5 Die Brownsche Bewegung, das Riemann- und das Lebesgue-Stieltjes Integral

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1 5 Die Brownsche Bewegung, das Riemann- und das Lebesgue-Stieltjes Integral 5.3 Kriterium für die Äquivalenz stochastischer Prozesse 5.4 Der äquivalente kanonische Prozess 5.5 Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung 5.6 Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen 5.7 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0 ist auch eine Brownsche Bewegung bzgl. (A + t ) t Hinzufügung von P A-Nullmengen zu einer Teil-σ-Algebra 5.10 (A P t ) t 0 ist eine augmentierte Filtration 5.11 Augmentierte Filtrationen 5.12 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0 ist eine Brownsche Bewegung bzgl. (A P t ) t Standard-Filtration bzgl. einer Brownschen Bewegung 5.14 Das Blumenthalsche 0-1 Gesetz 5.15 Durch Brownsche Bewegungen erzeugte Martingale 5.17 Zerlegung von [a, b] und reguläre Zerlegungsfolgen 5.18 Stetige Funktionen von beschränkter Variation besitzen quadratische Variation Reelle Brownsche Bewegungen besitzen im L 2 -Sinne endliche und positive quadratische Variation 5.20 Reelle Brownsche Bewegungen sind von unbeschränkter lokaler Variation 5.22 Naive stochastische Integration ist unmöglich 5.24 Rechtsseitig stetige Funktionen von lokal-beschränkter Variation sind Differenz zweier monotoner, rechtsseitig stetiger Funktionen 5.25 Rechtsseitig stetige, monoton nicht fallende Funktionen liefern Borel-Maße 5.26 Zerlegungseigenschaft von g impliziert Zerlegungseigenschaft von µ g 5.28 Eigenschaften des Lebesgue-Stieltjes Integral 5.29 Zusammenhang zwischen dem Riemann-Stieltjes Integral und dem Lebesgue- Stieltjes Integral 5.31 Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen werden durch Integration zu Funktionen von lokal beschränkter Variation 5.34 Von einem v.l.b.v. Prozess abgeleitete monoton nicht fallende Prozesse 5.35 Durch punktweise Lebesgue-Stieltjes Integration bzgl. eines v.l.b.v. Prozesse entsteht ein l.b.v. Prozess 5.37 Stetig differenzierbare Funktionen von v.l.b.v. Prozessen sind v.l.b.v. Prozesse C5(WS08/09) [5] 1

2 Finanzmathematik I In 2 hatten wir schon darauf hingewiesen, dass die Preisentwicklungen an Finanzmärkten durch stochastische Prozesse mit Zeitparametermenge [0, T ] oder [0, [ beschrieben werden. Die derzeit am meisten zur Modellierung des stochastischen Preisprozesses herangezogenen Prozesse beruhen auf der Brownschen Bewegung, die oft auch als Wienerprozess bezeichnet wird. Robert Brown beschrieb 1827 das folgende Phänomen. Kleine Teilchen, die in einer Flüssigkeit aufgeschwemmt sind, vollführen unregelmäßige Bewegungen, die man mit einem Mikroskop beobachten kann. Einstein erklärte 1905 die Bewegung durch fortlaufende Zusammenstöße des Teilchens mit den Molekülen des umgebenden Mediums. Es sei X t der Ort des beobachteten Partikels zum Zeitpunkt t im R d mit d = 3. Man wähle den Koordinatenursprung so, dass X 0 = 0 ist. Im Intervall [0, t] erfolgt eine große Anzahl von Zusammenstößen des Teilchens mit den Molekülen des umgebenden Mediums, so dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar erscheint und X t annähernd normalverteilt sein sollte. Außerdem erscheint es plausibel, dass die Zuwächse X t X s von der vorherigen zeitlichen Entwicklung unabhängig sein sollten. Dann beschreibt (X t ) t [0, [ eine Brownsche Bewegung im Sinne von 5.1. Im Folgenden schreiben wir häufig (A t ) t 0 für (A t ) t [0, [ und (X t ) t 0 für (X t ) t [0, [. 5.1 d-dimensionale Brownsche Bewegung bezüglich einer Filtration Es sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (A t ) t 0 eine Filtration. Ein stochastischer Prozess (B t ) t 0 mit Werten in (R d, B(R d )), der zu (A t ) t 0 adaptiert ist, heißt eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0, wenn gilt: B 0 = 0 P -f.s. (ii) (iii) (iv) Für 0 s < t gilt P Bt B s = d k=1n(0, t s); Für 0 s < t ist B t B s von A s unabhängig; Der Prozess (B t ) t 0 besitzt stetige Pfade, d.h. für alle ω Ω ist [0, [ t B t (ω) stetig. Ist d = 1, so spricht man von einer reellen Brownschen Bewegung. Statt von einem Prozess mit stetigen Pfaden hatten wir in 4 auch von einem stetigen Prozess gesprochen. Eine Zufallsvariable X : Ω R d heißt hierbei unabhängig von A s, wenn σ(x) = X 1 (B(R d )) unabhängig von A s ist. Eine mathematisch fundierte Definition der Brownschen Bewegung sowie erste mathematische Ergebnisse über die Brownsche Bewegung stammen von Wiener ( ). Weitere Anwendungen hat die Brownsche Bewegung in der Ökonomie und in der Quantenmechanik gefunden. In der mathematischen Statistik spielt die Brownsche Bewegung bei der Herleitung der Verteilung von Anpassungstests eine wichtige Rolle. Insbesondere von Levy sind dann die mathematischen Untersuchungen über die Brownsche Bewegung fortgeführt worden. Levy hat auch eine Klasse von Prozessen untersucht, [5] 2 C5(WS08/09)

3 Die Brownsche Bewegung die die Klasse der Poissonschen-Prozesse und der Brownschen Bewegung als Spezialfälle enthält. Erstmals ist die Brownschen Bewegung von Bachelier schon im Jahre 1900 benutzt worden zur Beschreibung des Pariser Aktienmarktes, und zwar in seiner Dissertation bei Poincaré. Um die Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung und einige Folgerungen notieren zu können, benötigen wir noch den Begriff der Äquivalenz von stochastischen Prozessen. Ist (Ω, A) ein Messraum und X t : Ω R d für t 0 gegeben, so ist X = (X t ) t [0, [ eine Abbildung in den (R d ) [0, [, definiert durch X(ω) := (X t (ω)) t [0, [ = (X t (ω)) t 0. Es gilt nach Übungsaufgabe 12, dass X A, (B(Rd )) [0, [ -messbar ist X t A, B(R d )-messbar für jedes t 0 ist. Die Verteilung von X = (X t ) t 0 ist also ein W-Maß auf (B(R d )) [0, [. Ist X t : Ω R d A, B(R d )-messbar für jedes t 0, so nennen wir (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) einen stochastischen Prozess mit Zustandsraum (R d, B(R d )). 5.2 Äquivalenz stochastischer Prozesse Zwei stochastische Prozesse (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) und (Ω, A, P, (X t ) t 0) mit Zustandsraum (R d, B(R d )) heißen äquivalent, falls sie die gleichen Verteilungen besitzen, d.h. falls gilt P (Xt ) t 0 = P (X t ) t 0. Offenbar handelt es sich bei der Äquivalenz von stochastischen Prozessen mit Zustandsraum (R d, B(R d )) um eine Äquivalenzrelation. Äquivalente Prozesse sind wahrscheinlichkeitstheoretisch nicht unterscheidbar, sie besitzen nach Definition nämlich die gleiche Verteilung. Ist E [0, [ endlich, und (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) ein stochastischer Prozess, so heißt P (Xt ) t E eine endlich-dimensionale Randverteilung des Prozesses. Es läßt sich leicht beweisen (siehe Übungsaufgabe 34 ): 5.3 Kriterium für die Äquivalenz stochastischer Prozesse Zwei stochastische Prozesse mit Zustandsraum (R d, B(R d )) sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleichen endlich-dimensionalen Randverteilungen besitzen. In einer Äquivalenzklasse von stochastischen Prozessen mit Zustandsraum (Rd, B(R d )) gibt es einen kanonischen Prozess, siehe Übungsaufgabe 34 (ii): C5(WS08/09) [5] 3

4 Finanzmathematik I 5.4 Der äquivalente kanonische Prozess Es sei (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum (R d, B(R d )). Hierzu ist ((R d ) [0, [, (B(R d )) [0, [, P X, (π t ) t 0 ) ein äquivalenter stochastischer Prozess, er heißt der kanonische Prozess zu (Ω, A, P, (X t ) t 0 ). Hierbei ist π t, die t-projektion von (R d ) [0, [ in den R d, definiert durch π t (x u ) u 0 = x t. Ist X = (X t ) t 0 ein stochastischer Prozess, so nennt man (A X t ) t 0 definiert durch (siehe 4.2) A X t := σ(x s : s t), t 0 die kanonische Filtration von X. Jeder stochastische Prozess ist bzgl. seiner kanonischen Filtration adaptiert. Wir sprechen von einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung, wenn wir eine d-dimensionale Brownsche Bewegung bzgl. der kanonischen Filtration meinen. Es gilt der folgende wichtige Existenzsatz (für einen Beweis siehe z.b. Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie, Satz 40.3, Seite 349). 5.5 Existenz einer d-dimensionalen Brownschen Bewegung (ii) (iii) Für jedes d 1 existiert eine d-dimensionale Brownsche Bewegung. Je zwei d-dimensionale Brownsche Bewegungen (Ω, A, P, (B t ) t 0 ) und (Ω, A, P, (B t ) t 0) sind äquivalent. Ist eine Brownsche Bewegung (Ω, A, P, (B t ) t 0 ) zu einem d-dimensionalen Prozess (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) mit stetigen Pfaden äquivalent, so ist (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) selbst eine Brownsche Bewegung. Der Begriff der d-dimensionalen Brownschen Bewegung bzgl. der kanonischen Filtration wird häufig auch anders formuliert. Hierzu vorweg 5.6 Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen Es sei (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) ein stochastischer Prozess mit R d als Zustandsraum. Er heißt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn eine der beiden äquivalenten Bedingungen gilt Für je endlich viele Zeitpunkte 0 = t 0 < t 1 <... < t n sind die Zufallsvariablen X t0, X t1 X t0,...,x tn X tn 1 unabhängig. (ii) Für je zwei Zeitpunkte 0 s < t, ist X t X s unabhängig von A X s. [5] 4 C5(WS08/09)

5 Beweis. Siehe Lemma 45.1, Seite 403 in W. von Bauer. Die Brownsche Bewegung Eine Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration (A t ) t 0 ist offensichtlich auch eine Brownsche Bewegung bzgl. (A B t ) t 0 und auch bzgl. jeder Filtration (A t ) t 0 mit A B t A t A t. Dies folgt aus der trivialen Feststellung, dass die Unabhängigkeit von B t B s von A s die Unabhängigkeit von B t B s bzgl. A s nach sich zieht. Die übrigen Bedingungen für eine Brownsche Bewegung hängen nicht von der Filtration ab. Ist eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0 auch eine Brownsche Bewegung bzgl. der rechtsseitig stetigen Filtration (A + t ) t 0? Diese Frage lässt sich sogar allgemeiner positiv beantworten. 5.7 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0 ist auch eine Brownsche Bewegung bzgl. (A + t ) t 0 Es sei (Ω, A, P, (X t ) t 0 ) ein zu (A t ) t 0 adaptierter, stochastischer Prozess mit R d als Zustandsraum und rechtsseitig stetigen Pfaden. Es sei X t X s unabhängig von A s für je zwei Zeitpunkte 0 s < t. Dann ist auch X t X s unabhängig von A + s für je zwei Zeitpunkte 0 s < t. Beweis. Setze Y := X t X s für festes 0 s < t. Es ist z.z. (1) Y ist unabhängig von A + s. Da E := {Y 1 (O) : O offen} ein -stabiler Erzeuger von σ(y ) ist, reicht es für (1) nach S Stochastik I zu zeigen: (2) E und A + s sind unabhängig. Sei also O offen und A A + s, dann ist z.z.: (3) P ((1 O Y ) 1 A ) = P (1 O Y )P (A). Da O offen ist, gibt es nach Übungsaufgabe 35 stetige Funktionen f n : R d [0, 1] mit f n 1 O. Zum Nachweis von (3) reicht es daher nach dem Satz von Lebesgue zu zeigen, ist f : R d [0, 1] stetig, so gilt (4) P ((f Y ) 1 A ) = P (f Y )P (A). Da X t X s+1/n unabhängig von A s+1/n ist, ist auch f (X t X s+1/n ) unabhängig von A s+1/n und somit erst recht von A A s+1/n. Also gilt nach S. 9.7 (5) P (f (X t X s+1/n )1 A ) = P (f (X t X s+1/n ))P (A). Da s X s rechtsseitig stetig und f stetig ist, folgt (6) f (X t X s+1/n ) f Y. Aus (5) und (6) folgt dann mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue die Aussage (4) und somit (1). Ist nun (B t ) t 0 eine Brownsche-Bewegung bzgl. (A t ) t 0, dann ist nach eben Bewiesenem für 0 s < t auch B t B s unabhängig von A + s. 5.1, (ii) und (iv) der Definition einer Brownschen Bewegung hängen aber gar nicht von der Filtration ab. Damit ist auch die Überschrift des Satzes bewiesen. C5(WS08/09) [5] 5

6 Finanzmathematik I Für das Folgende erweisen sich Filtrationen als nützlich, die alle P -Nullmengen N A enthalten. 5.8 Augmentierte Filtrationen Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (A t ) t 0 eine Filtration. Wir sagen (A t ) t 0 ist eine augmentierte Filtration (bzgl. P A) wenn gilt ( N A)(P (N) = 0 N A 0 ). Setzt man N := {A A : P (A) = 0}, so ist also eine Filtration (A t ) t 0 genau dann augmentiert, wenn N A 0 ist. Wir wollen zeigen, dass jede Filtration zu einer augmentierten Filtration vergrößert werden kann. Hierzu zunächst eine Vorüberlegung: 5.9 Hinzufügung von P A-Nullmengen zu einer Teil-σ-Algebra Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und C A eine Teil-σ-Algebra. Dann setzt man Es gilt C P := A σ (C N ) mit N := {A A : P (A) = 0}. C P = {C N : C C, N N } = {D Ω : C C mit D C N }. (ii) Ist U : Ω R d C P -messbar und V : Ω R d A-messbar mit P (U V ) = 0, so ist V C P -messbar. (iii) Ist U : Ω R d C P -messbar, so existiert eine C-messbare Abbildung V := Ω R d mit P (U V ) = 0. Beweis. Übungsaufgabe (A P t ) t 0 ist eine augmentierte Filtration Sei(Ω, A, P ) ein W-Raum und (A t ) t 0 eine Filtration. Dann ist (A P t ) t 0 eine augmentierte Filtration mit A t A P t für t 0. Ist X : Ω R d A P t -messbar für ein t [0, ] und Y : Ω Rd A-messbar mit P (Y X) = 0, so ist auch Y A P t -messbar. (ii) Ist X : Ω R d A P t -messbar für ein t [0, ], so existiert ein Y : Ω Rd, welches A t -messbar ist, mit P (X Y ) = 0. (iii) Es ist A P = A σ ( t 0 A P t ). [5] 6 C5(WS08/09)

7 Beweis. Wir wenden Satz 5.9 an auf A t := C für ein t [0, ]. Wegen A P t = A σ (A t N ) ist A t A P t und (A P t ) t 0 ist augmentiert. und (ii) folgen aus 5.9 (ii) und 5.9 (iii). Die Brownsche Bewegung (iii) Wegen A P t A P folgt A σ ( t 0 A P t ) AP. Die Umkehrung folgt aus A N A σ ( t 0 A P t ), wegen AP = A σ (A N ) Augmentierte Filtrationen Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (A t ) t 0 eine Filtration. (A t ) t 0 ist augmentiert genau dann, wenn A t = A P t für t 0 ist. (ii) Ist (A t ) t 0 augmentiert und X : Ω R d A t -messbar für ein t [0, ], sowie Y : Ω R d A-messbar mit P (X Y ) = 0, so ist auch Y A t -messbar. Beweis. siehe Ist (A t ) t 0 augmentiert, so gilt N A t und somit A P t = A σ (A t N ) A t. (ii) Nach ist A t = A P t. Die Behauptung folgt daher aus Eine unmittelbare Folgerung aus S Stochastik I ist: 5.12 Eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0 ist auch eine Brownsche Bewegung bzgl. (A P t ) t 0 Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (X t ) t 0 ein bzgl. (A t ) t 0 adaptierter R d -wertiger Prozess. Gilt dann für zwei feste Zeitpunkte 0 s < t, dass X t X s unabhängig von A s ist, dann ist auch X t X s unabhängig von A P s. Beweis. Sei 0 s < t und X t X s von A s unabhängig. Dann ist X t X s auch von A s N unabhängig, und A s N ist -stabil. Daher ist X t X s auch von A σ (A s N ) = A P s unabhängig (siehe S. 3.23). Die Behauptung der Überschrift erhält man wie folgt: Es sei (B t) t 0 eine Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0. Dann ist nach Definition 5.1 auch (B t ) t 0 eine Brownsche Bewegung bzgl. (A P t ) t 0, wenn B t B s unabhängig von A P s ist. Dies hatten wir aber gerade gezeigt, da B t B s nach Definition einer Brownschen Bewegung bzgl. A s unabhängig ist. Es gilt das folgende, wichtige Ergebnis C5(WS08/09) [5] 7

8 Finanzmathematik I 5.13 Standard-Filtration bzgl. einer Brownschen Bewegung Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (B t ) t 0 eine d-dimensionale, Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration. Dann gilt (B t ) t 0 ist eine Brownsche Bewegung bzgl. (A B t )P t 0. (ii) Die Standard-Filtration A t := (A B t )P ist rechtsseitig stetig. Beweis. Es ist (B t ) t 0 eine d-dimensionale Brownsche Bewegung bzgl. (A B t ) t 0 und daher auch bzgl. (A t ) t 0 := (A B t )P t 0 nach 5.12 angewandt auf A t := A B t. (ii) Siehe z.b. Karatzas-Shreve Das Blumenthalsche 0-1 Gesetz Sei(Ω, A, P ) ein W-Raum und (B t ) t 0 eine d-dimensionale Brownsche Bewegung bzgl. einer Filtration. Dann gilt P (A) = 0 oder 1 für jedes A A + 0 und somit erst recht für jedes A (A B 0 )+. Beweis. Nach 5.13 (ii) gilt A 0 = A + 0 (A B 0 )+. Somit bleibt zu zeigen P (A) = 0 oder 1 für A A 0. Nach 5.9 gibt es zu A A 0 ein A 0 A B 0 mit P (A A 0) = 0, also insbesondere P (A) = P (A 0 ). Zu A 0 A B 0 gibt es ein C B(Rd ) mit A 0 = B0 1 (C), so dass { P (A 0 ) = P (B0 1 0 für 0 C (C)) = 1 für 0 C ist, da B 0 = 0 P -f.s. nach Definition einer Brownschen Bewegung ist. Hieraus folgt dann P (A) = 0 oder 1. Die Aussage des Blumenthalschen 0 1 Gesetzes besitzt wichtige Folgerungen: Sei (B t ) t 0 eine reelle Brownsche Bewegung und wir stellen die Frage, wie schnell die Brownsche Bewegung den Nullpunkt verläßt. Betrachte hierzu eine feste stetige Funktion h :]0, [ B ]0, [, ein c R und A c := {ω : lim t (ω) t 0 h(t) c}. Dann gilt B (mit lim t (ω) t 0 h(t) := lim t 0 sup s ]0,t] B s(ω) h(s) ) A c A B t für jedes t > 0. Somit ist A c (A B 0 )+ und es gilt P (A c ) = 0 oder 1 nach Zum Nachweis von P (A c ) = 1, reicht es also P (A c ) > 0 zu beweisen. Aus P (A c ) = 0 oder 1 für jedes c R B folgt, es gibt ein c 0 R mit P {ω : lim t (ω) t 0 h(t) = c 0 } = 1 (siehe Übungsaufgabe 42). [5] 8 C5(WS08/09)

9 Die Brownsche Bewegung 5.15 Durch Brownsche Bewegungen erzeugte Martingale Sei (B t ) t 0 eine reelle Brownsche Bewegung bzgl. (A t ) t 0. Dann gilt: (B t ) t 0 ist ein Martingal bzgl. (A t ) t 0. (ii) (B 2 t t) t 0 ist ein ein Martingal bzgl. (A t ) t 0. (iii) (exp(αb t α2 2 t)) t 0 ist ein Martingal bzgl.(a t ) t 0 für jedes α R. Beweis. Da Borel-messbare Funktionen von (A t ) t 0 adaptierten Prozessen, (A t ) t 0 adaptiert sind, sind auch die Prozesse in (ii) und (iii) bzgl. (A t ) t 0 adaptiert. Nach (ii) ist B t nach N(0, t)-verteilt. Also gilt (1) (Bt B s )dp = 0 für 0 s < t. Nun ist B t B s unabhängig von A s für 0 s < t nach 5.1 (iii), und B s ist A s -messbar. Also gilt P (B t A s ) = P (B t B s A s ) + B s = 3.11 P (B t B s ) + B s = (1) 0 + B s = B s. (ii) Es sind B 2 t und B sb t integrierbar. Nun ist B 2 t t = (B t B s ) 2 + 2B s B t B 2 s t. Daher folgt, da B t B s und somit (B t B s ) 2 von A s unabhängig ist P (B 2 t t A s) = P ((B t B s ) 2 A s ) + 2P (B s B t A s ) B 2 s t 3.11 = (ii) = P (B t B s ) 2 + 2B s P (B t A s ) B 2 s t (t s) + 2B 2 s B 2 s t = B 2 s s. (iii) Nach Übungsaufgabe 33 folgt: Ist X nach N(0, σ2 )-verteilt, so gilt (2) e X dp = e σ2 /2. Wir zeigen später (3) exp(α(bt B s ))dp = e α2 2 (t s) für 0 s < t (4) exp(αb t ) ist P -integrierbar für t 0. Hieraus erhält man wie folgt die Behauptung P (exp[αb t α2 2 t] A s) = P (exp(αb s ) exp[α(b t B s ) α2 2 t] A s) (3)(4) = 3.12 exp(αb s)p [(exp[α(b t B s ) α2 2 t] A s) = 3.11 = exp(αb s ) exp[α(b t B s ) α2 t t]dp = (3) = exp(αb s )e α2 2 (t s) e α2 2 t = exp(αb s α2 2 s). (3) folgt aus (2), da B t B s nach N(0, t s) und somit α(b t B s ) nach N(0, α 2 (t s))- verteilt ist. (4) folgt aus (3) wegen B 0 = 0 P -f.s. C5(WS08/09) [5] 9

10 Finanzmathematik I Die Pfade einer reellen Brownschen Bewegung (B t ) t 0 sind P -f.s. auf jedem Intervall [0, t] von unbeschränkter Variation (siehe 5.20). Eine pfadweise Integration t 0 f(s)b(ds, ω) auch nur für alle stetigen Funktionen f ist daher nicht möglich. Dies ist der Grund, dass ein Integral der Form t 0 X sdb s für previsible Prozesse nicht als pfadweises Integral t 0 X s(ω)b(ds, ω) eingeführt werden kann, d.h. für festes ω Ω als Integral von [0, t] s X(s, ω) bzgl. [0, t] s B(s, ω). Wir werden statt dessen in den nächsten Paragrafen die stochastische Integration entwickeln Funktionen von beschränkter Variation (ii) Seien a < b und h : [a, b] R. Dann heißt h von beschränkter Variation über [a, b], wenn die Variation V a,b (h) endlich ist: V a,b (h) := sup{ n h(x ν) h(x ν 1 ) : a = x 0 < x 1... < x n = b, n N}. g : [0, [ R heißt von lokal beschränkter Variation, wenn h := g [a; b] von beschränkter Variation über [a, b] für alle 0 a < b ist. Für das Folgende benötigen wir den Begriff der Zerlegung von [a, b] und der regulären Zerlegungsfolge Zerlegung von [a, b] und reguläre Zerlegungsfolgen (ii) Ist a < b, so heißt Z := Z a,b = (x 0,..., x k ) eine Zerlegung von [a, b], wenn a = x 0 < x 1... < x k = b ist. δ(z a,b ) := max{ x ν x ν 1 : ν = 1,..., k} heißt die Zerlegungsweite. Eine Folge von Zerlegungen Z a,b n wenn δ(z a,b n ) 0. heißt reguläre Zerlegungsfolge von [a, b], (iii) Ist h : [a, b] R, so gibt es eine reguläre Zerlegungsfolge Zn a,b = (x n 0,..., xn k n ) mit k n h(x n ν ) h(x n ν 1 ) V a,b(h). Beweis. (iii) Übungsaufgabe Stetige Funkionen von beschränkter Variation besitzen quadratische Variation 0 Sei h : [a, b] R stetig und von beschränkter Variation. Dann gilt für jede reguläre Zerlegungsfolge Z a,b n = (x n 0, xn 1,..., xn k n ) von [a, b] : k n [h(x n ν ) h(x n ν 1 )]2 0. Beweis. Übungsaufgabe 37 (ii). [5] 10 C5(WS08/09)

11 Die Brownsche Bewegung 5.19 Reelle Brownsche Bewegungen besitzen im L 2 -Sinne endliche und positive quadratische Variation Sei (B t ) t 0 eine reelle Brownsche Bewegung und 0 a < b. Dann gilt für jede reguläre Zerlegungsfolge Zn a,b = (x n 0,..., xn k n ) von [a, b], dass Q Zn := kn (B x n ν B x n ν 1 ) 2 (b a) im L 2 (P ). Insbesondere gibt es daher eine Teilfolge mit Beweis. Es gilt mit (Q Zn ) n N1 (b a) P -f.s. (1) D ν := (B x n ν B x n ν 1 ) 2 (x n ν x n ν 1 ), ν = 1,..., k n. (2) E(D ν ) = 0, D 1,..., D kn sind unabhängig. Da B x n ν B x n ν 1 nach N(0, x n ν x n ν 1 )-verteilt ist, gilt E(D ν) = 0 für ν = 1,..., k n. Ferner sind nach 5.6 auch B x n ν B x n ν 1, ν = 1,..., k n unabhängig und somit nach Stochastik I auch D ν, ν = 1,..., k n. Ist X N(0, 1)-verteilt, so gilt E(X 4 ) = 3 und somit (3) Y N(0, t)-verteilt E(Y 4 ) = t 2 E( Y t ) 4 = 3t 2. Also erhalten wir (4) E(D 2 ν) = (1) E(B x n ν B x n ν 1 ) 4 2(x n ν x n ν 1 )E(B x n ν B x n ν 1 )2 + (x n ν x n ν 1 )2 = (3) 3(xn ν x n ν 1 )2 2(x n ν x n ν 1 )2 + (x n ν x n ν 1 )2 = 2(x n ν x n ν 1 )2. Also gilt wegen (b a) = k n (x n ν x n ν 1 ) E[ kn (B x n ν B x n ν 1 ) 2 (b a)] 2 = E[ kn D ν ] 2 (1) = n=1 k n (2) E(Dν) 2 = 2 kn (x n ν x n ν 1 )2 2δ(Z a,b (4) n )(b a) 0. Aus der L 2 (P )-Konvergenz folgt die stochastische Konvergenz von Q Zn gegen (b a). Also gibt es auch eine Teilfolge von Q Zn die P -f.s. gegen b a konvergiert Reelle Brownsche Bewegungen sind von unbeschränkter lokaler Variation Außerhalb einer Nullmenge sind alle Pfade einer reellen Brownschen Bewegung auf jedem Intervall [a, b] mit 0 a < b von unbeschränkter Variation. C5(WS08/09) [5] 11

12 Finanzmathematik I Beweis. Es reicht z. z. für p, q rational mit p < q, gibt es eine Nullmenge N p,q mit (1) V p,q (B t (ω) [p, q]) = für ω N p,q. Denn dann ist N := N p,q eine Nullmenge und für ω N ist V a,b (B t (ω) [a, b]) = p<q Q für jedes a, b [0, [ mit a < b. Benutze hierzu, dass es zu solchen a, b rationale Zahlen 0 p < q mit a p < q b gibt, und V a,b (B t (ω) [a, b]) V p,q (B t (ω) [p, q]) ist. Zu (1): Nach 5.19 gibt es eine reguläre Zerlegungsfolge Z n := Zn p,q, mit N p,q A sowie P (N p,q ) = 0 und (2) Q Zn (ω) (q p) für ω N p,q. Für jedes feste ω Ω ist die Funktion h definiert durch h(t) = B(t, ω) für t [p, q] stetig, und nach (2) gilt: Q Zn (ω) = kn [h(x n ν ) h(x n ν 1 )]2 q p > 0 für ω N p,q. Somit folgt nach 5.18 für ω N p,q, dass V p,q (h) = ist. Also gilt (1). Bezüglich Funktionen von lokal-beschränkter Variation sind eine große Klasse von Funktionen Riemann-Stieltjes integrierbar Das Riemann-Stieltjes Integral Sei f : [a, b] R und h : [a, b] R. Sei Zn a,b = (x n 0,..., xn k n ) eine Zerlegung von [a, b]. Setze S(f, Zn a,b ) := kn f(x n ν 1 )[h(xn ν ) h(x n ν 1 )]. Konvergiert dann S(f, Z a,b n ) für jede reguläre Zerlegungsfolge Z a,b n der regulären Zerlegungsfolge unabhängige Grenzwert lim S(f, Za,b n Stieltjes Integral von f über [a, b] bzgl. h und wird mit b a f dh = b bezeichnet. so heißt der von ) das Riemann- a f(x)h(dx) Aus der Definition folgt, dass die Riemann-Stieltjes integrierbaren Funktionen einen linearen Raum bilden, und dass das Riemann-Stieltjes Integral eine lineare Abbildung ist. Häufig fordert man für die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit eine stärkere Konvergenzeigenschaft, nämlich die Konvergenz aller Zwischensummenfolgen kn f(ξ n ν )[h(x n ν ) h(x n ν 1 )] mit ξn ν [x n ν 1, xn ν ]. Wir sprechen in diesem Fall von einem starken Riemann-Stieltjes Integral. Unser Ziel ist es zumindestens für stetige Prozesse (X s ) s 0 und stetige L 2 (P )-Martingale (M s ) s 0 das Integral t 0 X s dm für alle t > 0 einzuführen. Betrachten wir z.b. die reelle Brownsche Bewegung, so ist (B s ) s 0 ein stetiges L 2 (P )-Martingal (siehe 5.15 ). Man könnte nun versuchen t 0 X s db als punktweises Riemann-Stieltjes Integral einzuführen, d.h. für festes ω durch t 0 X(s, ω), B(ds, ω) = lim k n X(x n ν 1, ω)[b(xn ν, ω) B(x n ν 1, ω)]. [5] 12 C5(WS08/09)

13 Die Brownsche Bewegung Unser Ziel wäre es also zumindestens für stetige Funktionen f : [0, t] R das Integral t 0 f(x)b(dx, ω) als Riemann-Stieltjes Integral zu erklären. Dieser Versuch scheitert jedoch kläglich, da dann [0, t] s B(s, ω) von beschränkter Variation sein müßte (siehe 5.22). Dieses ist jedoch (bis auf eine Nullmenge) nie der Fall nach Mit funktionalanalytischen Mitteln lässt sich beweisen 5.22 Naive stochastische Integration ist unmöglich Sei h : [a, b] R und Z n eine reguläre Zerlegungsfolge von [a, b] mit kn h(x n ν ) h(x n ν 1 ) V a,b(h). Existiert dann für jede stetige Funktion f : [a, b] R der Grenzwert in R von k n f(x n ν 1 )[h(xn ν ) h(x n ν 1 )] für n, so ist h von beschränkter Variation über [a, b]. Die in 5.22 gemachte Voraussetzung k n h(x n ν ) h(x n ν 1 ) V a,b(h) ist für rechtsseitige stetige h für jede reguläre Zerlegungsfolge erfüllt Satz Sei h : [a, b] R rechtsseitig stetig, dann gilt für jede reguläre Zerlegungsfolge Z a,b n = (x n 0,..., xn k n ) Beweis. k n h(x n ν ) h(x n ν 1 ) V a,b(h). Übungsaufgabe 38 Sei (B t ) t 0 eine reelle Brownsche Bewegung bzgl. (A B t ) t 0 und (X t ) t 0 ein zu (A B t ) t 0 adaptierter und stetiger Prozess. Wir werden im 7 zeigen, dass für jede reguläre Zerlegungsfolge von [0, t] gilt, dass S n (ω) := kn X(x n ν 1, ω)[b(xn ν, ω) B(x n ν 1, ω)] in Wahrscheinlichkeit gegen das noch zu definierende stochastische Integral t 0 X db für n konvergiert ( t 0 X db ist eine reelle Zufallsvariable). Also gibt es für jede reguläre Zerlegungsfolge eine Teilfolge von S n die P -f.s. gegen t 0 X dp konvergiert. Somit existiert insbesondere eine reguläre Zerlegungsfolge, so dass für ω N 1 mitp (N 1 ) = 0 gilt: (I) k n X(x n ν 1, ω)[b(xn ν, ω) B(x n ν 1, ω)] ( t 0 X db)(ω) R. Nach 5.20 und 5.23 gilt für ω N 2 mit P (N 2 ) = 0 C5(WS08/09) [5] 13

14 Finanzmathematik I (II) k n B(x n ν, ω) B(x n ν 1, ω) V a,b(b ω [0, t]) =. Setzt man N := N 1 N 2, so ist P (N) = 0 und für alle ω N gelten (I) und (II) gleichzeitig. Dies widerspricht jedoch nicht dem Satz 5.22, da nicht alle stetigen Prozesse zur punktweisen Integration zugelassen werden, sondern nur stetige und adaptierte Prozesse. Warum wird in (I) der Punkt x n ν 1 und nicht xn ν für X ausgewählt? (α) (β) Bei Auswahl von x n ν 1 an Stelle von xn ν ist ( t 0 X db) t 0 wieder ein Martingal, bei x n ν in der Regel nicht; so gilt für jede reguläre Zerlegungsfolge von [0, t] L n := kn B(x n ν 1, ω)[b(xn ν, ω) B(x n stoch. ν 1, ω)] und ( t 0 B db) t 0 ist ein Martingal. Setzt man so gilt R n := kn B(x n ν, ω)[b(x n ν, ω) B(x n ν 1, ω)], R n L n = kn [B(x ν, ω) B(x n ν 1, ω)2 ] 5.19 stoch. t. t 0 BdB Da ( t 0 B db) t 0 ein Martingal ist, kann lim R n = ( t 0 B db + t) t 0 kein Martingal sein. Beschreibt X die Handelsstrategie und S den Preis einer Aktie, und ändert man den Anteil der Aktie zu den Zeitpunkten x n k für k = 0,..., k n 1 zu X(x n k, ω), so ist der Gesamtgewinn im Zeitintervall [0, t] gegeben durch k n 1 k=0 X(x n k, ω)[s(xn k+1, ω) S(xn k, ω)] = kn X(x n ν 1, ω)[s(xn ν, ω) S(x n ν 1, ω)] und nicht durch kn X(x n ν, ω)[s(x n ν, ω) S(x n ν 1 (ω)]. Um nicht nur stetige, adaptierte Prozesse integrieren zu können, wird die obige Vorgehensweise (mittels Definition von Summen S n ) nicht zur Definition des stochastischen Integrals verwenden, sondern eine allgemeinere Vorgehensweise, die eine Analogie zur Lebesgue-Stieltjes Integration darstellt. Zur Einführung dieses Lebesgue-Stieltjes Integrals dient der folgende Satz Rechtsseitig stetige Funktionen von lokalbeschränkter Variation sind Differenz zweier monotoner, rechtsseitig stetiger Funktionen Sei g : [0, [ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschränkter Variation mit g(0) = 0. Eine solche Funktion heiße l.b.v.-funktion. Dann gilt: g besitzt linksseitige Grenzwerte. [5] 14 C5(WS08/09)

15 Die Brownsche Bewegung (ii) (iii) Es gibt zwei eindeutig bestimmte Funktionen F 1, F 2 : [0, [ R mit den folgenden drei Eigenschaften. (I) g = F 1 F 2. (II) F 1, F 2 sind monoton nicht fallend und rechtsseitig stetig mit F 1 (0) = F 2 (0) = 0. (III) Haben wir eine Zerlegung g = F 1 F 2 mit F 1, F 2 die (II) erfüllen, so gilt F 1 F 1, F 2 F 2. Setze g (x) := V 0,x (g) für x [0, [ (wobei V a,a (g) = 0 gesetzt sei). Dann ist g (0) = 0, und g ist monoton nicht fallend, rechtsseitig stetig und besitzt linksseitige Grenzwerte. Ferner ist g = F 1 +F 2 mit F 1, F 2 aus (ii). (iv) g ist genau dann stetig in x 0, wenn g stetig in x 0 ist. Beweis. Da monotone Funktionen linksseitige Grenzwerte besitzen, folgt unmittelbar aus der in (ii) angegebenen Zerlegung. (ii) Es ergibt sich für 0 a b c aus der Definition der Variation (beachte V a,a (g) := 0) Setze nun für x [0, [ V a,b (g) + V b,c (g) = V a,c (g). F 1 (x) := 1 2 [V 0,x(g) + g(x)], F 2 (x) := 1 2 [V 0,x(g) g(x)]. Dann gilt g = F 1 F 2 mit F 1 (0) = F 2 (0) = 0. Der Beweis des Restes von (ii) und (iii) + (iv) erfolgen in Übungsaufgabe 43. Analog zur Stochastik I beweist man 5.25 Rechtsseitig stetige, monoton nicht fallende Funktionen liefern Borel-Maße Ist F : [0, [ R monoton nicht fallend und rechtsseitig stetig mit F (0) = 0, so existiert genau ein Maß µ F auf B(]0, [) mit (ii) F (t) = µ F (]0, t]) für t 0. Für t > 0 ist F genau dann stetig in t, wenn µ F ({t}) = 0 ist. (iii) Ist µ : B(]0, [) [0, ] ein Maß mit µ(]0, t]) < für t 0, so istf (t) := µ(]0, t]), t 0 monoton nicht fallend, rechtsseitig stetig mit F (0) = 0. Ferner gilt für das nach mit F gebildete µ F, dass µ F = µ ist. (iv) Die Abbildung F µ F ist eine bijektive Abbildung von der Menge der monoton nicht fallenden, rechtsseitig stetigen Funktionen F : [0, [ R mitf (0) = 0 auf die Menge aller Maße µ auf B(]0, [) mit µ(]0, t]) < für t 0. C5(WS08/09) [5] 15

16 Finanzmathematik I Beweis. Die Eindeutigkeit von µ F folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für Maße angewandt auf das -stabile System C = {]0, t] : t 0} wegen A σ (C) = B(]0, [). Setzt man µ F (]s, t]) := F (t) F (s) für s t, so kann man nachweisen, dass µ F auf dem Semiring S = {]s, t] : 0 s t} σ-additiv ist. Nach dem Erweiterungssatz von Carathéodory (siehe Stochastik I oder Bauer Maßtheorie, Satz 5.1 Seite 23), läßt sich dann µ F zu einem Maß auf B(]0, [) erweitern. (ii) Sei t > 0. Dann gilt, da µ F ein Maß ist µ F ({t}) = lim s t µ F (]s, t]) = lim s t [F (t) F (s)] = F (t) F (t ). Also ist die linksseitige Stetigkeit von F in t äquivalent zu µ F {t} = 0. Da F rechtsseitig stetig in t nach Voraussetzung ist, folgt (ii). (iii) F ist monoton nicht fallend, da aus s t folgt F (s) = µ(]0, s]) µ(]0, t]) = F (t). Die rechtsseitige Stetigkeit von F folgt aus der absteigenden Stetigkeit von Maßen. Es ist µ(]0, t]) = F (t) = µ F (]0, t]) für t 0 und daher µ = µ F auf B(]0, [) nach. (iv) Nach ist F µ F eine Abbildung von den monton nicht fallenden, rechtsseitig stetigen Funktionen mit F (0) = 0 in die Menge aller Borel-Maße über ]0, [, die endlich über allen ]0, t] sind. Aus F 1 (t) F 2 (t) für ein t > 0 folgt µ F 1(]0, t]) µ F 2(]0, t]). Die angegebene Abbildung ist also injektiv. Die Abbildung ist surjektiv nach (iii) Zerlegungseigenschaft von g impliziert Zerlegungseigenschaft von µ g Sei g : [0, [ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschränkter Variation mit Darstellung g = g(0)+f 1 F 2, g = F 1 +F 2 gemäß Dann sind g, F 1, F 2 drei Funktionen die den Voraussetzungen von F in 5.25 genügen. Die zu g, F 1 und F 2 gehörigen Maße Borel-Maße µ g, µ F 1 und µ F 2 genügen dann folgenden Bedingungen. µ g = µ F 1 + µ F 2. (ii) (iii) (iv) Für A B(]0, [) gilt µ g (A) = 0 µ F 1(A) = µ F 2(A) = 0. Für t > 0 gilt: g ist stetig in t g ist stetig in t µ g ({t}) = 0. Ist f Borel-messbar so gilt: f ist bzgl. µ g -integrierbar f ist bzgl. µ F 1 und µ F 2 integrierbar. Für µ g -integrierbares f gilt f dµ g = f dµ F 1 + f dµ F 2. (v) Haben wir eine weitere Zerlegung g = g(0) + F 1 F 2 mit F 1, F 2 die (II) von 5.24 (ii) erfüllen, so gilt µ F i µ F i für i = 1, 2 und µ g µ F 1 + µ F 2. Beweis. Man beachte, dass h(t) := g(t) g(0) eine Funktion ist, die den Voraussetzungen 5.24 erfüllt mit h = g. Hieraus folgt die angegebene Zerlegung mit [5] 16 C5(WS08/09)

17 Die Brownsche Bewegung Auf Grund des Eindeutigkeitssatzes für Maße reicht es für t > 0, wegen (µ F 1 + µ F 2)]0, t] = µ F 1(]0, t]) + µ F 2(]0, t]), zu zeigen µ g (]0, t]) = µ F 1(]0, t]) + µ F 2(]0, t]). Dies folgt unmittelbar aus der Zerlegungseigenschaft von g µ g (]0, t]) = 5.25 g (t) = F 1 (t) + F 2 (t) = 5.25 µ F 1(]0, t]) + µ F 2(]0, t]). (ii) folgt unmittelbar aus. (iii) Die erste Äquivalenz folgt aus 5.24 (iv). Die zweite aus 5.25 (ii) angewandt auf F := g. (iv) Man zeigt in der üblichen Weise, dass wegen für nicht negative Borel-messbare Funktionen f gilt: f dµ g = f dµ F 1 + f dµ F 2. Hieraus erhält man (iv). (v) Erfolgt in Übungsaufgabe 44. Sei f : ]0, [ R B(]0, [)-messbar, dann heißt f Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl. g, wenn f bzgl. µ g B(]0, [) integrierbar im Sinne der Stochastik (I) ist. Nach 5.26 (iv) ist dies auch äquivalent zu f ist bzgl. µ F 1 und µ F 2 integrierbar Das Lebesgue-Stieltjes Integral Sei g : [0, [ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschränkter Variation. Dann nennt man L(g) := L(µ g ), das System der Lebesgue-Stieltjes integrierbaren Funktionen bzgl. g. Man setzt für f L(g) f dg := f dµ F 1 f dµ F 2. Ist f : [a, b] R mit 0 a < b, so setzt man { f(x) für x ]a, b] f ]a,b] (x) = 0 für x ]0, [\]a, b]. Nach Definition in 5.27 ist L(g) = L(g g(0)) und fdg = fd(g g(0)) für f L(g). Ist F : [0, [ R rechtsseitig stetig und monoton nicht fallend und F (0) = 0, so ist L(F ) = L(µ F ) und f df = f dµ F. Als Eigenschaften erhalten wir mit Hilfe der Stochastik I: C5(WS08/09) [5] 17

18 Finanzmathematik I 5.28 Eigenschaften des Lebesgue-Stieltjes Integrals Sei g : [0, [ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschränkter Variation. Dann gilt: L(g) ist R-linearer Raum der mit f auch f enthält, und L(g) f f dg ist R-linear. (ii) Sind f n, f B(]0, [)-messbar und f n f µ g -f.ü. mit f n h µ g f.ü. und h L(g), dann folgt f n, f L(g) und f n dg f dg. (iii) Ist f = n α ν 1 ]xν,yν] mit 0 x ν < y ν, so gilt f L(g) und (iv) (v) f dg = n α ν (g(y ν ) g(x ν )). Ist f : [a, b] R linksseitig stetig mit rechtsseitigen Grenzwerten und 0 a < b, so ist f ]a,b] L(g). Für f L(g) gilt f dg f d g = f dµ g. (vi) Ist A B(]0, [) mit µ g (A) = 0, so ist A f dg = 0 für jede B(]0, [)- messbare Funktion f. Beweis. L(g) = L(µ g ) ist nach Stochastik I ein R-linearer Raum, der mit f auch f enthält. Die R-Linearität von L(g) f f dg folgt nach Stochastik I wegen f dg = f dµ F 1 f dµ F 2. (ii) Da h L(µ g ), ist h L(µ F i) für i = 1, 2 nach 5.26 (iv). Aus 5.26 (ii) folgt f n f µ F i f.ü. und f n, f h µ F i-f.ü.. Somit sind nach Stochastik I dann f n, f L(µ F i) mit f n dµ F i f dµ F i für i = 1, 2. Die Behauptung folgt aus fn dg = f n dµ F i f n dµ F 2, f dg = f dµ F 1 f dµ F 2. (iii) Nach ist f dg = n α ν 1]xν,y ν]dg. Die Behauptung folgt nun aus i=1 1]xν,y ν]dg = Def. 1]xν,y ν]dµ F 1 1 ]xν,y ν]dµ F 2 = µ F 1(]x ν, y ν ]) µ F 2(]x ν, y ν ]) = F 1 (y ν ) F 1 (x ν ) (F 2 (y ν ) F 2 (x ν )) = g(y ν ) g(x ν ). (iv) Eine linksseitig stetige Funktion f : [a, b] R mit rechtsseitigen Grenzwerten ist gleichmäßiger Limes von Treppenfunktion und somit insbesondere beschränkt und Borelmessbar. Also ist f ]a,b] Borel-messbar mit f ]a,b] c1 ]a,b]. Da c1 ]a,b] L(µ g ) ist, ist f ]a,b] L(µ g ) (wende (ii) an auf f n = f := f ]a,b] ) [5] 18 C5(WS08/09)

19 (v) Es gilt f dg = f dµ F 1 f dµ F 2 f dµ F 1 + f dµ F 2 f dµ F 1 + f dµ F 2 = f dµ g (iv) St.I (vi) Da 1 A f = 0 µ g f.ü. ist, ist 1 A f L(g) mit f dg = 1 A f dg 1A f dµ g = 0. A (v) Die Brownsche Bewegung Im Folgenden zeigen wir, dass eine linksseitig stetige Funktion f : [a, b] R mit rechtsseitigen Grenzwerten auch Riemann-Stieltjes integrierbar ist, und dass das Riemann-Stieltjes Integral b a f dg gleich dem Lebesgue-Stieltjes Integral f ]a,b] dg ist Zusammenhang zwischen dem Riemann-Stieltjes Integral und dem Lebesgue-Stieltjes Integral Sei g : [0, [ R eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschränkter Variation. Sei 0 a < b und f : [a, b] R eine linksseitig stetige Funktion mit rechtsseitigen Grenzwerten. Dann gilt: (ii) (iii) Das Riemann-Stieltjes Integral b a f dg von f bzgl. g [a, b] existiert. Das Lebesgue-Stieltjes Integral f ]a,b] dg existiert, und es gilt b a f(x)g(dx) := b a f dg = f ]a,b] dg =: f ]a,b] (x)g(dx). Ist f : [a, b] R sogar stetig, dann gilt für jede reguläre Zerlegungsfolge und beliebigen ξν n [x n ν 1, xn ν ], dass Z a,b n k n f(ξ n ν )[g(x n ν ) g(x n ν 1 )] b a f dg. Beweis. Das Lebesgue-Stieltjes Integral f ]a,b] dg existiert nach 5.28 (iv). Sei nun Z a,b n eine reguläre Zerlegungsfolge. Dann reicht es zum Nachweis von und (ii) zu zeigen (1) k n f(x n ν 1 )[g(xn ν ) g(x n ν 1 )] f ]a,b] dg. Aus (1) folgt dann nämlich die Existenz des Riemann-Stieltjes Integrals mit b a f dg = f]a,b] dg. Zum Nachweis von (1) setze: (2) f n (x) := kn f(x n ν 1 )1 ]x n ν 1,xn ν ](x) :]0, [ R. Sei c := sup f(x). Dann gilt c < (f besitzt links- und rechtsseitige Grenzwerte) und x [a,b] (3) f n (x) c1 ]a,b] L(g). Zum Nachweis von (1) reicht es zu zeigen C5(WS08/09) [5] 19

20 Finanzmathematik I (4) f n (x) f ]a,b] (x) für x ]0, [. Aus (3) und (4) folgt dann nämlich nach 5.28 k n f(x n ν 1 )[g(xn ν ) g(x n 5.28 (iii) ν 1 )] = f n dg 5.28(ii) f]a,b] dg. Zu (4): Nach Definition von f n und f ]a,b] reicht es (4) für x ]a, b] zu beweisen. Nun gibt es zu x ]a, b] für jedes n genau ein ν(n) N mit x ]x n ν(n) 1, xn ν(n) ]. Es ist dann f n (x) = f(x n ν(n) 1 ) mit x ν(n) 1 < x und x ν(n) 1 x, da δ(zn a,b ) 0. Da f linksseitig stetig ist, gilt daher f n (x) = f(x n ν(n) 1 ) f(x), d.h. es gilt (4). (iii) Wegen (1) reicht es zu zeigen (5) a n := kn [f(x n ν 1 ) f(ξn ν )][g(x n ν ) g(x n ν 1 )] Da f gleichmäßig stetig auf [a, b] ist, folgt (5) wegen V [a,b] (g) < aus 0. sup f(x n ν 1 ) f(ξn ν ) 0. Hieraus folgt 1 ν k n a n sup f(x n ν 1 ) f(ξn ν ) kn g(x n ν ) g(x n ν 1 ) 1 ν k n sup f(x n ν 1 ) f(ξn ν ) V a,b (g) 0. 1 ν k n Auf Grund des Satzes 5.29 (ii) schreiben wir auch b a f dg für das Lebesgue-Stieltjes- Integral von f ]a,b]. Wir definieren noch 5.30 Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen Sei g eine rechtsseitig stetige Funktion von lokal beschränkter Variation und f : ]0, [ R eine B(]0, [)-messbare Funktion. f heißt lokal bzgl. g Lebesgue- Stieltjes integrierbar, wenn f ]0,t] = 1 ]0,t] f für jedes t 0 bzgl. g Lebesgue-Stieltjes integrierbar ist. Wir setzen b a f dg := 1 ]a,b] f dg für bzgl. g lokal Lebesgue- Stieltjes integrierbare Funktionen f Lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbare Funktionen werden durch Integration zu Funktionen von lokal beschränkter Variation Sei g : [0, [ R rechtsseitig stetig und von lokalbeschränkter Variation. f :]0, [ R lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl. g. Setze h(t) := t 0 f dg für t 0. Sei [5] 20 C5(WS08/09)

21 Die Brownsche Bewegung h ist rechtsseitig stetig und von lokal-beschränkter Variation mit h(0) = 0. (ii) Mit g ist auch h stetig in t > 0. (iii) (iv) Sei k : ]0, [ R linksseitig stetig und besitze rechtsseitige Grenzwerte. Dann ist k lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar bzgl. h und k f bzgl. g, und es gilt t 0 k dh = t 0 k f dg. Sei k :]0, [ R Borel-messbar. Dann ist 1 ]0,t] k genau dann bzgl. h-integrierbar, wenn 1 ]0,t] kf bzgl. g integrierbar ist, und es gilt bei Integrierbarkeit t 0 k dh = t 0 kf dg. Beweis. - (iii) Übungsaufgabe 45. (iv) Beweisskizze: In wird bewiesen V s,t (h) 1 ]s,t] f dµ g. Man zeigt als Verschärfung hiervon µ h (]s, t]) = Def. V s,t (h) = 1 ]s,t] f dµ g. Hieraus folgt nach dem Eindeutigkeitssatz für Maße µ h (B) = 1 B f dµ g für B B(]0, [). Hieraus folgt für nicht negative Borel-messbare u :]0, [ [0, [ udµ h = u f dµ g. Betrachtet man u := k 1 ]0,t], so folgt die Aussage über die Äquivalenz der Integrierbarkeiten. Zum Nachweis über die Gleichheit der Integrale können wir k 0 mit Träger in ]0, t] voraussetzen. Analog zum Eindeutigkeitssatz für Maße zeigt man, dass aus 1]s,u] dh = h(u) h(s) = 1 ]s,u] f dg folgt (3) 1B dh = 1 B f dg für B B(]0, t]). Sei nun 0 e n eine Folge von elementaren B(]0, [)-messbaren Funktionen mit Träger in ]0, t] und e n k. Es sei k bzgl. h integrierbar und somit k f bzgl. g. Dann folgt, wegen e n f k f, durch zweimalige Anwendung von 5.28 (ii) Wegen k = k1 ]0,t] folgt die Behauptung. k dh = lim en dh = lim en f dg (3) = kf dg. Die zur Beschreibung von Aktienkursen (S t ) t 0 benutzten stetigen Semimartingale (siehe auch Definition 2.1) werden definiert durch S t = M t + V t, hierbei ist (M t ) t 0 ein stetiges (lokales) Martingal und (V t ) t 0 ein stetiger l.b.v. Prozess im Sinne von Definition C5(WS08/09) [5] 21

