4 Das Riemann-Integral im R n

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1 $Id: nintegral.tex,v /11/27 14:07:09 hk Exp hk $ 4 Das Riemann-Integral im R n 4.3 Jordan-meßbare engen In der letzten Sitzung hatten wir schließlich das n-dimensionale Riemann-Integral auch auf die Integration von Funktionen f : R die auf einer Jordan-meßbaren Teilmenge R n definiert sind ausgedehnt. Hierzu hatten wir diese In- b r tegrale durch ultiplikation mit der charakteristischen Funktion des Integrationsbereich auf die Integration über einen umfassenden, nicht ausgearteten uader zurückgeführt. Insbesondere konn- B ten wir damit das Volumen Jordan-meßbarer engen definieren, dieses war gleich dem Integral x a vol() = dx, und als ein Beispiel hatten wir bereits nachgerechnet das die Fläche eines Kreises genau der erwartete elementargeometrische Wert ist. Der Begriff einer Jordan-meßbaren enge hängt eng mit den schon früher eingeführten Jordanschen Nullmengen zusammen, dies hatte sich bereits bei der Besprechung der Kugeln im R n angedeutet, und wir werden diesen Zusammenhang bald vollständig klären können. Zum Einstieg wollen wir ein weiteres Beispiel rechnen. Seien r > 0 und z = (a, b) R 2 gegeben. Wir haben bereits eingesehen das der Kreis B := B r (z) eine Jordan-meßbare enge ist und wir wollen jetzt das Integral x 2 d(x, y) B berechnen. Zunächst ist B := [a r, a+r] [b r, b+r] und da die stetige Funktion (x, y) x 2 nach Satz 4 auf Riemann-integrierbar ist, ist diese nach Lemma 9 auch über B Riemann-integrierbar mit x 2 d(x, y) = x 2 χ B (x, y) d(x, y). B Auf dieses Integral wollen wir jetzt den Satz von Fubini Satz 8 anwenden. Denken wir uns zunächst einmal x [a r, a + r] fixiert. Für y [b r, b + r] ist dann χ B (x, y) = 1 wenn (x, y) B, also (x a) 2 + (y b) 2 r 2, ist und χ B (x, y) = 0 sonst. Nun ist (x a) 2 + (y b) 2 r

2 gleichwertig zu beziehungsweise für jedes y [b r, b + r], also wird (y b) 2 r 2 (x a) 2 y b r 2 (x a) 2 x 2 χ B (x, y) = x 2 χ [b r 2 (x a) 2,b+ r (y). 2 (x a) 2 ] Dies ist eine Treppenfunktion und damit Riemann-integrierbar mit b b x 2 χ B (x, y) dy = b b x 2 χ [b r 2 (x a) 2,b+ r (y) dy = 2x2 r 2 (x a) 2. 2 (x a) 2 ] Damit können wir jetzt den Satz von Fubini Satz 8 anwenden und erhalten a+r b+r a+r x 2 d(x, y) = x 2 χ B (x, y) dy dx = 2x 2 r 2 (x a) 2 dx. B a r b r Substituieren wir x = a+r sin t mit t π/2, so wird dx/dt = r cos t also dx = r cos t dt und somit π/2 x 2 d(x, y) = 2r 2 (a + r sin t) 2 cos 2 t dt. Nun sind π/2 π/2 π/2 also ist insgesamt B a r π/2 cos cos(2t) t dt = dt = π sin(2t) 4 sin t cos 2 t dt = cos3 π/2 t 3 = 0 und sin 2 t cos 2 t dt = 1 4 π/2 sin 2 (2t) dt = 1 4 π/2 π/2 1 cos(4t) 2 = π 2, dt = π 8, π/2 2r 2 (a + r sin t) 2 cos 2 t dt π/2 π/2 π/2 = 2r 2 a 2 cos 2 t dt + 4ar 3 sin t cos 2 t dt + 2r 4 sin 2 t cos 2 t dt = a 2 r 2 π + π 4 r4 und somit B ( ) x 2 d(x, y) = πr 2 a 2 + r

