Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 2008/09 Klausur ( )

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1 Nur vom Korrektor auszufüllen Note Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1 Universität Erlangen Nürnberg WS 28/9 Klausur ( Name: Studiengang: In die Wertung der Klausur gehen nur acht der insgesamt zehn gestellten Aufgaben ein. Sehen Sie sich daher zunächst alle Aufgaben an und entscheiden Sie, welche Aufgaben Sie bearbeiten möchten. Kennzeichnen Sie dann deutlich, welche zwei Aufgaben nicht in die Wertung eingehen sollen. Aufgabe 1: Kräftegleichgewicht (8 Punkte (a Das abgebildete System ist im Gleichgewicht. Ermitteln Sie die unbekannten Zugkräfte F 1, F 2 und F 3 und den Winkel θ. Vernachlässigen Sie dabei alle Reibungseffekte und rechnen Sie mit einer Erdbeschleunigung von 9,8 m s 2. (b Wie würde sich der Winkel θ verändern, wenn sich das System auf dem Mars befinden würde? Begründen Sie Ihre Antwort. F 1 F 3 F 2 4 kg 3 kg 4 kg a Kräftediagramm A Kräftediagramm B Kräftediagramm C Kräftediagramm D g = 9,81 m/s² y F 1 F 2 F 3 4 kg 3 kg 4 kg F 1 F 3 F 1 sin F 3 sin F 1 cos F 3 cos x (4 kg g = 39,2 N (3 kg g = 29,4 N (4 kg g = 39,2 N F 2 =

2 n Statisches Gleichgewicht: F i = i=1 Aus Diagramm A: F 1 (4 kg g = F 1 = 39, 2 N (1 Aus Diagramm B: F 2 (3 kg g = F 2 = 29, 4 N (2 Aus Diagramm C: F 3 (4 kg g = F 3 = 39, 2 N (3 Aus Diagramm D: parallel zur x-achse: F 1 cos α F 3 cos α = F 1 = F 3 (4 parallel zur y-achse: F 1 sin α + F 3 sin α F 2 = F 2 = F 1 sin α + F 3 sinα = 2F 1 sinα ( F2 α = arcsin = 22, (5 2F 1 θ = 18 2α = 136 (6 b Der Winkel θ bleit natürlich gleich, da das statische Gleichgewicht unabhängig von der Fallbeschleunigung des jeweiligen Bezugssystems (BZ ist: = arcsin( m2 2m 1 die Winkel α und θ ergeben sich aus- Aus (5 α = arcsin( F2 schließlich aus den Massen. 2F 1 = arcsin( m2 g BZ 2 m 1 g BZ 2

3 Aufgabe 2: Bogenschießen (8 Punkte Ein Indianer möchte mit einem 5 g schweren Pfeil einen 5 m entfernten Vogel abschießen, der sich auf Augenhöhe mit dem Indianer befindet (Abschußhöhe = Zielhöhe. Die Luftreibungseffekte seien vernachlässigbar. (a Um den Bogen um 3 cm zu spannen, wendet der Indianer eine Zugkraft von 3 N auf. Wie groß ist die potentielle Energie, die im gespannten Bogen gespeichert ist? Das Hooke sche Gesetz gelte im gesamten Auslenkungsbereich. (b Welche Geschwindigkeit hat der Pfeil nach dem Abschuss? (c Unter welchem Winkel zur Horizontalen muss der Indianer den Pfeil abschießen, damit er den Vogel trifft? Der Pfeil kann hierbei als Massenpunkt betrachtet werden. (Hinweis: sin(xcos(x = 1 2 sin(2x (d Wie lange fliegt der Pfeil, bis er sein Ziel trifft? y(t v v cos( v sin( 25 m 5 m x(t a Hook sche Gesetz : F = kx k = F x (7 potentielle Energie : E pot = 1 2 kx2 (8 Aus (7 und (8 bekommt man: E pot = 1 Fx = 45J (9 2 b c E pot = E kin = 1 2 mv2 v = r(t = r + v t + 1 ( 2 at2 mit r = ( ( x(t v r(t = = cos(αt y(t v sin(αt 1 2 gt2 y(t = tan(αx(t 2Epot m = 42, 4m s ( v cos(α, v = v sin(α t = (, a = g (1 x(t v cos(α in y(t einsetzen (11 g 2v 2 cos2 (α x(t2 ( sin(2αx = g 2v 2 x 2 (13 α = 1 ( g 2 arcsin v 2 x 7, 9 (14 d Die Flugzeit kann mit (11 berechnet werden: t = x(t 1, 19 s (15 v cos(α 3

