3 Geodätische Grundlagen

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1 3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen Räumliches Bezugssystem Dreidimensionales Koordinatensystem mit gegebener Orientierung zur Bestimmung der Raumkoordinaten von Punkten. X 3.1. Lagebezugssystem Z YP Meridian von Greenwich P ZP XP Y WGS 84 = World Geodetic System 1984 Bezugsfläche: WGS 84 - Ellipsoid Koordinatenursprung auf +/- 1m im Massenmittelpunkt der Erde X-Achse durch den Meridian von Greenwich Y-Achse rechtwinklig nach Osten auf der X-Achse Z-Achse mittlere Umdrehungsachse der Erde Seit 1989 realisiert durch das Europäische Referenznetz ETRS 89 (European Terrestrial Reference System1989) Auf einer Bezugsfläche, meist einem Rotationsellipsoid, festgelegtes System von Lagekoordinaten. Im amtlichen Vermessungswesen der Bundesrepublik Deutschland benutztes Lagebezugssystem: DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz Bezugsfläche: Bessel-Ellipsoid Zentralpunkt: TP Rauenberg L 0, B 0 Orientierung: Dreieckseite Rauenberg - Berlin, Marienkirche Abbildung: Gauß-Krüger-Projektion für Folgenetze Höhenbezugssystem In der Regel durch eine Höhenbezugsfläche und ihren Abstand zu einem Zentralpunkt definiertes System

2 3.1.4 Bezugsfläche Mathematisch, physikalisch oder mittels vorhandener Festpunktfelder definierte Fläche, auf die sich Lagekoordinaten, Höhen oder Schwerepotenziale von Vermessungspunkten beziehen. Bezugsflächen für Lagevermessungen oder räumliche Vermessungen Rotationsellipsoid Mittleres Erdellipsoid: Lokal bestanschließendes Erdellipsoid: Ersatzfläche für das gesamte Geoid Ellipsoidisches geodätisches Referenzsystem (GRS 80) Ersatzfläche für einen Teil des Geoids Referenzellipsoid: Rotationsellipsoid, das als Bezugsfläche für eine Landesvermessung dient (z. B. Bessel-Ellipsoid) Parameter des Erdellipsoids: Ellipsoid Bessel GRS80 Krassowski große Halbachse kleine Halbachse Abplattung 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen 31 a b f ,155 m ,963 m 1: 99, ,00 m ,314 m 1: 98, m ,019 m 1:98,3 Abplattung Erste numerische Exzentrizität Zweite numerische Exzentrizität f = (a b) a e = a b a e = a b b Meridiankrümmungshalbmesser M = a b = a(1 e ) (a cos B + b sin B) 3 (1 e sin B) 3 Querkrümmungshalbmesser N = a a cos B + b sin B = a (1 e sin B) Kugel als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid, für Vermessungen in kleineren Ländern Erdkugel Radius R Bildkugel Radius der Soldnerschen Bildkugel R S = N Radius der Gaußschen Schmiegungskugel R G = MN Ebene als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid oder für eine Bildkugel, für Vermessungen in einem Gebiet bis zu 10 x10 km² Höhenbezugsfläche siehe 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen

3 3 3 Geodätische Grundlagen 3. Geodätische Koordinatensysteme 3..1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem ϕ = Geographische Breite λ = Geographische Länge 3.. Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem B = Ellipsoidische Breite Winkel, den der in der Meridianebene liegende Normalkrümmungshalbmesser N mit der Äquatorebene bildet L = Ellipsoidische Länge Winkel, den die elliposidische Merdianebene eines Punktes mit der geodätischen Nullmeridianebene bildet H E = Ellipsoidische Höhe Punkthöhe über dem Ellipsoid 3..3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem X = (N + H E )cos Bcos L Y = (N + H E )cos Bsin L Z = Nsin B b a + H E sin B a = b = N = große Halbachse kleine Halbachse Normalkrümmungshalbmesser

4 3. Geodätische Koordinatensysteme Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem Die Abszissenachse ist ein Meridian durch den Koordinatenanfangspunkt P 0. Die Ordinate Y eines Punktes P i ist das sphärische Lot von P i auf die Abszissenachse, die Abszisse X von P i ist der Meridianbogen vom Koordinatenanfangspunkt P 0 bis zum Ordinatenlotfußpunkt. T = Sphärischer Richtungswinkel 3..5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem I,II,... Quadranten t = ebener Richtungswinkel s = Strecke 3..6 Polarkoordinaten Φ = Polarwinkel Anmerkung: Ist die Nullrichtung = Abszissenachse, so ist der Polarwinkel = Richtungswinkel s = Strecke

5 4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1,x 1 ) und P (y,x ) y = y y 1 x = x x 1 Richtungswinkel t 1, = arctan y x Quadrant I II III IV t t t + 00 gon t + 00 gon t gon y x Funktion auf Taschenrechner: arctan = tan -1 + arctan - arctan + arctan - arctan Formel für quadrantengerechten Richtungswinkel nach JOECKEL y = y y a x = x x a a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird. (z.b. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit) t[rad] = arctan y x + (1 + sgnx)sgny t[gon] = 00 arctany x + 00 (1 + sgnx)sgny100 Für Taschenrechner mit voreingestellter Einheit Gon t[gon] = arctan y x + 00 (1 + sgnx)sgny100