3 Als letzes Beispiel wollen wir dann auch das Volumen einer dreidimensionalen Kugel berechnen. Seien also r > 0 und z = (a, b, c) R 3 gegeben. Wir wollen das Volumen der Kugel B r (z) bestimmen, und verwenden hierfür die folgende Spezialisierung des Satzes von Fubini. Satz 4.11 (Das Cavalieri Prinzip) Seien n, m N mit n, m 1, R m ein nicht ausgearteter uader und R n+m eine Jordan-meßbare enge mit R n. Für jedes y sei der uerschnitt y := {x R n (x, y) } R n eine Jordan-meßbare Teilmenge des R n. Dann ist die Funktion f : R; y vol( y ) Riemann-integrierbar und es gilt vol() = f(y) dy. Beweis: Da die enge R n+m insbesondere beschränkt ist, existiert ein nicht ausgearteter uader R n mit. Da Jordan-meßbar ist, ist die charakteristische Funktion χ : R Riemann-integrierbar. Für jedes y ist y und für alle x gilt (χ ) y (x) = χ (x, y) = χ y (x), d.h. (χ ) y = χ y : R ist Riemann-integrierbar da y R n nach unserer Annahme Jordan-meßbar ist. Nach dem Satz von Fubini Satz 8 ist die Funktion f : R; y (χ ) y = χ y = vol( y ) Riemann-integrierbar und es gilt vol() = χ = f. Wie der Beweis gezeigt hat ist dies kein wirklich neuer Satz sondern nur ein ausformulierter Spezialfall des Satzes von Fubini. Wie angekündigt wenden wir das Cavalieri Prinzip auf unsere dreidimensionale Kugel B = B r (z) R 2 [c r, c+r] an. Für jedes z [c r, c + r] ist B z R 2 die enge aller (x, y) R 2 mit (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 r 2 (x a) 2 + (y b) 2 r 2 (z c) 2, 11-3

4 d.h. B z ist ein Kreis im R 2 mit ittelpunkt (a, b) und Radius r 2 (z c) 2. Insbesondere ist B z Jordan-meßbar mit vol(b z ) = π (r 2 (z c) 2 ). Das Cavalieri Prinzip Satz 11 liefert damit c+r ( vol(b) = π(r 2 (z c) 2 ) dz = π 2r 3 c r r r ) z 2 dz = π (2r 3 23 ) r3 = 4 3 πr3, und dies ist die wohlbekannte elementargeometrische Formel für das Kugelvolumen. Wir wollen uns jetzt einige allgemeine Tatsachen über Jordan-meßbare engen und den Volumenbegriff klarmachen. Da charakteristische Funktionen keine negativen Werte annehmen ist das Volumen vol() einer Jordan-meßbaren enge R n nach Lemma 5.(d) immer nichtnegativ, also vol() 0. Es kann durchaus vorkommen, dass das Volumen einer nicht leeren enge gleich Null ist, zum Beispiel tritt dies für ausgeartete uader auf. Das folgende Lemma zeigt uns das die Jordan-meßbaren engen mit Volumen Null genau die schon früher eingeführten Jordanschen Nullmengen sind. Lemma 4.12 (Charakterisierung Jordanscher Nullmengen) Seien n N mit n 1 und N R n eine beschränkte enge. Dann ist N genau dann eine Jordansche Nullmenge wenn N Jordan-meßbar mit vol(n) = 0 ist. Beweis: Wähle einen nicht ausgearteten uader R n mit N. = Für jedes x \N gilt χ N (x) = 0, also ist χ N nach Lemma 6.(d) Riemannintegrierbar, d.h. die enge N ist Jordan-meßbar, mit vol(n) = χ N = 0 = 0. = Sei ɛ > 0 gegeben. Wegen χ N = χ N = vol(n) = 0 existiert eine Zerlegung α von mit S(χ N ; α) < ɛ. Nach einem Beispiel des ersten Abschnitts haben wir damit auch vol( j ) = S(χ N ; α) < ɛ. j I α N j Andererseits ist auch N j, j I α N j und damit ist N eine Jordansche Nullmenge. Unser Volumenbegriff erfüllt die üblichen elementargeometrischen Eigenschaften die man von einem solchen Begriff erwartet. Diese ergeben sich alle durch kleine Rechnungen mit charakteristischen Funktionen. Angenommen wir haben zwei Teilmengen 11-4