4 Aufgabe 3: Kreisendes Flugzeug (8 Punkte Sie sehen, wie ein Flugzeug im Tiefflug (Flughöhe H = 3 m mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag v einen Kreis mit Radius R = 15 m um Ihren Standort auf dem Boden fliegt. (a Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem (Beobachter im Koordinatenursprung. Geben Sie den Ortsvektor r(t des Flugzeugs an, und berechnen Sie hieraus die Geschwindigkeit v(t und die Beschleunigung a(t. Berechnen Sie jeweils auch den Betrag dieser Vektoren (Hinweis: sin 2 (x + cos 2 (x = 1. (b In welche Richtung zeigt der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω? Wie groß ist sein Betrag in Abhängigkeit von R und dem Geschwindigkeitsbetrag v? (c Sie hören den Schall aus einer Richtung, die dem Ort des Flugzeuges um einen Winkel α = 3 nachläuft. Wie schnell ist das Flugzeug, wenn die Schallgeschwindigkeit 343 m/s beträgt? z t r z (t r(t r xy (t y x a Beobachter sitzt im Koordinatenursprung. Das Flugzeug führt eine periodische Kreisbewegung in der Höhe H mit Radius R durch: x(t Rcos(ωt r(t = y(t, r z (t =, r xy (t = Rsin(ωt z(t H r(t = r z (t + r(t xy = v(t = r(t = Rω a(t = v(t = Rω 2 sin(ωt cos(ωt Rcos(ωt Rsin(ωt H cos(ωt sin(ωt r(t = H 2 + R , 7m (16 v(t = Rω (17 = ω 2 r xy (t a(t = Rω 2 (18 b Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω ergibt sich aus der Rechten-Hand-Regel bzw. durch den Ausdruck v = ω r. ω liegt somit auf der z-achse und zeigt nach oben: Aus ω = ω = 2π 2πR T und T = v folgt ω = v R (Ausdruck (17 liefert das gleiche. Somit ergibt sich für ω: ω = = ω v/r (19 4

5 c v(t = ω r(t = ω Rcos(ωt Rsin(ωt H = Rω sin(ωt cos(ωt (2 Der hier hergeleitete Ausdruck (2 stimmt mit dem Geschwindigkeitsvektor aus (17 überein. d Aus der Teilaufgabe a ist bekannt, dass v(t = v = Rω. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist gegeben durch: ω = φ t (21 Aus der Entfernung r(t, die durch (16 gegeben ist, und der Schallgeschwindigkeit v S ergibt sich die Zeit t, die der Schall vom Flugzeug bis zum Beobachter benötigt. Daraus ergibt sich: Aus (17, (21 und (22 lässt sich jetzt die Flugzeuggeschwindigkeit berechnen: t = r(t v S (22 v = Rω = R v S φ r(t mit φ = π 18 3 v 176, 1 m s = 634, km h (23 5

6 Aufgabe 4: Einschlagen eines Nagels (8 Punkte Mit einem Hammer der Masse,5 kg schlägt der Hausmeister einen Nagel der Masse 5, g in eine Wand. Bei jedem Schlag bewegt der Hausmeister den Hammer mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1, m s auf den Nagel zu. Die Wand übt beim Eintreiben des Nagels auf diesen eine konstante Reibungskraft von 1 N aus. Um welche Distanz wird der Nagel bei einem Schlag eingetrieben, wenn der Hammer bei dem Schlag nicht zurückprallt? Lösung: Geg. : M =, 5kg, m = 5, g, v M = 1, m s, F R = 1N Impulserhaltung: Mv M = (M + mv v = M v M M + m =, 5 1, 55 Die kinetische Energie wird vollständig in Reibungsarbeit umgewandelt: m s F R x = 1 2 (M + m ( v 2 x = ( 2, 5, 55,55 2 m 2, 5cm 6

7 Aufgabe 5: Snooker (8 Punkte Beim Snookern trifft die weiße Kugel mit 5 m s auf eine rote Kugel. Beide Kugeln haben die gleichen Massen. Bei dem Stoß wird die weiße Kugel um einen Winkel von 4 zur Stoßrichtung und die rote Kugel um einen Winkel von 2 zur Stoßrichtung abgelenkt. (a Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der weißen Kugel und der roten Kugel nach dem Stoß! (b Bestimmen Sie, ob es sich um einen elastischen Stoß handelt! Lösung: (a Es seien v = ( vx = ( 5 m s die Geschwindigkeit der weißen Kugel vor dem Stoß und v r und v w die Beträge der Geschwindigkeiten der roten bzw. weißen Kugel nach dem Stoß. Impulserhaltung: v x = v r cos 2 + v w cos 4 = v r sin 2 v w sin4 sin 4 v r = v w sin 2 v x = 5 m ( sin4 s = v cos 2 w sin2 + cos 4 =: v w c v w = 1 c v x = 1, m s 2m s v r = v w sin 4 sin 2 = 3, m s 4m s (b Vor dem Stoß: E kin = 1 2 mv2 x = 1 2 m 25m2 s 2 Nach dem Stoß: E kin = 1 2 m( vw 2 + vr 2 = 17, m 2 1 s 2 2 m 18m2 s 2 Die kinetische Energie bleibt nicht erhalten, es handelt sich also nicht um einen elastischen Stoß. 7

8 Aufgabe 6: Lineare Bewegungen und Drehungen (8 Punkte Füllen Sie die zweite Spalte der untenstehenden Tabelle aus, indem Sie für eine Masse m mit homogener Dichte ρ zu den angegebenen Translationsgrößen ihre Definition in Abhängigkeit von m und von den zeitlichen Ableitungen von x eintragen. Füllen Sie dann die dritte und vierte Spalte aus, indem Sie zunächst die äquivalenten physikalischen Größen für Drehbewegungen angeben und dann ihre Definition in Abhängigkeit dieser Größen bzw. (gegebenenfalls ihrer zeitlichen Ableitungen. Translation Rotation Größe Definition Größe Definition Ort x Winkel ϕ Geschwindigkeit Masse m Impuls Kinetische Energie Beschleunigung Kraft 8

9 Translation Rotation Größe Definition Größe Definition Ort x Winkel ϕ Geschwindigkeit v = dx dt Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt Impuls p = m v Drehimpuls L = I ω Masse m Trägheitsmoment I = ρ V r2 dv Kinetische Energie E kin = 1 2 mv2 Rotationsenergie E rot = 1 2 Iω2 Beschleunigung d 2 x dω Winkelbeschleunigung dt 2 dt = d2 ϕ dt 2 Kraft F = m d2 x Drehmoment M = I d2 ϕ dt 2 dt 2 9

10 Aufgabe 7: Karussel (8 Punkte Alice und Bob spielen auf dem Spielplatz. Dort steht ein Karussell, das aus einer Betonscheibe mit Radius R = 2 m und einer Masse M = 1 kg besteht, die um eine Achse in der Mitte drehbar ist. Alice wiegt m = 4 kg und sitzt am Rand der Scheibe. (a Berechnen Sie das Gesamtträgheitsmoment der Scheibe mit darauf sitzender Alice. Betrachten sie Alice dafür als Massenpunkt am Rand der Scheibe. (Hinweis: das Trägheitsmoment einer gleichmäßig dicken, homogenen Scheibe mit Masse M und Radius R beträgt I = 1 2 MR2 (b Bob will das Karussell nun anschieben. Er kann eine maximale Kraft F = 5 N aufbringen. Wie lange muss er mit dieser konstanten Kraft schieben, um das Karussell auf eine Winkelgeschwindigkeit von ω = 2π 1 s zu beschleunigen? (c Alice habe einen Haftreibungskoeffizienten von µ h =, 5. Bei welcher Winkelgeschwindigkeit fällt sie herunter? (Hinweis: Zentrifugalbeschleunigung Lösung: (a J = J Scheibe + J Alice =, 5Mr 2 + mr 2 = 216kgm 2 (b M = F R = J ω(t, ω Ende = 2πs 1 t = ω Ende ω = 2πJ FR = 13, 6s (c F R = µ h F N = µ h mg ma ZF = mω 2 R = µ h mg ω = µh g R = 1, 581 s 1

