4.2. Aufgaben zu Wellen

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1 4.. Augaben zu Wellen Augabe : Wellengleihung a) Berehne die Frequenz und die Periodendauer einer Rundunkwelle mit der Wellenlänge λ = 600 m und einer Ausbreitungsgeshwindigkeit on = m/s. b) Berehne die Wellenlänge und die Frequenz ür oranges Liht mit der Periodendauer T = 0 5 s und einer Ausbreitungsgeshwindigkeit on = m/s. ) Wie shnell ist eine Wasserwelle mit Periodendauer T = 3 s und Wellenlänge λ = 3 m? d) Welhe Wellenlänge hat eine Shallwelle, die sih mit = 330 m/s und einer Frequenz on 440 Hz (Kammerton a) ausbreitet? Augabe : Wellengleihung Eine Transersalwelle breitet sih mit 3 m/s om Koordinatenursprung aus. Zur Zeit t = 0 ist die Auslenkung dort (0;0) = 0 und steigt dann innerhalb einer Sekunde bis au den Maximalwert on 0 m an. a) Wie groß sind die Periodendauer und die Frequenz der Welle? b) Welhe Wellenlänge hat die Welle? ) Wie lange dauert es, bis ein Teilhen in 0 m Enternung zu shwingen beginnt? d) Welhe Auslenkung (0 m; 50 s) hat dieses Teilhen nah 50 s? Augabe 3: Wellengleihung Eine Transersalwelle breitet sih mit einer Geshwindigkeit on = 5 m/s und einer Wellenlänge on λ = 50 m om Koordinatenursprung aus. Zur Zeit t = 0 ist die Auslenkung dort (0;0) = 0 und steigt dann bis au den Maximalwert on m an. a) Wie groß sind die Periodendauer und die Frequenz der Welle? b) Wie lange dauert es, bis ein Teilhen in 5 m Enternung zu shwingen beginnt? ) Welhe Auslenkung (8 m; t) hat ein Teilhen in der Enternung x = 8m nah t = 5s; t = 5 4 s und t 3 = 5 3 s? Augabe 4: Wellengleihung Ursprung des Koordinatensstems shwingt ein Erreger mit (0;t) = 8 m sin(π t s ). Er erzeugt eine Transersalwelle, die sih mit = 0, m/s ausbreitet. a) Wie groß sind die Periodendauer, die Frequenz und die Wellenlänge der Welle? b) Zeihne die Welle ür die Zeitpunkte t = s; t = 3 s, t 3 = 4 s und t 4 = 7 s in ein gemeinsames Koordinatensstem. ) Formuliere die Ort-Zeit-Funktionen ür die Shwingungen an den Stellen x = 30 m; x = 80 m und x 3 = 00 m. Augabe 5: Erzeugung elektromagnetisher Wellen a) Berehne die Frequenz eines Shwingkreises ür die Erzeugung on Zentimeterwellen (λ = m). hne mit der Lihtgeshwindigkeit m/s. b) Wie groß müssen die Induktiität L und die Kapazität C des Shwingkreises sein, wenn beide die gleihe Maßzahl auweisen sollen, d.h., wenn L C - = V A - gelten soll? Augrund der Ergebnisse aus b) werden ür Radargeräte und Mikrowellenöen anstelle herkömmliher Shwingkreise so genannte Hohlraumoszillatoren erwendet. Die leistungsstärkste und gleihzeitig einahste Variante ist das Magnetron. Es besteht aus einer stitörmigen Glühkathode, die sih in der Mitte der dosenörmigen Anode beindet. Ober- und unterhalb der Dose sitzen zwei Magnete, deren B-Feld die on innen nah außen liegenden Elektronen au eine Kreisbahn lenken. Dabei streiht der Elektronenstrom an den zlinderörmigen Aussparungen der Dose orbei und ersetzt diese in hohrequente Shwingungen ähnlih wie der Lutstrom durh eine Flöte. Die Sendeantenne wird einah an die Dose angeshlossen und strahlt einen