5 A, B R n. Für x R n ist dann entweder x A B und wir haben χ A (x) = χ B (x) = 1 und somit χ A (x) χ B (x) = 1, oder x / A B also x / A oder x / B, d.h, χ A (x) = 0 oder χ B (x) = 0 und in beiden Fällen ist damit χ A (x) χ B (x) = 0. Diese Überlegung zeigt χ A (x) χ B (x) = χ A B (x) für jedes x R n, also χ A χ B = χ A B. Insbesondere ist χ A χ B = 0 wenn A B = ist. Weiter behaupten wir das auch χ A B + χ A B = χ A + χ B gilt. Sei hierzu x R n gegeben. Wir müssen dann vier verschiedene Fälle unterscheiden. Im Fall x / A B ist χ A B (x) = χ A B (x) = χ A (x) = χ B (x) = 0 und unsere Behauptung ist klar. Nun nehmen wir x A B, also χ A B (x) = 1 an. Ist sogar x A B, so haben wir auch χ A B (x) = χ A (x) = χ B (x) = 1, und unsere Behauptung ist wieder klar. Nehme schließlich x / A B, also χ A B (x) = 0 beziehungsweise χ A B (x)+χ A B (x) = 1 an. Dann gilt entweder x A, x / B oder x / A, x B, d.h. χ A (x) = 1, χ B (x) = 0 oder χ A (x) = 0, χ B (x) = 1. In beiden Fällen ist χ A (x)+χ B (x) = 1 und die Behauptung ist auch in diesem Fall bewiesen. Ist schließlich B A, so ist A die disjunkte Vereinigung A = B (A\B), also χ B + χ A\B = χ A, und dies bedeutet χ A\B = χ A χ B. Damit kommen wir zu unserem Lemma über das Volumen. Lemma 4.13 (Grundeigenschaften des Volumens) Sei n N mit n 1 und seien A, B R n zwei Jordan-meßbare engen. (a) Ist A B so gilt vol(a) vol(b). (b) Die engen A B und A B sind wieder Jordan-meßbar und es gilt vol(a B) + vol(a B) = vol(a) + vol(b). (c) Ist A B eine Jordansche Nullmenge, so gilt vol(a B) = vol(a) + vol(b). (d) Ist B A, so ist auch A\B eine Jordan-meßbare enge und es gilt vol(a\b) = vol(a) vol(b). Beweis: Wähle einen nicht ausgearteten uader R n mit A B. (a) Wegen χ A (x) χ B (x) für alle x gilt nach Lemma 5.(d) auch vol(a) = χ A χ B = vol(b). 11-5

