Schwingungen und Wellen Teil I

Transkript

1 Schwingungen und Wellen Teil I Einleitung Arten von Schwingungen Lösung der Differentialgleichung Wichtige Größen Das freie ungedämpfte und gedämpfte Feder-Masse-System Ausbreitung von Wellen Allgemeine Wellengleichung Stehende Welle Erläuterungen: Interferenz, Amplitudenmodulation, Frequenzmodulation Zusammenfassung: Wichtige Größen Physik, SS 016 1

2 Literatur M. Alonso, E.J. Finn, Physik, Oldenbourg Verlag, 3. Auflage, 000. F. Herrmann, Mechanik, Skripten für Experimentalphysik, Abteilung für Didaktik der Physik, Universität Karlsruhe, Auflage 003. F. Kuypers, Physik für Ingenieure 1. Mechanik und Thermodynamik, WILEY- VCH Verlag,. Auflage 00. W. Höger, Mechatronik, Skript, Fachhochschule München, WS 003 / 004. Demtröder, Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, Springer Verlag, 6. Auflage 013. Physik, SS 016

3 1. Einleitung: Schwingungen Eine Schwingung liegt vor, wenn sich der Wert einer physikalischen Größe periodisch ändert, z.b. der Impuls eines Pendels, Die Auslenkung des Pendels, die Auslenkung einer Feder, elektrische Stromstärke in einem Schwingkreis usw. Die gleichförmige Kreisbewegung ist ein periodischer Vorgang. Die gleichförmige Kreisbewegung besitzt eine konstante Periodendauer T bzw. eine konstante Frequenz f. Beispiele für Schwingungssysteme: Ungedämpfte Federpendel, gedämpfte Federpendel, Erzwungene Schwingung. Physik, SS 016 3

4 . Arten von Schwingungen ungedämpft gedämpft erzwungen D m D m Q D m m & x&+ D x = 0 R=1/C Stoßdämpfer m & x + C x& + D x = 0 R=1/C m && x + C x& + Dx= F0 cosωt Physik, SS 016 4

5 . Arten von Schwingungen ungedämpft gedämpft erzwungen L C L C R L u 0 cosωt C 1 U && + U = 0 L C 1 1 U & + U& + U = 0 RC LC 1 1 U&& + U& + U = U0 cosωt RC LC Physik, SS 016 5

6 . Arten von Schwingungen Freie Schwingungen, die Schwingung wird einmalig angeregt und verläuft dann ohne weitere äußere Anregungen. Die Frequenz ist konstant und durch Systemgrößen bestimmt. Gedämpfte Schwingungen, es treten Reibungskräfte auf. Der Oszillator verliert dauernd Energie. Ungedämpfte Schwingungen sind Grenzfälle, die in der Praxis nicht vorkommen, jedoch für das Studium von Schwingungsvorgängen sehr wichtig sind und oft als Näherungen eingesetzt werden. Erzwungene Schwingungen, Oszillator wird von äußerer periodischer Kraft zu Schwingungen angeregt. Schwingt der Oszillator mit der Frequenz der äußeren Kraft, dann bezeichnet man das schwingende System als Resonator. Physik, SS 016 6

7 3. Lösung der Differentialgleichung für ungedämpfte Schwingung Mechanik ungedämpft D m A ω f T ϕ D : Amplitude : Kreisfrequenz : Frequenz : Periodendauer : Phase : Federkonstante 3. Newtonsche Gesetz auf die Masse: m & x&= F D mit F D = D x(t ) m & x&+ D x = 0 Lösung der Differentialgleichung x 0 (t ) = A sin( ω t +ϕ ) Physik, SS 016 7

8 4. Wichtige Größen Plattenspieler Quelle: Natur und Technik, Physik, Sekundarstufe 1 Quelle: Natur und Technik, Physik, Sekundarstufe 1 Schattenbilder von Stift und Pendel werden in Deckung gebracht. Schattenbilder von Stift und Feder-Masse werden in Deckung gebracht. Physik, SS 016 8

9 4. Wichtige Größen Quelle: Natur und Technik, Physik, Sekundarstufe 1 Physik, SS 016 9

