Höhere Mathematik für Elektrotechniker II

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1 Vorlesungsmnuskript zu Höhere Mthemtik für Elektrotechniker II Werner Blser Institut für Angewndte Anlysis Sommersemester 2009

2 Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 4 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl 4 12 Ober- und Untersummen 6 13 Die Huptsätze der Differenzil- und Integrlrechnung 8 14 Weitere Ergebnisse Die Prtilbruchzerlegung Der Tylorsche Stz Uneigentliche Integrle Die Gmm-Funktion Numerische Integrtion 21 2 Ungleichungen und Trnsformtionen Ungleichungen Äquivlenzreltionen Periodische Funktionen Die Lplce-Trnsformtion Fourier- und Z-Trnsformtion 27 3 Topologie in normierten Räumen Der n-dimensionle Rum Normierte Räume Innere Punkte und offene Mengen Häufungspunkte, isolierte Punkte, bgeschlossene Mengen Abgeschlossene Hülle, offener Kern, Rnd 34 2

3 36 Beschränkte und kompkte Mengen Konvexe und sternförmige Mengen Zusmmenhng 36 4 Konvergenz und Stetigkeit Konvergenz, Vollständigkeit Konvergenz und Kompktheit Stetigkeit in normierten Räumen Stetigkeit und Zusmmenhng Stetigkeit und Kompktheit Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz Stetigkeit von vektorwertigen Abbildungen Polynome, rtionle Funktionen und Potenzreihen 44 5 Differenzilrechnung mehrerer Vribler Richtungsbleitungen, prtielle Ableitungen, Grdient Vertuschen der Differenzitionsreihenfolge Totle Differenzierbrkeit Die Kettenregel Der Mittelwertstz und der Stz von Tylor 51 6 Implizite Funktionen, lokle Extrem Der Bnchsche Fixpunktstz Ds Newton-Verfhren Implizite Funktionen Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion Lokle Extrem Extrem unter Nebenbedingungen 59 3

4 Kpitel 1 Integrlrechnung Die folgenden Abschnitte sind zum Teil nur eine Wiederholung von Stoff des ersten Semesters! Dbei sind viele Einzelheiten für einen Anwender der Mthemtik nicht so interessnt wichtig ist ber ein gewisses Verständnis für die Definition eines Integrls, d wir im folgenden Semester uch mehrdimensionle Integrle betrchten wollen, deren Definition sehr ähnlich ist Bechte, dss in dieser Vorlesung 0 keine ntürliche Zhl ist, obwohl es eine DIN-Norm gibt, die ds Gegenteil sgt! Die Menge der gnzen bzw ntürlichen Zhlen wird uch mit Z bzw N bezeichnet Weiter steht Q für die Menge ller rtionlen Zhlen, lso die Menge ller Brüche der Form p/q, wobei p eine gnze und q eine ntürliche Zhl ist Schließlich schreiben wir R bzw C für die Menge ller reellen bzw komplexen Zhlen 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl Wenn nichts nderes gesgt wird, betrchten wir im Folgenden immer Funktionen f : [, b] R mit festen reellen Zhlen < b Definition 111 Eine Menge Z = {x 0,, x N }, N N, heißt Zerlegung von [, b], wenn gilt = x 0 < x 1 < < x N 1 < x N = b Die Zhl Z = mx{x k x k 1 : 1 k N} heißt die Feinheit der Zerlegung, während N die Zhl der Teilintervlle gennnt werden soll Die Zhlen x k heißen uch die Teilpunkte der Zerlegung Ein Vektor ξ = (ξ 1,, ξ N ) T heißt ein Zwischenpunktvektor zu Z, flls x k 1 ξ k x k k = 1,, N Für jede Zerlegung Z und jeden Zwischenpunktvektor ξ zu Z heißt die Zhl S(Z, ξ) = N f(ξ k ) (x k x k 1 ) die zu Z und ξ gehörige Riemnnsumme von f Eine Folge (Z n ) von Zerlegungen heißt zulässig, flls lim Z n = 0 gilt Flls für jede zulässige Zerlegungsfolge und jede Whl von Zwischenpunktvektoren n die zugehörige Folge von Riemnnsummen konvergiert, dnn heißt f über ds Intervll [, b] Riemnnintegrierbr In der nächsten Behuptung wird gezeigt, dss der Grenzwert der Riemnnsummen in diesem 4

5 Fll nicht von der Whl der Zerlegungsfolge oder der Zwischenpunktvektoren bhängt Diesen Wert nennen wir dnn ds (Riemnn-)Integrl von f über [, b] und schreiben f(x) dx Für die geometrische Bedeutung von Riemnnsumme und Integrl, siehe die untenstehende Bemerkung Behuptung 112 Wenn für jede zulässige Zerlegungsfolge und jede Whl von Zwischenpunktvektoren die zugehörige Folge von Riemnnsummen konvergiert, dnn ist der Grenzwert immer der gleiche, lso unbhängig von der Whl der Zerlegungsfolge oder der Zwischenpunktvektoren Beweis: Seien (Z n ) und ( Z n ) zwei zulässige Zerlegungsfolgen, und seien (ξ n ) bzw ( ξ n ) zugehörige Folgen von Zwischenpunktvektoren Durch Mischen der Folgen bilden wir zwei weitere Folgen (Ẑn) und (ˆξ n ) mit { Zk (n = 2k) { ξk (n = 2k) Ẑ n = Z k (n = 2k + 1), ˆξn = ξ k (n = 2k + 1) Dbei entsteht wieder eine zulässige Zerlegungsfolge mit zugehörigen Zwischenpunktvektoren, welche beide Ausgngsfolgen ls Teilfolgen beisitzt D die zu (Ẑn) und (ˆξ n ) gehörigen Riemnnsummen konvergieren müssen, müssen lso die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert besitzen, ws zu beweisen wr Aufgbe 113 Zeige: Die sogennnte Dirichletsche Sprungfunktion f(x) = { 0 (x Q) 1 (x Q) ist nicht über [, b] integrierbr Es drf bei der Lösung dieser Aufgbe benutzt werden, dss zwischen zwei reellen Zhlen immer eine rtionle, ber uch eine irrtionle Zhl liegt Aufgbe 114 Zeige: Eine konstnte Funktion ist über jedes bgeschlossene Intervll integrierbr Finde den Wert des Integrls! Bemerkung 115 Wenn f(x) 0 ist für lle x [, b], dnn ist eine Riemnnsumme die Summe der Flächeninhlte von Rechtecken mit Breite x k x k 1 und Höhe f(ξ k ) Drus ergibt sich, dss ds Integrl von f über [, b] den Flächeninhlt der Figur in einer (x, y)-ebene unterhlb des Grphen von f bzw oberhlb der x-achse und mit seitlichen Begrenzungslinien x = bzw x = b definiert Die folgende Proposition erlubt, dss wir im nächsten Abschnitt zur weiteren Untersuchung der Integrierbrkeit nur beschränkte Funktionen betrchten: Proposition 116 Für Integrle gelten die folgenden Aussgen: () (Fundmentlbschätzung) Jede über [, b] integrierbre Funktion f ist dort beschränkt, und es gilt f(x) dx (b ) sup { f(x) : x b } (b) (Linerität des Integrls) Sind f und g über [, b] integrierbr, und sind α, β R, so ist uch α f + β g über [, b] integrierbr, und es gilt (α f(x) + β g(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx 5

