Versuch: Digitale Filter

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1 Versuch: Digitale Filter Diese Unterlagen dienen zum einen als Versuchsunterlagen für den Versuch: Digitale Filter". Sie enthalten aber auch in komprimierter Form alles Wissenswerte zu diesem Thema und können als Skript zum Nachschlagen benutzt werden. 1 Einleitung In der klassischen Analogtechnik werden Signale mit Hilfe von Bauteilen wie zum Beispiel Widerstände, Kondensatoren, Induktivitäten oder aktiven Bauelementen umgeformt. Der damit erzielbaren Genauigkeit sind jedoch durch den Einfluss von Umgebungstemperatur, Alterung der Bauteile, Fertigungstoleranzen, Versorgungsspannung, etc. Grenzen gesetzt. Diese Nachteile kennt die digitale Signalverarbeitung nicht. Ein großes Teilgebiet der digitalen Signalverarbeitung stellt das Gebiet der digitalen Filter dar. Bei digitalen Filtern bildet man das zu manipulierende kontinuierliche Signal durch Abtastung und Analog Digital Umsetzung auf eine Zahlenfolge ab und formt dann diese mit Hilfe eines Algorithmus zu einer Ausgangszahlenfolge um. Nach der Digital Analog Rückumsetzung und anschließender Interpolation entspricht das Ausgangssignal der gewünschten Manipulation des Eingangssignals. Digitale Filter können sowohl durch spezielle Hardware Schaltungen als auch durch Software auf Prozessoren realisiert werden. Die hardwaremäßige Ausführung bietet den Vorteil der hohen Verarbeitungsgeschwindigkeit, die softwaremäßige den der Flexibilität. Diese Filter finden in unterschiedlichen Gebieten Anwendung. Zum Beispiel in der Audiotechnik, der Seismologie, der Medizin, der Radartechnik, der Sprachsynthese und der digitalen Bildverarbeitung. Der Einsatz digitaler Filter ist besonders vorteilhaft, wenn zum Beispiel das Signal bereits digitalisiert vorliegt, wie zum Beispiel in der PCM Übertragungstechnik, bei digital gespeicherten Signalen (DAT Recorder, CD Player) oder die Forderung nach Flexibilität und Variabilität im Vordergrund steht, wie z.b. bei der adaptiven Filterung. Die zum Filterentwurf verwendete Theorie bezieht sich auf zeitdiskrete wertkontinuierliche Systeme. Bei hinreichend kleiner Quantisierung ist sie auch auf digitale d.h. zeit und wertdiskrete Systeme anwendbar. Deshalb wird oft digitales System und zeitdiskretes System als Synonym gebraucht. 2 Beschreibung digitaler Systeme im Zeit und Frequenzbereich 2.1 Blockschaltbild eines einfachen digitalen Systems Abbildung 2.1 zeigt das Blockschaltbild einer digitalen Signalverarbeitung. Durch einen analogen Tiefpass TP1 (Antialiasing Tiefpass) wird das analoge (zeitkontinuierliche) Eingangssignal zu hohen Frequenzen hin bandbegrenzt, um das Abtasttheorem (siehe Abschnitt 2.2) zu erfüllen. Das Filterausgangssignal wird mit einer Abtasthalteschaltung (S/H) abgetastet und für die Dauer eines Abtastintervalls festgehalten. Die Abtastwerte werden dann im A/D Wandler amplitudenquantisiert. 1

2 Die binäre Zahlenfolge gelangt nun in die digitale Verarbeitungseinheit (z.b. Signalprozessor). Diese berechnet aus der Eingangsfolge mit Hilfe eines Signalverarbeitungsprogramms eine Ausgangszahlenfolge. Ein D/A Wandler erzeugt daraus ein treppenförmiges Signal, das von einem Interpolationstiefpass (TP2) geglättet wird. Abbildung 2.1: Blockschaltbild einer digitalen Signalverarbeitung 2.2 Abtastung und Quantisierung Voraussetzung für eine eindeutige zeitdiskrete Signaldarstellung ist die Bandbegrenzung des Spektrums des analogen Signals. Liegt diese Bandbegrenzung nicht bereits vor, muss sie durch ein analoges Vorfilter erzwungen werden. Das abgetastete Signal lässt sich theoretisch als Folge von gewichteten Dirac Impulsen beschreiben, deren Flächen den Abtastwerten entspricht:. (2.1) Für das Spektrum des ideal abgetasteten Signals ergibt sich: 2

