1. rechtsseitiger Signifikanztest

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1 Testen von Hypothesen HM2 Seite Geschichte und ufgabe der mathematischen Statistik Stochastik ist die Kunst, im Falle von Ungewißheit auf geschickte Weise Vermutungen aufzustellen. Entwickelt wurde sie zunächst aus dem Wunsch, beim Glücksspiel die Gewinnchancen berechnen zu können. Seit dem 2. Jahrhundert besteht ihre Hauptaufgabe darin, bei technischen, wissenschaftlichen und politischen Fragen aufgrund einer Stichprobe sinnvolle Vermutungen über eine Grundgesamtheit aufstellen und die Unsicherheiten dabei berechnen zu können. Ein Beispiel soll die grundsätzlich neue rt der Fragestellung verdeutlichen: Bei den vorangegangenen ufgaben zu Urnenbeispielen war der Inhalt der Urne bekannt und es wurde gefragt, wie groß die WSKT für ein bestimmtes Ereignis dann ist. Bei der mathematischen Statistik ist der usgang einer Ziehung [Stichprobe] bekannt und es soll daraus auf den Inhalt der Urne geschlossen werden. Damit das Problem nicht zu umfangreich wird, reduziert man es üblicherweise auf eine oder zwei nnahmen [Hypothesen] und entscheidet aufgrund der Stichprobe und einer Entscheidungsregel, ob die Hypothese angenommen oder abgelehnt wird. Dabei können natürlich Irrtümer vorkommen, so daß darauf basierende Entscheidungen im Sinne der klassischen Logik niemals zwingend sein können. Jedoch läßt sich das Risiko einer Fehlinterpretation berechnen!. rechtsseitiger Signifikanztest Beim Signifikanztest geht es darum, ob eine Hypothese [Nullhypothese H ] angenommen wird oder nicht. Beispiel: Wir wollen Transistoren kaufen. Der Hersteller behauptet, die usschußquote sei höchstens % => Hypothese H : p =, Gegenhypothese: p >, (rechtsseitig). Stichprobe: us den Transistoren werden willkürlich 2 entnommen, ihre Funktionstüchtigkeit überprüft und zurückgelegt. Die nzahl der defekten Transistoren [Testgröße] wird mit T bezeichnet. Der Ergebnisraum Ω={;;2;...;2} ist die Menge aller möglichen Trefferzahlen. Ist T 4 Entscheidung für H Ist T > 4 Entscheidung gegen H Der nnahmebereich für H ist dann das Ereignis = {;;2;3;4} Der blehnungsbereich für H ist dann das Ereignis ={5;...;2} Barth, Bergold, Haller: Stochastik, Ehrenwirth Verlag S. 59 f

2 Testen von Hypothesen HM2 Seite 2 Dadurch sind zwei Fehlentscheidungen möglich: wirklicher Sachverhalt H wird angenommen H wird nicht angenommen H liegt vor richtige Entscheidung Fehler. rt H liegt nicht vor ( H ) Fehler 2. rt richtige Entscheidung Fehler. rt: p =, jedoch T > 4 Die WSKT hierfür heißt Risiko. rt: α' = P H ( ) Fehler 2. rt: p >, jedoch T < 4 Die WSKT hierfür heißt Risiko 2. rt: β = P H () 2, 5 Berechnung: α = B(2;,; k) = F (4) =,9583 =, 437 B(2;,;k),3,25,2,5,,5, Bemerkung: Oft ist die irrtümliche Verwerfung der Nullhypothese verhängnisvoll. Das Risiko für einen Fehler. rt darf dann einen bestimmen Schwellenwert [Signifikanzniveau α] nicht überschreiten. Üblicherweise liegt dieser bei höchstens 5%. α' Signifikanzniveau α Ist α =,5 = 5%, so heißt der Test signifikant. Ist α =, = %, so heißt der Test hochsignifikant. Ist α =, =,%, so heißt der Test höchstsignifikant. Wichtig: Das Risiko 2. rt ist für jeden Wert p >, unterschiedlich! Das größte Risiko 2. rt liegt in der Nähe des Nullhypothesenwertes! 4 B, 2 Für p =,2 ergibt sich: β = (2;,2; k) = F (4) =, B, 4 Für p =,4 ergibt sich: β = (2;,4; k) = F (4) =, 595