6 Beweis: Die Fundmentlbschätzung folgt, d der Betrg jeder Riemnnsumme höchstens gleich der rechten Seite ist (uch flls f unbeschränkt sein sollte) Sei jetzt f uf [, b] nch oben unbeschränkt, und sei Z n eine zulässige Zerlegungsfolge Für jedes n ist dnn f in mindestens einem Teilintervll von Z n nch oben unbeschränkt, und deshlb knn mn in einem solchen Teilintervll den Zwischenpunkt so wählen, dss die zugehörige Riemnnsumme n usfällt Deshlb knn f nicht integrierbr sein Durch Übergng zu f folgt, dss uch nch unten unbeschränkte Funktionen nicht integrierbr sind Also gilt () Teil (b) ist ber unmittelbr klr wegen der Definition des Integrls 12 Ober- und Untersummen Definition 121 Sei f uf [, b] beschränkt, und sei Z = {x 0,, x N } eine Zerlegung von [, b] Für heißen m k = inf {f(x) : x k 1 x x k }, M k = sup {f(x) : x k 1 x x k } U(Z) = N m k (x k x k 1 ), O(Z) = N M k (x k x k 1 ) die zu Z gehörige Unter- und Obersumme von f Offenbr gilt für lle Zwischenpunktvektoren immer U(Z) S(Z, ξ) O(Z) Seien zwei Zerlegungen Z 1, Z 2 von [, b] gegeben Wir nennen Z 2 Verfeinerung von Z 1, wenn Z 2 lle Teilpunkte von Z 1 enthält Wir schreiben Z 1 +Z 2 für diejenige Zerlegung, welche genu us llen Teilpunkten von Z 1 und Z 2 besteht, und nennen Z 1 + Z 2 Überlgerung von Z 1 und Z 2 Aufgbe 122 Finde den Zusmmenhng zwischen den Obersummen von f und den Untersummen der Funktion f Lemm 123 Sei f(x) K für lle x [, b], und sei Z 0 eine Zerlegung von [, b] mit N Teilintervllen Dnn gilt für jede Zerlegung Z (Ohne Beweis) U(Z) U(Z + Z 0 ) U(Z) + 2 N K Z, O(Z) O(Z + Z 0 ) O(Z) 2 N K Z Korollr zu Lemm 123 Sei f uf [, b] beschränkt Für beliebige Zerlegungen Z j von [, b] gilt dnn stets U(Z 1 ) O(Z 2 ) Beweis: Für Z = Z 1, Z 0 = Z 2 folgt us dem Lemm U(Z 1 ) U(Z 1 + Z 2 ) Trivilerweise gilt U(Z 1 + Z 2 ) O(Z 1 + Z 2 ), und durch Vertuschen von Z 1, Z 2 folgt us dem Lemm O(Z 1 + Z 2 ) O(Z 2 ) Definition 124 Sei f uf [, b] beschränkt Nch obigem Korollr sind die Obersummen (Untersummen) von f stets nch unten (oben) beschränkt Wir definieren deshlb I = _ f(x) dx = sup {U(Z)}, I = _ f(x) dx = inf {O(Z)}, wobei ds Supremum bzw Infimum jeweils über lle Zerlegungen von [, b] gebildet wird Die so definierten Werte I, I heißen ds Unter- bzw Oberintegrl von f über [, b] Offenbr ist I I, und wir werden sehen, dss f genu dnn über [, b] integrierbr ist, wenn I = I gilt 6

7 Wir chrkterisieren jetzt ds Riemnn-Integrl durch Grenzwerte von Ober- und Untersummen: Stz 125 Für jede uf [, b] beschränkte Funktion f gilt: () Für jede zulässige Zerlegungsfolge (Z n ) konvergieren die Folgen (U(Z n )) und (O(Z n )), und es gilt _ f(x) dx = lim n U(Z n), _ f(x) dx = lim n O(Z n) (b) Die Funktion f ist genu dnn integrierbr über [, b], wenn ihr Unter- und Oberintegrl übereinstimmen, und dnn ist _ b f(x) dx = _ f(x) dx = f(x) dx (Ohne Beweis) Proposition 126 (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) Eine beschränkte Funktion f : [, b] R ist genu dnn über [, b] integrierbr, wenn es zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z von [, b] gibt mit O(Z) U(Z) < ε Beweis: Sei f integrierbr, dnn folgt us dem vorusgegngenen Stz für jede zulässige Zerlegungsfolge (Z n ), dss lim n (O(Z n ) U(Z n )) = 0, und drus folgt die eine Richtung der Behuptung Umgekehrt folgt us der Ungleichung O(Z) U(Z) < ε, dss I I < ε ist, und d ε beliebig klein sein knn, folgt die Gleichheit von Ober- und Unterintegrl, lso die Integrierbrkeit Mit diesem Kriterium zeigt mn die folgenden Resultte: Stz 127 Jede uf [, b] stetige, ber uch jede monotone Funktion ist integrierbr (Ohne Beweis) Stz 128 Sind f und g über [, b] integrierbr, so gilt dsselbe uch für f g (Ohne Beweis) Lemm 129 Sei f : [, b] A R über [, b] integrierbr, und gelte für g : A R eine Lipschitzbedingung uf A Dnn ist g f über [, b] integrierbr (Ohne Beweis) Proposition 1210 (Dreiecksungleichung für Integrle) Ist f über [, b] integrierbr, so uch f, und es gilt f(x) dx f(x) dx Beweis: Für g(x) = x folgt us dem obigen Lemm die Integrierbrkeit von f, und die Ungleichung folgt us der Dreiecksungleichung für die Riemnnsummen 7

8 Aufgbe 1211 Sei f über [, b] integrierbr, und sei p > 1 Zeige mit Lemm 129 die Integrierbrkeit von f p über [, b] Stz 1212 Für < c < b ist eine Funktion f genu dnn über [, b] integrierbr, wenn sie sowohl über [, c] ls uch über [c, b] integrierbr ist, und dnn gilt f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Beweis: Aus Lemm 123 folgt, dss bei Verfeinerung einer Zerlegung die Untersummen bzw Obersummen nicht bnehmen bzw nicht zunehmen können Drus ergibt sich, dss wir o B d A nur Zerlegungen betrchten können, die c ls einen Teilpunkt enthlten Dmit folgt die Behuptung mit dem Riemnnschen Integrbilitätskriterium Aufgbe 1213 Zeige, dss stückweise stetige Funktionen immer integrierbr sind Bemerkung 1214 Sei f über [, b] integrierbr, und seien x 0, x 1 [, b] Ist x 0 < x 1, so folgt us dem vorstehenden Stz die Integrierbrkeit von f über [x 0, x 1 ] Es ist üblich, x0 x 1 f(x) dx = x1 x0 f(x) dx, f(x) dx = 0 x 0 x 0 zu setzen Mit diesen Vereinbrungen folgt dnn für beliebige x 0, x 1, x 2 [, b] us obigem Stz x1 x 0 f(x) dx + x2 x 1 f(x) dx = x2 x 0 f(x) dx Lemm 1215 Sei f über [, b] integrierbr, und sei x 0 [, b], sowie F (x) = x x 0 f(t) dt x [, b] Dnn erfüllt F eine Lipschitzbedingung uf [, b] und ist insbesondere dort stetig Beweis: Für x 1, x 2 [, b] folgt us der obigen Bemerkung, dss F (x 1 ) F (x 2 ) = x 1 x 2 f(t) dt ist Aus der Fundmentlbschätzung folgt dnn die Behuptung mit der Lipschitzkonstnten L = sup [,b] f(t) Aufgbe 1216 Gib ein Beispiel einer über [, b] integrierbren Funktion f, für welche die in Lemm 1215 definierte Funktion F nicht uf [, b] differenzierbr ist 13 Die Huptsätze der Differenzil- und Integrlrechnung Definition 131 Sei I ein beliebiges Intervll, und sei f : I R Flls eine uf I differenzierbre Funktion F existiert mit der Eigenschft F (x) = f(x) für lle x I, dnn nennen wir F eine Stmmfunktion zu f Wir schreiben in diesem Fll uch F (x) = f(x) dx und nennen ds rechtsstehende Symbol uch unbestimmtes Integrl von f 8

9 Aufgbe 132 Finde Stmmfunktionen zu den Funktionen cos x, x 2 + 1, jeweils für x uf dem ntürlichen Definitionsbereich 1 cos 2 x, 1 x, Behuptung 133 Ist F uf einem Intervll I Stmmfunktion zu f, und ist c R, so ist uch F + c eine Stmmfunktion zu f Umgekehrt, sind F 1 und F 2 zwei Stmmfunktionen zu f uf I, so ist F 2 F 1 konstnt Beweis: Folgt us dem ersten Mittelwertstz der Differenzilrechnung Stz 134 (Erster Huptstz der Anlysis) Flls f über [, b] integrierbr ist und eine Stmmfunktion F besitzt, dnn gilt f(x) dx = F (b) F () ( =: F (x) ) b Beweis: Für eine beliebige Zerlegung Z = {x 0,, x N } folgt mit dem ersten Mittelwertstz der Differenzilrechnung N N F (b) F () = (F (x k ) F (x k 1 )) = f(ξ k ) (x k x k 1 ), mit geeigneten Zwischenwerten ξ k (x k 1, x k ) Mit der Definition des Integrls folgt dnn die Behuptung Aufgbe 135 Berechne die Integrle 1 0 (x2 + 1) dx und π/2 0 cos x dx Stz 136 (Zweiter Huptstz der Anlysis) Sei f uf [, b] stetig, und sei x 0 [, b] Dnn ist die Funktion F (x) = eine Stmmfunktion zu f x x 0 f(t) dt x [, b] Beweis: Bemerkung 1214 stellt zunächst sicher, dss F immer definiert ist, und dss F (x + h) F (x) h = 1 h x+h x f(t) dt Weiter ist x+h f(x) dt = h f(x) Also folgt mit der Fundmentlbschätzung x F (x + h) F (x) f(x) h = 1 x+h (f(t) f(x)) dt h m x(h), wobei m x (h) ds Mximum von f(t) f(x) uf dem von x und x + h begrenzten Intervll bezeichnet D f stetig ist, gilt m x (h) 0 für h 0 Drus folgt die Behuptung x 9