3 1. (2.2) Das Spektrum des Analogsignals wiederholt sich periodisch mit der Abtastfrequenz. Abbildung 2.2 zeigt schematisch eine Folge von Abtastwerten und das zugehörige Amplitudenspektrum Abbildung 2.2: Abtastung eines analogen Signals a) Abtasttheorem erfüllt b) Abtasttheorem verletzt Man erkennt, dass im Spektrum der Abtastwerte das ursprüngliche Spektrum des Analogsignals enthalten ist. Zur Wiedergewinnung des Analogsignals aus den Abtastwerten genügt es daher, die Abtastwerte mittels eines analogen Tiefpasses mit näherungsweise konstanter Gruppenlaufzeit zu filtern. Die Übertragungsfunktion des Tiefpasses ist in Abbildung 2.2 gestrichelt eingezeichnet. Wie in Abbildung 2.2 zu erkennen ist, überlappen sich die einzelnen Teilspektren nur dann nicht, wenn das Abtasttheorem erfüllt ist, d.h. 2. (2.3) Dies bedeutet, dass die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein muss wie die höchste im abzutastenden Signal enthaltene Frequenz. Die nötige Bandbegrenzung wird durch das analoge Vorfilter TP1 aus Abbildung 2.1 erreicht. Wird das Abtasttheorem nicht eingehalten, so überlappen sich die einzelnen Teilspektren. Dies bezeichnet man als Aliasingeffekt. Das ursprüngliche Analogsignal lässt sich somit nicht mehr störungsfrei zurückgewinnen. 3

4 2.3 Differenzengleichung, Übertragungsfunktion und Frequenzgang Die Beziehung zwischen Ein und Ausgangssignal eines linearen zeitinvarianten analogen Systems lässt sich durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschreiben. An ihre Stelle tritt bei zeitdiskreten Systemen die lineare Differenzengleichung:. (2.4) Ein Ausgangswert ergibt sich somit als eine Linearkombination aus mit den Filterkoeffizienten bewerteten und verzögerten Ein und Ausgangswerten. Von den beiden Zahlen M und N wird die größere als Ordnung der Differenzengleichung bezeichnet. Gleichung (2.4) gestattet die Berechnung der Ausgangswerte aus den Eingangswerten und damit die Lösung der Filteraufgabe im Zeitbereich. Sie hat den Vorteil, dass nur wenige Elementaroperationen, nämlich Addition, Multiplikation und zeitliche Verzögerung um ein Abtastintervall benötigt werden. Deshalb ist die Filterung für eine Programmierung auf einem digitalen Prozessor wie z.b. einem Signalprozessor geradezu prädestiniert. Ein digitales Filter, bei dem nur der linke Teil von Gleichung (2.4) existiert, nennt man nichtrekursiv, d.h. nicht rückgekoppelt. Da seine Impulsantwort nicht länger als M+1 Abtastperioden dauert, nennt man es auch FIR FILTER (Finite Impulse Response Filter). FIR Filter sind grundsätzlich stabil. Sie sind mit exakt linearem Phasengang, d.h. ohne Gruppenlaufzeitverzerrung realisierbar, siehe Abschnitt 4.2. Ist auch der zweite Summenausdruck in Gleichung (2.4) vorhanden, so handelt es sich um ein rekursives (d.h. rückgekoppeltes) Filter. Die Impulsantwort strebt bei einem stabilen rekursiven Filter für gegen Null, dauert aber theoretisch unendlich lang. Man nennt es daher auch IIR Filter (Infinite Impulse Response Filter). IIR Filter lassen sich nur näherungsweise mit linearem Phasengang realisieren. Ähnlich wie man bei analogen Systemen die Übertragungsfunktion durch Laplace Transformation aus der Differentialgleichung gewinnt, erhält man die Übertragungsfunktion digitaler Systeme durch Z Transformation der zugehörigen Differenzengleichung (2.4). Eine ausführliche Beschreibung der Z Transformation findet man in [2] bzw. [3]:. (2.5) Aufgrund der Linearität der Z Transformation können die Summanden einzeln transformiert werden:. Durch Anwendung des Verschiebungssatzes der Z Transformation auf Gleichung (2.6) folgt: (2.6). (2.7) Die Übertragungsfunktion definiert man wie üblich als Verhältnis von Ausgangs zu Eingangsspektrum: 4

5 (2.8) Durch Umstellen von Gleichung (2.7) erhält man nun: 1. (2.9) Für analoge Systeme gilt, dass sämtliche Pole eines stabilen linearen zeitinvarianten Systems in der linken s Halbebene liegen müssen. Da bei zeitdiskreten Systemen die linke s Halbebene auf das Innere des Einheitskreises der komplexen z Ebene abgebildet wird, folgt, dass die Übertragungsfunktion stabiler digitaler Systeme nur Pole im Inneren des Einheitskreises haben kann. Es bleibt zu klären, wie man aus der Übertragungsfunktion Aussagen über das Verhalten von Betrag und Phase und anderer Größen eines zeitdiskreten Systems in Abhängigkeit von der kontinuierlichen Frequenz f gewinnt. Die Zusammenhänge folgen aus der Beziehung:. (2.10) Betrachtet man Gleichung (2.10) längs der imaginären Achse, so ergibt sich:. (2.11) Mit folgt: wobei, (2.12) 2 (2.13) die normierte Kreisfrequenz ist. In der Übertragungsfunktion ersetzt man nun jede Potenz von durch die Gleichung: cos sin (2.14) und erhält die gesuchten Größen: 1. Amplitudengang 2. Dämpfung 20log in db 3. Phase arg 5

6 4. Phasenlaufzeit 5. Gruppenlaufzeit 3 Rekursive Systeme In diesem Kapitel werden Fragen des Entwurfs rekursiver Systeme behandelt. Nach einer Zusammenstellung ihrer wichtigsten Eigenschaften werden zunächst einige Netzwerkstrukturen zu deren Realisierung behandelt, die sich bezüglich der Effekte bei begrenzten Wortlängen (Auflösung des A/D Wandlers) unterschiedlich verhalten. Anschließend wird eines der wichtigsten Approximationsverfahren für derartige Systeme beschrieben. 3.1 Eigenschaften rekursiver Systeme (IIR Filter) Ein rekursives System kann durch die Differenzengleichung (2.4) beschrieben werden, wobei von den Koeffizienten,1,2,, mindestens einer von Null verschieden sein muss. Der Wert der Ausgangsfolge zu einem beliebigen Zeitpunkt wird demnach auch von den Werten der Ausgangsfolge früherer Zeitpunkte bestimmt. Abbildung 3.1 zeigt ein Netzwerk zur Realisierung der Differenzengleichung (2.4). Abbildung 3.1: Netzwerk zur Realisierung der Differenzengleichung Ein rekursives System weist mindestens einen Rückkopplungszweig auf, Instabilitäten sind deshalb prinzipiell möglich. Die Übertragungsfunktion ist eine rationale Funktion in 1 besitzt mindestens eine von Null verschiedene Polstelle. Wegen der Reellwertigkeit der Koeffizienten im Zähler und Nenner sind die Pole und Nullstellen entweder reell oder sie treten als konjugiert komplexe Polpaare auf. Für kausale und stabile Systeme liegen sämtliche Pole innerhalb des Einheitskreises der komplexen z 6

7 Ebene. Die Einheitsimpulsantwort eines rekursiven Systems besteht stets aus unendlich vielen von Null verschiedenen Elementen. 3.2 Netzwerkstrukturen rekursiver digitaler Systeme Die Übertragungsfunktion bzw. die Differenzengleichung eines rekursiven Systems ist durch mehrere Netzwerkstrukturen realisierbar. In diesem Abschnitt werden diejenigen Netzwerkstrukturen behandelt, die sich auf die Polynomform, die Produktform und die Partialbruchform der Übertragungsfunktion beziehen. Sie werden als Direkt, Kaskaden und Parallelstruktur bezeichnet. Direktstrukturen kann durch Hintereinanderschaltung zweier Teilsysteme, einem nichtrekursiven 1 und einem rekursiven 2 1 realisiert werden. Je nach der Reihenfolge von 1 und 2 lassen sich zwei unterschiedliche Strukturen angeben. Die Struktur mit der Reihenfolge wird als Direktform 1 bezeichnet [2]. Sie ist identisch mit der in Abbildung 3.1. Die Struktur, in der 2 vor 1 erscheint, zeigt Abbildung 3.2. Sie wird als Direktform 2 [2] bezeichnet. Die Anzahl der Zustandsspeicher ist für die Direktform 2 gleich der Ordnung der Differenzengleichung. Man bezeichnet diese Struktur als kanonisch. Kaskadenstruktur Abbildung 3.2: Direktform 2 Aus der Produktform der Übertragungsfunktion 1 1 ergibt sich die Kaskadenstruktur, indem man einen quadratischen Term aus dem Zähler mit einem aus dem Nenner zu einem Teilsystem 2. Ordnung zusammenfasst und dann die Teilsysteme hintereinander schaltet [2]. Systeme 1. Ordnung ergeben sich dabei als Sonderfälle von Systemen 2. Ordnung. 7 (3.1)