10 4. Wichtige Größen: Harmonische Schwingung Quelle: Natur und Technik, Physik, Sekundarstufe 1 Bei einer harmonischen Schwingung ist nach jeweils gleichbleibender Zeitspanne t = T der gleiche Schwingungszustand erreicht. T = Periodendauer (Schwingungsdauer). Harmonische Schwingung: Einen Bewegungsablauf, der der seitlichen Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung gleicht nennt man harmonische Schwingung. Physik, SS

11 4. Wichtige Größen: Harmonische Schwingung Harmonische Schwingung: Periodischer Vorgang, dessen Verlauf durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben wird. Beide Funktionen unterscheiden sich durch eine Phasenverschiebung von 90 (π/). Dabei beschreibt u(t) die Zustandsvariable des Systems zur Zeit t. Die physikalische Bedeutung von u(t) hängt vom betrachteten System ab (Weg- oder Winkelkoordinate, Spannung, elektrisches oder magnetisches Feld u.s.w.). u(t ) A u(t ) = Acos( ω t + ϕ ) 0 t A 1 π T = = f ω Physik, SS

12 4. Wichtige Größen: Phasenverschiebung Versuch: Der Stift beginnt seine Bewegung bei Punkt 1. Zur gleichen Zeit startet das Federmassesystem in Punkt 3 zu schwingen. Die Schattenbilder kommen nicht mehr zur Deckung! Quelle: Natur und Technik, Physik, Sekundarstufe 1 Phasenverschiebung: Schwingungen mit gleicher Schwingungsdauer sind phasenverschoben, wenn ihre maximalen Auslenkungen (Amplituden) zu verschiedenen Zeiten erreicht werden. Phasenverschobene Schwingungen Physik, SS 016 1

13 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Mathematisches Pendel Faden mit Masse, dabei ist der Faden in der Länge immer gleich groß, nicht dehnbar! Reibungsfreie Aufhängung des Pendels. Keine Reibung. Die Beschreibung erfolgt durch die Fadenlänge l und Masse m des Pendels, Auslenkwinkel θ(t) zwischen Lot und ausgelenktem Pendel zur Zeit t oder die horizontale Auslenkung x(t) des Pendelkörpers zur Zeit t: θ ( t ) = θ0 cos( ω t + ϕ ) l cosθ l h F T mg Physik, SS

14 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Mathematisches Pendel Beweis: F T = mg sinθ F T = ma T mit a T d θ = l dt l cosθ l d θ mat = ml = mg sinθ dt d θ l + g sinθ = 0 dt Für kleine Schwingungsamplituden gilt: h F T mg sinθ θ d θ l + g θ = 0 dt Differentialgleichung mit ω = g l und T = π l g Physik, SS

15 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Physikalische Pendel Physikalisches Pendel: Jeder starre Körper, der unter der Wirkung der Schwerkraft frei um eine horizontale Achse schwingt. Schwingungsperiode bei kleiner Amplitude: T = π J mgb Länge des mathemetischen Pendels, reduzierte Pendellänge, weil ein mathematisches Pendel dieser Länge, die gleiche Periode besitzt. ZZ' C l J : : : : Horizontale Achse Schwerpunkt Reduzierte Pendellänge Trägheitsmoment l = J mb Physik, SS 016 Quelle: M. Alonso, E. J. Finn 15

16 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Physikalische Pendel Beweis: Drehmoment auf den Körper wirkend: τ = mgb sinθ Wenn J das Trägheitsmoment ist um die Z-Achse und für die Winkelbeschleunigung α gilt: d θ α = und mit Jα = τ z dt J d θ = mgb sinθ dt Quelle: M. Alonso, E. J. Finn Für kleine Amplituden sinθ θ d θ = dt mgb θ J Physik, SS

17 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Physikalische Pendel d θ = dt mgb θ J d θ mgb + θ = 0 dt J Quelle: M. Alonso, E. J. Finn Die Schwingungsbewegung ist harmonisch und es gilt für die Winkelgeschwindigkeit ω: ω = mgb J T = π J mgb Physik, SS

18 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Torsionspendel Torsionspendel: Der Körper bewegt sich frei wie in der Abbildung gezeigt. Für das Drehmoment gilt: κ J : Torsionskoeff. des Drahtes : Trägheitsmoment um die Achse OC τ = κθ Wird der Körper losgelassen, führt das Drehmoment τ zur Schwingung um die Gerade OC. T = π J κ Quelle: M. Alonso, E. J. Finn Wir können dieses Ergebnis zur Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers verwenden, wenn der Torsionskoeffizient κ bekannt ist und wir den Körper schwingen lassen mit der Periodendauer T. Physik, SS