10 14 Weitere Ergebnisse Stz 141 (Prtielle Integrtion) Seien f, g über [, b] integrierbr, und seien F bzw G Stmmfunktionen zu f bzw g Dnn gilt f(x) G(x) dx = F (x) G(x) b F (x) g(x) dx Beweis: Es ist (F (x) G(x)) = f(x) G(x) + F (x) g(x), und d F, G differenzierbr (lso insbesondere stetig) sind, folgt die Integrierbrkeit von f G und F g (lso uch die von (F G) ) Mit dem ersten Huptstz folgt dnn die Behuptung Aufgbe 142 Berechne die Integrle π mit Hilfe von prtieller Integrtion 0 x cos x dx, 2π 0 cos x sin x dx Stz 143 (Substitutionsregel) Seien f stetig uf [, b] und g stetig differenzierbr uf [α, β], und gelte g([α, β]) [, b] sowie g(α) =, g(β) = b, oder g(α) = b, g(β) = Dnn gilt g(β) g(α) f(x) dx = β α f(g(t)) g (t) dt Beweis: Sei F Stmmfunktion zu f Mit der Kettenregel folgt (F (g(t))) = f(g(t)) g (t) Also gilt nch dem ersten Huptstz g(β) g(α) f(x) dx = F (g(β)) F (g(α)) = β α f(g(t)) g (t) dt Ds ist die Behuptung Aufgbe 144 Berechne 1 x e x2 dx und x2 dx mit der Substitutionsregel Aufgbe 145 Zeige für t = tn(x/2) die Gleichungen cos 2 (x/2) = t 2, sin2 (x/2) = t t 2, und schließe drus mit Hilfe der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen, dss cos x = 1 t2 1 + t 2, sin x = 2 t 1 + t 2 Zeige dmit, dss Integrle über eine rtionle Funktion von sin x und cos x durch die Substitution x = 2 rctn t in ein Integrl verwndelt werden, dessen Integrnd eine rtionle Funktion von t ist 10

11 Aufgbe 146 Zeige mit der Substitutionsregel 0 f(x) dx = 0 f( x) dx Benutze dies, um zu zeigen, dss ds Integrl einer ungerden Funktion über ein Intervll [, ] immer 0 ergibt Lemm 147 (Integrtion von Ungleichungen) () Seien f, g über [, b] integrierbr, und gelte f(x) g(x) für lle x [, b] Dnn folgt f(x) dx g(x) dx (b) Sei f stetig und nicht-negtiv uf [, b], und gelte f(x) dx = 0 Dnn folgt f(x) = 0 für lle x [, b] Beweis: Zu (): Für jede Zerlegung von [, b] und jede Whl von Zwischenpunkten ist die Riemnnsumme von f nicht größer ls die von g Dher folgt die Behuptung mit der Definition des Integrls Zu (b): Die Funktion F (x) = x 0 f(t) dt ist monoton wchsend, d F (x) = f(x) 0 ist Wegen F () = F (b) = 0 folgt lso, dss F die Nullfunktion ist, und deshlb gilt dsselbe uch für f Definition 148 Sei < b, und sei f über [, b] integrierbr Die Zhl heißt der Mittelwert von f über [, b] µ = 1 b f(x) dx Stz 149 (Erster Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei < b, sei f über [, b] integrierbr, und sei µ der Mittelwert von f über [, b] Dnn ist m = inf{f(x) : x b} µ sup{f(x) : x b} = M Flls f uf [, b] stetig ist, existiert ein ξ [, b] mit µ = f(ξ) Beweis: Wegen m f(x) M folgt die Ungleichung us Lemm 147 (), und der Zustz ergibt sich us dem Zwischenwertstz Stz 1410 (Erweiterter Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien g und f g über [, b] integrierbr, und sei g(x) 0 für lle x [, b] Dnn existiert ein µ [m, M], mit m, M wie im vorigen Stz, so dss f(x) g(x) dx = µ Ist f stetig uf [, b], so gibt es ein ξ [, b] mit f(ξ) = µ g(x) dx Beweis: Es gilt m und drus folgt die Behuptung g(x) dx f(x) g(x) dx M g(x) dx, Stz 1411 (Zweiter Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien f stetig differenzierbr und monoton, sowie g stetig uf [, b] Dnn existiert ein ξ [, b] mit f(x) g(x) dx = f() ξ g(x) dx + f(b) ξ g(x) dx 11

12 Beweis: O B d A sei f wchsend, lso f (x) 0 Sei G Stmmfunktion von g, dnn folgt mit prtieller Integrtion f(x) g(x) dx = f(x) G(x) b f (x) G(x) dx Aus dem vorherigen Stz und dem Zwischenwertstz folgt die Existenz von ξ mit Drus ergibt sich die Behuptung f (x) G(x) dx = G(ξ) f (x) dx = G(ξ) f(x) b Stz 1412 (Gliedweise Integrtion) Gegeben sei ein bgeschlossenes Intervll [, b] R, sowie Funktionen f n, g k : [, b] K für lle n, k N Dnn gilt: () Sind lle f n über [, b] integrierbr, und ist die Funktionenfolge (f n ) uf [, b] gleichmäßig konvergent, so ist uch die Grenzfunktion f über [, b] integrierbr, und es gilt f(x) dx = lim n f n (x) dx (b) Sind lle g k über [, b] integrierbr, und ist die Funktionenreihe g k uf [, b] gleichmäßig konvergent, so ist uch die Grenzfunktion f über [, b] integrierbr, und es gilt f(x) dx = g k (x) dx (Ohne Beweis) Aufgbe 1413 Finde eine Potenzreihenentwicklung für rctn x und Entwicklungspunkt 0 Lösung: Aus dem ersten Huptstz folgt wegen rctn 0 = 0, dss Aus der geometrischen Reihe folgt rctn x = t 2 = x 0 1 dt x R 1 + t2 ( 1) k t 2k t < 1, k=0 und die Reihe ist sogr gleichmäßig konvergent für t r, mit beliebigem r < 1 Deshlb folgt us Stz 1412, dss rctn x = ( 1) k x2k+1 2k + 1, k=0 zunächst nur für x r, ber d j r beliebig dicht bei 1 sein knn, ist dies sogr richtig für lle x mit x < 1 12

13 15 Die Prtilbruchzerlegung Auf der einen Seite grntiert der zweite Huptstz zu jeder stetigen Funktion f die Existenz einer Stmmfunktion F, ndererseits gibt er keinen Hinweis druf, wie mn F explizit berechnen knn Ttsächlich ist es so, dss mn z B für f(x) = exp( x 2 ) keine Stmmfunktion durch die uns beknnten Funktionen usdrücken knn In diesem Abschnitt wollen wir llerdings zeigen, dss mn beliebige rtionle Funktionen in einfche Ausdrücke zerlegen knn, für welche mn dnn einzeln Stmmfunktionen findet Dzu benötigen wir einige Hilfsmittel: Stz 151 (Fundmentlstz der Algebr) Jedes nicht konstnte Polynom q C[z] besitzt mindestens eine Nullstelle in C (Ohne Beweis) Korollr zu Stz 151 Zu jedem q C[z] vom Grde n 1 existieren verschiedene z 1,, z m C, ntürliche Zhlen ν 1,, ν m mit ν ν m = n, und ein C \ {0} derrt, dss q(z) = (z z 1 ) ν1 (z z m ) ν m z C (151) (Ohne Beweis) Stz 152 Zu jedem reellen Polynom p R[x] vom Grde n 1 existieren verschiedene x 1,, x µ R, verschiedene ( 1, b 1 ),, ( ν, b ν ) R 2, wobei uch µ = 0 oder ν = 0 eintreten knn, eine reelle Zhl 0, sowie ntürliche Zhlen ν 1,, ν µ, σ 1,, σ ν derrt, dss folgendes gilt: () Es ist µ ν k + 2 ν σ k = n (b) Es ist 2 k < 4 b k, d h, x 2 k x + b k ht keine reellen Nullstellen, für lle k = 1,, ν (c) Es gilt die Drstellung p(x) = (x x 1 ) ν1 (x x µ ) νµ (x 2 1 x + b 1 ) σ1 (x 2 ν x + b ν ) σν x R (152) (Ohne Beweis) Stz 153 (Prtilbruchzerlegung im Komplexen) Seien p, q C[z] mit 0 deg p < deg q, und gelte (151) Dnn gibt es eindeutig bestimmte Zhlen jk C mit r(z) = p(z) m q(z) = ν k j=1 jk (z z k ) j z C \ {z 1,, z m } (153) (Ohne Beweis) Stz 154 (Prtilbruchzerlegung im Reellen) Seien p, q R[x] mit 0 deg p < deg q, und gelte (152) Dnn gibt es eindeutig bestimmte Zhlen jk, α jk, β jk R so, dss r(x) = µ ν k j=1 jk (x x k ) j + ν σ k j=1 α jk x + β jk (x 2 k x + b k ) j x D, (154) mit D = R \ {x 1,, x µ } 13