Teil der Shwingungsenergie nah außen ab: Anode/sonanzkörper Glühkathode Ein tpishes Magnetron ür einen Mikrowellenoen hat eine Spannung on 5000 V zwishen Anode und Kathode und einen Innenradius on 3 m. ) Wie shnell können die Elektronen (Ruhemasse m 9, 0-3 kg und Ladung Q,6 0-9 C) nah Durhallen der gesamten Spannung on 5000 V maximal werden? d) Berehne die relatiistishe Massenzunahme des Elektrons in Prozent. e) Wie stark muss das B-Feld sein, um die Elektronen au eine Kreisbahn mit Radius m zu lenken? ) Das Magneteld soll durh zwei einahe Spulen ohne Eisenkern mit m Länge und je 00 Wiklungen erzeugt werden. Wie groß ist die erorderlihe Stromstärke? Die magnetishe Feldkonstante ist μ 0 = 4π 0-7 VsA - m -. B-Feld

2 Augabe 6: Dopplereekt Gib die einzelnen henshritte ür die Herleitung der rehts stehenden Gleihungen ür Periodendauer und Frequenz aus den obenstehenden Gleihungen ür die om Empänger wahrgenommene Wellenlänge bzw. Ausbreitungsgeshwindigkeit an: Augabe 7: Dopplereekt Mit welher Geshwindigkeit muss sih ein Beobahter a) einer ruhenden Shallquelle nähern, damit er den Ton eine Oktae höher (doppelte Frequenz) hört? b) on einer ruhenden Shallquelle enternen, damit er den Ton eine Oktae tieer (halbe Frequenz) hört? hne mit der Shallgeshwindigkeit = 340 m/s. Augabe 8: Dopplereekt Mit welher Geshwindigkeit muss sih eine Shallquelle a) einem ruhenden Beobahter nähern, damit dieser den Ton eine Oktae höher (doppelte Frequenz) hört? b) on einem ruhenden Beobahter enternen, damit dieser den Ton eine Oktae tieer (halbe Frequenz) hört? hne mit der Shallgeshwindigkeit = 340 m/s. Augabe 9: Dopplereekt Der Sirenenton eines orbeiahrenden Krankenwagens sinkt ür einen ruhenden Beobahter um eine Terz ab, d.h., das Verhältnis der empangenen Frequenzen om sih nähernden und sih enternenden Krankenwagen ist ' = 5. Wie shnell '' 4 war der Krankenwagen? hne mit der Shallgeshwindigkeit = 340 m/s. Augabe 0: Dopplereekt Die Radarpistole der Verkehrspolizei misst das Verhältnis der Frequenz der gesendeten Radiowelle zur Frequenz der relektierten Radiowelle, um daraus die Geshwindigkeit des Verkehrsteilnehmers zu ermitteln. a) Bestimme die Frequenz, mit der der au den Polizisten zurasende Verkehrsteilnehmer die gesendete Radiowelle empängt, in Abhängigkeit on ; und. b) Bestimme die Frequenz, mit der der Polizist die relektierte Radiowelle empängt, in Abhängigkeit on ; und. ) Bestimme die Geshwindigkeit des Verkehrsteilnehmers in Abhängigkeit om gemessenen Frequenzerhältnis ''. d) Berehne die Geshwindigkeit eines Autos, welhes mit '' Vom Empänger wahrgenommene Periodendauer Frequenz Bewegter Sender: λ = λ ± T T = T = 0 7 geblitzt wurde. hne mit = km/s. Augabe : Intererenz Bestimme mit Hile einer Zeigerdiagramms die Amplitude 0 und die Phasenershiebung t 0 sowie die Gleihung der Welle = +, die durh Überlagerung on und erzeugt wird. a) (x; t) = sin[ω(t x )] und (x; t) = os[ω(t x )] b) (x; t) = 3 sin[ω(t x )] und (x; t) = 4 os[ω(t x )] ) (x; t) = sin[ω(t x )] und (x; t) = 3 sin[ω(t x ) 45 ] d) (x; t) = sin[ω(t x )] und (x; t) = sin[ω(t x ) + 60 ] Augabe : lexion und Brehung a) Erkläre den Begri der Shallmauer mit Hile des Hugensshen Prinzips und einer Skizze b) Erkläre das lexionsgesetz mit Hile des Hugensshen Prinzips und einer Skizze ) Erkläre das Brehungsgesetz mit Hile des Hugensshen Prinzips und einer Skizze Bewegter Empänger: = ± T T = Augabe 3: lexion und Brehung Die Sonne enthält sehr iele ershiedene in alle Rihtungen shwingende Erreger. Das Sonnenliht enthält daher nahezu alle Farben und ist niht polarisiert. Die Atmosphäre iltert das Sonnenliht sowohl nah Frequenz als auh nah Polarisationsrihtung:. Blaues Liht wird stärker durh die Atmosphäre gebrohen als rotes Liht.. lexion und Brehung werden durh bewegte Ladungen in der Atmosphäre ausgelöst und inden daher immer nur in der Ebene senkreht zur Rihtung der elektrishen Feldektoren E statt. Die relektierte bzw. gebrohene Welle hat die gleihe Polarisationsrihtung wie die ursprünglihe Welle. = =

3 a) Warum sind Sonnenau- und -untergänge rot? b) Warum ist der Himmel blau? ) Polarisationsbrillen sind mit ganz einen Linien beshihtet, welhe nur Liht durhlassen, dessen elektrishe Feldektoren E parallel zu diesen Linien polarisiert sind. Wie müssen die Linien orientiert sein, damit die Brille das indirekte blaue Liht des Himmels durhlässt und das direkte Liht der Sonne blokiert? Augabe 4: Beugung am Gitter In der Praxis werden zur Verbesserung der Lihtausbeute bzw. Helligkeit Strihgitter anstelle on einzelnen Doppelspalten erwendet. Ein Strihgitter lässt sih einah herstellen, indem man iele parallele Strihe in ein dünnes Glasplätthen ritzt. Die Wirkung ist dieselbe wie beim Doppelspalt. Die 0.,.,., usw. Streien maximaler Verstärkung bzw. Helligkeit nennt man Beugungsmaxima 0.,.,. usw. Ordnung. Entsprehend sind die Streien maximaler Auslöshung Beugungsminima. a) Rotes Liht mit λ = 800 nm ällt durh ein Gitter mit 00 Strihen pro mm au einen a = 0 m enternten Shirm. Welhen Abstand b haben die Beugungsmaxima oneinander? b) Welhe Wellenlänge hat Laserliht, welhes senkreht au ein Gitter mit 00 Strihen pro m ällt und dann au einem Shirm in a = m Enternung Beugungsmaximal im Abstand b = m erzeugt? ) Wie iele Strihe pro mm hat ein Gitter, wenn die beiden. Beugungsminima on gelbem Liht der Wellenlänge λ = 600 nm au einem a = 50 m enternten Shirm einen Abstand on 3 m haben? Augabe 5: Beugung und lexion polarisierter Radiowellen a) Zur Untersuhung der Intererenzeigenshaten werden zwei Sendeantennen ür Zentimeterwellen senkreht zur Zeihenebene im Abstand on m augestellt. 8 m or ihnen beindet sih eine Empangsantenne, die ebenalls senkreht zur Zeihenebene ausgerihtet ist und nah oben und unten ershiebbar ist. (siehe rehts) Au den beiden dargestellten Positionen genau au halber Höhe zwishen den beiden Sendern und um 3,6 m nah oben ershoben ist der Empang optimal. Erkläre dieses Ergebnis. b) Wie ändert sih der Empang, wenn man die Empangsantenne parallel zur Zeihenebene legt? Begründe. ) Zur Untersuhung der lexionseigenshaten wird anstelle des unteren Senders in 3 m Enternung ebenalls senkreht zur Zeihenebene eine Metallplatte