Altes Gymnasium. Mathematik LK 12/2

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1 Mthemtk LK / Alte Gmum ! "... #! $%&...6 '()...7 ' * *...8 '!# ' #! $,&...9 ' # * -.%&...9 ' # * / * -... ''() ' ) /*) * '! #*$ ()... 5'() ' $ () $$$3... 8$$* ( Veruchprotokoll zu Thermoelemete Ecel-Tbelle zum Hooke che Geetz...5 9' Ecel-Tbelle zur Etldug vo Kodetore Ecel-Tbelle zur Schürholz che Drehwge...5 : ;...5

2 Mthemtk LK / Alte Gmum Stttke über de Wrtchft- ud Arbetmrktlge, Verkehrufälle, ud Nederchläge uw. pele m täglche Lebe ee große Rolle. Debe wrd d Wort Stttk och eem dere Se verwedet: e bezechet de mthemtche Methode zur Erfug, ud Auwertug vo Dte. Dee werde u Veruche etomme (d emprch); de glt geuo für bevölkerugtttche (demogrphche) Dte l uch für phklche Epermete ufgeommee Mewerte. Dbe gbt e verchedee Telgebete der Stttk, de ch mt verchedee Probleme uederetze. De bechrebede Stttk trfft ur Auge über vorlegede Dte; e ordet de Dte, tellt e durch Tbelle ud Grfke chulch dr ud chrkterert e. Probleme der Erhebug vo Dte gehöre cht zu bechrebede Stttk; e mcht kee Auge über Grudgemthete. De beurtelede Stttk geht ee Schrtt weter: Se bechäftgt ch mt Tred ud Tedeze ud mcht hd vo Stchprobe Auge über de Allgemehet, ud umgekehrt. De Regreo ) - ud de Korreltole d Telgebete der bechrebede Stttk. Aber w verbrgt ch hter dee Begrffe? Be vele Schverhlte der Techk ud de Nturwechfte, ber uch be Sozlwechfte ud der Fzmthemtk, ht m e mt eem folgedem Problem zu tu: für zwe Megröße, o z.b. Pre ud Umtz, Stromtärke ud Spug uw. d zummegehörede Wertepre (Dte) ermttelt worde. E gbt m Weetlche zwe Frgetelluge: We lät ch der Zummehg der Größe mthemtch bechrebe? Welche Fukto t dfür m bete geeget? De Betwortug deer Frge erlubt Vorherge über de Medte. Ee olche Fukto et m Regreogerde Regreofukto, ud d Verfhre zu hrer Ermttlug wrd l Regreo bezechet. Mt Hlfe der lere Regreo köe omt Zummehäge zwche zwe (oder mehr) Megröße ufgedeckt ud Progoe ertellt werde. D etprechede Telgebet der Mthemtk heßt Regreole. We trk t der Zummehg zwche de Dte? De Betwortug deer Frge ermöglcht ee Auge über de Qultät der Dte. Se lät ch durch d Verfhre der Korrelto mthemtch betmme. D etprechede Telgebet der Mthemtk heßt Korreltole. ) regreo (lt.) Rückgg (her m Se vo: Rückrechug, d Rückreche uf ee fuktole Zummehg zwche u vorgegebee Pukte). Der Begrff wurde vo Frc Glto geprägt.

3 Mthemtk LK / Alte Gmum It ee Regreofukto ee lere Fukto, o prcht m vo lerer Regreo. Ich werde mch m Folgede uf dee Fll bechräke, ber uch Möglchkete zur Aäherug vo Potez- ud Epoetlfuktoe zege, de uf der lere Regreo bere. Regreo ud Korrelto hbe lo dere Zele l der Iterpolto. Her geht e drum, ugehed vo bekte Pukte (de Stützwerte) eer belebge Fukto e Polom (gzrtole Fukto -te Grde), d o gete Iterpoltopolom, zu blde, wobe der Grph der Fukto durch lle Stützwerte geht. E gägge Verfhre t her der Gu-Algorthmu. Dbe t zu bechte, d be der Iterpretto vo Dte zuächt cht tttche, oder hltlche Krtere m Vordergrud tehe. Al erte t zu überlege, ob lle relevte Vrble der Regreoglechug berückchtgt ud ee volle fuktole Zummehg gebrcht worde d. E belebte Negtvbepel t der lere Zummehg zwche Störche ud Storchpre der Stdt Oldeburg zwche 93 ud 936. Iterpoltopolom 7. Grde 3

