Datenstrukturen. Sommersemester Kapitel 1: Motivation / Grundlagen. Steffen Lange

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1 Datenstrukturen Sommersemester 2010 Steffen Lange 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

2 Organisatorisches Vorlesung wöchentlich; zwei Blöcke Folien im Netz (/* bitte zur Vorlesung mitbringen */) Übungsblätter im Netz (/* bei Bedarf */) Anregungen / Kommentare / Fragen per slange@fbi.h-da.de per Telefon: /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

3 Literatur T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, BI Wissenschaftsverlag, H. Reß, G. Viebeck, Datenstrukturen und Algorithmen in C++, Hanser Verlag, R. Klein, Algorithmische Geometrie, 2. Auflage, Springer Verlag U. Schöning, Algorithmik, Spektrum Akademischer Verlag, Th.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Algorithmen - Eine Einführung, 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

4 Aufgabenstellung Ein großes Wirtschaftsmagazin will eine Analyse der Börsenentwicklung der letzten 5 Jahre erstellen... Dabei soll u.a. für jede Aktie nachträglich ein bester Einkaufstag und Verkaufstag festgestellt werden.... Das Wirtschaftsmagazin hat Informationen über die Börsennotierungen gekauft. Für jede Aktie gibt es eine Zahlenfolge. Die erste Zahl ist der Kurs der Aktie am ersten Börsentag und jede folgende Zahl gibt in der Reihenfolge der Börsentage die absolute Kursveränderung gegenüber dem Vortag an.... Anhand der gegebenen Zahlenfolge soll der im gegebenen Zeitraum durch einen einmaligen Kauf und Verkauf der Aktie maximal erzielbare Gewinn bestimmt werden. 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

5 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Aufgabe... Anhand der gegebenen Zahlenfolge soll der im gegebenen Zeitraum durch einen einmaligen Kauf und Verkauf der Aktie maximal erzielbare Gewinn bestimmt werden. 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

6 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 1 Gewinn: -0.5 Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 5 Gewinn: 5.0 Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 2 Gewinn: 1.5 Einkaufstag: 1 Verkaufstag: 5 Gewinn: 5.5 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

7 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Lösungsansatz... finde Tage i und k (/* 0 < i k */), so daß die Summe der Kursänderungen für die Tage i, i+1,..., k maximal ist... offenbar ist dann der Tag i-1 der beste Einkaufstag und der Tag k der beste Verkaufstag 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

8 algorithmische Fragestellung finde einen möglichst effizienten Algorithmus zur Lösung des folgenden algorithmischen Problems (/* die Anzahl der benötigten Vergleiche V(n) und der benötigten Additionen A(n) soll klein sein */) es sei a[1],...,a[n] eine Folge rationaler Zahlen für alle Paare (i,k) mit 1 i k n sei f(i,k) wie folgt definiert: k f(i,k) = Σ a[j] j=i zulässige Eingabe: Folge a[1],...,a[n] von rationalen Zahlen zulässige Ausgabe: bestimme z = max { f(i,k) 1 i k n } 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

9 Algorithmus 1 (/* normal */) 1. Berechne nacheinander für jedes zulässige Paar (i,k) den Wert von f(i,k) (/* benutze dabei, daß f(i,k+1) = f(i,k) + a[k+1] gilt */) 2. Bestimme ein Paar (i,k) für das f(i,k) maximal ist und gib f(i,k) aus. Analyse von Algorithmus 1 A(n) =... = 1/2*(n*(n-1)) V(n) =... = 1/2*(n*(n+1)) - 1 T(n) = A(n) + V(n) = n 2-1 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

10 Algorithmus 2 (/* divide and conquer */) a[1],...,a[n] sei eine Folge rationaler Zahlen, wobei n eine Zweierpotenz ist für alle zulässigen Paare (i,k) seien die Werte C rechts (i,k) und C links (i,k) wie folgt definiert: C rechts (i,k) = max { f(j,k) i j k } C links (i,k) = max { f(i,j) i j k } für alle zulässigen Paare (i,k) sei C max (i,k) wie folgt definiert: C max (i,k) = max { f(j,m) i j m k } C max (1,8) = 8 Tag K-änd C rechts (1,4) = 2 C links (5,8) = 3.5 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

11 Algorithmus 2 (/* divide and conquer; Berechnung von c max (1,n) */) 1. Falls n = 1, so gib a[n] aus. 2. Falls n > 1, so gehe gehe wie folgt vor: Berechne mit diesem Algorithmus C max (1,n/2) und C max (n/2+1,n). Berechne C rechts (1,n/2) und C links (n/2+1,n). Bestimme M = max { C max (1,n/2),C max (n/2+1,n),c rechts (1,n/2)+C links (n/2+1,n) } und gib M aus. Analyse von Algorithmus 2 T(n) = 2*T(n/2) + 2n - 1 =... = 2n*log(n) - n + 1 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

12 Algorithmus 3 (/* clever */) 1. Setze Max = max { a[1],0 } und Max* = Max. 2. Für z = 2,...,n: Bestimme Max* = max { Max*+a[z],0 }. Max = max { Max*,Max } 3. Falls Max > 0, so gib Max aus. Sonst bestimme z = max { a[1],...,a[n] } und gib z aus. Schleifeninvariante... für jedes z mit 2 z n gilt: Max = max { C max (1,z),0 } Max* = max { C rechts (1,z),0 } 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

13 Algorithmus 3 (/* clever */) 1. Setze Max = max { a[1],0 } und Max* = Max. 2. Für z = 2,...,n: Bestimme Max* = max { Max*+a[z],0 }. Max = max { Max*,Max } 3. Falls Max > 0, so gib Max aus. Sonst bestimme z = max { a[1],...,a[n] } und gib z aus. Analyse von Algorithmus 3 A(n) = n - 1 V(n) 1 + 2*(n - 1) n - 1 = 3n - 1 T(n) = A(n) + V(n) 4n - 2 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

14 Vergleich der Algorithmen Anzahl der Elemente normal divide & conquer clever 4 (= 2 2 ) (=2 4 ) (=2 6 ) (=2 8 ) (=2 10 ) /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

15 Zielstellungen Kenntnis von Entwurfsmethoden für effiziente Algorithmen und Datenstrukturen für wichtige Probleme Kenntnis grundlegender Algorithmen und Datenstrukturen Verständnis für die Wechselwirkung zwischen Datenstrukturen und Algorithmen Fähigkeit, die Effizienz von Algorithmen zu analysieren 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

16 Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 1/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen