Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik

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1 ZK M A1 (mit CAS) Seite 1 von Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik Aufgabenstellung In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Insbesondere die Rheinschiene im Großraum Köln/Bonn war im Dezember 199 und im Januar 1995 stark von den Rhein- Überschwemmungen betroffen. In den ersten Tagen des Jahres 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze in den Mittelgebirgen den Rhein auf die Rekordhöhe des 0. Jahrhunderts steigen. Bei diesem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 t 1, d. h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar. Es gilt: h ( t) = 0,005 t³ + 0,04 t² + 9,17 t : Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn am 7. Januar 1995 um 0:00 Uhr h (t) : Wasserstand in Metern

2 ZK M A (mit CAS) Seite 1 von Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x) = 1 x + 5 x 14 x + 9. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion f. a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte T ( ) und H ( ) besitzt. 7 b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente g an den Graphen von f im Punkt ( 5 ) B. (Zur Kontrolle: g x) = x + 9 ) ( Punkte) ( Abbildung 1 c) Neben dem Berührpunkt B hat die Tangente g noch einen weiteren gemeinsamen Punkt S mit dem Graphen von f. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von S. d) Der Graph der Funktion f soll so in x-richtung verschoben werden, dass eine der drei Nullstellen des verschobenen Graphen an der Stelle x = 4 liegt. Ermitteln Sie, um wie viele Einheiten der Graph von f verschoben werden muss. Geben Sie alle Möglichkeiten auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. (5 Punkte)

3 ZK M A (mit CAS) Seite von e) In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und F. Dabei ist f die Ableitungsfunktion von F. Abbildung An der Zeichnung kann man Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und F erkennen. Nennen Sie zwei unterschiedliche Zusammenhänge, die Sie selbst auswählen können. f) In der Abbildung sehen Sie neben dem Graphen der Funktion f den Graphen einer weiteren Funktion H. Abbildung Die Ableitung der Funktion H wird mit h bezeichnet. Der Graph von h ist hier nicht eingezeichnet, er geht aber durch eine Verschiebung in y-richtung aus dem Graphen von f hervor. Geben Sie diese Verschiebung an und begründen Sie Ihre Entscheidung. Zugelassene Hilfsmittel: CAS (Computer-Algebra-System) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

4 ZK M A1 (mit CAS) Seite von Mit dieser Funktion h ist es möglich, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten. a) Berechnen Sie die Höhe des Wasserstandes am 7. Januar 1995 um 7:0 Uhr. Berechnen Sie, um wie viele Zentimeter das Wasser in den nächsten 0 Minuten anstieg. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg. ( Punkte) c) Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messstation erreicht wurde. Berechnen Sie diesen Höchststand. (8 Punkte) d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg. e) Für eine andere Messstation kann die Entwicklung des Wasserstandes im gleichen Beobachtungszeitraum durch die Funktion g mit g ( t) = 0,00 t + 0,014 t + 0,18 t + 7, 57 beschrieben werden. (1) Zeichnen Sie in das Koordinatensystem auf Seite 1 den Graphen von g ein. Bei den Graphen von g und h ist die Lage des jeweiligen Hochpunktes auch ohne Rechnung erkennbar. Zeichnen Sie diese beiden Hochpunkte ein. () Die Funktion g kann auch in der Form g ( t) = a h( t + b) dargestellt werden. Ermitteln Sie a und b. [Auch die Ermittlung von Näherungswerten für a und b anhand der Zeichnung ist hier eine zulässige Lösung.] (7 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: CAS (Computer-Algebra-System) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

5 ZK M A1 (ohne CAS) Seite 1 von Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik Aufgabenstellung In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Insbesondere die Rheinschiene im Großraum Köln-Bonn war im Dezember 199 und im Januar 1995 stark von den Rhein- Überschwemmungen betroffen. In den ersten Tagen des Jahres 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze in den Mittelgebirgen den Rhein auf die Rekordhöhe des 0. Jahrhunderts steigen. Bei diesem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 t 1, d. h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar. Es gilt: h ( t) = 0,005 t³ + 0,04 t² + 9,17 t : Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn am 7. Januar 1995 um 0:00 Uhr h (t) : Wasserstand in Metern

6 ZK M A1 (ohne CAS) Seite von Mit dieser Funktion h ist es möglich, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten. a) Berechnen Sie die Höhe des Wasserstandes am 7. Januar 1995 um 7:0 Uhr. ( Punkte) b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg. c) Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messstation erreicht wurde. Berechnen Sie diesen Höchststand. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg. (10 Punkte) e) An einer zweiten Messstation war die Entwicklung des Wasserstandes in weiten Teilen vergleichbar mit dem Verlauf an der ersten Messstation. Allerdings wurde hier der höchste Wasserstand erst zu einem späteren Zeitpunkt gemessen und hatte eine geringere Höhe als an der ersten Messstation. Die Entwicklung des Wasserstandes an der zweiten Messstation kann durch eine Funktion g mit g ( t) = a h( t + b) beschrieben werden. Geben Sie einen Zahlenbereich für a und einen Zahlenbereich für b so an, dass der oben beschriebene neue Sachverhalt sinnvoll modelliert werden kann, und begründen Sie Ihre Wahl. Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

7 ZK M A (ohne CAS) Seite 1 von Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x) = 1 x + 5 x 14 x + 9. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion f. a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte T ( ) und H ( ) besitzt. 7 b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt ( 5 ) (9 Punkte) B. (Zur Kontrolle: t x) = x + 9 ) ( Abbildung 1 c) Neben dem Berührpunkt B hat die Tangente t noch einen weiteren gemeinsamen Punkt S mit dem Graphen von f. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von S. (5 Punkte)

8 ZK M A (ohne CAS) Seite von d) In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und F. Dabei ist f die Ableitungsfunktion von F. Abbildung An der Zeichnung kann man Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und F erkennen. Nennen Sie zwei unterschiedliche Zusammenhänge, die Sie selbst auswählen können. e) In der Abbildung sehen Sie neben dem Graphen der Funktion f den Graphen einer weiteren Funktion G. Abbildung Die Ableitung der Funktion G wird mit g bezeichnet. Der Graph von g ist hier nicht eingezeichnet, er geht aber durch eine Verschiebung in y-richtung aus dem Graphen von f hervor. Geben Sie diese Verschiebung an und begründen Sie Ihre Entscheidung. Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

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