4 Mthemtk LK / Alte Gmum! " De berühmte Grudglechug der Mechk, uf der cht ur de Mechk, oder uch wete Tele der klche Phk bere, lutet: F m I Worte ugedrückt köte e lute: de Krft F, de ee Körper der Me m de Bechleugug v / t ertelt, t d Produkt u der Me m ud der Bechleugug. De bem Bechleuge uftretede Gechwdgketäderug erfolgt Rchtug der bechleugede Ic Newto Krft. De drückt m durch (63-77) Vektorpfele über F ud u (m t ht kee Rchtug ud t e Sklr, ke Vektor). Beret um 686 ht der Egläder Ic Newto de Apfel ud Mod flle ch de Grudglechug ufgetellt, zuächt für de Bewegug gleche Geetze vo Hmmelkörper. D übertrug er e uch uf rdche Körper, z.b. fllede Äpfel (ehe Bld lk). De Grudglechug der Mechk t uch bekt l d. Newto che Aom. Ee beoder terete Awedug der Grudglechug t d Betmme der Me: ket m de wrkede Krft F ud de Bechleugug ee Körper, o ergbt ch u bede ee Me m F /. De Me vo Elemetrtelche (Elektroe, Protoe uw.) wurde u der Meug hrer Bechleugug durch bekte Kräfte elektrche ud mgetche Felder betmmt. Der htorche Veruch de Mepetrogrphe vo Frc Wllm Ato (Nobelpre 9) wäre zur Aufführug zu ufwedg, ber wr bechräke u uf e efchere Bepel: Frc Wllm Ato (877-95) Auf ee Luftkefhrbh wrd e Wge mt ubekter Me ufgeetzt. Er k prktch rebugfre glete. Der Wge wrd über ee Umlekrolle mt eem gehägte Gewcht verbude. Lät m d Gewcht lo (durch ee Elektromgete), erfährt der

5 Mthemtk LK / Alte Gmum Wge ee kotte Bechleugug, de durch de Gewchtkrft der gehägte Me hervorgerufe wrd. De Bechleugug k mt Lerchrke gemee werde, de Gewchtkrft errechet ch u Geucht t de Me de Wge. E ergbt ch ch Veruchdruchführug:,9,8 Bechl. Krft F,9,8,78,6,7,,8, F [N],7,6,5,,3,,,,,,,3,,5 [m/²] We lät ch u dee Mewerte de Me de Wge betmme? D j bekt t, d de Bechleugug der Krft ch F m drekt proportol t, etprcht m der Stegug der Gerde der Fukto F( ) m gerde der Me m. E t lo de Urpruggerde mt derjege Stegug geucht, de de Mewerte m bete folgt. Ihre Stegug etpräche d der geuchte Me. 5

6 Mthemtk LK / Alte Gmum #! $ %& E t dejege Fukto geucht, de möglcht geu de Pukte der Merehe u dem Eführugbepel folgt. E Verfhre für d Ermttel eer olche Fukto t de Methode der klete Abwechugqudrte (uch: Methode der klete Fehlerqudrte; eglch: Let Squre Method). Dee Methode geht uf de berühmte Mthemtker Crl Fredrch Guß zurück. oll ee Regreogerde gelegt werde. De Gerde ht de Form f ( ) ud geht durch de Urprug. De Stegug etprcht m Bepel der Me m. Durch de Wertepre ( ), ( ),, ( ) Crl Fredrch Guß ( ) Forderug, d de gegebee Wertepre -Rchtug gemt möglcht weg vo der Regreogerde bweche olle, führt m mt Hlfe der Methode der klete Abwechugqudrte zu eer erte Voruetzug: De Summe der Abwechugqudrte S ( ) oll ee mmle Wert ehme. Illutrto der Methode der klete Abwechugqudrte S f ) ( ) ( ) m (mt ( ) Dzu mu de Abletug S () gebldet werde. E glt: ( ) u( v( ) ) v( ) ud v ( ) u ( v) v ud u ( v) v S mt Nch der Ketteregel glt S '( ) v' ( ) u' ( v) Abletug) ud ' (ere Fukto bzw. Abletug) ' (äußere Fukto bzw. Abletug) (ere Abletug multplzert mt äußerer ( ) ( ) S' S' ( ) + S' ( ) 6

