Einführung in die Programmierung

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1 Prof. Dr. Rudolf Berrendorf Fachbereich Informatik Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg

2 URM - Programmierung Dipl.-Inf. Sigrid Weil Fachbereich Informatik Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg

3 Einordnung Programmier-Paradigma: Maschinen- nah, sehr kleinschrittig (Assemblersprachen prozedural, strukturiert (imperative Sprachen, z.b. Pascal deklarativ (funktionale Programmierung, z.b. LISP regelbasiert (logische Programmierung, z.b. Prolog objektorientiert (z.b. Java Frage: Sind die verschiedenen Programmiersprachen unterschiedlich mächtig? Antwort: (Curch sche These Nein! Universelle Registermaschine (URM: theoretisches Modell, in dem man mit (sehr! wenigen Befehlen bereits alle berechenbaren Funktionen programmieren kann 3

4 URM URM = Universelle Registermaschine Formales Modell, um mathematisch exakt Algorithmen angeben zu können und Eigenschaften beweisen zu können. Sehr einfaches Computer-Modell Programme für die URM lassen sich sehr einfach in Programme in C oder Java übertragen Kann nur Funktionen f : N n ---> Nberechnen 4

5 Aufbau der URM URM enthält: 1. Unendliche viele Register r 1, r 2,... : Können jeweils genau einen Wert n N enthalten 2. Programmspeicher: Programmspeicherplätze 1,...,p können jeweils genau einen Befehl aufnehmen (p beliebig; für ein URM-Programm fest. Der i-te Befehl β i steht auf dem Programmspeicherplatz i. 3. Befehlszähler: Hat Wert aus N + und gibt die Nummer des nächsten auszuführenden Befehls an Programmspeicher 1: Befehl 1 2: Befehl 2 3: Befehl p: Befehl p r0: r1: r2: r3: Befehlszähler Register... URM 5

6 r i 0 (i N + Register r i auf 0 setzen Befehle der URM r i r i + 1 (i N + Wert des Registers r i um 1 erhöhen r i r i -1 (i N + Wert des Registers r i um 1 erniedrigen (0 bleibt unverändert goto l (l N + Befehlszähler auf l setzen if r i = 0 goto l (i N +, l N + Befehlszähler auf l setzen, falls Register r i den Wert 0 hat Die ersten drei Befehle sind arithmetische Befehle, die letzten beiden Sprungbefehle. 6

7 URM-Programm URM-Programme bestehen aus drei Teilen: Eingabe in(r i1,...,r in : Die Eingabedaten werden auf die in einer in-vereinbarung spezifizierten Register geschrieben, alle übrigen Register auf 0 gesetzt und der Befehlszähler auf 1 gesetzt. Befehlsteil b: Folge von Befehlen β 1... β p Ausgabe out(r i : Für den Fall, dass die Berechnung abbricht, steht die Ausgabe in dem durch die out-vereinbarung angegebenen Register. Für den Fall, dass die Berechnung nicht abbricht, ist die Ausgabe nicht definiert. 7

8 Ausführung des Befehlsteils Sei q der Wert des Befehlsregisters. Der q-te Befehl ist der Befehl im q-ten Befehlsspeicher. Falls der q-te Befehl ein: arithmetischer Befehl ist, wende ihn entsprechend an und erhöhe anschließend den Programmzähler um 1. Sprungbefehl der Form goto l ist, so setze den Befehlszähler auf l. Sprungbefehl der Form if r i = 0 goto l ist, so wird der Befehlszähler auf den Wert l gesetzt, falls r i den Wert 0 enthält. Ansonsten wird der Befehlszähler um 1 erhöht. Dieses Vorgehen wird wiederholt. Es sind zwei Fälle möglich: Nach endlich vielen Programmschritten weist der Programmzähler auf eine leere Programmspeicherstelle. In diesem Fall bricht die Berechnung ab. Nach jeder Anwendung eines Befehls ist ein weiterer Befehl ausführbar. In diesem Fall bricht die Berechnung nicht ab. 8

9 Beispiel 1 in(r 1 1: r 2 0 2: if r 1 = 0 goto 6 3: r 1 r 1-1 4: r 2 r : goto 2 out(r 2 Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? 9

10 Beispiel 1 in(r 1 1: r 2 0 2: if r 1 = 0 goto 6 3: r 1 r 1-1 4: r 2 r : goto 2 out(r 2 Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? Es wird der Inhalt von r 1 nach r 2 kopiert, r 1 auf den Wert 0 gesetzt und der kopierte Wert ausgegeben. 10

11 Beispiel 2 in(r 1 1: r 2 0 2: goto 1 out(r 2 Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? 11

12 Beispiel 2 in(r 1 1: r 2 0 2: goto 1 out(r 2 Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? Die Berechnung bricht nicht ab! 12

13 Beispiel 3 in(r1, r2 1: r 3 0 2: if r 1 = 0 goto 6 3: r 1 r 1-1 4: r 3 r : goto 2 6: if r 2 = 0 goto 10 7: r 2 r 2-1 8: r 3 r : goto 6 out(r3 "r 3 r 3 + r 1 " r 1 0 "r 3 r 3 + r 2 " r 2 0 Wiederkehrendes Muster Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? 13