14 (Ohne Beweis) Bemerkung 155 (Durchführung der Prtilbruchzerlegung) Ht mn den entsprechenden Anstz für die Prtilbruchzerlegung gemcht, so multipliziert mn m besten beide Seiten mit dem Nennerpolynom q(x) und erhält so eine äquivlente Polynomgleichung Dnch bieten sich folgende Möglichkeiten n: 1 Durch Smmeln ller Terme mit gleichen Potenzen der Vriblen, lso durch Koeffizientenvergleich, erhält mn ein lineres Gleichungssystem, welches in jedem Fll eindeutig gelöst werden knn 2 Durch Einsetzen geeigneter Werte, vor llem der Nullstellen des Nennerpolynoms, erhält mn Gleichungen, welche in der Regel sehr einfch nch einer der Unbeknnten uflösbr sind In jedem Fll folgt us dem Nullstellenstz für Polynome, dss sich durch Einsetzen von n verschiedenen Werten ein Gleichungssystem ergibt, welches eindeutig lösbr ist 3 Durch Differenzieren der Polynomgleichung knn mn eine neue, einfchere Gleichung erhlten, us der mn einige Unbeknnte bestimmen knn Mn knn uch Schritte der drei obigen Typen mischen, wenn mn die bereits berechneten Werte für einige der Unbeknnten in die Polynomgleichung einsetzt In jedem Fll muss mn ein Gleichungssystem in n Unbeknnten lösen, und der obige Stz besgt gerde, dss diese Unbeknnten eindeutig bestimmbr sind Siehe dzu uch die folgenden Beispiele und Aufgben Beispiel 156 Sei r(x) = 1/(x 2 x) D der Nenner die Nullstellen 0 und 1 ht, welche beide die Vielfchheit 1 hben, folgt us obigem Stz, dss es eindeutig bestimmte Zhlen und b us R geben muss, für welche 1 r(x) = x 2 x = x + b x R \ {0, 1} x 1 Um sie zu finden, multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nennerpolynom und erhlten die äquivlente Gleichung 1 = (x 1) + b x x R Einsetzen von x = 0 ergibt = 1, einsetzen von x = 1 ergibt b = 1 Sei jetzt r(x) = 1/(x 3 + x) 2 Jetzt sind sechs Zhlen, b, c, d, e, f R zu finden mit r(x) = Dies ist äquivlent zu 1 (x 3 + x) 2 = x + b x 2 + c x + d x e x + f (x 2 + 1) 2 x R \ {0} 1 = x (x 2 + 1) 2 + b (x 2 + 1) 2 + (c x + d) x 2 (x 2 + 1) + (e x + f) x 2 x R Für x = 0 folgt b = 1 D die Gleichung uch für komplexe x richtig sein muss, erhält mn durch Einsetzen von ±i die Gleichungen 1 = (e i + f) = ( e i + f) Drus folgt e = 0, f = 1 Bringt mn die schon gefundenen Terme uf die linke Seite, so erhält mn x 2 (x 2 + 1) = x (x 2 + 1) 2 + (c x + d) x 2 (x 2 + 1) x R Jetzt knn mn offenbr durch x (x 2 + 1) teilen und erhält so x = (x 2 + 1) + (c x + d) x x R Einsetzen von x = 0 liefert = 0 Einsetzen von ±i ergibt die Gleichungen 1 = i c + d = i c + d, worus d = 1 und c = 0 folgen Eine Probe ist hier sicher ngebrcht! 14

15 Als Anwendung der Prtilbruchzerlegung wollen wir nun ds Problem ngehen, zu einer beliebigen rtionlen Funktion (mit reellen Koeffizienten) eine Stmmfunktion zu finden: Aufgbe 157 Gegeben sei eine rtionle Funktion r R(x) Finde eine Stmmfunktion Lösung: Sei r = p/q Flls deg p deg q ist, knn mn Polynome p 1, p 2 R[x] finden mit r = p = p 1 + p 2 q q, und deg p 2 < deg q D mn zu p 1 sofort eine Stmmfunktion ngeben knn, soll im Weiteren ngenommen sein, dss deg p < deg q ist Dnn knn mn nch dem Stz über die Prtilbruchzerlegung im Reellen die Funktion r in eine Summe von einfchen Termen zerlegen Es bleibt lso zu zeigen, dss mn zu jedem einzelnen Term eine Stmmfunktion ngeben knn Dies wollen wir jetzt tun, wobei in jedem Fll durch Differenzieren nchgeprüft werden knn, dss die ngegebene Funktion F ttsächlich Stmmfunktion zu f ist: 1 f(x) = (x x 0 ) 1 ht die Stmmfunktion F (x) = log x x 0 2 f(x) = (x x 0 ) j ht die Stmmfunktion F (x) = (1 j) 1 (x x 0 ) 1 j für lle ntürlichen Zhlen j 2 3 Sei jetzt f(x) = (α x + β)/(x 2 x + b), wobei 2 < 4 b sei, dmit der Nenner keine reelle Nullstelle mehr ht Wir zerlegen f = g + h mit g(x) = α 2 2 x x 2 x + b, h(x) = β + α/2 x 2 x + b Mit der Kettenregel zeigt mn, dss G(x) = (α/2) log x 2 x + b Stmmfunktion zu g ist, und ist Stmmfunktion zu h H(x) = 2 β + α rctn 2 x 4 b 2 4 b 2 4 Als letztes sei f(x) = (α x + β)/(x 2 x + b) j für eine ntürliche Zhl j 2 und 2 < 4 b Wir zerlegen f = f 1 + f 2, mit f 1 (x) = α 2 Eine Stmmfunktion zu f 1 ist 2 x (x 2 x + b) j, f 2 (x) = F 1 (x) = α 2 (j 1) 1 (x 2 x + b) j 1 α/2 + β (x 2 x + b) j Es reicht deshlb us, eine Stmmfunktion zu g j (x) = (x 2 x+b) j zu finden Mn rechnet nch, dss gilt (4 b 2 2 (2 j 3) ) (j 1) g j (x) = (x 2 x + b) j 1 + d 2 x dx (x 2 x + b) j 1 Der zweite Term ht ntürlich eine Stmmfunktion, während der erste Term, bis uf eine Konstnte, gleich g j 1 ist Dher knn mn us dieser Formel rekursiv eine Stmmfunktion zu g j berechnen Es sei noch erwähnt, dss mn die oben ngegebenen Stmmfunktionen sowie viele weitere in zhlreichen Formelsmmlungen nchschlgen knn Aufgbe 158 Führe eine Prtilbruchzerlegung im Reellen für folgende rtionle Funktionen durch: 1 x (x 1) (x + 1), x 2 (x 1) 2 (x + 1), x 2 (x 1) 2 (x 2 + 1) Aufgbe 159 Finde Stmmfunktionen zu den drei rtionlen Funktionen us der vorigen Aufgbe 15

16 16 Der Tylorsche Stz Im Folgenden betrchten wir ein bgeschlossenes Intervll [, b] R und ein f : [, b] R Lemm 161 (Mehrfche Stmmfunktion) Sei f stetig uf [, b], und sei für ein x 0 [, b] und n N x (x t) n 1 F n (x) = f(t) dt x [, b] (n 1)! x 0 Dnn ist F n uf [, b] n-ml stetig differenzierbr Weiter gilt F n (k) (x 0 ) = 0 für 0 k n 1, und die n-te Ableitung von F n ist f (Ohne Beweis) Stz 162 (Stz von Tylor) Sei f uf [, b] (n + 1)-ml stetig differenzierbr Dnn gilt für lle x, x 0 [, b] n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + 1 x (x t) n f (n+1) (t) dt k! n! x 0 (Ohne Beweis) k=0 Korollr zu Stz 162 Sei f mindestens 2n-ml stetig differenzierbr uf einem offenen Intervll (, b), für ein n N, und gelte für ein x 0 (, b): f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (2n 1) (x 0 ) = 0, f (2n) (x 0 ) 0 Dnn ht f im Punkt x 0 ein lokles Extremum, und zwr ein lokles Minimum für f (2n) (x 0 ) > 0, und ein lokles Mximum für f (2n) (x 0 ) < 0 Beweis: Aus dem Tylorschen Stz folgt f(x) f(x 0 ) = 1 (2n 1)! x x 0 (x t) 2n 1 f (2n) (t) dt x (, b) D f (2n) stetig ist, gibt es ein ε > 0 für welches f (2n) (x) uf (x 0 ε, x 0 + ε) stets ds gleiche Vorzeichen ht wie f (2n) (x 0 ) Drus folgt für x > x 0 sofort, dss uch f(x) f(x 0 ) gleiches Vorzeichen wie f (2n) (x 0 ) ht Bechtet mn, dss per Definition gilt x0 so folgt dsselbe ber uch für x < x 0 x (x t) 2n 1 f (2n) (t) dt = x x 0 (x t) 2n 1 f (2n) (t) dt Definition 163 Sei f uf [, b] wenigstens n-ml differenzierbr, und sei x 0 [, b] Dnn heißt n f (k) (x 0 ) p n (x) = (x x 0 ) k k! k=0 ds n-te Tylorpolynom von f n der Stelle x 0 Die Differenz r n = f p n heißt ds Tylorsche Restglied n-ter Ordnung Ist f sogr beliebig oft differenzierbr uf [, b], so heißt die Potenzreihe f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! die Tylorreihe von f im Punkt x 0 k=0 16