7 Mthemtk LK / Alte Gmum S geetzt werde (otwedge Bedgug). Dbe k uf d Überprüfe der hrechede Bedgug S' ( ) > verzchtet werde, d S( ) ee ch obe geöffete Prbel t, de ubedgt l ezge Etremum ee Tefpukt ht. Um d Mmum vo S ( ) zu fde, mu de Abletug '( ) t cho erfüllt, we be eem Wertepr t. De Glechug der Regreogerde mt '() b lutet lo f ( ) Nch der gezegte Methode lät ch de Me de Wge m Eführugbepel betmme:,9,8,3,76,78,6,7,77,7,,8,3,8,,,7,6,3 De Regreogerde ht bezüglch,6 de Stegug, 99 ; d,3 ergbt für de Me m de Wge m,99 kg. m,99kg,kg. F [N],,9,8,7,6,5,,3,,,,,,,3,,5 [m/] 7

8 Mthemtk LK / Alte Gmum ' * * '!# + D Hooke che Geetz (ch Sr Robert Hooke, bekt l Etdecker der Zelle Pflze) begt, d ee eltche Deformto ε ee Körper proportol zur legede Spug σ t: σ E ε. E t d Eltztätmodul, welche be jedem deformerte Körper der t. Ee Soderform de Hookeche Geetze zegt ch be Sprlfeder. Dort etprcht gerde de Krft F der Spug ud de Aulekug de Gewcht gegeüber der Nulllge der eltche Deformto. Dmt glt: F D. D t ee Egechft der Feder, de Federkotte. E wrd der folgede Veruch durchgeführt: eem Sttv befetgt m ee Feder mt ubekter Federkotte. D zeht m mt eem Krftmeer der Feder. M trägt de Aulekug der Feder gege hre rücktellede Krft F b. E ergbt ch ch Veruchdruchführug: Robert Hooke (635 73) F [N] 6,,,,,,, 3,, 5, 6, -, -, -6, Mew erte gechätzte Regreogerde Au dem Grphe geht beret hervor, d e ch be der Regreogerde cht mehr um ee Urpruggerde hdelt. De t uch eleuchted: ee hägede Feder ht hrer Ruhelge (ohe de Eflu de Krftmeer) cho ee Aulekug. Dbe t zu bechte, der Urprug m Atzpukt der Feder t; de Merchtug zegt ch ute (ehe Grfk). Somt d uch de Krftbeträge erklärt: ee Aulekug der Feder Merchtug bewrkt ee dzu etgegegerchtete egtve Krft. Wrd de Feder ber etgege der Merchtug ugelekt (lo über hre Ruhelge zum Urprug h zummegetucht), wrkt de Gegekrft der Feder Merchtug. Dher legt der - Achechttpukt m potve Berech. Bemerkewert t, d her ee Regreogerde Voruge über d Verhlte der Feder erlubt, de durch Meuge ur umtädlch errbetet werde köte: bem Zummetuche der Feder recht e Krftmeer zur Meug hrer Rücktellkrft cht mehr u. E t lo ee Gerde zum Bechrebe der F( ) -Fukto geucht, de de Mewerte m bete folgt ud cht otwedgerwee ee Urpruggerde t. [cm] de Merchtug F 8,, 3,5 -,5 3,5 -, 37,5 -,5,5 -, 3, -,5 6, -3, 8,5-3,5 5, -, 8

9 Mthemtk LK / Alte Gmum ' #! $,& ' # * -.%& Gegebe d Wertepre ( ), ( ),, ( ). Für de Regreogerde mt f ( ) + b müe ud b o betmmt werde, d de qudrtche Abwechug möglcht kle wrd: S (, b) ( ( + b) ) m Au formle Grüde oll her (och) cht, we der erte Herletug, uf de mttlere qudrtche Abwechug egegge werde. D Mmum deer Fukto lät ch mt Verchedee Mttel fde. De gebräuchlchte Wege der Ltertur d d Nulletze der Abletug S' ud d Betmme de Schetelpukte der Prbel. Bede olle her cheder gezegt werde. Um ( b) S, ch eer der Vrble überhupt uflöe zu köe, bedrf e eer wetere Ahme, de ee Zummehg zwche ud b hertellt. Dehlb wrd her ee zuätzlche Forderug zur Verefchug de Problem geführt: de zu de Pukte ( ), ( ),, ( ) verlufede Regreogerde f ( ) oll durch de SP der Mewerte gehe. Dbe glt: Schwerpukt ( ) ud f + bzw. + b ud b glt: Mt ( ) b S ( ) ( ( + )) S( ) (( ) ( )) Zur Verefchug werde folgede Abkürzuge egeführt: ( ) ( ) ( ) ( ) De Abkürzuge d l optche Verefchuge (cht l Vrble) zu vertehe. l de mttlere Qudrtche Abwechug der Megröße X vo hrem Schwerpukt zu vertehe, cht l Vrble zum Qudrt. ud d Vrze (ehe.5). De Abkürzuge d der Ltertur deer Form üblch. t 9