6 38 4 Vermessungstechnische Grundlagen Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1,x 1 ) und P (y,x ) y = y y 1 x = x x 1 Strecke s 1, = y +x Probe: y +x = (y + x ) (y 1 + x 1 ) = s sin(t 1, + 50 gon) Genauigkeit: Standardabweichung eines Richtungswinkels s t [rad] = s P s s P = s = Standardabweichung eines Punktes Strecke Standardabweichung einer Strecke nach PYTHAGORAS s s = s s = y s s y1 + s y + x s sx1 + s x s 1 + s für s 1 = s y1 = s x1 und s = s y = s x s xi,s yi = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes Die Berechnung von Richtungswinkel und Strecke ist auch mit der Tastenfunktion R - P eines Taschenrechners möglich. Die Rechenfolge ist aus der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Näherungsformel für Spannmaßberechnung c = a + d d b a ac ; b klein

7 4.1. Polarpunktberechnung 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 39 Gegeben: Koordinaten des Punktes P 1 (y 1,x 1 ) Richtungswinkel t Strecke s Koordinatenunterschiede y = ssin t x = scost Probe: s =y +x Koordinaten des Punktes P i y i = y 1 +y x i = x 1 +x Die Polarpunktberechnung kann auch mit der Tastenfunktion P - R eines Taschenrechners erfolgen. Die Rechenfolge ist der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten s y = y s s s + (xs [rad]) s x = x s s s + (ys [rad]) Standardabweichung eines Punktes s P = s x + s y s P = s s + (ss [rad]) Standardabweichung der Querabweichung s q = ss [rad] s t = s = Standardabweichung des Richtungswinkels s s = Standardabweichung einer Strecke s y,s x = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes

8 40 4 Vermessungstechnische Grundlagen Kleinpunktberechnung Kleinpunkt in der Geraden Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A,X A ) und P E (Y E,X E ) Abszissen im örtlichen Koordinatensystem x A,x i,x E s = x E x A = gemessene Strecke S = (Y E Y A ) + (X E X A ) = gerechnete Strecke Parameter o = Y E Y A s Probe: a + o 1 Y E = Y A + os a = X E X A s X E = X A + as Maßstabsfaktor m = S s Koordinaten der Punkte P i Y i = Y A + o(x i x A ) X i = X A + a(x i x A ) Probe: [Y i ] = ny A + o( [x i ] nx A ) [X i ] = nx A + a([x i ] nx A ) n = Anzahl der Punkte P i oder Berechnung von Y E, X E von P A über P i

9 7. Einzelpunktbestimmung 7..1 Polare Punktbestimmung 7. Einzelpunktbestimmung 79 Gegeben: Koordinaten des Standpunktes P S (y S,x S ) Koordinaten des Anschlusspunktes P A (y A,x A ) Gemessen: Horizontalrichtungen Horizontalstrecken r S,A, r S,i s A, s i bzw. bzw. r S,A, r S,Ex s A, s Ex, e Anschlussrichtungswinkel t S,A = arctan y A y S x A x S t S,A aus Koordinaten berechnen Horizontalwinkel i = r S,i r S,A i = r S,EX r S,A = arctan e s EX Richtungswinkel s i = e + s EX t S,i = t S,A + i Maßstab s A gemessen: m = s A s A Strecke s A nicht gemessen: m = 1 s A aus Koordinaten berechnen Koordinaten des Neupunkts y i = y S + s i m sint S,i x i = x S + s i m cost S,i Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten und Standardabweichung eines Punktes P i siehe Polarpunktberechnung

10 80 7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.. Dreidimensionale polare Punktbestimmung Gegeben: Koordinaten der Punkte P S (y S,x S ), P A (y A,x A ) Gemessen: Schrägstrecke s i Horizontalwinkel i Zenitwinkel i Anschlussrichtungswinkel t S,A = arctan y A y S x A x S t S,A aus Koordinaten berechnen Richtungswinkel t S,i = t S,A + i Koordinaten des Neupunkts y i = s i sin i sint S,i y i = y S +y i x i = s i sin i cost S,i x i = x S +x i z i = s i cos i z i = z S +z i

11 130 9 Höhenmessung 9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 50m) Gemessen: Zenitwinkel z Distanz D oder Strecke S Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t Höhenbestimmung mit Distanz D H = D cosz + i t Höhenbestimmung mit Strecke S H = Scotz + i t Höhenbestimmung des Standpunktes Höhenbestimmung des Zielpunktes H S = H Z H H Z = H S +H Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes H s H = (cotzs S ) + S sin z s z[rad] + s i + s t s S = Standardabweichung der Strecke S s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe

12 9.4. Höhenbestimmung über große Distanzen Einseitige Zenitwinkelmessung 9.4 Trigonometrische Höhenmessung 131 für Strecken < 10 km: D = S R und S = S 0 Gemessen: Zenitwinkel z Distanz D Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t Einfluss der Erdkrümmung k E S R [ rad] = S R Einfluss der Refraktion k R ks R [ rad] = ks R R = Erdradius 6380 km k = Refraktionskoeffizient k0,13 Höhenbestimmung mit Distanz D H = Dcosz + D sin z R (1 k) + i t Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont H = 1 + H A R Scot z + S Rsin z (1 k) + i t Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes H s H = (coszs D ) + (D sinzs z [rad]) + D R s k + si + s t s D = Standardabweichung der Distanz D s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe s k = Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten