E 4 Spule und Kondensator im Wechselstromkreis

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1 E 4 Spule und Kondensator im Wechselstromkreis 1. Aufgaben 1. Die Scheinwiderstände einer Spule und eines Kondensators sind in Abhängigkeit von der Frequenz zu bestimmen und gemeinsam in einem Diagramm darzustellen. 2. Aus der Frequenzabhängigkeit der Scheinwiderstände von Spule und Kondensator sind die Induktivität und der ohmsche Widerstand der Spule sowie die Kapazität des Kondensators zu bestimmen. 3. An einer Reihenschaltung aus Spule und Kondensator sind bei einer bestimmten Frequenz die Teilspannungen zu messen und das Zeigerdiagramm darzustellen. Der Betrag der resultierenden Spannung ist anzugeben. 4. Die Resonanzkurve I/U=f(f) des Reihenschwingkreises ist aufzunehmen und grafisch darzustellen. Die Parameter Resonanzfrequenz f 0, Resonanzmaximax und Bandbreite f sind zu ermitteln und mit rechnerischen mum (I/U) Werten zu vergleichen. 2. Grundlagen 2.1 Literatur: [1] bis 10. Aufl.: E ; E ; E ; ab 11. Aufl.: E und Physik-Lehrbücher 2.2 Wechselspannung und Wechselstrom Bei der Spannungserzeugung in Generatoren und bei der elektronischen Schwingungserzeugung in Oszillatorschaltungen spielen sinusförmige Wechselspannungen und -ströme in der Technik und im Haushalt eine wichtige Rolle. Im Wechselstromkreis sind die Spannung und die Stromstärke harmonische (d. h. sinusförmige) Funktionen der Zeit: (1) 1

2 E 4 Wechselstromkreis U 0, I 0 - Amplituden (Scheitelwerte) von Spannung und Strom, = 2 f - Kreisfrequenz (f - Frequenz),, - Nullphasenwinkel von Spannung und Strom. U I Effektivwerte Meist werden für Spannung und Stromstärke anstelle der Scheitelwerte die Effektivwerte angegeben. Der Effektivwert I eff ist der zeitlich quadratische Mittelwert eines Wechselstromes und entspricht derjenigen Gleichstromstärke, die an einem Widerstand R den gleichen Leistungsumsatz P erzeugt. Für die an R in Wärme umgesetzte momentane Leistung P(t) gilt für U= I= 0 (d. h. Spannung und Stromstärke in Phase) (2) 2 Der zeitliche Mittelwert von sin ( t) über eine Periodendauer T ist ½ und die über eine Periodendauer gemittelte Leistung entsprechend (3) Der Vergleich mit (4) liefert für den Effektivwert der Stromstärke (5) analog gilt für den Effektivwert der Spannung (6) Die Netzspannung im Haushalt hat einen Effektivwert U eff = 220 V und demnach einen Scheitelwert von U 0 = 311 V. Drehspul- und Digitalmessgeräte zeigen i.a. Effektivwerte an. 2

3 Wechselstromkreis E Spule und Kondensator im Wechselstromkreis Befinden sich induktive und kapazitive Widerstände im Wechselstromkreis, treten gegenüber ohmschen Widerständen folgende Besonderheiten auf: a) Die Wechselstromwiderstände von Spule und Kondensator sind frequenzabhängig. Der induktive Widerstand einer idealen Spule (ohmscher Widerstand R=0) ist der (Kreis-)Frequenz des Wechselstromes direkt proportional, Proportionalitätskonstante ist die Induktivität L der Spule: (7) Diese Beziehung ist aus dem Induktionsgesetz ableitbar. Der kapazitive Widerstand des idealen Kondensators mit der Kapazität C ist dagegen der Kreisfrequenz umgekehrt proportional: (8) Diese Beziehung erhält man durch Differentiation der Definitionsgleichung der Kapazität Q = C U. b) Spulen und Kondensatoren bewirken eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Beim ohmschen Widerstand mit dem Wirkwiderstand R sind Strom und Spannung in Phase und elektrische Energie wird in Wärme umgesetzt. Ein rein induktiver Widerstand (ideale Spule) bewirkt, dass die o Spannung der Stromstärke um 90 vorauseilt, beim rein kapazitiven Wider- o stand (idealer Kondensator) eilt die Spannung der Stromstärke um 90 nach (Abb. 1). Daraus folgt, daß an der (idealen) Spule und am (idealen) Kondensator im zeitlichen Mittel keine Leistung umgesetzt wird (Blindleistung, Blindwiderstände). Sie stellen Speicher für magnetische oder elektrische Energie dar. Die Phasenverschiebung (= U - I) zwischen Spannung und Stromstärke hat zur Folge, dass Widerstände im Wechselstromkreis nicht einfach algebraisch addiert werden können. 3

4 E 4 Wechselstromkreis Abb. 1: Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis Effektiv ist die Behandlung von Wechselstromkreisen in komplexer Schreibweise (Gaußsche Zahlenebene, Aufspaltung einer Größe in Real- und Imaginärteil), wie auch in [1]. Die geometrische Entsprechung, das sogenannte Zeigerdiagramm, lässt sich jedoch auch ohne Kenntnis der komplexen Zahlenrechnung darstellen und verstehen. Im Zeigerdiagramm werden Widerstände durch Zeiger dargestellt, deren Längen den Beträgen proportional sind und deren Winkel zur Abszisse die durch die Widerstände bewirkten Phasenverschiebungen zwischen Strom und Spannung ausdrücken. Die Addition von Widerständen (in Reihenschaltungen) bzw. von Leitwerten (in Parallelschaltungen) erfolgt analog zur Vektorrechnung. Bei einer Reihenschaltung aus Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand (Abb. 2a) wird als Bezugsgröße der ohmsche Widerstand positiv an der Abszisse aufgetragen, der Betrag des induktiven Widerstandes positiv an der Ordinate und der des kapazitiven Widerstandes negativ an der Ordinate aufgetragen (Abb. 2b). Der Gesamtwiderstand (Scheinwiderstand Z) ergibt sich durch geometrische Addition zu 4

5 Wechselstromkreis E 4 Abb. 2a: Reihenschaltung von R, L und C Abb. 2b: Zeigerdiagramm für Widerstände (9) Der Winkel zwischen Zeiger von Z und Abszisse entspricht dem Phasenwinkel, um den Strom und Spannung im Wechselstromkreis gegeneinander verschoben sind. Nach Abb. 2b ergibt sich (10) Im Gegensatz zur idealen Spule (ohmscher Widerstand = 0) muss bei der realen Spule neben dem induktiven Widerstand L der ohmsche Widerstand R L der Spulenwicklung als zur Induktivität in Reihe geschaltet berücksichtigt werden. Der Scheinwiderstand Z der realen Spule ergibt sich nach (9) bzw. Abb. 2b zu (11) Bei der Reihenschaltung von R, L und C ist R L und R zu addieren. 5

6 E 4 Wechselstromkreis Beim realen Kondensator kann wegen nichtidealer Isolation ein Verlustwiderstand auftreten, der durch einen parallel zur Kapazität C geschalteten ohmschen Widerstand R C berücksichtigt wird. In der Regel ist jedoch der Verlustwiderstand R so groß, dass er vernachlässigt werden kann und Gleichung (8) gilt. C Unter Berücksichtigung des besonderen Verhaltens von Wechselstromwiderständen ((a) und b) unter 2.2.1) gilt für den Wechselstromkreis ebenfalls das Ohmsche Gesetz, es lautet bei Verwendung der Scheitelwerte von Strom und Spannung (12) und gilt bei konstanter Frequenz und konstanter Temperatur. Anstelle der Scheitelwerte können auch die Effektivwerte (s. 2.2) eingesetzt werden. Wechselspannungen und -ströme lassen sich ebenfalls in einem Zeigerdiagramm darstellen, wie Abb. 3 für die Reihenschaltung von R, L und C zeigt. Auf der Abszisse wird der durch alle drei Bauelemente in gleicher Stärke fließende Strom I und der Spannungsabfall am ohmschen Widerstand U R aufgetragen. U L wird positiv und U C negativ an der Ordinate aufgetragen. Durch vektorielle Addition ergibt sich die Gesamtspannung U, die der an die Reihenschaltung angelegten Spannung entspricht. Die algebraische Summe der Spannungsabfälle an R, L und C kann dagegen erheblich größer als die angelegte Spannung sein. Abb. 3: Zeigerdiagramm für Spannungen 6

7 Wechselstromkreis E Elektrische Schwingungen - Reihenschwingkreis Die Reihenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand stellt einen elektrischen Schwingkreis dar (Abb. 2a). Schließt man diese Reihenschaltung bei aufgeladenem Kondensator kurz, so führt die Anordnung eine freie gedämpfte elektrische Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz 0 aus. Bei der Entladung des Kondensators über die Spule wird in dieser eine Spannung induziert, die den Kondensator erneut (aber mit umgekehrter Polarität) auflädt. Die elektrische Feldenergie des Kondensators und die magnetische Energie der Spule wandeln sich periodisch ineinander um. Wird dieser Schwingkreis an eine Wechselspannungsquelle der Spannung U angeschlossen, so führt er erzwungene elektrische Schwingungen mit der Frequenz der Spannungsquelle aus. Die Stromstärke I ergibt sich nach (9) und (12) zu (13) Nach (13) wird bei einer bestimmten Frequenz die Stromstärke maximal, wenn L - 1/ C = 0 ist, sich also induktiver und kapazitiver Widerstand kompensieren. Die Stromstärke wird dann nur durch den ohmschen Widerstand begrenzt. Die Spannungen an Spule und Kondensator können weit über der angelegten Spannung liegen, kompensieren sich aber wegen unterschiedlicher Vorzeichen. Diesen Fall nennt man Resonanz und die zugehörige Kreisfrequenz - die Resonanzfrequenz - ist identisch mit der Eigenkreisfrequenz des Schwingkreises (14) Diese Beziehung nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung. Die Frequenzabhängigkeit des Stromes I(f) (Abb. 4) zeigt ein charakteristisches Verhalten mit einem ausgeprägten Maximum. Die Frequenzlage des Maximums ist gemäß (14) durch die Werte von L und C festgelegt. Das drückt sich bei der 7

8 E 4 Wechselstromkreis erzwungenen Schwingung im Maximalstrom I max = U/R und in der Bandbreite f ("Abstimmschärfe") (15) der Stromresonanzkurve aus. Die Bandbreite f ist das Frequenzintervall zwimax/ 2 = 0,707 I max (Abb. schen den beiden Stellen in der Resonanzkurve mit I = I 4). Die Dämpfung bestimmt auch die Resonanzüberhöhung r, das ist das Verhältnis der Spannung im Resonanzfall an der Induktivität U L0 bzw. am Kondensator U zur Spannung U der Wechselspannungsquelle: C0 (16 a) Mit U L0 = I max 0L bzw. U C0 = I max/ 0C und U = ImaxR folgt (16 b) Mechanische Schwingungsvorgänge zeigen analoge Erscheinungen wie Eigenschwingung, erzwungene Schwingung, Resonanz und Dämpfung. Abb. 4: Amplitudenresonanz eines Reihenschwingkreises 8

9 Wechselstromkreis E 4 3. Hinweise zur Versuchsdurchführung und -auswertung zu Aufgabe 1: Es ist die Schaltung nach Abb. 5 aufzubauen (Kontrolle durch den Betreuer). Die Handhabung des Funktionsgenerators wird in der Platzanleitung erklärt. Für die Spule sind U eff und I eff sind im Frequenzbereich Hz in Schritten von 10 Hz zu messen und daraus der Scheinwiderstand Z zu berechnen. Anschließend ist die Messung analog mit dem Kondensator C durchzuführen. Abb. 5: Schaltung zu Aufgabe 1 Z L und Z C sind in Abhängigkeit von der Frequenz f in einem Diagramm darzustellen. zu Aufgabe 2: Zur Ermittlung der Induktivität L der Spule trägt man (ausgehend von Gleichung 2 2 (11)) Z L über auf. Aus dem Anstieg der erhaltenen Geraden lässt sich die Induktivität L und aus dem Absolutglied der ohmsche Widerstand der Spule R L berechnen. R L wird zum Vergleich mit einem Multimeter direkt bestimmt. Zur Bestimmung der Kapazität C des Kondensators trägt man gemäß Gleichung (8) 1/Z über auf und kann aus dem Anstieg der Geraden die Kapazität C ermitteln. 9

10 E 4 Wechselstromkreis zu Aufgabe 3: Es ist die Schaltung nach Abb. 6 aufzubauen (Kontrolle). Abb. 6: Schaltung zu Aufgabe 3 Bei einer bestimmten Frequenz (s. Platzanleitung) sind die Spannungen an der Spule U Sp und am Kondensator U C zu messen. U Sp setzt sich gemäß Abb. 6 aus UL und U RL (Spannung an Induktivität bzw. ohmschem Widerstand der Spule) zusammen. Zunächst sind U Lund U RLmit Hilfe der folgenden Beziehungen aus den Größen U, L und R zu berechnen: Sp L Der Betrag der Spannung U ist zu errechnen und mit der gemessenen Eingangsspannung zu vergleichen. Das Zeigerdiagramm für die Spannungen ist zu zeichnen. Die Teilspannungen sind anzugeben. zu Aufgabe 4: Der Schwingkreis ist nach Abb. 7 mit C 1 aufzubauen (wegen des hohen ohmschen Widerstandes der Spule ist kein zusätzlicher ohmscher Dämpfungswiderstand notwendig). Für verschiedene Frequenzwerte ist die Spannung U und der 10

11 Wechselstromkreis E 4 Strom I zu messen und der Quotient I/U zu bilden. Die Schrittweite für f wird in der Platzanleitung angegeben. Es ist eine grafische Darstellung I/U=f(f) anzufertigen (der I/U(f)-Verlauf gleicht dem I(f)-Verlauf. I/U(f) ist darzustellen, weil die Ausgangsspannung des Funktionsgensgenerators etwas last- und frequenzabhängig ist.) und daraus die Resonanzfrequenz f 0, Maximalstrom (I/U) max und Bandbreite f zu ermitteln. Diese Werte sind mit den nach (14) und (15) berechneten zu vergleichen. Abb. 7: Reihenschwingkreis 4. Schwerpunkte für die Versuchsvorbereitung - Amplitude, Effektivwerte von Wechselstrom und -spannung, induktiver und kapazitiver Widerstand, Phasenverschiebung, Resonanzfrequenz, Scheinwiderstand, Blindwiderstand, Wirkwiderstand, Zeigerdiagramm - Ohmsches Gesetz für Wechselstrom, Induktionsgesetz, Definitionsgleichung der Kapazität, Thomsonsche Schwingungsgleichung 11

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