10 Mthemtk LK / Alte Gmum Nch der Ketteregel (.o.) wrd für S() de Abletug S () gebldet: ( ) ( ) ( ) ( ) S ' ( ) ( ) ( ) ( ) S ' ( ) ( ) ( ) ( ) + + S ' A deer Stelle wrd der Audruck mt / multplzert, um de verefchede Term zu beutze. Auch her t d Überprüfe der hrechede Bedgug cht otwedg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ud b De Glechug der Regreogerde lutet dher ( ) ( ) f +, oder, um der Form b + zu folge ( ) f +. ' # * / * -. Über de Atz ( ) ( ) ( ) ( ) S gelgt m zu derelbe Löug, dem m de -Schetelpuktkoordte der Prbel ucht: ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + S ; t cho erfüllt, we be eem Wertepr

11 Mthemtk LK / Alte Gmum S( ) + S( ) ( + ) A deer Stelle prgt ee qudrtche Ergäzug Auge. Wchtg t, d der Fetlegug ( ) ( ) de Summe vor jede der Fktore, uf de e ch uwrkt, geetzt werde k; o glt ( ) ( ) ; ud mt ( ) ud ( ) glt uch. Allerdg t de Bezechug ur der Form ( ) ( ) üblch. Deer umtädlche Formlmu, der mt der Fetlegug vo ud ud dere Behdlug l Vrble hätte vermede werde köe, fdet ch der Ltertur weder ud wrd her dehlb überomme. Somt glt S S ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) Hermt t, m Klmmerudruck, de Schetelpuktform der Prbel errecht. Für Prbel mt dem Schetelpukt be SP ( ) glt p( ) ( ). D geucht t, mu der Klmmerudruck verchwde. D glt:. Übertrge uf S() glt d, ud omt ( der formle Schrebwee) weder. ''() Mt der Regreoglechug für belebge Gerde t de volltädge Auwertug de Bepel zum Hooke che Geetz möglch: ( ) ( ) ( ) ( ), 8,, -,7 8,3,, -,33, 3,5 -,5-8,67 75,,5,5-3, 3, 3,5 -, -5,67 3,,, -5,67, 37,5 -,5 -,67 7,,5,5 -,33 5,,5 -,,33,,,, 6, 3, -,5,83 8,3 -,5,5 -, 7, 6, -3, 5,83 3,3 -,, -5,83 8, 8,5-3,5 8,33 69, -,5,5 -,5 9, 5, -,,83,3 -,, -3,67,7 -, 57, -9,75

12 Mthemtk LK / Alte Gmum De Regreogerde (gezegt 3.) wrd durch de Glechug f ( ) + bechrebe. Auf Bepel übertrge lutet e: f 9,75 57, 9,75 57, ( ),,7,7 +, 86 3 F [N],,9,8,7,6,5,,3,,,,,,,3,,5 [m/²] Bepel : Grudglechug der Mechk F [N] 6,,,,, -,,, 6, -, -6, [cm] Bepel : Hooke che Geetz E t beret geluge, jewel ee Regreogerde mt eer mmle qudrtche Abwechug de Dte u de Veruchergebe der bede Bepele zu lege. Verglecht m de Dte, tellt m ege Uterchede zwche de Bepele fet. E fällt uf, d Bepel ur ver Mewerte verwedet wurde; Bepel d e eu. Ferer fällt uf, d Bepel de Mewerte der Gerde chebr chlechter folge l Bepel, e chee etw zu hüpfe. De Wetere d de Ache de bede Bepele völlg uterchedlch klert. We d lo de Dte u Bepel ud Bepel zu bewerte? We köte m Auge über Stärke ud de Rchtug de lere Zummehge mche, ud uf de Bepele wede?