beestigt, die als Spiegel dienen soll. (siehe rehts) Begründe rehnerish, warum genau gegenüber ebenalls in 3 m Enternung zur Metallplatte (untere Position au der Skizze rehts) ein Empangsmaximum gemessen wird. d) Begründe ebenalls rehnerish, warum in der Enternung 3,856 m on der Metallplatte (obere Position in der Skizze rehts) ein Empangsminimum gemessen wird. Augabe 6: Beugung am Gitter Senkreht au ein optishes Gitter mit 00 Strihen pro Zentimeter ällt monohromatishes Liht mit der Wellenlänge λ = 544 nm. Berehne die Beugungswinkel α, α 5 und α 0 ür die Maxima., 5. und 0. Ordnung. Augabe 7: Beugung am Gitter Das sihtbare Spektrum einer Kohlebogenlampe erstrekt sih on λ iolett = 390 nm bis λ rot = 780 nm. Die. Beugungsmaxima des Spektrums sollen mit einem optishen Strihgitter mit 00 Strihen pro mm au eine Breite on Δb = m erteilt werden. Welhen Abstand a muss der Shirm augestellt werden? Augabe 8: Beugung am Gitter Welhe höhste Ordnung n ällt noh in des Beugungswinkelbereih bis α = 30, wenn man Laserliht der Wellenlänge λ = 633 nm an einem optishen Gitter mit 500 Strihen pro Zentimeter erwendet? Augabe 9: Beugung am Spalt Bei einer runden Blende wie z.b. einem Objekti ist das Hauptmaximum etwas breiter als beim geraden Spalt: Das. Minimum ersheint erst im Winkel α, λ zur optishen Ahse. Wie groß muss der Objektidurhmesser d eines Fernrohres d mindestens sein, damit man die Beugungssheibhen on zwei Sternen, die im Winkelabstand on einer Bogensekunde Grad) beobahtet wurden, bei der Wellenlänge λ = 550 nm gerade noh trennen kann? ( 3600 Augabe 0: Beugung an Spalt Wie groß ist der Winkelabstand α zweier Radiosterne, die mit dem 80 m-radioteleskop in Manhester bei λ = 0 m noh getrennt werden können? m 3 m Sender 8 m 8 m Sender Metallplatte Empänger Empänger 3,6 m,856 m 3,000 m 3

4 Augabe : Wellengleihung a) T = = μs und = = 500 khz T b) λ = T = 600 nm und = T = 5 04 Hz ) = T = m/s 4.. Lösungen zu den Augaben zu Wellen d) λ = = 75 m Augabe : Wellengleihung a) T = 4 s und = T b) λ = T = m = 0,5 Hz ) t 0 = x = 40 s d) Mit 0 = 0 m und ω = π = s erhält man (0 m; 50 s) = 0 sin[ω(t t 0 )] = 0 sin (50 40) m = 0. Augabe 3: Wellengleihung a) T = = 0, s und = T = 0 Hz b) t 0 = x = 3 s x ) (x; t) = 0 sin t = sin x 0ts m 5 m d) (8 m; 5 s) = (8 m; 5 s) = 0 und (8 m; 4 5 s) 0,4 m. 3 Augabe 4: Wellengleihung a) ω = π Hz = = 0,5 Hz T = x b) (x; t) = 0 sin t ) Zeihnung: /m 0 5 = s und λ = T = 40 m. = 8 sin ts 5x m m t = s t = 3 s t = 4,5 s t = 7,5 s x/m d) (30 m; t) = 8 os(π t s ) m; (80 m; t) = 8 sin(π t s ) m und (00 m; t) = 8 sin(π t s ) m. 4

5 Augabe 5: Erzeugung elektromagnetisher Wellen a) ν = = 30 GHz. b) Wegen ω = LC muss gelten L = 5,3 ph und entsprehend C 5,3 pf. ) Aus 0 = E kin + E pot = m + U Q erhält man die maximale Geshwindigkeit = d) Mit 0,5 erhält man m m = =,4 % UQ m 4, 0 7 m/s. e) Aus F Z = F B m r = Q B erhält man B = m Qr = Um Qr Bl ) Aus B l = μ 0 n I ergibt sih I = = 0,47 A. n 0,9 mt. Augabe 6: Dopplereekt ' T T Bewegter Sender Periodendauer T = = = = T ± T = T Frequenz = = = T =. T' T Bewegter Empänger: Frequenz = ' = = ± = ± = = T Periodendauer T = ' Augabe 7: Dopplereekt a) = = 340 m/s b) = 70 m/s Augabe 8: Dopplereekt a) = 70 m/s b) = = 340 m/s = = =. Augabe 9: Dopplereekt Sei die Frequenz des Martinshorns, dann ist = die Frequenz des ankommenden und = die Frequenz des wegahrenden Krankenwagens. Daraus olgt 5 4 = ' '' Augabe 0: Dopplereekt a) = ' b) = = '' = = '' '' ) = '' '' = m s 37,78 m s 05 km/h. d) = 30 m/s = 96 km/h 5