17 Bemerkung 164 Wir hben eine Reihe von Funktionen über Potenzreihen definiert Es ist leicht zu sehen, dss diese Reihen gerde die Tylorreihen der entsprechenden Funktionen im Punkt x 0 = 0 sind Per Definition konvergiert die Tlyorreihe von f genu dnn für ein x gegen f(x), wenn gilt r n (x) 0 für n Dies muss ber durchus nicht gelten: Es knn vorkommen, dss die Tylorreihe für lle x x 0 divergiert, oder dss sie konvergiert, ber sozusgen gegen den flschen Wert, soll heißen, nicht gegen f(x) Der Stz von Tylor knn kurz so usgedrückt werden: r n (x) = 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t) dt Mn nennt diese Gleichung uch die Drstellung des Restgliedes in Integrlform Aus dem erweiterten Mittelwertstz folgt, wenn mn dort f durch f (n+1) und g durch (x t) n /n! ersetzt und noch den Zwischenwertstz benutzt, dss für einen geeigneten Wert ξ zwischen x und x 0 gilt r n (x) = (x x 0 ) n+1 f (n+1) (ξ) (n + 1)! Mn nennt diese Gleichung uch die Drstellung des Restgliedes in differenzieller Form Behuptung 165 Für lle α R gilt (1 + x) α = Die Reihe heißt uch die Binomilreihe k=0 ( ) α x k x ( 1, 1) k Beweis: Die Behuptung ist klr wenn α N 0 ist Im nderen Fll folgt, dss die Binomilreihe den Konvergenzrdius R = 1 ht Außerdem ist die Reihe gerde die Tylorreihe von f(x) = (1 + x) α (mit x 0 = 0), und ds Restglied ist in diesem Fll gleich ( ) α x r n (x) = (α n) (x t) n (1 + t) α n 1 dt n 0 Zu zeigen ist lso, dss ds Restglied für x < 1 gegen 0 geht wenn n Dies folgt llerdings für x nhe bei 1 nicht direkt us den üblichen Abschätzungen Deshlb gehen wir nders vor: Nch einer der unten stehenden Aufgben folgt, dss es genu eine uf ( 1, 1) stetig differenzierbre Funktion y(x) gibt, die die Bedingungen y (x) = α (1 + x) y(x) x ( 1, 1), y(0) = 1 erfüllt Offensichtlich sind diese Gleichungen richtig für y(x) = (1 + x) α Mn rechnet ber leicht nch, dss uch die durch die Binomilreihe definierte Funktion eine Lösung dieses Anfngswertproblems ist, und dher muss die Behuptung gelten Aufgbe 166 Zeige durch Induktion über n: Ist f uf einem Intervll I n-ml differenzierbr, und ist die n-te Ableitung von f die Nullfunktion, so ist f ein Polynom vom Grde höchstens gleich n 1 Aufgbe 167 Sei f mindestens (2n + 1)-ml stetig differenzierbr uf einem offenen Intervll (, b), für ein n N, und gelte für ein x 0 (, b): f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (2n) (x 0 ) = 0, f (2n+1) (x 0 ) 0 Zeige: Dnn ht f im Punkt x 0 kein lokles Extremum 17

18 Aufgbe 168 Finde die Tylorreihe von f(x) = log x im Punkt x 0 = 1 und untersuche ihre Konvergenz Aufgbe 169 (Linere homogene Differenzilgleichung erster Ordnung) Sei I R ein Intervll, sei f : I R stetig, und sei F (x) = x x 0 f(t) dt, für ein x 0 I Sei schließlich y 0 R 1 Zeige: Die Funktion y(x) = y 0 e F (x) erfüllt die beiden Bedingungen y (x) = f(x) y(x), x I, y(x 0 ) = y 0 Mn nennt die erste der beiden Gleichungen eine linere homogene Differenzilgleichung erster Ordnung (und y eine Lösung derselben), während die zweite uch Anfngsbedingung gennnt wird Beide zusmmen stellen ein Anfngswertproblem dr F (x) 2 Zeige weiter: Ist y irgend eine Funktion uf I, die beiden Bedingungen genügt, so ist y(x) e konstnt, und durch Einsetzen von x = x 0 folgt dnn y(x) = y 0 e F (x) Schließe hierus dss ds obige Anfngswertproblem genu eine Lösung y besitzt Aufgbe 1610 (Differenzilgleichung mit getrennten Veränderlichen) Seien I 1, I 2 R zwei Intervlle, seien f : I 1 R und g : I 2 R stetig, und sei g(x) > 0 uf I 2 Seien weiter F und G Stmmfunktionen zu f bzw 1/g (lso G streng monoton wchsend uf I 2 ) Seien schließlich x 0 I 1, y 0 I 2 1 Zeige: Ist I I 1 ein Intervll, und ist y : I I 2 stetig differenzierbr, mit y (x) = f(x) g(y(x)) x I, y(x 0 ) = y 0, (161) so folgt F (x) F (x 0 ) = x x 0 f(t) dt = x x 0 y (t)/g(y(t)) dt = G(y(x)) G(y 0 ) für x I D G injektiv ist, knn diese Gleichung nch y(x) ufgelöst werden, und wir erhlten y(x) = G 1 (G(y 0 ) + F (x) F (x 0 )) x I (162) 2 Zeige: Ist I I 1 ein Intervll und so, dss für x I immer gilt G(y 0 ) + F (x) F (x 0 ) G(I 2 ), und definiert mn y durch (162), so erfüllt y die Bedingungen (161) Schließe hierus dss ds Anfngswertproblem (161) uf dem in 2 ngegebenen Intervll genu eine Lösung y besitzt 17 Uneigentliche Integrle Im Folgenden betrchten wir ein Intervll der Form [, b) mit R und b R, < b Definition 171 Sei f : [, b) R über jedes Intervll der Form [, c], mit c < b, integrierbr, c und existiere lim c b f(x) dx Dnn heißt f über [, b) uneigentlich integrierbr, und wir nennen f(x) dx = c lim c b f(x) dx ds uneigentliche Integrl von f über [, b) Wir sgen mnchml: Ds uneigentliche Integrl ist konvergent, flls f uneigentlich integrierbr ist Flls f über [, b) uneigentlich integrierbr ist, sgen wir uch: 18

19 Ds uneigentliche Integrl von f ist bsolut konvergent Bechte: Flls b < ist, und flls f uf [, b] integrierbr ist, gilt für lle c [, b): f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Die Fundmentlbschätzung impliziert mit M = sup f(x), dss f(x) dx M (b c) 0 (c b ) c Deshlb ist f uch uneigentlich integrierbr über [, b), und ds uneigentliche Integrl ist gleich dem Integrl In nloger Weise knn mn uch uneigentliche Integrle über Intervlle der Form (, b] definieren, wobei uch gleich sein knn Beispiel 172 Sei α > 1 Aus 1 x α dx = (α 1) 1 (1 1 α ) (α 1) 1 für folgt die Konvergenz des uneigentlichen Integrls x α dx, und 1 1 dx x α = 1 α 1 Beispiel 173 Sei 0 < α < 1 Aus 1 ε x α dx = (1 α) 1 (1 ε 1 α ) (1 α) 1 für ε 0+ folgt die Konvergenz des uneigentlichen Integrls 1 0 x α dx, und 1 0 dx x α = 1 1 α Stz 174 (Cuchy-Kriterium für uneigentliche Integrle) Ds uneigentliche Integrl f(x) dx ist genu dnn konvergent, wenn gilt η ε > 0 c [, b) ξ [c, b), η [ξ, b) : f(x) dx < ε (171) ξ (Ohne Beweis) Korollr zu Stz 174 Aus der bsoluten Konvergenz des uneigentlichen Integrls f(x) dx folgt die Konvergenz Beweis: Folgt us η ξ f(x) dx η f(x) dx und dem Cuchy-Kriterium ξ Beispiel 175 Sei α > 0, und gelte 1 ξ < η Dnn ist η ξ sin x x α dx = cos x x α η ξ α η ξ cos x dx xα+1 Drus folgt η ξ sin x x α dx 1 ξ α + 1 η α + α η ξ 1 dx xα+1 Mit Beispiel 172 und dem Cuchy-Kriterium folgt hierus die Konvergenz des uneigentlichen Integrls x α sin x dx 1 19

20 Stz 176 (Mjorntenkriterium für uneigentliche Integrle) Gilt f(x) g(x) für x [, b), und ist ds uneigentliche Integrl g(x) dx konvergent, so ist f(x) dx bsolut konvergent Beweis: Folgt us dem Cuchy-Kriterium, denn η ξ f(x) dx η g(x) dx ξ Stz 177 (Integrlkriterium) Sei p Z, und sei f uf [p, ) positiv und monoton fllend Dnn gilt: Genu dnn ist ds uneigentliche Integrl p f(x) dx konvergent, wenn die Reihe n=p f(n) konvergiert, und n=p+1 f(n) p f(x) dx f(n) n=p Beweis: Aus der Monotonie von f folgt die Ungleichung f(n + 1) f(x) f(n) für lle x [n, n + 1], und hierus folgt f(n + 1) n+1 n f(x) dx f(n), ws die Behuptung ergibt Aufgbe 178 Zeige, dss ds uneigentliche Integrl 1 x α dx für 0 α 1 nicht konvergiert Aufgbe 179 Zeige, dss ds uneigentliche Integrl 1 0 x α dx für α 1 nicht konvergiert Aufgbe 1710 Zeige, dss ds uneigentliche Integrl 1 x α sin x dx für 0 α 1 nicht bsolut konvergiert 18 Die Gmm-Funktion Definition 181 Sei f : [, b] C Dnn ist f(x) = u(x) + i v(x) für lle x [, b] Wir nennen f über [, b] integrierbr, wenn u und v über [, b] integrierbr sind, und setzen f(x) dx = u(x) dx + i v(x) dx Beispiel 182 Für t R + und z = x + i y C ist Also ist per Definition für 0 < ε < : ε t z 1 e t dt = t z = e (x+i y) log t = t x (cos(y log t) + i sin(y log t)) ε t x 1 e t cos(y log t) dt + i ε t x 1 e t sin(y log t) dt Beide Integrle uf der rechten Seite hben für immer einen Grenzwert Dgegen muss x > 0 sein, dmit uch für ε 0 ein Grenzwert existiert Wir sgen deshlb: Ds uneigentliche Integrl t z 1 e t dt 0 konvergiert für x = Re z > 0 20

21 Definition 183 Für Re z > 0 heißt die Abbildung z Γ(z) mit die Gmm-Funktion Γ(z) = 0 t z 1 e t dt Proposition 184 Für die Gmm-Funktion gilt die Drstellung Γ(z) = 1 t z 1 e t dt + n=0 ( 1) n n! (n + z), Re z > 0 Ds uneigentliche Integrl konvergiert für lle z C Die unendliche Reihe konvergiert bsolut in der Menge G = C \ {0, 1, 2, } Wir sgen deshlb, dss sich die Gmm-Funktion in die Menge G fortsetzen läßt Beweis: Aus der Exponentilreihe folgt die Entwicklung t z 1 e t = ( 1) n t n+z 1 n=0 n!, wobei die Reihe uf jedem Intervll der Form [ε, 1], mit ε > 0, gleichmäßig konvergiert Deshlb gilt wegen des Stzes über gliedweise Integrtion 1 und für ε 0 folgt die Behuptung ε t z 1 e t dt = n=0 ( 1) n t n+z n! (n + z) 1 ε, Aufgbe 185 Zeige durch prtielle Integrtion Γ(z + 1) = z Γ(z) für lle z C \ {0, 1, 2, } Aufgbe 186 Berechne Γ(1), und zeige mit Hilfe der vorigen Aufgbe, dss Γ(n + 1) = n! ist, für lle n N 0 Stz 187 (Stirlingsche Formel) Für reelle Werte von x gilt lim x Γ(x) e x x x x = 2 π (Ohne Beweis) 19 Numerische Integrtion Unter numerischer Integrtion versteht mn die zhlenmäßige Berechnung eines Integrls f(x) dx, meist mit Hilfe eines Rechners Die Idee besteht dbei in der Regel drin, ds große Intervll [, b] in kleinere Intervlle zu zerlegen, und uf diesen kleinen Intervllen die Funktion f durch eine einfch zu integrierende Funktion, meist ein Polynom kleinen Grdes, zu ersetzen Genuer: Ist Z = {x 0,, x N } eine Zerlegung von [, b], so wählt mn für jedes k = 1,, N eine Funktion p k und berechnet sttt f(x) dx = N xk x k 1 f(x) dx die Summe S = N xk x k 1 p k (x) dx Die Frge ist, wie mn die Zerlegung Z und die Funktionen p k m günstigsten wählt, dmit die berechnete Zhl mit dem richtigen Wert 21

22 des Integrls möglichst genu übereinstimmt! Meistens wählt mn die Punkte der Zerlegung äquidistnt, lso x k = + k h, k = 0,, N, h = (b )/N Für die Whl der Funktionen p k diskutieren wir die drei folgenden Beispiele: 1 p k sei ein konstntes Polynom, etw p k (x) = f(ξ k ), mit einem Zwischenpunkt ξ k [x k 1, x k ] In diesem Fll berechnet mn n Stelle des Integrls gerde eine Riemnn-Summe 2 (Trpezregel) p k sei ein lineres Polynom (eine Gerde), welche in den Punkten x k 1 und x k mit f übereinstimmt; lso p k (x) = f(x k 1 ) + (x x k 1 ) f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 Dies ergibt bei äquidistnter Zerlegung den Wert S = h 2 ( f(x0 ) + 2 f(x 1 ) f(x N 1 ) + f(x N ) ) Mn sgt: die beiden Rndpunkte x 0 = und x N = b hben bei der Trpezregel ds Gewicht 1, lle übrigen dgegen ds Gewicht 2 Den Vorfktor h/2 knn mn sich so erklären, dss mn für konstnte Funktionen den richtigen Wert erhält 3 (Simpson-Regel, oder Keplersche Fssregel) Hier ist p k ein qudrtisches Polynom, welches in den Punkten x k 1 und x k sowie im Mittelpunkt (x k + x k 1 )/2 mit f übereinstimmt Also stellt mn sich m besten eine äquidistnte Zerlegung mit einer gerden Anzhl von Teilpunkten vor Wählt mn die neuen Bezeichnungen ergibt dies die Formel x k = + k h, k = 0,, 2 N, h = b 2 N S = h 3 ( f(x0 ) + 4 f(x 1 ) + 2 f(x 2 ) + 4 f(x 3 ) f(x 2 N 2 ) + 4 f(x 2 N 1 ) + + f(x 2 N ) ) Hier hben lso die Rndpunkte wieder Gewicht 1, die übrigen bwechselnd Gewichte 4 bzw 2 Mn knn die folgenden Fehlerbschätzungen zeigen: Für die Trpezregel: für die Simpson-Regel: f(x) dx S b 12 h 2 mx x b f (x), f(x) dx S b 180 h4 mx f (x) x b Aufgbe 191 Zeige: Die Simpson-Regel liefert für Polynome vom Grd 3 den exkten Integrlwert 22

23 Kpitel 2 Ungleichungen und Trnsformtionen 21 Ungleichungen Die folgenden Ungleichungen spielen in der Mthemtik eine zentrle Rolle: Aufgbe 211 Seien p, q > 1 mit 1/p + 1/q = 1, und seien, b R + Zeige: Es ist stets 1/p b 1/q p + b q, und Gleichheit gilt genu dnn, wenn = b ist Anleitung: Finde ds Mximum der Funktion f(x) = x 1/p b 1/q (x/p + b/q) 1, für x 0 Lemm 212 (Höldersche Ungleichung) Für p, q > 1 mit 1/p+1/q = 1 sowie = ( 1,, n ) T, b = (b 1,, b n ) T K n gilt n ( n ) k b k k p 1/p ( n ) b k q 1/q Ds Gleichheitszeichen gilt genu dnn, wenn λ, µ R existieren, welche nicht beide gleich 0 sind, mit λ k p = µ b k q für lle k Beweis: O B d A seien A = n k p > 0 und B = n b k q > 0 Aus Aufgbe 211 folgt dnn k A 1/p b k B 1/q k p p A + b k q q B k = 1,, n, mit Gleichheit genu für k p /A = b k q /B Durch Summtion über k folgt die Behuptung Aufgbe 213 Zeige mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung für 1,, n C und p, q > 1 mit 1/p + 1/q = 1 ( n n ) 1/p k n 1/q k p 23