19 5. Freie ungedämpfte Schwingungen: Torsionspendel Beweis: Bewegungsgleichung aufgestellt ergibt: Quelle: M. Alonso, E. J. Finn d θ d θ κ J = κθ + θ = 0 dt dt J ω = κ J T = π J κ Physik, SS

20 6. Ausbreitung von Wellen v Welle, Schwingung in einer Feder v Welle, Schwingung in einem Gas v Welle, Schwingung in einem Seil Quelle: Alonso, Finn; Physik Physik, SS 016 0

21 6. Ausbreitung von Wellen: Translation der Funktion ξ(x) ohne Formänderung Ausbreitung der Welle nach rechts ξ Ausbreitung der Welle nach links v v ξ v v Wellen die sich in entgegengesetzten Richtungen ausbreiten, führen bei Interferenz zu additiven Überlagerungen X X X X Uberlagerung X X X X ξ = f ( x vt ) ξ = f ( x + vt ) ξ = ( x vt ) + f ( x vt) f1 + Physik, SS 016 1

22 6. Ausbreitung von Wellen Ein besonders interessanter Fall ist der in dem ξ(x,t) eine sinusförmige, d.h., eine harmonische Funktion ist. π ξ( x,t ) = ξ0 sin ( x vt ) λ mit π k = λ ξ 0 ω v T λ k : Amplitude : Kreisfrequenz : Ausbreitungsgeschw. : Periodendauer : Wellenlänge : Wellenzahl ξ( x,t ) = ξ0 sin(kx ω t ) oder ξ( x,t ) = ξ0 cos( ωt kx) Da der Sinus zum Cosinus nur um π/ phasenverschoben ist. Physik, SS 016

23 6. Ausbreitung von Wellen: Wellenlänge Die Wellenlänge λ ist die Entfernung, um die die Wellenausbreitung in einer Periode fortschreitet. Dargestellt ist die veränderliche Größe ξ in Abhängigkeit vom Ort. Hier kann es sich z.b., um den Druck oder die Dichte, die sich mit dem Ort ändern handeln (z.b. Druckwelle im Rohr). ξ λ λ = v T = v 1 f λ ξ 0 λ x Physik, SS 016 3

24 6. Ausbreitung von Wellen t = t 0 Harmonische Welle, die sich nach rechts ausbreitet. Sie legt in der Zeit T (Periodendauer) die Entfernung λ zurück. T t = t0 + 4 T t = t0 + 3T t = t0 + 4 t = t0 + T Quelle: Alonso, Finn; Physik Physik, SS 016 4

25 7. Allgemeine Wellengleichung ξ( x,t ) 1 = x v ξ( x,t ) t Lösung der allgemeinen Wellengleichung: ξ( x,t ) = f1 ( x vt ) + f( x+ vt ) f 1 ( ), f ( ) sind beliebige Funktionen, die durch die Anregung (Randbedingung) an der Stelle x = 0 bestimmt werden. Partikuläre Lösung der allgemeinen Wellengleichung: π π ( x,t ) = ξ0 cos( x ωt ) mit = k als Wellenzahl ξ ± λ λ Physik, SS 016 5

26 7. Allgemeine Wellengleichung: Licht als elektromagnetische Welle Die Felder sind in Phase und stehen senkrecht aufeinander. Die Welle breitet sich senkrecht zum E-Feld und B-Feld fort. r r ξ ( x,t ) 1 ξ( x,t ) = ξ( x,t ) = E( x,t ) oder B( x,t ) v x = r E( x,t ) = x 1 µ ε 0 0 v v 1 r E( x,t ) µ t t 0 = 1, r B( x,t ) = x H m ε 0 v 1 r B( x,t ) t = 0, As Vm ε 0 µ 0 v E B : elektr. Feldkonstante : magn. Feldkonstante : Ausbreitungsgeschw. : Elektrisches Feld : Magnetisches Feld Quelle: Paul A. Tipler; Physik Physik, SS 016 6