14 Beispiel 3 in(r1, r2 1: r 3 0 2: if r 1 = 0 goto 6 3: r 1 r 1-1 4: r 3 r : goto 2 6: if r 2 = 0 goto 10 7: r 2 r 2-1 8: r 3 r : goto 6 out(r3 "r 3 r 3 + r 1 " r 1 0 "r 3 r 3 + r 2 " r 2 0 Wiederkehrendes Muster Frage: Was berechnet dieses URM-Programm? Berechnet x+y 14

15 Beispiel 4 Wie kann man das Maximum zweier Zahlen x 1 und x 2 bestimmen? in(r1, r2 1: r 3 0 2:... out(r3 Wie sieht der Befehlsteil aus? Hinweis: Wenn x1-x2 >= 0, dann ist x1 das Maximum, sonst x2 15

16 Maximum zweier Zahlen 1: if r 1 =0 goto 7 /* Minimum bilden */ 2: if r 2 =0 goto 11 3: r 1 r 1 1 4: r 2 r 2 1 5: r 3 r : goto 6 7: if r 2 =0 goto 15 /* r 1 war kleiner oder gleich als r 2 */ 8: r 3 r : r 2 r : goto 7 11: if r 1 =0 goto 15 /* r 1 war größer als r 2 */ 12: r 3 r : r 1 r : goto 11 15: 16

17 Aufgabe Schreiben Sie ein URM-Programm, das die modifizierte Differenz x1-x2 von zwei Eingabewerten berechnet! modifiziert bedeutet: Das Ergebnis soll 0 sein, wenn x1<x2 (oder x1=x2. 17

18 Zustand Ein Zustand z : N N der URM beschreibt mit: z(0 den Inhalt des Befehlszählers (Register 0 z(i den Inhalt des i-ten Registers (i N + Beispiele für Zustände: (Kurzschreibweise z 1 : N N mit z 1 (0=1, z 1 (1=5, z 1 (2=4711, z 1 (i=0 sonst z 1 = (1, 5, 4711, 0... z 2 : N N mit z 2 (0=2, z 2 (i=0 sonst z 2 = (2, 0,... z 3 : N N mit z 3 (3=1, z 3 (i=0 sonst z 3 = (0, 0, 0, 1, 0,... z 4 : N N mit z 4 (i=0 für alle i z 4 = (0, 0,... 18

19 Zustandsraum, Zustandstransformation Der Zustandsraum Z der URM ist definiert durch: Z := { z z : N N } als die Menge aller möglichen Zustände der URM. Jeder Befehl β bestimmt dann eine Zustandstransformation [β] : Z Z mit: [ r i 0 ] (z := z mit z (0:= z(0+1, z (i:=0, z (j:=z(j für j i [ r i r i + 1 ] (z := z mit z (0:= z(0+1, z (i:=z(i+1, z (j:=z(j für j i [ r i r i -1] (z := z mit z (0:= z(0+1, z (i:=z(i-1, z (j:=z(j für j i [ goto l ] (z := z mit z (0:= l, z (j=z(j sonst [ if r i = 0 goto l ] (z := z mit z (0:=l, z (j:=z(j sonst, falls z(i = 0 bzw. z (0:=z (0+1, z (j:=z(j sonst, falls z(i 0 19

20 Beispiel Zustandstransformation Sei z : N N mit z(0:=1, z(1:=1, z(2:=4711, z(i:=0 sonst [ r 2 0 ] (z = z' mit z' : N N mit z'(0:=2, z'(1:=1, z'(i:=0 sonst Der Befehl r 2 0 transformiert also den Zustand z = (1, 1, 4711, 0, 0,... in den Zustand z = (2, 1, 0, 0,... 20

21 Einzelschrittfunktion Der Befehlsteil b := β 1,..., β p (p N + bestimmt eine Zustandstransformation δ(b : Z - - -> Z die sogenannte Einzelschrittfunktion von b mit: δ(β 1,..., β p (z := [ β i ] (z falls z(0 = i {1,..., p} undef. z(0 > p 21

22 Iterierte Zustandstransformation Für die iterierte Zustandstransformation [ b ] des Befehlsteils b = (β 1,..., β p gilt: (1 Falls die Berechung abbricht: δ(b (z 0 = z 1 δ(b (z 1 = z 2... δ(b (z s-1 = z s mit z s (0 > p Dann gilt: [ b ] (z 0 := z s (2 Falls die Berechnung nicht abbricht, d.h. für jeden Folgezustand z i+1 gilt: δ(b (z i = z i+1 mit 1 z i+1 (0 p Dann gilt: [ b ] (z 0 := undef. 22

23 Ein-/Ausgabevereinbarung Für die Eingabevereinbarung in (r i1,...,r in gilt: [ in (r i1,...,r in ] : N n Z (x 1,...,x n z 0 (Startzustand mit: z 0 (0 = 1 z 0 (i k = x k (k=1,...,n z 0 (j = 0 sonst Beispiel: [ in(r 1,r 3 ] (5,7 = z 0 mit z 0 (0=1, z 0 (1=5, z 0 (3=7, z 0 (i=0 sonst also z 0 = ( 1, 5, 0,7, 0,... Für die Ausgabevereinbarung out (r i gilt: [ out (r i ] : Z N z z(i Beispiel: [ out (r 1 ] (z 0 = 5 23