22 Finanzmathematik I 5.32 L.b.V. Prozesse Ein bzgl. der Filtration (A t ) t 0 adaptierter, reellwertiger stochastischer Prozess (V t ) t 0 heißt ein v.l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0, wenn für alle ω Ω gilt [0, [ t V (t, ω) ist rechtsseitig stetig und von lokalbeschränkter Variation. Gilt zusätzlich V 0 (ω) 0, so sprechen wir von einem l.b.v.-prozess. Ein adaptierter Prozess (V t ) t 0 ist also genau dann ein l.b.v. Prozess, wenn für jedes feste ω Ω die Funktion [0, [ t V (t, ω) eine rechtsseitig stetige Funktion von lokalbeschränkter Variation mit V (0, ω) = 0 ist, d.h. für jedes ω Ω eine l.b.v. Funktion ist. Man bilde nun für festes ω die Zerlegung von V ω (t)(:= V (t, ω)) in A 1 (t, ω) := F1 ω (t) und A 2 (t, ω) := F2 ω(t) gemäß Satz Schreibt man V (t, ω) für V ω (t), so gilt (1) V (t, ω) = V 0 (ω) + A 1 (t, ω) A 2 (t, ω), (2) V (t, ω) = A 1 (t, ω) + A 2 (t, ω). Wir werden zeigen, dass A 1, A 2 und V monoton nicht-fallende Prozesse im Sinne der folgenden Definition sind Monoton nicht fallende Prozesse Ein l.b.v.-prozess (A t ) t 0 bzgl. (A t ) t 0 heißt ein monton nicht fallender Prozess bzgl. (A t ) t 0, wenn für alle ω Ω gilt [0, [ t A(t, ω) ist monoton nicht fallend. Für das folgende Ergebnis benutzen wir insbesondere den Satz 5.23, um die Adaptiertheit von (A 1 t ) t 0, (A 2 t ) t 0 und ( V t ) t 0 zu beweisen Von einem v.l.b.v. Prozess abgeleitete monoton nicht fallende Prozesse Es sei (V t ) t 0 ein v.l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0. (ii) Die Prozesse (A 1 t ) t 0, (A 2 t ) t 0 und ( V t ) t 0 sind monoton nicht fallende Prozesse bzgl. (A t ) t 0 mit V = V 0 + A 1 A 2, V = A 1 + A 2. Ist (V t ) t 0 darüber hinaus ein Prozess mit stetigen Pfaden, so besitzen auch (A 1 t ) t 0, (A 2 t ) t 0 und ( V t ) t 0 stetige Pfade. Beweis. Nach Vorüberlegung erhalten wir die angegebene Darstellung für V und V. Aus 5.24 folgt, dass für festes ω jeder der Pfade t A 1 t (ω), t A2 t (ω) [5] 22 C5(WS08/09)

23 Die Brownsche Bewegung und t V t (ω) rechtsseitig stetig und monoton nicht fallend mit A 1 0 (ω) = A2 0 (ω) = V 0 (ω) = 0 ist. Es bleibt zu zeigen, dass für t > 0 gilt: A 1 t, A2 t, V t sind A t-messbar. Da (V t ) t 0 nach Voraussetzung adaptiert ist, und (1) A 1 = 1/2(V V 0 + V ), A 2 = 1/2( V (V V 0 )) sind, reicht es zu zeigen (2) V t ist A t -messbar. Nun ist für festes ω die Funktion s V s (ω) rechtsseitig stetig. Wir können daher für festes t ein von ω unabhängige, reguläre Zerlegungsfolge Zn 0,t von [0, t] wählen mit (benutze 5.23) (3) Wegen x n ν k n V (x n ν, ω) V (x n ν 1, ω) t und der Adaptiertheit von (V t ) t 0 ist kn V (t, ω). V (x n ν, ω) V (x n ν 1, ω) eine A t -messbare Funktion für jedes n N. Aus (3) folgt daher die A t -Messbarkeit von V t. (ii) Nach Satz 5.24 (iv) ist ( V t ) t 0 ein Prozess mit stetigen Pfaden. Die Stetigkeit der Pfade der übrigen Prozesse folgt aus (1). X :]0, [ Ω R d heißt progressiv messbar, wenn für jedes t > 0 gilt: X : ]0, t] Ω ist B(]0, t]) A t -messbar. Also ist X : [0, [ Ω R progressiv messbar im Sinne von 4.28, wenn X 0 A 0 -messbar und (X t ) t>0 progressiv messbar im gerade definierten Sinne ist Durch punktweise Lebesgue-Stieltjes Integration bzgl. eines v.l. b.v. Prozesses entsteht ein l.b.v. Prozess Sei (V t ) t 0 ein v.l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0 und (X t ) t>0 ein progressiv messbarer Prozess. Es sei die Funktion ]0, [ t X(t, ω) für jedes feste ω bzgl. [0, [ t V (t, ω) lokal Lebesgue-Stieltjes integrierbar. Dann gilt (ii) (iii) Y (t, ω) := t 0 X(s, ω)v (ds, ω) ist ein l.b.v. Prozess bzgl. (A t) t 0. (Y t ) t 0 besitzt stetige Pfade, wenn (V t ) t 0 stetige Pfade besitzt. Sei (Z t ) t>0 ein progressiv messbarer Prozess, dann gilt t 0 Z(s, ω)y (ds, ω) = t 0 Z(s, ω)x(s, ω)v (ds, ω) in dem Sinne, dass das Integral auf der linken Seite genau dann existiert, wenn das Integral auf der rechten Seite existiert, und bei Existenz dann beide Integrale gleich sind. Beweis. (ii) folgt aus 5.31 und (ii); (iii) aus 5.31 (iv) durch Anwendung auf jedes feste ω Ω. folgt bis auf die A t -Messbarkeit von Y t aus Zur A t -Messbarkeit von Y t : Wegen C5(WS08/09) [5] 23

24 Finanzmathematik I t 0 Def t X(s, ω)v (ds, ω) = 0 X(s, 5.34 ω)a1 (ds, ω) t 0 X(s, ω)a2 (ds, ω), dürfen wir A := V als monoton nicht fallenden Prozess voraussetzen. Damit können wir, wegen X = X + X, X als nicht-negativen progressiv messbaren Prozess ansehen. In Übungsaufgabe 46 wird sogar gezeigt: (1) X :]0, [ Ω [0, ] progressiv messbar 1 ]0,t] X(s, ω)a(ds, ω) ist A t -messbar Bemerkung Ist(X t ) t>0 ein nicht-negativer, progressiv-messbarer Prozess und (A t ) t 0 ein monotoner Prozess, so folgt aus (1) des Beweises von 5.35 t 0 X(s, ω)a(ds, ω) ista t-messbar. Insbesondere erhalten wir hieraus (ii) X(s, ω)a(ds, ω) ist A -messbar. Beweis. (ii) folgt aus, da nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt n 0 X(s, ω)a(ds, ω) X(s, ω)a(ds, ω). Zum Vergleich mit der stochastischen Integration benötigen wir noch 5.37 Stetig differenzierbare Funktionen von stetigen v.l.b.v.-prozessen sind v.l.b.v.-prozesse Es sei V ein stetiger v.l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0 und f : R R stetig differenzierbar, dann ist (f(v t )) t 0 ein stetiger v.l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0 mit f(v t (ω)) = f(v 0 (ω)) + t 0 f (V s (ω))v (ds, ω). Beweis. Es ist s f (V s )nach Voraussetzung stetig, und ω f (V s (ω)) ist A s - messbar. Somit ist X(s, ω) := f (V s (ω)) progressiv messbar, nach Es ist daher t 0 f (V s )V (ds, ω) ein stetiger l.b.v. Prozess bzgl. (A t ) t 0 nach (ii), und es ist f(v 0 ) A 0 -messbar. Wenn also die im Satz angegebene Darstellung gilt, ist (f(v t )) t 0 ein stetiger v.l.b.v. Prozes bzgl. (A t ) t 0. Es bleibt also die Darstellung zu beweisen. Sei nun Zn 0,t eine reguläre Zerlegungsfolge von [0, t] und ω Ω fest, dann gilt mit einer Zwischenstelle ξν n = ξν n (ω) [x n ν 1, xn ν ] nach dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung (1) f(v t ) f(v 0 ) = kn (f(v x n ν ) f(v x n ν 1 )) = kn f (V ξ n ν )(V x n ν V x n ν 1 ). Wir wenden nun 5.29 (iii) an (bei festem ω) auf f(t) := f (V t (ω)), g(t) := V t (ω) und erhalten [5] 24 C5(WS08/09)

25 Die Brownsche Bewegung k n Hieraus folgt mit (1) die Behauptung. f t (V ξ n ν )(V x n ν V x n ν 1 ) 0 f (V s (ω))v (ds, ω). Ist V ein stetiger v.l.b.v. Prozess, dann gilt mit f(t) := t 2 nach V 2 t (ω) = V 2 0 (ω) + 2 t 0 V s(ω)v (ds, ω). C5(WS08/09) [5] 25