 65 g 6.6 cm)2.2 3 kg m 2. l l ~r d ~F ii) Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz erfährt der Schwerpunkt des Pucks aufgrund der einwirkenden konstanten Kraft eine Beschleunigung vom konstanten Betrag a F. Damit erhöht sich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes während m der Zeit t um v dt at) a dt a t F m t. N.65 kg. s 6.67 m s. Weil der Schwerpunkt des Pucks vor dem Kraftstoß ruht, beträgt seine Geschwindidkeit nach detoß.5 mm s. iii) Das Drehmoment τ ist als das Kreuzprodukt aus Hebelarmvektor r und Kraftvektor F definiert, d. h. τ r F. Für dessen Betrag gilt also τ τ r F sin r, F ) rf sinα) r sinα) F df 5) }{{}.26 m N.286 N m. d Gemäß Rechter-Hand-Regel zeigt das Drehmoment nach oben, d. h. aus der Zeichenebene heraus. iv) Das Drehmoment verursacht eine Winkelbeschleunigung vom Betrag ω was nach einer Zeit t zu einer Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit um τ J Puck, ω dt ωt) ω dt τ t 4) J Puck 5) 6.26 m N 239 s.65 kg.66 m) 2 6dF ml 2 t führt, was einer Rotationsfrequenz von f ω 2π 38 Hz entspricht. 6

7 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Lösung zu Aufgabe 2.4 a) Man kann die Bewegung eines auf einer Unterlage rollenden Zylinders als eine Überlagerung zweier Bewegungen zusammengesetzt denken, einer linearen Bewegung des Schwerpunktes S parallel zur Unterlage mit der Geschwindigkeit v und einer Rotation des Zylinders um eine Achse, die parallel zur Unterlage und durch den Schwerpunkt hindurch verläuft mit der Winkelgeschwindigkeit ω siehe Abbildung).! r S s v t s 2 r! t Im Prinzip können v und ω unabhängig voneinander beliebige Werte annehmen. Zum Beispiel könnte der Schwerpunkt ruhen, während der Zylinder rotiert v, ω > ) oder der Schwerpunkt könnte sich linear fortbewegen, während der Zylinder keine Rotation ausführt v >, ω ). In beiden Fällen gibt es einen Schlupf, soll heißen, die Zylinderoberfläche rutscht am Auflagepunkt A. Wir betrachten jetzt eine Zeitspanne T und berechnen die Strecke s, die der Schwerpunkt währenddessen zurücklegt: h A s v t. 6) Wenn der Zylinder rollt und nicht rutscht, dann müssen die in der Abbildung rot markierte Linie und die blau markierte Linie gleich lang sein. Da der Zylinder mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, beträgt die Länge der blauen Linie ωr t, also gilt auch für die Länge der roten Linie s 2 ωr t. 7) Außerdem befindet sich der Schwerpunkt S stets senkrecht über dem Auflagepunkt A, so dass das Viereck AA S S ein Rechteck ist und folglich die Strecken AA und SS gleich lang sind. Es gilt also s s 2 und folglich r A S ~v v t ωr t t v ωr. 8) Dies ist die sogenannte Rollbedingung. Wenn diese erfüllt ist und auch nur dann, rollt ein Zylinder vom Radius r schlupffrei auf einer Unterlage. Bei der Herleitung der Rollbedingung wurde von einer konstanden Lineargeschwindigkeit v und einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω ausgegangen. Wir wollen jetzt zeigen, dass die Rollbedingung auch für nichtkonstante Geschwindigkeiten vt) gilt. In diesem Fall ändern sich die Gleichungen 6) und 7) zu s dt vt) und s 2 dt ωt)r. 7