13 Mthemtk LK / Alte Gmum 3 Gegebe d de Mewerte ( ). Durch de zugehörge Puktwolke wrd ee Regreogerde gelegt. Dbe werde folgede Uterteluge gemcht:, ( ),, ( ) Voruetzug für dee Drtellug t, d cht lle Pukte der Puktwolke uf der Regreogerde lege. De Abwechug wrd zwe Tele zerlegt: () f ( ) Deer Tel wrd durch de Regreogerde erklärt bzw. hrer Glechug berückchtgt. () f ( ) Deer Tel gbt de zufällge Schwkuge der Werte um de Regreogerde. We de Abblduge recht zege, k z.b. d Etfere vo Pukte etgegegeetzte Rchtuge de Glechug der Regreogerde ubeeflut le, wohgege de Qultät oder Güte der Dte bmmt. Somt wrd deer Tel cht vo der Regreogerde erklärt. E Mß für de Qultät der Dte, d uch de cht durch de Glechug der Regreogerde erklärte Tel berückchtgt, t der llgemee Korreltokoeffzet. Er t defert l d Verhält der durch de Regreogerde erklärte Stdrdbwechug der gemte Stdrdbwechug (ehe.5) ud wrd mt r bezechet: r ( f ( ) ) ( f ( ) ) ( f ( ) ) ( f ( ) ) 3

14 Mthemtk LK / Alte Gmum Dee Defto t cht uf ee Regreogerde bechräkt, oder k für jede Fukto beutzt werde. Nu glt e, u der Glechug für de Regreogerde ee Bezehug herzutelle, ch welcher der Korreltokoeffzet r u de gegebee Dte berechet werde k. Dzu wrd r qudrert: r ( f ( ) ) ( ) Dbe t mt f ( ) + b f ( ) + b ( + b) ( ) r r ud + b gerde ( ) ( ), ud mt. Alo glt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) glt ( ) ( ) ( ) Nu wrd uf bede Sete der Glechug de Wurzel gezoge, wobe de egtve Löug deftogemäß cht betrchtet wrd. Somt ergbt r ( ) ( ) ( ) ( ) bezechet m uch l Kovrz. Der Korreltokoeffzet ht deelbe Stegug we de Stegug der Regreogerde. Se wrd vo der Kovrz betmmt. It r >, o t uch >. M prcht d vo potver oder glechger Korrelto; der Grph tegt. It dgege r < ud <, o prcht m vo egtver oder uglechger ( ) oder ( ) Korrelto. Der Korreltokoeffzet mmt de Werte r. Legt er he be bezehugwee -, d lät ch der Zummehg zwche de Megröße gut durch ee lere Fukto mt potver bezehugwee egtver Stegug bechrebe. It der Korreltokoeffzet dgege betrgmäßg kle, d.h. legt er he be, d lät ch der Zummehg der Megröße ur chlecht oder gr cht durch ee lere Fukto bechrebe. Ht der Korreltokoeffzet de Wert ull, et m de Merkmle ukorrelert. köe ur erfüllt e, we lle Mewerte uf der Regreogerde lege.

15 Mthemtk LK / Alte Gmum Her e geuere Schem zur Bewertug de Korreltokoeffzete: De folgede Merehe hbe lle de gleche Mttelwerte ( ) ud blde jewel ud gebe. owe de Kovrz. Se olle Bepele für de Bedeutug der Kovrz ' Bepel : 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - ( ) - 3 ( 3) (3 3) Bepel : 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - ( ) - 3 ( ) (3 3) 5

16 Mthemtk LK / Alte Gmum Bepel 3: 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - ( ) - 3 ( ) (3 ) 6 Bepel : 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) - - ( 3) 3 ( ) - (3 ) - - Bepel 5: 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - ( 3) (3 ) - - (3 3) Verglecht m de Bepele ud, o fällt uf, d trotz tärkerer Streuug der -Werte Bepel de Kovrze glech d. De mcht de Bedeutug der Stdrdbwechug, de de Stärke der Streuug berückchtgt. Bepel zegt ee egtve Wert für de Kovrz. 6

17 Mthemtk LK / Alte Gmum 3 ) 3 Nu oll überprüft werde, ob ch de Vermutuge über de Qultät der Dte de bede Eführugbepele recherch betätgt. Bepel : ( ) ( ) ( ) ( ),,9,8,78,98,3,9,5,,78,6,38,,,,3 3,,7, -,393,5 -,,,,,8, -,653,73 -,3,9,5,63,5,9,,5,7,63,5,9,5,7,7 D ergbt ee Korreltokoeffzete vo r, 999.,9,5 Bepel : ( ) ( ) ( ) ( ), 8,, -,7 8,3,, -,33, 3,5 -,5-8,67 75,,5,5-3, 3, 3,5 -, -5,67 3,,, -5,67, 37,5 -,5 -,67 7,,5,5 -,33 5,,5 -,,33,,,, 6, 3, -,5,83 8,3 -,5,5 -, 7, 6, -3, 5,83 3,3 -,, -5,83 8, 8,5-3,5 8,33 69, -,5,5 -,5 9, 5, -,,83,3 -,, -3,67,7 -, 57,,67 9,75 D ergbt ee Korreltokoeffzete vo r, ,,67 I bede Bepele legt lo ee trke Korrelto vor. -9,75 7