11 Aufgabe 8: Schwerpunkt und Trägheitsmomente des Wassermoleküls: (8 Punkte Ein Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen, welche an ein Sauerstoffatom gebunden sind. Der Bindungswinkel H-O-H beträgt Θ = 14, 5 und der Abstand O-H beträgt d =, 96 nm (siehe Skizze. Die Masse eines Sauerstoff- bzw. Wasserstoffatoms beträgt M O = 16 u bzw. M H = 1 u. (1 u = 1, kg. y (a Wo liegt der Schwerpunkt des Wassermoleküls? (b Berechnen sie das Trägheitsmoment des Wassermoleküls bei Rotation um die y-achse (siehe Skizze. In dem Fall bildet die Rotationsfigur also einen Kegel. Nehmen Sie die Atome für die Berechnung als punktförmig an. (c Berechnen Sie nun das Trägheitsmoment bei Rotation um den Schwerpunkt des Moleküls, so dass sich bei der Rotation alle drei Atome in der Rotationsebene befinden. H d O d H x Lösung: asauerstoffatom im Ursprung (, ; H-Atome symmetrisch unterhalb. r s = i M i r i = M O r O + M H ( r H1 + r H2 M O + 2M H i M i r s = lm H M O + 2M H (, 2 cos(θ/2 = (, l = (, m b Sauerstoffatom befindet sich auf der Drehachse (keinen Beitrag zum Trägheitsmoment I = 2 M H (l sin(θ/2 2 = m 2 u c Abstände von der Drehachse (Schwerpunkt: Sauerstoff r s = m, Wasserstoff x = r 2 s + l 2 2r s l cos (Θ/2 = m I = M O r 2 s + 2M H x 2 = m 2 u 11

12 Aufgabe 9: Federpendel (8 Punkte Ein Federpendel mit m = 4 kg und D = 2 N/m wird um x = 1 cm aus seiner Ruhelage ausgelenkt. (a Stellen Sie die Bewegungsgleichung für diesen harmonischen Oszillator auf. (b Wie muß ω gewählt werden, damit x(t = x sin(ω t + φ diese Bewegungsgleichung löst? (c Nun schwingt das Federpendel gedämpft mit einer Dämpfungskonstanten γ =, 4 1 s. Ändert sich nun die Kreisfrequenz? Wenn ja wie? (d Wie lange dauert es, bis die Amplitude auf den 1/e-ten Teil der Anfangsamplitude abgefallen ist? Lösung: a m d2 x(t dt 2 = Dx(t b Einsetzen der angegebenen Lösung und auf beiden Seiten Kürzen von x(t = x sin(ωt + φ liefert: D mω 2 = D ω = m Mit den angegebenen Werten wird folgender wert erhalten: ω = D/M = 7.7 1/s c Frequenz erniedrigt sich zu: d ω = ω 2 γ2 = 7.6 1/s x = e γt = 1 e x t = 1/γ = 2.5s 12

13 Aufgabe 1: U-Rohr (8 Punkte Ein U-Rohr mit einer Gesamthöhe H = 5 cm wird bis zu einer Höhe h = 25 cm mit Wasser gefüllt. Nun wird am oberen Ende des linken Armes eine Stimmgabel mit der Anregungsfrequenz f = 1.65 khz angeschlagen (siehe Skizze. Die Schallgeschwindigkeit ist c S = 33 m/s. (a Wie weit muss der Wasserpegel im linken Rohr erhöht oder gesenkt werden, um dort die Luftsäule in Eigenschwingungen (in Resonanz zu versetzen. Bestimmen Sie die Änderung der Höhe des Wasserstandes h für die Grundfrequenz ν und die ersten beiden Oberfrequenzen ν 1 und ν 2. (b Welche Länge L müsste das gesamte U-Rohr haben, um die gleiche Grundfrequenz ν zu erhalten, wenn es nicht mit Wasser befüllt ist, d.h. wenn es sich um ein offenes Rohr der Länge L handeln würde? Lösung: a H h Resonanzbedingungen für ein Rohr mit einem offenen Ende und einem geschlossenen Ende: l k = [(2k+1 / 4] c S / f. Für k =,1,2... berechnet man die folgenden Längen: l = 5 cm, l 1 = 15 cm, l 2 = 25 cm. Daraus folgt mit l = (H - h - l k l = 2 cm, l 1 = 1 cm, l 2 = cm. b Resonanzbedingung für ein Rohr mit zwei offenen Enden: l k = [(2k+1 / 2] c S / f. Für k = berechnet man die folgende Länge: l = 1 cm. 13