Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

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1 III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter der Funktion f( zwischen den Grenzen und. Die Fläche knn durch eine Summe von Rechtecken pproimiert werden. Dzu wird ds Intervll [,] in n gleiche Suintervlle unterteilt:,,,... n Der Astnd zwischen zwei -Werten ist: ( i i Δ (i,,...,n n Die dzugehörigen Funktionswerte sind: y, y,y,...,y n Die Fläche A knn pproimiert werden durch eine Summe von Rechtecken oerhl der Kurve f( und eine Summe von Rechtecken unterhl der Kurve f(. Oerhl f(: Unterhl f(: A u y Δ + y Δ y n Δ A o y Δ + y Δ y n- Δ A u A A o Der Fehler der Anpssung ist: A o A u y o. Δ - y n. Δ (f(-f(. Δ Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

2 Der Fehler entspricht der Gesmtfläche der usgefüllten Rechtecke in oiger Aildung. Wird die Unterteilung nun sukzessive verfeinert, dnn wird diese Fläche eenflls sukzessive kleiner. Für n geht Δ, dher konvergieren die Flächen A u und A o gegen A. lim Au lim Ao n n A Die Schreiweise für diesen Grenzwert ist ds Integrlzeichen in der Form: A f ( lim f ( i Δ Δ n i Wie hängen Differentition und Integrtion zusmmen? h F( ΔF +h Die oere Grenze wird durch die Vrile ersetzt. Die Aszisse nimmt elieige Werte im Definitionsereich von yf( n. Sei A die Fläche unterhl der Kurve f( im Intervll [,]. Für ist ds Intervll uf einen Punkt reduziert und die dzugehörige Fläche A A. Ist ungleich, dnn ist uch die Fläche ungleich. Die Fläche A hängt von, sie wird deshl ls Flächenfunktion von ezeichnet. A F( Differenziere F( nch : sei A +Δ F(+Δ ΔF F(+Δ - F( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

3 ΔF knn durch eine Rechteckfläche ngenähert werden (schrffiert in Aildung. Betrchten wir dzu zwei Rechteckflächen, eine mit den Seite Δ und f(, die ndere mit den Seiten Δ und f(+δ. Nchdem f( monoton steigend ist, gilt: Δ f( < ΔF < Δ f(+δ, Die Änderungsrte ΔF/Δ ist dher f( < ΔF/Δ < f(+δ, Nchdem f( stetig ist, konvergiert f(+δ gegen f( mit Δ. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ΔF/Δ, die Aleitung df/ F eistiert dher, und df F ( f ( Die Aleitung der Flächenfunktion F( ist die gegeene Funktion f(, zw. nders herum: die Flächenfunktion F( ist ds estimmte Integrl von f(. Durch die Festlegung der Grenzen wird die Flächenfunktion vom unestimmten Integrl zum estimmten Integrl. Bemerkung: Von einer Funktion g( git es unendlich viele Stmmfunktionen G(+c, g ( G( + c, mit G( dem unestimmten Integrl (ntiderivtive und der Integrtionskonstnten c, weil c R elieige Werte nnehmen knn. Erst durch die Rndedingungen wird c fiiert und die Lösung uf eine, oder wenige Stmmfunktionen eingeschränkt. Wie wird die Konstnte c estimmt? Sei I( ein elieiges unestimmtes Integrl von f(, so unterscheidet sich F( von I( nur durch eine estimmte Konstnte c: F( I( +c Für den estimmten Wert erhlten wir: F( I( + c, und c -I(, dher ist F( I( - I(. Im Intervll [,] wird durch Ersetzen der oeren Grenze durch : F( A I(-I(. Schreiweise: F( f( I(-I(, untere Grenze; oere Grenze f( Integrnd Integrtionsvrile, Integrtionsgrenzen Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

4 f ( F( F( F( F ( Integrl Die Differentition der Stmmfunktion F( ergit f(. Differentition und Integrtion sind inverse Opertionen. Huptstz der Integrlrechnung: d f ( t dt f (, F ( t dt F( oder Bemerkung: Mitunter findet mn uch folgende Schreiweise: f ( F( F( üernimmt hier eine Doppelrolle ls Integrtionsvrile und ls oere Grenze. Diese Schreiweise ist verwirrend und sollte dher unterleien, für die oere Grenze und Integrtionsvrile sollten verschiedene Buchsten verwendet werden, wie etw: Unestimmtes Integrl: f ( F( + C ht keine Integrtionsgrenzen f ( t dt F( t F( F( C Integrtionskonstnte; knn jeden elieigen Wert (uch nnehmen. Knn für ein spezifisches Prolem erechnet werden (siehe Anfngs- zw. Rndedingungen ei Differentilgleichungen Rechenregeln: c f ( f ( ( f ( + f f ( c Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

5 ( + g( f ( + f g( +c (c kommt üerll vor, wird er ei den nchstehenden Regeln weggelssen kf ( k f ( n+ n + C n + l n + C d ln + C e d e l{ ne e + C cos sin + C sin cos + C tn l ncos + C cot l nsin + C Achtung: nicht jedes Integrl knn uf eindeutige Weise gelöst werden. Integrtionsmethoden ( Integrtion durch Sustitution z.b. sin( + dt Setzen: t + dt dt Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

6 sin t dt t dt t + c sin cos ( Prtielle Integrtion g( f ( g( f ( g f ( ( (Differentition eines Produktes z.b. cos setzen: f(, g ( cos f (, g( sin cos sin sin sin + cos ( + c Es git noch eine Reihe weiterer Integrtionsmethoden und Tellen (wenn keine geschlossene Lösung möglich: numerische Integrtion und Näherungsmethoden Wenn innere Aleitung ei Integrtion Division! (Differentition : Multipliktion k k e z.b. e ( + c k Beispiele: ( cos sin sin( sin( ( { 3 ( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

7 Uneigentliche Integrle Sind Integrle, ei denen eine oder eide Integrtionsgrenzen keine festen Zhlen sind, sondern plus oder minus unendlich sind. Flls der Grenzwert Anlog: lim f ( eistiert, so ist f ( lim f ( f ( lim f ( c f ( lim f ( + lim f ( c Für ein elieiges c R, vorusgesetzt, die hier vorkommenden Grenzwerte eistieren. Wenn die Funktion f( n einer der Integrtionsgrenzen oder nicht definiert ist, dnn knn die Funktion wie folgt erweitert werden. Für ist F( nicht definiert: f ( lim + f ( vorusgesetzt, dss der Grenzwert uf der rechten Seite der Gleichung eistiert. Anlog für den Fll, dß F( für den Wert nicht definiert ist, ds Integrl f ( lim f (, wenn der Grenzwert uf der rechten Seite der Gleichung eistiert. Bsp: ln( lim ln( lim ( ln lim ( ln( + Zu zeigen ist noch, dss.ln( ist, in geeigneter Weise unter Verwendung der Regeln von de l Hospitl: lim ln( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner

8 Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner Nch Umformung: ( ( lim ( ( lim ln( lim ln( lim g f g f

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