18 Mthemtk LK / Alte Gmum 53 /*) Be Beroull-Veruche werde Rde, de l Velfche der Stdrdbwechug σ gegebe werde, betmmte Whrchelchkete zugeordet. Auch bem Regreokoeffzete wurde mt ud Stdrdbwechuge beutzt. Welcher Zummehg beteht her? σ t defert l Wurzel u der Vrz V ( ). m Dee t V ( ) ( ) P( X ) µ. Dbe k de Zufllgröße X de Werte,,..., m ehme. µ bezechet de Erwrtugwert der Zufllgröße X. σ, de Stdrdbwechug, t m ( ) ( µ ) P( X ) σ V.,6 σ -Umgebug um µ De llgemee Defto der Vrz ud der Stdrdbwechug zegt, d ur Umformuge dvo be Beroull-Veruche verwedet werde. E glt für de Stdrdbwechug : m m m ( ) Dbe ethält de Vrz der llgemee Formulerug derelbe Stelle de Lufvrble ttt vo, ud e wrd e Erwrtugwert, ämlch der Mttelwert, ubtrhert. Allgeme vertärkt de Vrz Abwechuge vom Erwrtugwert, dem dee qudrert werde. 8

19 Mthemtk LK / Alte Gmum 5 * 67 5 '! Kodetore (v. lt.: codeu: dchtgedrägt, bezoge uf de Lduge) d Buelemete, de elektrche Lduge bzw. elektrche Eerge pecher köe. De efchte Form ee Kodetor beteht u zwe gegeüberlegede Metllpltte. Dzwche befdet ch e Delektrkum, d l Ioltor det. Al Eergepecher d Kodetore u der Elektrok cht wegzudeke. E gbt uzählge Buforme vo Kodetore, ud e fde ch prktch lle Elektrogeräte weder. Z.B. wrd durch Atrebe ee Fhrrddmo Eerge erzeugt, de eem Kodetor zwchegepechert verchedee Kodetore wrd. De ermöglcht dem Fhrrdlcht, uch och zu leuchte, we d Fhrrd ruht ud der Dmo cht betrebe wrd (z.b. der Ampel). Aber uch Fereher, Hd, MP3-Pler uw. pecher Eerge Kodetore. Tret m z.b. e Aufldegerät für ee MP3-Pler vom Netz, o eht m, we de LED m Gehäue e lgm ud fleßed erlcht. Dbe t de LED ee Kodetor gechloe, der ch etlädt. I eem Veruch oll der Etldevorgg ee Kodetor äher uterucht werde, dem der Zummehg zwche der Spug, de m Kodetor bfällt, ud der Zet, währed der der Kodetor etlde wrd, wrd. Be der elektrche Schltug zu deem Veruch werde e Megerät (d CBL) bem Auchltvorgg de Kodetor ufgezechet. Dee werde uf eem TI-Recher gezegt ud köe vo dort uf de PC portert werde. Nch Veruchdurchführug ergbt ch:,5 Aufbu ee Kodetor 3,5 3 Schltug für de Etldevorgg U [V],5,5, t [] 9

20 Mthemtk LK / Alte Gmum E t offechtlch, d zwche der Zet ud der Spug ke lerer Zummehg beteht. E t velmehr ee Epoetlfukto zu vermute. Geucht t lo e Verfhre, mt dem m ee Glechug fdet, d ch möglcht der Epoetlfukto ährt. 53 #*$ () E glt u zu überprüfe, ob e ch be de Fuktoe wrklch um Epoetlfuktoe hdelt. Dzu wrd ee hlblogrthmche Auwertug durchgeführt. + Epoetlfuktoe hbe de Form f ( ) q, q R \{ }. M k q ber uch l k e chrebe. Deer Audruck k für lle belebge k ur größer l e. Dmt k e cht wrd, mu m k mt q e uchleße. So d wr be folgeder Form gelgt: Deer Term wrd logrthmert: e k l(...) l( ) l( e k l( ) k + l( ) ) k f ( ) e, k R \{} E wrd deutlch, d de Glechug logrthmerter Form eer Gerde etprcht. Dbe t k der Stegugfktor ud l() der -Achebchtt. Um lo der grphche Drtellug ee Gerde zu bekomme, mu de -Ache logrthmert werde. Alog glt bem Veruch: U ( t) U l e k t l(...) ( U ( t) ) k t + l( U ) De Gerde hbe de Form + b. Dbe etprcht de Stegug der Regreogerde: l( ) b b U ud folglch t U e. k. Der -Achebchtt t