8 Bezüglich der Wortlängenreduktion ist die Kaskadenstruktur gegenüber den Direktstrukturen wesentlich unempfindlicher. Dies ist eine Folge der Zerlegung eines Polynoms höherer Ordnung in Polynome niedrigerer Ordnung. Es erweist sich als günstig, das Teilsystem mit der niedrigsten Tiefpass Eckfrequenz als 1 zu realisieren. Abbildung 3.3 zeigt schematisch die Kaskadenstruktur mit 0 max, Teilsystemen. Parallelstruktur Abbildung 3.3: Kaskadenstruktur Aus der Partialbruchform der Übertragungsfunktion (3.2) 1 ergibt sich die Parallelstruktur, indem die einzelnen Terme der Summe als Teilsysteme in geeignet gewählten realisiert und dann parallel geschaltet werden. Abbildung 3.4 zeigt schematisch die Parallelstruktur. Abbildung 3.4: Parallelstruktur 3.3 Synthese rekursiver Filter Zum Entwurf analoger Filter existieren zahlreiche Kataloge und Programme, so dass es sich beim Entwurf digitaler Filter als vorteilhaft erweist, diese Kenntnisse zu nutzen. Dies geschieht, indem man die für ein zeitdiskretes System gestellte Entwurfsaufgabe zunächst für ein zeitkontinuierliches System, im Folgenden als Bezugssystem bezeichnet, umformuliert. Die Approximationsaufgabe wird dann im s Bereich gelöst. Das hierzu erforderliche Toleranzschema erhält man aus dem für das digitale Filter vorgegebene Toleranzschema. 8

9 Nach der Lösung der Entwurfaufgabe im s Bereich wird in einem zweiten Schritt die Übertragungsfunktion des gesuchten digitalen Filters durch eine geeignete Transformation aus der Übertragungsfunktion des analogen Bezugssystems ermittelt. Hierfür gibt es mehrere Methoden. Die am häufigsten verwendete Methode ist die bilineare Transformation. Bilineare Transformation Eine geeignete Abbildung zwischen s und z muss die Bedingung erfüllen, dass die linke s Halbebene ins Innere des Einheitskreises der z Ebene abgebildet wird, damit aus einem stabilen Bezugssystem ein stabiles digitales System entsteht. Außerdem ist es wünschenswert, dass die j Achse der s Ebene auf den Einheitskreis der z Ebene transformiert wird. Eine Abbildung, die diese Eigenschaften erfüllt, ist die bilineare Transformation: (3.3) Abbildung 3.5 veranschaulicht die Abbildung der s Ebene auf die z Ebene nach der bilinearen Transformation. Abbildung 3.5: Abbildung der s Ebene auf die z Ebene bei der bilinearen Transformation Die linke s Halbebene wird folglich ins Innere des Einheitskreises der z Ebene transformiert. Der positive Ast der jω Achse der s Ebene geht auf die obere und der negative Ast auf die untere Hälfte des Einheitskreises in der Weise über, dass 0 auf 1 und auf 1 abgebildet werden. Durch Einsetzen der bilinearen Transformation in die Übertragungsfunktion eines stabilen analogen Bezugsfilters erhält man nun die Übertragungsfunktion eines stabilen digitalen Filters. Zwischen der Frequenzvariablen des analogen Filters und der Frequenzvariablen des digitalen Filters besteht folgender nichtlinearer Zusammenhang: 2 tan 2. (3.4) 9

10 1 ist die Abtastperiode des digitalen Systems. Abbildung 3.6 verdeutlicht die Transformation des Frequenzganges eines analogen Referenzfilters in den eines digitalen Filters. Man erkennt, dass die Dämpfungseigenschaften, d.h. die geforderte Filtercharakteristik erhalten bleibt, während die Frequenzachse gestaucht wird. Abbildung 3.6: Bilineare Transformation eines analogen Filters in ein digitales Filter Beim Filterentwurf wird zunächst das Toleranzschema des digitalen Filters mit Gleichung (3.4) in den analogen Bereich transformiert. Man nennt dies Vorverzerrung. Im analogen Bereich wird nun das Filter entworfen und anschließend mittels bilinearer Transformation in das gewünschte digitale Filter transformiert. 3.4 Beispiel für den Entwurf eines digitalen IIR Filters Zu entwerfen ist ein digitaler Tiefpass mit Tschebyscheff Approximation, der bei 8 seine Durchlassgrenzfrequenz und bei 13,446 eine Sperrdämpfung von 8 haben soll. Die Welligkeit im Durchlassbereich darf den Wert von 0,28 nicht überschreiten. Als Abtastfrequenz soll ein Wert von 50 verwendet werden. 10