8 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Weil s und s 2 nach wie vor gleich groß sein müssen, folgt auch in diesem Fall die Rollbedingung: dt vt) dt ωt)r t vt) ωt)r t [, t] Bleibt zu erwähnen, dass von der Größe des Neigungswinkels der Ebene kein Gebrauch gemacht wurde, die Rollbedingung gilt somit für beliebig geneigte Ebenen, insbesondere auch für nichtgeneigte waagerechte) Ebenen. b) Am Anfang ruhen die drei Objekte, die linearen Geschwindigkeiten sind Null und die Zylinder rotieren nicht, weshalb die kinetische Energie aller drei Objekte Null ist. Wenn die drei Objekte unten ankommen, befinden sie sich um die Strecke h unterhalb der Ausgangshöhe, es wurde also potentielle Energie mgh in kinetische Energie E kin umgewandelt. Für die kinetische Energie aller drei Objekte gilt somit E kin mgh. 9) Die kinetische Energie kann man in einen Translationsbeitrag E trans lineare Bewegung des Schwerpunktes) und einen Rotationsbeitrag E rot Rotation um die Schwerpunktachse) aufteilen: so dass aus 9) und ) die Beziehung E kin E trans + E rot 2 mv2 + 2 Jω2, ) 2 mv2 + 2 Jω2 mgh folgt. Wir unterscheiden nun die drei Fälle Quader, Vollzylinder und Hohlzylinder. Quader: Der Quader gleitet nur auf der Unterlage und führt keine Rotation aus, somit gilt für diesen 2 mv2 Q + mgh v Q 2gh. ) Vollzylinder: Der Vollzylinder hat bezüglich der Schwerpunktachse das Trägheitsmoment J V 2 mr2. Außerdem gilt die Rollbedingung 8), so dass sich die Gleichung ergibt. 2 mv2 V + mr2) v V 2 2 r mgh vv 4 3 gh. 2) Hohlzylinder: In einem Hohlzylinder ist die Masse komplett im Zylindermantel enthalten, also weiter von der Mittelachse entfernt als beim Vollzylinder; das Trägheitsmoment ist somit größer als beim Vollzylinder und zwar bei gleicher Masse und gleichem Radius doppelt so groß, J H 2J V mr 2. Zusammen mit der Rollbedingung findet man für den Hohlzylinder 2 mv2 H + ) 2 mr 2 v H r mgh vh gh. 3) 8

9 Physik VNT Aufgabenblätter und 2 7. Übung 4. KW) Vergleicht man die drei Endgeschwindigkeiten, so stellt man fest, dass der Quader am schnellsten und der Vollzylinder am langsamsten ist: v H < v V < v Q. Die Endgeschwindigkeiten hängen offenbar nicht voteigungswinkel α der Ebene ab. Dies erklärt sich dadurch, dass weder die vochwerefeld verrichtete Arbeit W pot mgh noch die Rollbedingung v ωr eine Winkelabhängigkeit aufweist. Bemerkung: Vielleicht wundert man sich daüber, dass die Endgeschwindigkeit des Quaders vom Neigungswinkel unabhängig ist, denn die Hangabtriebsraft, mit welcher die Schwerkraft den Zylinder beschleunigt, wird größer, je stärker die Neigung der Ebene ist, es gilt nämlich F mg sinα). Bei einer größeren Kraft erwartet man jedoch eine größere Beschleunigung und somit eine größere Endgeschwindigkeit. Aber halt! Endgeschwindigkeit wann? Natürlich zu dem Zeitpunkt, bei dem der Quader unten ankommt, und dieser Zeitpunkt hängt auch von der Länge der zu durchlaufenden Strecke s h /sinα) ab. Da aber die Höhe h fest vorgegeben ist, ist diese Strecke umso größer, je kleiner der Neigungswinkel ist. Es stellt sich heraus, dass sich beide Effekte größeres F und kleineres s beim Berechnen der Endgeschwindigkeit gerade aufheben und somit die Winkelabhängigkeit der Endgeschwindigkeit wegfällt. Analog verhält es sich bei den Zylindern: Diese werden aufgrund des ichwerpunkt angreifenden Trägheitsmoments bezüglich des Auflagepunktes beschleunigt, und zwar gilt τ mgr sinα). Dies führt auf eine größere Winkelbeschleunigung, je stärker die Ebne geneigt ist, aber aufgrund der kürzeren Strecke s h /sinα) wirkt diese Winkelbeschleunigung entsprechend kürzer, so dass die am Fußpunkt der Ebene erreichte Endwinkelgeschwindikeit unabhängig von α ist, was aufgrund der Rollbedingung auch für die lineare Endgeschwindigkeit der Zylinder gilt. c) Die potentielle Energie wird vollständig in kinetische Energie umgewandelt, wobei sich die kinetische Energie in einen Translations- und einen Rotationsbeitrag aufteilt. Die Anteile verhalten sich bei den drei Objekten wie folgt: Quader: Vollzylinder: Hohlzylinder: E rot E trans E rot E trans E rot E trans 2 J Vω 2 2 mv2 V 2 J Hω 2 2 mv2 H 2 J Qω 2 2 mv2 Q. mr2) v Vr mv2 V 2 mr2 ) ) v Hr 2 2 mv2 H 2.. Beim Quader besteht die kinetische Energie komplett aus Translationsenergie, denn eine Rotation findet nicht statt. Beim Vollzylinder ist der Translationsbeitrag doppelt so hoch wie der Rotationsbeitrag, wohingegen beim Hohlzylinder aufgrund des höheren Trägheitsmoments beide Anteile gleich groß sind. 9

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