21 Mthemtk LK / Alte Gmum 5'() ' t U(t),,6, 3,567,,89,3,393,,9759,5,6379,6,3595,7,8,8,969,9,88,,6637,,563,,87,3,5,,356,5,358,6,66,7,63,8,6,9,666,,67,,67,,69,3,7,,7,5,87,6,87,7,87,8,67,9,67 3,,67 3,,67 3,,73 3,3,67 3,,73 3,5,73 3,6,73 3,7,73 3,8,73 3,9,73,,73,,73,,73,3,73,,73,5,75,6,73,7,75,8,75,9,75 5,,75 Nu glt e, ee Regreogerde für t Abhäggket vo l(u) zu fde, über dere Glechug uf ee Epoetlfukto gechloe werde k, de ähred geu de vermutete Epoetlfukto U(t) bechrebt. Dzu müe de Spugwerte logrthmert ud gege de Zet bgetrge werde: U,5 3,5 3,5,5 Hlblogrthmche Auwertug,5-3 t Mewerte t -> U(t) Regreogerde - - l(u) logrthmerte Werte t-> l(u(t)) De logrthmerte Werte ergebe zemlch geu ee Gerde. Ab eem betmmte Pukt, we de Spug recht gerg t, etzt e Ruche e, ud de Werte werde ugeu. De Werte, für de e voll t, ee Regreogerde zulege, d m Grphe drgetellt ud glechzetg der lke Tbelle grü mrkert. Au der Regreogerde (ehe ächte Sete) k ee Stegug vo ugefähr, 7 ud e -Achebchtt vo b,3 bgelee werde. E folgt für k, 7 ud,3 U e 3,8. Somt lutet de Glechug für de Abhme der Spug Abhäggket vo der Zet,7t U ( t) 3,8 e. U,5 3,5 3,5,5,5 Überprüfug der Ergebe t Mewerte t -> U(t) hlblog. Auwertug

22 Mthemtk LK / Alte Gmum Zur Betmmug der Regreogerde: ( ) ( ) ( ) ( ),,,5 -,9,8,6,63 -,6,,,5 -,8,6,, -, 3,,,6 -,7,9,3,5 -,86,,3,87 -,6,36,,8 -,6 5,,,68 -,5,5,85,7 -,3 6,,5,9 -,,6,66, -,6 7,,6,3 -,3,9,8,3 -, 8,,7,3 -,,,3,9 -,6 9,,8 -, -,,,3, -,,,9 -,,, -,5,,,, -,,, -,,6 -,,, -,57,, -,,6 -,8 3,, -,7,3,9 -,55,3 -,6,,3 -,9,,6 -,73,53 -,9 5,, -,6,5,5 -,89,79 -, 6,,5 -,8,6,36 -,, -,6 7,,6 -,3,7,9 -,5,3 -,8 8,,7 -,9,8,6 -,3,7 -,6 9,,8 -,58,9,8 -,,99 -,7,9 -,7,3,88 De Regreogerde wrd durch de Glechug f ( ) + lutet e: f,5,3,5,3 -,5 bechrebe. Her ( ),7,9,7 +, 36

23 Mthemtk LK / Alte Gmum 53 3 $ () Dee Auwertugrt folgt m Weetlche demelbe Przp we de hlblogrthmche Auwertug ud oll dher ur hergeletet werde. Legt der Verdcht cht uf eer Epoetl-, oder eer Potezfukto, führt m ee doppeltlogrthmche Auwertug durch. Potezfuktoe hbe de Form ergbt ch: f ( ),, R. Logrthmert m f ( ), l(...) l( ) l( l( ) l( ) + l( ) ) E wrd her weder deutlch, d de Glechug logrthmerter Form eer Gerde etprcht. t der Stegugfktor, l() der -Achebchtt. Währed m be der hlblogrthmche Auwertug ur de -Ache logrthmert, um der grphche Drtellug ee Gerde zu bekomme, logrthmert m dzu der doppeltlogrthmche Auwertug bede Ache. Auf dee Art ud Wee k m mt Hlfe der lere Regreo Epoetl- ud Potezfuktoe ähre. 3