3 Testen von Hypothesen HM2 Seite 3 2. linksseitiger Signifikanztest Beispiel: Laut ngabe des Herstellers keimen mindestens 9 % aller Samenkömer seines Saatguts. Ein Gärtner sät Samenkömer aus und beobachtet deren Keimverhalten. Wie muss der blehnungsbereich Ä für die Behauptung des Herstellers gewählt werden, wenn man sich höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % irren will'? => Hypothese H : p =,9 Gegenhypothese: p <,9 (linksseitig). Stichprobe: Samenkörner (n = ); Testgröße T ist die nzahl der keimenden Samenkörner Ist T 85 Entscheidung für H Ist T < 85 Entscheidung gegen H Der nnahmebereich für H ist dann das Ereignis = {85;8;...;99;} Der blehnungsbereich für H ist dann das Ereignis ={;;...;83;84} Dadurch sind wieder zwei Fehlentscheidungen möglich: wirklicher Sachverhalt H wird angenommen H wird nicht angenommen H liegt vor richtige Entscheidung Fehler. rt H liegt nicht vor ( H ) Fehler 2. rt richtige Entscheidung Fehler. rt: p =,9 jedoch T < 85 Die WSKT hierfür heißt Risiko. rt: α' = P H ( ) Fehler 2. rt: p <,9 jedoch T > 85 Die WSKT hierfür heißt Risiko 2. rt: β = P H (),4,2,,8,,4,2 84, 9 Berechnung: α = B(;,9; k) = F (84) =,

4 Testen von Hypothesen HM2 Seite 4 3. zweiseitiger Signifikanztest Beispiel: Jemand vermutet, dass der bei einem Spiel verwendete Würfel kein Laplace-Würfel ist. Um dieser Vermutung nachzugehen, würfelt er -mal und bestimmt die nzahl der Sechser. Sind dies mehr als zehn, aber höchstens 24, so erkennt er den Würfel als L-Würfel an. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwirft er einen L-Würfel irrtümlich als solchen? b) Die Sechs fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält er bei obiger Entscheidungsregel einen solchen Würfel irrtümlich für einen L-Würfel? => Hypothese H : p = Gegenhypothese: p (zweiseitig). Stichprobe: Würfe (n = ); Testgröße T ist die nzahl gewürfelten Sechser. Ist < T < 24 Entscheidung für H Ist T < oder T > 24 Entscheidung gegen H Der nnahmebereich für H ist dann das Ereignis = {;2;...;23;24} Der blehnungsbereich für H ist dann das Ereignis ={;;...;} {25;...;} Dadurch sind wieder zwei Fehlentscheidungen möglich: wirklicher Sachverhalt H wird angenommen H wird nicht angenommen H liegt vor richtige Entscheidung Fehler. rt H liegt nicht vor ( H ) Fehler 2. rt richtige Entscheidung Fehler. rt: p = jedoch T Die WSKT hierfür heißt Risiko. rt: α' = P H ( ) Fehler 2. rt: p jedoch T Die WSKT hierfür heißt Risiko 2. rt: β = P H () ufgabe a) p = ; T Berechnung: α' = B(; ;k) + B(; ;k) = F () + ( F (24)) =,427 +,27 = 25,44,2, EW=7 p =,8,,4,

5 Testen von Hypothesen HM2 Seite 5 ufgabe b) p =, 2; T 24,2, 2 Berechnung: α = B(;,2; k) = F (24) F ()) =,885 -,57 =,8295,2, EW=2 p =,2,8,,4, Nachtrag: p =, 25; T 24,25, 25 Berechnung: α = B(;,25; k) = F (24) F ()) =,47 -,4 =,42,,8 EW=25 p =,25,,4,

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