24 Aufgbe 214 (Höldersche Ungleichung für Integrle) Sei < b, und seien f, g : [, b] K integrierbr Sei Z = {x 0,, x N } eine Zerlegung von [, b], und sei ξ = (ξ 1,, ξ n ) T ein zugehöriger Zwischenpunktvektor Zeige mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung N f(ξ k ) g(ξ k ) (x k x k 1 ) ( N ) 1/p ( N f(ξ k ) p (x k x k 1 ) g(ξ k ) q (x k x k 1 ) und schließe hierus mit der Definition des Integrls uf die Gültigkeit der Ungleichung mit p, q > 1 und 1/p + 1/q = 1 ( ) 1/p ( b f(x)g(x) dx f(x) p dx g(x) q dx ) 1/q ) 1/q Lemm 215 (Minkowskische Ungleichung) Für = ( 1,, n ) T, b = (b 1,, b n ) T K n und p 1 gilt ( n ) k + b k p 1/p ( n ) k p 1/p ( n ) + b k p 1/p Beweis: Für p = 1 ist die Behuptung klr wegen der Dreiecksungleichung Sei jetzt p > 1, und sei o B d A ngenommen, dss A = n k + b k p > 0 Dnn folgt mit der Hölderschen Ungleichung und 1/q = 1 1/p, lso (p 1) q = p: n k k + b k p 1 ( n ) k p 1/p ( n ) k + b k (p 1)q 1/q ( n ) = A 1/q k p 1/p, und dsselbe gilt, wenn wir die k und b k vertuschen Drus folgt wegen n A k k + b k p 1 + n b k k + b k p 1 die Ungleichung ( ( A A 1/q und Division durch A 1/q ergibt die Behuptung n ) k p 1/p ( n ) ) + b k p 1/p, Aufgbe 216 (Minkowskische Ungleichung für Integrle) Zeige für p 1 und f, g so, dss die rechtsstehenden Integrle existieren: ( 1/p b f(x) + g(x) dx) p ( 1/p b f(x) dx) p + ( 1/p b g(x) dx) p 24

25 22 Äquivlenzreltionen Definition 221 Sei X eine beliebige nicht-leere Menge Eine Reltion uf X, lso eine Teilmenge R X X, heißt eine Äquivlenzreltion uf X, flls für beliebige x, x 1, x 2, x 3 X gilt: (R) (x, x) R (Reflexivität) (S) (x 1, x 2 ) R = (x 2, x 1 ) R (Symmetrie) (T) (x 1, x 2 ) R und (x 2, x 3 ) R = (x 1, x 3 ) R (Trnsitivität) Sttt (x 1, x 2 ) R schreiben wir uch x 1 x 2 und sgen in Worten: x 1 ist äquivlent zu x 2 Für x X sei A x = { x X : x x } Wir nennen ein solches A x eine Äquivlenzklsse Ein beliebiges Element einer Äquivlenzklsse heißt uch ein Repräsentnt dieser Äquivlenzklsse Proposition 222 Sei X eine beliebige nicht-leere Menge mit einer Äquivlenzreltion uf X Seien A x1 und A x2 zwei Äquivlenzklssen mit A x1 A x2 Dnn gilt bereits A x1 = A x2 Beweis: Sei x A x1 A x2 Dnn ist x x 1 und x x 2, und us der Symmetrie und Trnsitivität folgt dnn x 1 x 2, lso x 2 A x1 Sei jetzt x A x2, lso x 2 x Dnn folgt ber us der Trnsitivität, dss x 1 x, lso x A x1 ist Somit ist A x2 A x1 Die Umkehrung gilt ber ebenso Korollr zu Proposition 222 (Zerlegung in Äquivlenzklssen) Sei X eine beliebige nicht-leere Menge mit einer Äquivlenzreltion uf X Dnn bilden die Äquivlenzklssen eine Zerlegung von X, d h, X ist die Vereinigung ller Äquivlenzklssen, und je zwei verschiedene Äquivlenzklssen sind disjunkt Beweis: D jedes x X in der Äquivlenzklsse A x liegt, folgt X = x X A x Dss verschiedene Äquivlenzklssen disjunkt sind, ist äquivlent zur Proposition Aufgbe 223 Sei n N Zeige: Auf Z wird durch p q m Z : p q = n m eine Äquivlenzreltion definiert Bestimme die Anzhl der Äquivlenzklssen! Aufgbe 224 Seien < b, und sei p 1 Zeige: Auf der Menge R[, b] ller über [, b] Riemnnintegrierbren Funktionen wird durch f g f(x) g(x) p dx = 0 eine Äquivlenzreltion definiert Zeige weiter, dss die Anzhl der Äquivlenzklssen unendlich ist, und dss jede Äquivlenzklsse überbzählbr ist Aufgbe 225 Zeige mit den Bezeichnungen und Vorussetzungen der vorigen Aufgbe: f 1 g 1, f 2 g 2 = f 1 + f 2 g 1 + g 2, f 1 f 2 g 1 g 2 Schließe hierus, dss es sinnvoll ist, von der Summe und dem Produkt zweier Äquivlenzklssen zu sprechen 25

26 23 Periodische Funktionen Definition 231 Eine Funktion f : R C heißt periodisch, flls es ein T > 0 gibt mit f(x + T ) = f(x) x R Jedes solche T heißt dnn uch eine Periode von f, und wir sgen uch, dss f dnn T -periodisch ist Bechte, dss mit T uch n T für n N eine Periode von f ist, und dss für konstnte Funktionen jedes T > 0 eine Periode ist Beispiel 232 Für ω > 0 sind die Funktionen sin(n ω x), cos(n ω x) n N lle periodisch mit Periode T = 2 π/ω Die Dirichletsche Sprungfunktion { 1 für x Q f(x) = 0 für x Q ist periodisch, und jedes rtionle T > 0 ist eine Periode, ber irrtionle T sind keine Perioden Insbesondere gibt es keine kleinste Periode Aufgbe 233 Zeige: Ist f uf einem hlboffenen Intervll der Länge T > 0 definiert, so gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung von f, welche T -periodisch ist Flls f etw uf [0, T ) stetig ist, ist dnn die T -periodische Fortsetzung uf R stetig? 24 Die Lplce-Trnsformtion Definition 241 Sei f : [0, ) C stetig Wir setzen g(z) = (Lf)(z) = 0 f(t) e zt dt Mn knn zeigen: Wenn es überhupt ein z C gibt, für welches dieses uneigentliche Integrl konvergiert, dnn konvergiert es in einer Hlbebene, d h für lle z mit Re z > c, für ein c R Wir nennen dnn die dort definierte Funktion g die Lplce-Trnsformierte der Funktion f In der Sprche der lineren Algebr knn mn sgen, dss die Abbildung f Lf eine linere Abbildung eines geeigneten Vektorrrums von Funktionen in einen nderen ist Diese Abbildung wird uch Lplce-Trnsformtion gennnt Aufgbe 242 Zeige: Für f(t) = t α 1 e β t ist die Lplce-Trnsformierte gleich g(z) = Γ(α) (z β) α ; dbei muss Re α > 0 sein, dmit ds Integrl überhupt konvergiert, und dnn konvergiert es für lle z mit Re z > Re β Aufgbe 243 Finde die Lplce-Trnsformierte von cos t bzw sint Bemerkung 244 Die Lplce-Trnsformtion ht folgende Eigenschften, die hier nicht bewiesen werden sollen Dbei sollen die uftretenden Funktionen immer so sein, dss ihre Lplce-Trnsformtion für genügend große Werte von Re z existiert 26