24 Mthemtk LK / Alte Gmum 8 $ $ $ 3 8$ $ * D Progrmm Regreo t der Lge, Dte form vo Pukte ufzuehme ud drzutelle. E berechet de Glechug der Regreogerde, gbt dee ud tellt e l Gerde dr. E t möglch, de Grphe volltädg zu lbel, belebg vele Dterehe ud Regreogerde hzuzufüge, de Ache, Pukte ud Gerde belebg zu kolorere ud de Grphe l Bld zu eportere. E wurde Kle vo Ale Retrepo für d Progrmm verwedet. Drüber hu köe Dte l *.l-dte gepechert werde. Ee Specher- ud Ldefukto für XML-Dtee t ft fertg, ber zu deem Zetpukt och cht fuktofähg. D Progrmm t eglcher Sprche (uch der Quellcode) verft; derjege Quellcode, der für d Vertäd der Regreofukto otwedg t, t uführlch uf Deutch kommetert. D Progrmm t RelBASIC gechrebe, k lo uf Wdow, Mc ud Lu komplert werde.

25 Mthemtk LK / Alte Gmum 8 De Egbe vo Dte erfolgt über de Sere-Ltbo. De Dte köe dort uch bet werde; ofer Cpto ktvert t, werde e m Grphe ute recht gezegt. De ezele Dtepukte werde über de X/Y-Ltbo egegebe. E werde Dezmlzhle mt Pukt ud Komm l Trezeche kzeptert; bem Pukt gbt e ee ekte Drtellug, bem Komm wrd der Nchkommtel bgechtte. Dmt der Koordteurprug gezegt wrd, mu Zero ktvert e. Über ee Druck uf de Butto Regreo wrd ee Regreogerde gezechet. Wchtg t dbe, d ur ee Regreogerde gezechet werde k, we e Wert der zuähede Dterehe der X/Y-Ltbo ktvert t. De Regreofukto legt ee eue Dterehe ; l Grphme bekommt e hre Glechug. It Org geklckt, o wrd ee Regreogerde erzwuge, de durch de Urprug geht. Preco gbt, u we vele Werte de Regreogerde ertellt werde oll; dee Opto t v.. für Erweteruge gedcht, de uch dere Grphetpe ähred köe. Der Butto Ecel öffet e klee Feter, d we ee zwepltge Ecel-Tbelle ufgebut t (ud ch mt Eter, Tb ud der Mu teuer lät). I der Tbelle werde de ktuell ugewählte Dte egetrge; über de Sve-Butto köe e m XLS-Formt gepechert werde. De d de wchtgte Zummehäge. 9 ( 9 Veruchprotokoll zu Thermoelemete uter Awedug vo lerer ud epoeteller Regreo, ettde währed de Betrebprktkum vom M 5. 9 Ecel-Tbelle zum Hooke che Geetz uter Awedug vo lerer Regreo, ergäzed zu ' Ecel-Tbelle zur Etldug vo Kodetore uter Verwedug vo hlblogrthmcher Auwertug, ergäzed zu Ecel-Tbelle zur Schürholz che Drehwge mt Erläuteruge; uter Awedug der doppeltlogrthmche Auwertug, weterführed zu 5.. : ; Wlz, Gudo (Hg.), Leko der Stttk. Spektrum,. Leohrt, Rer (Hg.), Lehrbuch Stttk. Verlg H Huber,. Athe, Herm (Hg.), Mthemtk heute Letugkur Stochtk. Schroedel, 98. Kmmermeer, F. / Zerpe, R., Stttk. Corele, 3. Greel, Hez (Hg.), Elemete der Mthemtk. Schroedel, 3. Wuttke, H. / Jhke, Th. (Hg.), Stochtk. Mthemtk. Corele, 5. Stochtk. Mthemtk Sek. II. Volk + We Verlg, 997. Weber, K. / Zllmer, W., Mthemtk Letugkur. Petec,. Erlch, Aleder, Prktkumberech m Fchberech Phk. 5. Greh, Jochm (Hg.), Metzler Phk. Schroedel, 998. Bder, Frz (Hg.), Dor/Bder Phk. Schroedel,. Kuh, Wlfred (Hg.), Kuh Phk. Weterm,. 5