6 Augabe : Intererenz a) Amplitude 0 = = Phasenershiebung φ 0 = artan 63,4 (x; t) = 5 sin[ω(t x ) + 63,4 ] (Welle läut or ) b) Amplitude 0 = = Phasenershiebung φ 0 = artan 3 53, (x; t) = 5 sin[ω(t x ) 53, ] (Welle läut nah ) ) Amplitude 0 4, 4,5 4,64 Phasenershiebung φ 0 = artan, 4, 7, (x; t) 4,64 sin[ω(t x ) + 7, ] (Welle läut or ) d) Amplitude = 7 Phasenershiebung φ 0 = artan 3 40,9 (x; t) 7 sin[ω(t x ) + 40,9 ] (Welle läut or ) Augabe : lexion und Brehung siehe Theorie φ φ, ges = +, φ φ,73 Augabe 3: lexion und Brehung a) Das blaue Liht wird durh Beugung abgelenkt, das rote Liht kommt durh b) Das Blau des Himmels ist ausshließlih gebrohenes Liht. Daher steigt der Anteil des blauen Lihtes, je weiter man on der Sonne wegblikt. ) Das indirekte Himmelsblau ist rehts und links on der Sonne senkreht polarisiert (Rihtung der elektrishen Feldektoren) und so müssen auh die Streien orientiert sein. Sie lassen dann praktish das gesamte indirekte Liht durh und halten einen großen Teil des direkten Lihtes au. Augabe 4: Beugung am Doppelspalt a) b = a d = 6 mm b) λ = d b a = 500 nm ) d = λ a b = 0 5 m = 00 mm 00 Strihe pro mm. Augabe 5: lexion und Beugung polarisierter Wellen a) Da die Wege on den beiden Sendern zum unteren Empänger gleih lang sind, kommen die Wellen dort gleihphasig an und erstärken sih gegenseitig () Die Wege zum oberen Empänger untersheiden sih um Δs = 8 5,6-8 3,6 9,77 m 8 77 m = m = λ und erstärken sih ebenalls b) Es indet kein Empang mehr statt, da die Wellen des Dipols linear polarisiert sind: das E-Feld ist senkreht zur Zeihenebene und kann in Objekten, die in der Zeihenebene liegen, keine Ladungen ershieben. Das B- Feld ist parallel zur Zeihenebene und kann nur Ströme senkreht zur Zeihenebene induzieren ) Der Ganguntershied zum unteren Empänger ist nah m Sender 8 m 4 m 4 m Empänger 3,6 m,856 m 3,000 m lektion genau in der Mitte der Platte Δs = m = 0 m 8 m = m = λ und ührt daher zu gegenseitiger Verstärkung. (siehe Skizze)(4) x m (8 x) m 6

7 d) Augrund des lexionsgesetzes sind die beiden rehtwinkligen Dreieke unter dem einallenden und dem ausallenden x 8 x Strahl ähnlih und nah dem Strahlensatz gilt = 7,856x = 4 x 3,055 m. 3 4,856 Der Ganguntershied ist diesmal. Δs 3 3, , 945 4,856-8,856 m 4,8 m + 6,93 m 8, m = 3,00 m 3λ und ührt daher wieder zu gegenseitiger Verstärkung. (siehe Skizze). Augabe 6: Beugung am Gitter α = 0,3 ; α 5 =,56 und α 0 = 3,. Augabe 7: Beugung am Gitter Δb = b rot b iolett = a d (λ rot λ iolett ) a = bd rot iolett 3,08 m Augabe 8: Beugung am Gitter n d < tan(30 ) = 3 zur n < d 3 Augabe 9: Beugung am Spalt d =, λ 3,8 m Augabe 0: Beugung an Spalt α =, d 0,7. 8,4 bis zur 8. Ordnung. 7