11 Die Sperrfrequenz des digitalen Filters muss zunächst in die Sperrfrequenz eines normierten analogen Referenztiefpasses transformiert werden. Mit Gleichung (3.4) und durch Normierung auf die Durchlassgrenzfrequenz erhält man für tan tan tan 13,446 50,00 tan 8,000 50,00 2,048. Nun lässt sich mit den vorgegebenen Werten für und z.b. mit dem Filterkatalog [6] ein analoges Tschebyscheff Filter dimensionieren. Die Aufwandsabschätzung ergibt einen Filtergrad von N=3. Die Pole des normierten analogen Tschebyscheff Filters liegen bei:, 0,3717 1,0791, 0,7434. Für die normierte Übertragungsfunktion erhält man folgendes Ergebnis: 1,3026 0,7434 1,3026 0,7434 0,7434. Hierin bedeutet die auf die Durchlassgrenzfrequenz normierte komplexe Frequenzvariable. Um die Übertragungsfunktion des gewünschten digitalen Filters zu erhalten, muss schließlich auf die bilineare Transformation 1 1 tan / 1 angewendet werden, und man erhält für des Digitalfilters folgendes Ergebnis: 0,218 0,436 0,218 0,290 0,290 1,000 0,672 0,546 1,000 0,419 4 Nichtrekursive Systeme 4.1 Eigenschaften nichtrekursiver Systeme (FIR Filter) Die allgemeine Differenzengleichung des nichtrekursiven Systems lautet [2]:. (4.1) Bei einem nichtrekursiven System hängt die Ausgangsfolge zu jedem Zeitpunkt ausschließlich von den gegenwärtigen und den früheren Werten der Eingangsfolge ab. Es existieren keine Rückkopplungen innerhalb des Systems. Deshalb sind nichtrekursive Systeme absolut stabil. Die Übertragungsfunktion eines solchen Systems besteht aus einem Polynom in 1 :. Formt man Gleichung (4.2) um, so sieht man, dass stets eine (N 1) fache Polstelle bei 0 hat. 11 (4.2)

12 1. (4.3) Dadurch wird das Stabilitätskriterium erfüllt. Die Einheitsimpulsantwort eines nichtrekursiven Systems folgt aus Gleichung (4.1) mit zu für 0 1. (4.4) 0 sonst Die Einheitsimpulsantwort besteht also aus einer endlichen Anzahl von Abtastwerten. Den Frequenzgang eines FIR Filters erhält man durch Einsatz von in Gleichung (4.2):. ist die auf die Abtastfrequenz normierte Frequenzvariable, siehe auch Gleichung (2.13): (4.5) 2 (4.6) 4.2 Nichtrekursive Systeme mit linearem Phasengang In diesem Kapitel wird gezeigt, dass FIR Filter unter bestimmten Bedingungen einen absolut linearen Phasengang haben. Man nehme zunächst eine ungeradzahlige Filterordnung (N gerade) an und betrachte Gleichung (4.5). Die Einheitsimpulsantwort soll einen symmetrischen oder antisymmetrischen Verlauf besitzen, d.h. entweder 1 für 0,1,2,, 1 oder 1 für 0,1,2,, 1. Mit dieser Bedingung folgt aus Gleichung (4.5) [2]:. Wenn man aus dieser Gleichung den Faktor ausklammert und die Eulersche Formel anwendet, erhält man für den Fall des Pluszeichens: (4.7) cos und für den Fall mit Minuszeichen: 0 (4.8) sin 2 1. (4.9) 2 0 Die gleichen Überlegungen für eine geradzahlige Filterordnung (N ungerade) führt für im Falle eines symmetrischen Verlaufs von auf: 12

13 cos und im Fall eines antisymmetrischen Verlaufs von sin Abbildung 4.1 verdeutlicht die vier Fälle. 1 2 (4.10) (4.11) Der Phasengang im Durchlassbereich ist somit eine stetige und lineare Funktion von, die Gruppenlaufzeit ist somit konstant: (4.12) Abbildung 4.1: Typische Verläufe der Einheitsimpulsantwort h(n) mit linearem Phasengang: a) h(n) gerade, N geradzahlig b) h(n) gerade, N ungeradzahlig c) h(n) ungerade, N geradzahlig d) h(n) ungerade, N ungeradzahlig 13

14 4.3 Netzwerkstruktur nichtrekursiver digitaler Filter Aus der Polynomform der Übertragungsfunktion des Systems kann unmittelbar die in Abbildung 4.2 dargestellte Netzwerkstruktur abgeleitet werden: Abbildung 4.2: Netzwerkstruktur nichtrekursiver Systeme 4.4 Synthese nichtrekursiver Filter mit der Fensterfunktionsmethode Das Entwurfsverfahren mit Fensterfunktionen wird im Folgenden anhand eines Tiefpasses erläutert. Zunächst wird eine gewünschte Übertragungsfunktion, hier als Wunschfunktion bezeichnet, gewählt. Für selektive Filter eignen sich die Übertragungsfunktionen entsprechender idealer Filter mit Rechteckcharakteristik. Die Wunschfunktion ist als Übertragungsfunktion des digitalen Systems periodisch in. Außerdem erhält man als Fourier Transformierte der Einheitsimpulsantwort des zugehörigen idealen Filters: 2. (4.13) Aus lässt sich folgendermaßen ermitteln: 0,5 2 0,5 (4.14) Idealer Tiefpass mit linearem Phasengang: Im Falle eines idealen Tiefpasses mit linearem Phasengang wird als Wunschfunktion gewählt: 21 2 für. (4.15) 0 sonst Für die Filterkoeffizienten bzw. die Einheitsimpulsantwort erhält man mit Gleichung (4.14): 14

15 (4.16) Die Folge besteht aus unendlich vielen von Null verschiedenen Elementen und kann deshalb nicht die Einheitsimpulsantwort eines nichtrekursiven Systems sein. Aus lässt sich aber die Einheitsimpulsantwort eines nichtrekursiven Systems gewinnen, indem man außerhalb des Intervalls [0, N 1] zu Null setzt. Die Einheitsimpulsantwort kann als Produkt von mit der Folge 1 für 0 1. (4.17) 0 sonst dargestellt werden, d.h.. Die Folge aus Gleichung (4.17) wird als Rechteck Fensterfunktion bezeichnet. Der Amplitudengang des mit Hilfe des Rechteck Fensters entworfenen Filters weist eine ungleichmäßige Welligkeit auf, die maximal 9 % der Höhe der Filterflanke beträgt. Die Welligkeit nimmt in Richtung der Filterflanke zu. Ursache dieser Welligkeit ist der scharfe Abbruch der Fourier Reihe bei 0 und 1. Man bezeichnet diese Erscheinung als GIBB'sches Phänomen. Die Multiplikation mit dem Rechteckfenster bedeutet im Frequenzbereich eine Faltung von mit einem sin Spektrum, das mit 1 abfällt. Dadurch überträgt sich die Welligkeit des Spektrums der Fensterfunktion auf den Amplitudengang des Filters. Außerdem verbreitern sich die ideal steile Filterflanken von auf endliche Breite. Es existieren zahlreiche Fensterfunktionen, die rascher als mit 1 abfallen und eine geringere Welligkeit als das Rechteckfenster besitzen, wie zum Beispiel: Dreieck Fenster: 2 für für 1, (4.18) sonst Hanning Fenster : 2 0,5 0,5 cos 1 für sonst Hamming Fenster:, (4.19) 2 0,54 0,46 cos 1 für01, (4.20) 0 sonst 15

16 Blackman Fenster: 2 4 0,42 0,5 cos 0,08cos 1 1 für 0 1, 0 sonst (4.21) Dabei wird in der Regel eine geringere Welligkeit mit einer flacheren Filterflanke erkauft. Es hängt von der Forderung an den Digitalfilter bezüglich Welligkeit und Selektivität ab, welches Fenster zu verwenden ist. 5 Das MATLAB Filterdesignprogramm Das Filterdesignprogramm wird über die Datei FILPROG.exe gestartet. Im Hauptprogramm werden die Parameter vom Benutzer eingegeben, ein digitales Filter berechnet und die Kurven angezeigt. Die graphische Oberfläche (GUI) und die einzelnen Bedienelemente werden unter erklärt. Durch Aufruf aus dem Hauptprogramm wird der Pol /Nullstelleneditor (siehe dazu auch 5.1.2). Hier kann der Benutzer die Pol oder Nullstellen eines vorher erstellten Filters beliebig ändern. Die vergleichende Anzeige mit den von MATLAB errechneten und den am digitalen Signalprozessor (DSP) gemessenen Werte wird unter 0 beschrieben. 5.1 Bedienungsanleitungen Das Filterdesignprogramm Abbildung 5.1: GUI des Filterdesignprogramms 1. Auswahl der Filterart: FIR oder IIR 2. Auswahl des Filtertyps: Tief, Hoch, Bandpass, Bandsperre Bei FIR Filtern: Tief, Hoch, Bandpass, Bandsperre, Hilberttransformator Bei IIR Filtern: Tief, Hoch, Bandpass, Bandsperre, Allpass 16

17 3. bei der Filterart FIR : Auswahl der Fensterfunktion: Rechteck, Dreieck, Hamming, Hanning, Blackman bei der Filterart IIR für Tief, Hoch, Bandpässe und Bandsperren: Auswahl der Filtercharakteristik: Butterworth, Tschebyscheff Typ 1, Tschebyscheff Typ 2, Cauer 4. von (2) und (3) abhängige, notwendige Eingabefelder: bei allen Filtertypen: Abtastfrequenz (sollte immer auf 48 khz eingestellt sein) bei allen FIR Filtern: Filterlänge zusätzlich bei FIR Tief oder Tiefpass: Grenzfrequenz zusätzlich bei FIR Bandpass oder Bandsperre: obere und untere Grenzfrequenz bei IIR Tief, Hoch, Bandpässen und Bandsperren: die maximale Dämpfung im Durchlassbereich und die minimale Dämpfung im Sperrbereich zusätzlich bei IIR Tief oder Hochpass: Grenzfrequenzen der Durchlass und Sperrgrenze (die Reihenfolge der Frequenzen ist egal!) zusätzlich bei IIR Bandpässen und Bandsperren: Grenzfrequenzen der oberen und unteren Durchlass und Sperrgrenzen (die Reihenfolge der Frequenzen ist egal!) bei IIR Allpässen: Gruppenlaufzeit, die mindestens bis zur Grenzfrequenz konstant gehalten wird 5. A/D Wandler Quantisierung: Anzahl der Binärstellen, die von den vom A/D Wandler gelieferten Samples abgeschnitten werden 6. Koeffizientenquantisierung: Anzahl der Dezimalstellen, die von den berechneten Koeffizienten abgeschnitten werden 7. Berechnen Button: berechnet mit den bei (1) (4) angegebenen Parametern das digitale Filter und zeigt in den Graphen an, was bei (13) bzw. (14) ausgewählt ist 8. Speichert die Koeffizienten und die Konfigurationsdaten in Mnemonik ab (erzeugt die Dateien koefffir.txt bzw. koeffiir.txt und Ndeffir.txt bzw. Ndefiir.txt ) unter Berücksichtigung der Einstellungen aus (5) und (6) und öffnet das GUI zum Vergleichen der Werte (siehe auch 0) 9. Reset Button: initialisiert alle Werte 10. Möglichkeit, die Abszissenbeschriftung in normierter Frequenz anzuzeigen 11. Oberer Plot 12. Unterer Plot 13. Anzeigeoptionen des oberen Plots: H Betragsfunktion Pol /Nullstellenplot Aufruf des Pol /Nullstelleneditors (näheres unter 5.1.2) Gruppenlaufzeitverzögerung Phasenverzögerung 14. erzeugt ein neues Fenster mit dem aktuellen Plot, um diesen zu bearbeiten und auszudrucken; Koeffizienten werden im Arbeitsverzeichnis abgespeichert 15. Anzeigeoptionen des unteren Plots: Amplitudengang 20 log Phasengang Amplituden und Phasengang Darstellung der Koeffizienten 16. Siehe (14) 17. Sicheres Beenden des Programms 17

18 Mit der Betragsfunktion aus (13) werden die Absolutwerte über der Frequenz angezeigt. Mit ihr kann der Filtertyp anschaulich dargestellt werden Der Pol /Nullstelleneditor Abbildung 5.2: GUI des Pol /Nullstelleneditors Der Pol /Nullstelleneditor lässt sich über den Button des in beschriebenen Filterdesignprogramms öffnen. In ihm können je nach Filtertyp den Nullstellen und den Polstellen neue Werte zugewiesen werden. 1. Anzeige der Parameter des Filters, dessen Pol /Nullstellen editiert werden können 2. Pol /Nullstellen Plot des Filters mit automatischer Aktualisierung bei Mausklick nach Eingabe eines neuen Wertes 3. Anzeige der Null bzw. Polstellen des Filters 4. Eingabefelder zum Ändern einer Pol bzw. Nullstelle 5. Neu Berechnen Button: berechnet mit den geänderten Pol /Nullstellen ein neues Filter und kehrt zum Hauptprogramm zurück Um eine Pol bzw. Nullstelle zu ändern, muss zunächst der gewünschte Wert in der Anzeige (3) mit einem einfachen Mausklick markiert werden. Anschließend kann man im Eingabefeld (4) den angezeigten Wert ändern, wobei auch reelle Werte durch komplexe ersetzt werden können und umgekehrt. Hierbei ist die Syntax einer komplexen Zahl zu berücksichtigen:. Anstelle eines Punktes ist ein Komma einzugeben. Die Änderung einer Pol bzw. einer Nullstelle wird durch einen Mausklick oder der Bestätigung mit der Enter Taste übernommen. Nach dem erneuten Berechnen des Filters bei geänderten Pol /Nullstellen wird im Hauptprogramm die Anzeige der Filterart und der Grenzfrequenz auf undefiniert gesetzt, da eine genaue Zuordnung nicht mehr möglich ist. Dies ist aus einer Folge von Bindestrichen in den jeweiligen Eingabefeldern ersichtlich. 18