24 URM-Programm Definition: Ein URM-Programm besteht aus einer Eingabevereinbarung in(r i1,...,r in (n N, einem Befehlsteil b = (β 1,..., β p (p N + und einer Ausgabevereinbarung out(r i (i N + : P = in (r i1,...,r in ; β 1,..., β p ; out(r i. Dabei berechnet P eine partiell arithmetische Funktion [ P ] : N n ---> N mit [P] := [out (r i ] [ b ] [ in (r i1,...,r in ] 24

25 URM-berechenbar Definition: f : N n - - -> N heißt URM-berechenbar, wenn ein URM-Programm P existiert mit [ P ] = f. [ in (r i1,...,r in ] [ P ] N n > N Z [ b ] [out (r i ] Z [ P ] Eingabewerte - - -> Ausgabewert [ in (r i1,...,r in ] [out (r i ] Startzustand [ b ] Endzustand 25

26 Beispiel (3 Es sollen zwei Zahlen x 1 und x 2 addiert werden. P = in(r 1, r 2 ; b; out(r 3 berechnet die Addition mit [ P ] : N > N, [ P ] (x,y = x+y wobei b= 1: r 3 0 2: if r 1 = 0 goto 6 3: r 1 r 1-1 4: r 3 r : goto 2 6: if r 2 = 0 goto 10 7: r 2 r 2-1 8: r 3 r : goto 6 26

27 Beispiel (3 [ P ] (2,1 = [ out(r3 ] [ b ] [ in(r 1,r 2 ] (2,1 = [ out(r3 ] [ b ] (z 0 mit: z 0 (0=1, z 0 (1=2, z 0 (2=1, z 0 (j=0 sonst [ b ] (z 0 ist definiert als die iterierte Zustandstransformation von b = (β 1,..., β p angewandt auf den Startzustand z 0. In Kurzschreibweise: Startzustand z 0 = (1,2,1,0,0,... 27

28 Beispiel (3 δ(b (1,2,1,0,0,... = [ r 3 0 ] (1,2,1,0,0,... = (2,2,1,0,0,... δ(b (2,2,1,0,0,... = [ if r 1 = 0 goto 6 ] (2,2,1,0,0,... = (3,2,1,0,0... δ(b (3,2,1,0,0... = [ r 1 r 1 1] (3,2,1,0,0... = (4,1,1,0,0... δ(b (4,1,1,0,0... = [ r 3 r ] (4,1,1,0,0... = (5,1,1,1,0,... δ(b (5,1,1,1,0,... = [ goto 2 ] (5,1,1,1,0,... = (2,1,1,1,0,... δ(b (2,1,1,1,0,... = [ if r 1 = 0 goto 6 ] (2,1,1,1,0,... = (3,1,1,1,0,... δ(b (3,1,1,1,0,... = [ r 1 r 1 1] (3,1,1,1,0,... = (4,0,1,1,0,... δ(b (4,0,1,1,0,... = [ r 3 r ] (4,0,1,1,0,... = (5,0,1,2,0,... δ(b (5,0,1,2,0,... = [ goto 2 ] (5,0,1,2,0,... = (2,0,1,2,0,... δ(b (2,0,1,2,0,... = [ if r 1 = 0 goto 6 ] (2,0,1,2,0,...= (6,0,1,2,0,... δ(b (6,0,1,2,0,... = [ if r 2 = 0 goto 10 ] (6,0,1,2,0,... = (7,0,1,2,0,... δ(b (7,0,1,2,0,... = [ r 2 r 2 1](7,0,1,2,0,... = (8,0,0,2,0,... δ(b (8,0,0,2,0,... = [ r 3 r ] (8,0,0,2,0,... = (9,0,0,3,0,... δ(b (9,0,0,3,0,... = [ goto 6 ] (9,0,0,3,0,... = (6,0,0,3,0,... δ(b (6,0,0,3,0,... = [ if r 2 = 0 goto 10 ] (6,0,0,3,0,... = (10,0,0,3,0,... 28

29 Beispiel (3 Die iterierte Zustandstransformation bricht an dieser Stelle ab, so dass gilt: [ b ] (z 0 = (10,0,0,3,0,... (Endzustand Setzen wir dies in die ursprüngliche Berechnung ein, so ergibt sich: [ P ] (2,1 = [ out(r3 ] [ b ] [ in(r 1,r 2 ] (2,1 = [ out(r3 ] [ b ] ((1, 2, 1, 0,... = [out(r3 ] (10, 0, 0, 3, 0,... = 3 29

30 Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der iterierten Zustandstransformation die Werte [P](2, 1 und [P](1, 2 für P = in(r1, r2; b; out(r1 mit b = 1: if r 2 = 0 goto 5 2: r 1 r 1-1 3: r 2 r 2-1 4: goto 1 30