27 8. Stehende Wellen Stehende Wellen, entstehen durch Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleichem Phasenwinkel, aber entgegengesetzter Laufrichtung. Die Wellenzahlvektoren beider Wellen sind betragsgleich und antiparallel. Mathematische Beschreibung: ( y 1 y r,t ) = r (,t ) = r r Acos( k ω t ) r r Acos( k ω t ) Die Minima und Maxima der stehenden Welle sind ortsfest. Schwingungsknoten: Bezeichnung für ein ortsfestes Minimum einer stehenden Welle. Schwingungsbauch: Bezeichnung für ein ortsfestes Maximum einer stehenden Welle. r r r r r (,t ) = y (,t ) + y (,t ) = Acos( ω t )cos( k ) y 1 Quelle: Stöcker: Taschenbuch der Physik Physik, SS 016 7

28 8. Stehende Wellen: Zwei fester Enden Stehende Wellen, entstehen durch Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleichem Phasenwinkel, aber entgegengesetzter Laufrichtung. Die Wellenzahlvektoren beider Wellen sind betragsgleich und antiparallel. Quelle: Stöcker: Taschenbuch der Physik Physik, SS 016 8

29 9. Interferenz Bezeichnung für die bei der Überlagerung verschiedener Wellen auftretenden Phänomene. Im engeren Sinn spricht man nur dann von Interferenz, wenn die überlagerten Wellen kohärent sind. Kohärente Wellen, zwei Wellen sind kohärent, wenn ihre Phasendifferenz zeitunabhängig ist. Physik, SS 016 9

30 9. Amplitudenmodulierte Welle Die Amplitude der hochfrequenten Trägerschwingung wird zeitabhängig verändert nach folgender Funktion: â Â( t ) =  + â cosω t = Â(1 + cosω t )  â Definition: m = Modulationsgrad  Damit ist die modulierte hochfrequente Trägerschwingung: A( t ) = Â(1 + mcosω t )cos Ω t Sinusförmig amplitudenmodulierte Schwingung Ω >> ω Hüllkurve â ω Ω Â Â: Trägeramplitude, â: Amplitudenhub m = â / Â: Modulationsgrad t Funktionsschaltbild zur Erzeugung einer in der Amplitude modulierten Schwingung a( t ) = â cosω t 1 /  â cosω t cos Ω t Âcos Ω t A( t ) = Â(1 + m cosω t )cos Ω t ~ Generator zur Erzeugung der Trägerschwingung Physik, SS

31 9. Frequenzmodulierte Welle Die Frequenzmodulation ist eine mögliche Form der A(t) Modulation der Phase Φ (t) einer harmonischen Schwingung A(t) =Â cos Φ (t). Man erzeugt eine in der Frequenz modulierte t Schwingung mit einem Oszillator, dessen Ω(t) Eigenfrequenz durch ein elektrisches Signal zeitabhängig verändert werden kann. t A(t) : Frequenzmodulierte Schwingung Ω Ω ( t ) = Ω + h1( t ) h 1 ( t ) ~ a( t ) = â cosω t Ω(t): Momentanfrequenz h0 Ω ist die Kreisfrequenz der unmodulierten hochfrequenten Schwingung; h 1 (t) ist proportional zum niederfrequenten Nachrichtensignal a(t). Ω Ω ( t ) = Ω + Ω cosω t heißt Frequenzhub; Ω ~ â π dφ ( t ) Ω Ω Wegen Ω ( t ) = ist Φ ( t ) = Ω t + sinω t Def: η = : Modulationsindex dt ω ω A( t ) = Âcos( Ω t +η sinω t ) Zeitfunktion der frequenzmodulierten Schwingung. Physik, SS

32 10. Zusammenfassung: Wichtige Größen Periodendauer T : Der kürzeste Zeitabschnitt, nach dem sich ein periodischer Vorgang wiederholt, ist seine Periodendauer T oder Schwingungsdauer. Frequenz f : Die Frequenz f eines periodischen Vorgangs kann aus dem Kehrwert der Periodendauer T ermittelt werden. f = 1/T in Hz (Herz) Amplitude : Maximale Auslenkung aus einer Ruhelage (z.b. Pendel). Phasenverschiebung ρ : Schwingungsbewegungen mit gleicher Schwingungsdauer sind dann gegeneinander phasenverschoben, wenn ihre entsprechneden maximalen Auslenkungen zu verschiedenen Zeitpunkten erreicht werden. Physik, SS 016 3