19 5.1.3 Der Vergleich zwischen den Werten von MATLAB und des DSP Das GUI zum Vergleichen der errechneten und gemessenen Werte erreicht man über den Button DSP. Durch Klicken auf den Button EVM starten wird dort das Programm zum Laden des Filters gestartet (hierzu mehr in Abschnitt 6.3) Abbildung 5.3: GUI zum Vergleichen der rechnerischen und gemessenen Werte 1. Anzeige der Parameter des zuletzt berechneten Filters, der mit den gemessenen Werten des Network Analyzers verglichen werden soll 2. Plot der errechneten (in blauer Farbe) und gemessenen (in roter Farbe) Werte des Filters 3. Datei einlesen Button: fordert zum Auswählen einer Datei aus und bereitet deren Daten zum Anzeigen auf 4. Ein Klick auf EVM starten startet das Programm zum Download des Filters auf den DSP 5. DSP beenden Button beendet die GUI 6. Anzeigeoptionen des Plots 7. aktueller Plot wird in einem neuen Fenster geöffnet, um ihn dort in gewünschter Weise auszudrucken 8. Möglichkeit, die Abszissenbeschriftung in normierter Frequenz anzuzeigen 19

20 6 Beschreibung des DSP 6.1 Das Evaluationsmodul DSP56303EVM Abbildung 6.1: Foto des Evaluationsmoduls DSP56303EVM Der Kern des verwendeten DSP56303EVM ist der Motorola DSP 56002, ein noch häufig eingesetzter digitaler Signalprozessor. Die Einsatzgebiete erstrecken sich über Audioanwendungen, Bildverarbeitung und der Anwendung in der Telefonie. Das Modul besitzt mehrere Ein und Ausgangsports, welche teilweise zur peripheren Erweiterung dienen. Es sind auch ein Audioeingang sowie zwei Audioausgänge (Line Out und Kopfhörer) vorhanden. Der Anschluss an den Network Analyzer erfolgt über die vorhandene RS232 Schnittstelle. 6.2 Aufbau des DSP56303 Digitale Signalprozessoren sind programmierbare Prozessoren, die für bestimmte Rechenoperationen geschwindigkeitsoptimiert sind. Anders als gewöhnliche Prozessoren besitzen DSPs mehrere arithmetisch logische Einheiten (ALUs), zum Teil auch Multiplizier Akkumulatoren (MACs), die die Rechenanweisung A + B C in einem Rechenzyklus bestimmen können und das Ergebnis in A abspeichern. Diese optimierte Anweisung ist beispielsweise zur Berechnung einer Faltung nützlich. Die Architektur bei DSPs ist eine sogenannte Harvard Architektur. 20

21 Abbildung 6.2: Aufbau des DSP56303 Sie ist gekennzeichnet durch die physikalische Trennung von Daten und Programmspeicher und weist somit auch separate Busse auf. Dadurch wird ein paralleles Lesen von Befehlen und Daten und somit ein hoher Datendurchsatz ermöglicht. Aus Abbildung 6.2 wird ersichtlich, dass der DSP56303 eine erweiterte Harvard Architektur hat. Er besitzt einen weiteren Datenbus und einen Steuerbus. Somit können zwei Operanden gleichzeitig aus den zwei Datenspeichern (X und Y Speicher) geladen werden. Die ALU führt alle arithmetischen und logischen Operationen aus. Da der DSP ein Festkommaprozessor ist, werden alle Zahlen im Zweierkomplement dargestellt. Die zwei 56 Bit Akkumulatoren A und B werden aus je zwei allgemein verwendbaren 24 Bit Eingaberegister und einem 8 Bit Extension Register gebildet. Das Extension Register dient zur Übernahme des Übertrags oder zur Vorzeichenerweiterung. Der DSP Kern besitzt eine PLL (Phase Locked Loop), die nur chipintern verfügbar ist, womit störender elektromagnetischer Strahlung entgegengewirkt wird. Die Programmsteuereinheit dient zum Laden und Decodieren von Programmen, Ausführen von Hardwareschleifen und zum Behandeln von Interrupts. Der DMA Controller (Direct Memory Access) sorgt für die Verschiebung von ganzen Datenblöcken, ohne dabei den Prozessorkern zu belasten. Die Verschiebung findet zwischen internem und externem Speicher und/oder internen/externen Ein und Ausgängen statt. Es stehen sechs getrennt programmierbare DMA Kanäle zur Verfügung. 21