27 1 (Lf)(z) 0 wenn Re z 2 (Lf (n) )(z) = z n (Lf)(z) n z n j f (j 1) (0) n N j=1 3 d n dz n (Lf)(z) = ( 1)n (L t n f(t))(z) n N 4 (L f(t α))(z) = e α z (L f)(z) α > 0, flls wir f(t) = 0 für t < 0 setzen 5 (L t 0 f(τ) dτ)(z) = 1 (L f)(z) z Stz 245 (Fltungsstz) Für h(t) = t f(t τ) g(τ) dτ gilt 0 L h = (L f) (L g) (Ohne Beweis) Aufgbe 246 (Schwingungsgleichung) Benutze die Lplce-Trnsformtion zur Lösung der Differenzilgleichung m y r y + k y = f(t), mit positiven reellen Zhlen m, r, k, einer uf [0, ) stetigen Funktion f, sowie Anfngsbdingungen y(0) = y 0, y (0) = y 1 25 Fourier- und Z-Trnsformtion Definition 251 Sei f : (, ) C stetig Wir setzen g(ξ) = (Ff)(ξ) = f(x) e i ξ x dx, flls ds Integrl für gewisse ξ R existiert Wir nennen dnn die dort definierte Funktion g die Fourier- Trnsformierte der Funktion f Die Abbildung f Ff ist offenbr wieder liner und wird uch Fourier- Trnsformtion gennnt Die Fourier-Trnsformtion hängt eng mit der Lplce-Trnsformtion zusmmen und ht uch ähnliche Eigenschften, uf die wir hier nicht näher eingehen Definition 252 Sei (f n ) n=0 eine Folge reeller oder komplexer Zhlen, sodss gilt 1 R Dnn konvergiert beknntlich die Potenzreihe n = lim sup fn < n F (z) = ( Z(f n ) ) (z) = f n z n n=0 für lle z C mit z > 1/R bsolut Die Funktion F heißt die Z-Trnsformierte der Folge (f n ) Die entsprechende linere Abbildung heißt die Z-Trnsformtion 27

28 Bemerkung 253 Für die Z-Trnsformtion gelten folgende Regeln: 1 (Fltungsstz) Für Folgen (f n ), (g n ) gilt ( n ) Z f k g n k k=0 = ( Z(f n ) ) ( Z(g n ) ) 2 (Summtionsstz) Z ( n 1 ) f k k=0 = 1 ( Z(fn ) ) z 1 3 (Differenzenstz) Für 0 f n = f n, f n = 1 f n = f n+1 f n, k+1 f n = k f n+1 k f n für lle n N 0 und k N gilt Z ( k ) f n = (z 1) k Z(f n ) k N 0 4 (Verschiebungsstz) Setzt mn f n = 0 für lle n < 0, so gilt Z(f n k ) = z k Z(f n ) k N 0 5 (Ähnlichkeitsstz) Für beliebiges λ C \ {0} gilt Z(λ n f n )(z) = Z(f n )(z/λ) Aufgbe 254 Seien m N und 0,, m C mit m 0 beliebig gegeben Sind Werte f 0,, f m 1 beknnt, so legt die Gleichung m k f n+k = 0 n 0 k=0 eine Folge (f n ) eindeutig fest Versuche, mit Hilfe der Z-Trnsformtion ein Bildungsgesetz für diese Folge zu finden 28

29 Kpitel 3 Topologie in normierten Räumen 31 Der n-dimensionle Rum Die reellen, ber uch die komplexen Zhlen wurden bereits im letzten Semester eingeführt, und in dieser Vorlesung knn ds Symbol K sowohl die Menge R ller reellen, ber uch die Menge C ller komplexen Zhlen bedeuten Soweit es um die Opertionen der Addition und Multipliktion geht, gelten für die beiden Mengen die gleichen Rechenregeln llerdings knn mn für komplexe Zhlen keine Ungleichungen betrchten und insbesondere nicht dvon sprechen, welche von zwei komplexen Zhlen die größere ist Definition 311 Sei n eine ntürliche Zhl Wir schreiben K n für die Menge ller Spltenvektoren der Länge n mit Elementen in K, d h genuer, für die Menge ller x 1 x 2 x = = (x 1,, x n ) T, mit Zhlen x j K Dbei ist für x wie oben und einen zweiten Spltenvektor y = x n y 1 y 2 y n sowie eine Zhl λ K eine Addition definiert durch x + y = = (y 1,, y n ) T x 1 + y 1 x 2 + y 2 x n + y n, und ußerdem definieren wir eine Multipliktion von x mit einer Zhl λ K durch λ x 1 λ x 2 λ x = λ x n 29

30 Ds Sklrprodukt von x und y ist die Zhl x, y = x T y := n x j y j, j=1 wobei x j die zu x j konjugiert komplexe Zhl bezeichnet Die Menge K n ist ein Beispiel für ds, ws mn in der Mthemtik einen Vektorrum nennt Die genue Definition dieses Begriffes wird im nächsten Semester gegeben für den Moment ist nur wichtig, dss mn zwei Elemente eines llgemeinen Vektorrumes ddieren und jedes Element mit einer Zhl multiplizieren knn, und dss für diese Opertionen dieselben Rechenregeln wie in der elementren Vektorrechnung us dem ersten Semester gelten Allerdings ist zu bechten, dss in einem llgemeinen Vektorrum kein Sklrprodukt definiert zu sein brucht In den folgenden Abschnitten knn mn sich n Stelle eines solchen llgemeinen Vektorrumes ber immer die Menge K n vorstellen Besonders gut eignet sich die Menge R 2, d i die Ebene, oder R 3, lso der dreidimensionle Rum, zur Vernschulichung der in den nächsten Abschnitten betrchteten Begriffe 32 Normierte Räume Definition 321 Sei X ein beliebiger Vektorrum über K Eine Abbildung heißt eine Norm uf X, wenn folgendes gilt: : X R, x x (N1) x X : x 0 ; x = 0 x = 0 (N2) x X, α K : α x = α x (N3) x 1, x 2 X : x 1 + x 2 x 1 + x 2 (Dreiecksungleichung) Der Vektorrum X, zusmmen mit einer Norm uf X, heißt dnn ein normierter Rum Sind uf X zwei Normen 1, 2 gegeben, so nennen wir diese äquivlent, wenn es Konstnten C, K R + gibt, für die x X : C x 1 x 2 K x 1 Dies ist eine Äquivlenzreltion uf der Menge ller Normen uf X Aufgbe 322 (Dreiecksungleichung nch unten) Zeige: In einem normierten Rum X gilt x 1 x 2 x 1 x 2 x 1, x 2 X Beispiel 323 Für x = (x 1,, x n ) T K n und 1 p sei x p = ( x 1 p + + x n p ) 1/p (1 p < ), sup { x 1,, x n } (p = ) Ddurch ist für jedes feste p eine Norm uf K n definiert; für p < ist die Dreiecksungleichung äquivlent zur Minkowskischen Ungleichung Wir nennen p die p-norm uf K n, und sprechen für p = 2 30

31 uch von der Euklidischen Norm Bechte, dss die Euklidische Norm eines Vektors x K n gerde die Qudrtwurzel us dem Sklrprodukt von x mit sich selber ist Offenbr gilt x k x p für lle p und lle k = 1,, n, und drus ergeben sich folgende Abschätzungen: x x p n 1/p x p [1, ), x K n Also sind die Normen p und äquivlent Drus ergibt sich ber leicht, dss zwei beliebige p-normen uf K n immer äquivlent sind Beispiel 324 Sei [, b] ein bgeschlossenes Intervll, und sei C[, b] die Menge ller dort stetigen Funktionen mit Werten in K Diese Funktionenmenge ist ein Vektorrum über K Für f C[, b] sei ( ) 1/p f(x) p dx (1 p < ), f p = sup { f(x) : x b} (p = ) Dies sind Normen uf C[, b], für jedes solche p Diese Normen sind llerdings nicht äquivlent zueinnder! Definition 325 Die Norm f = sup { f(x) : x b} heißt die Supremumsnorm der Funktion f Mnchml nennen wir x = sup { x 1,, x n } uch die Supremumsnorm des Vektors x K n Aufgbe 326 Zeige, dss die oben definierte Äquivlenz von Normen ttsächlich die drei Eigenschften einer Äquivlenzreltion besitzt Aufgbe 327 Zeige: Für lle x K n gilt lim p x p = x Aufgbe 328 Finde eine Funktionenfolge (f n ) in C[, b], für die gilt f n = 1 n 1, lim f n p = 0 p [1, ) n Schließe drus, dss die p-norm und die Supremumsnorm uf C[, b] nicht äquivlent sind 33 Innere Punkte und offene Mengen Definition 331 Sei X ein normierter Rum Für ein r R + und x 0 X heißt U r (x 0 ) = K(x 0, r) := {x X : x x 0 < r } die r-umgebung von x 0 oder die Kugel um x 0 mit Rdius r Ein x 0 heißt innerer Punkt einer Teilmenge A X, wenn es ein r > 0 gibt mit U r (x 0 ) A Die Teilmenge A heißt offen, wenn jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist Aufgbe 332 Skizziere in R 2 die Kugel vom Rdius r = 1 um den Nullpunkt für eine der p-normen mit p = 1, p = 3/2, p = 2 und p = 4 Lösung: Eine elegnte Lösung der Aufgbe mit MAPLE geschieht mit dem Kommndo > plot([signum(cos(t))*(bs(cos(t)))ˆ(2/p), signum(sin(t))*(bs(sin(t)))ˆ(2/p),t=02*pi], scling=constrined,tickmrks=[1,1]); 31