6 (b) Zunächst ist χ A B = χ A χ B nach Lemma 5.(b) wieder Riemann-integrierbar, d.h. A B ist eine Jordan-meßbare enge. Weiter ist χ A B = χ A + χ B χ A B nach Lemma 5.(a,c) wieder Riemann-integrierbar, d.h. auch A B ist Jordan-meßbar, und nach Lemma 5.(a) gilt vol(a B) + vol(a B) = χ A B + χ A B = (χ A B + χ A B ) = (χ A + χ B ) = χ A + χ B = vol(a) + vol(b). (c) Nach Lemma 12 ist vol(a B) = 0, also ergibt (b) auch vol(a B) = vol(a)+vol(b). (d) Wegen χ A\B = χ A χ B ist χ A\B nach Lemma 5.(a,c) Riemann-integrierbar, d.h. A\B ist Jordan-meßbar, und nach (c) gilt schließlich auch vol(a) = vol(b)+vol(a\b), also vol(a\b) = vol(a) vol(b). Wir schauen uns einige kleine Beispiele an. Seien n N mit n 1 und z R n. Sei weiter r > 0. Dann wissen wir bereits das B r (z) eine Jordan-meßbare enge ist und das S := {x R n : x z 2 = r} eine Jordansche Nullmenge ist. Nach Lemma 13.(d) ist damit auch die offene Kugel B r (z) = B r (z)\s Jordan-meßbar und es gilt vol(b r (z)) = vol(b r (z)) vol(s) = vol(b r (z)). Sind weiter etwa 0 < r < s gegeben, so können wir die Kugelschale B r,s (z) := {x R n r x 2 s} betrachten. Wegen B r,s (z) = B s (z)\b r (z) ist B r,s (z) nach Lemma 13.(d) eine Jordanmeßbare enge mit vol(b r,s (z)) = vol(b s (z)) vol(b r (z)) = vol(b s (z)) vol(b r (z)). Für den ebenen Fall n = 2 ergibt sich beispielsweise die Fläche des Kreisrings B r,s (z) als vol(b r,s (z)) = π(s 2 r 2 ). Als nächstes Beispiel wollen wir uns überlegen das auch Halbkugeln Jordan-meßbare engen sind. Wir nehmen beispielsweise die obere Halbkugel Bilden wir den nicht ausgearteten uader B + r (z) := {x B r (z) x n z n }. n 1 := [z k r, z k + r] [z n, z n + r] R n, k=1 11-6

7 so sind und B r (z) zwei Jordan-meßbare engen und nach Lemma 13.(b) ist auch B + r (z) = B r (z) eine Jordan-meßbare enge. Das Volumen der Halbkugel B + r (z) wird genau das halbe Volumen der ganzen Kugel B r (z) sein, einen Beweis hierfür werden wir aber erst im nächsten Abschnitt behandeln. Hier wollen wir dies im ebenen Fall n = 2 einmal direkt nachrechnen. Schreiben wir wiedet z = (a, b), so wird B + r (z) = {(x, y) R 2 (x a) 2 + (y b) 2 r 2, y b}, also ist analog zur früheren Berechnung der Kreisfläche auch vol(b + r (z)) = a+r b+ r 2 (x a) 2 a r b dy dx = a+r a r r2 (x a) 2 dx = π 2 r2. Das letztere Integral hatten wir dabei schon am Ende der letzten Sitzung berechnet. Als letztes Beispiel schauen wir uns jetzt eine zusammengesetzte enge an. Sei r > 0 gegeben. Dann bilden wir im R 2 das uadrat := [0, 2r] [0, 2r] der Kantenlänge 2r und den Halbkreis B + := B + r (r, 2r) mit Radius r und ittelpunkt B + (r, 2r). Die Vereinigung dieser := B + dieser beiden engen ist dann ein uadrat mit aufgesetztem Halbkreis, wie im nebenstehenden Bild gezeigt. Da wir bereits wissen dass das uadrat und der Halbkreis B + beide Jordan-meßbar sind, ist nach Lemma 13.(b) auch die Vereinigung der beiden eine Jordan-meßbare enge. Da B + = [0, 2r] {2r} ein ausgearteter uader und somit eine Jordansche Nullmenge ist, haben wir nach Lemma 13.(c) auch vol() = vol() + vol(b + ) = (2r) 2 + π ( 2 r2 = 4 + π ) r 2. 2 Nach diesen Beispielen wollen wir jetzt unsere theoretischen überlegungen etwas fortsetzen. Wir haben bereits eingesehen das Jordansche Nullmengen immer auch Jordanmeßbar sind. Tatsächlich zeigt uns der nächste Satz das der Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen noch sehr viel enger ist. Satz 4.14 (Charakterisierung der Jordan-meßbaren engen) Seien n N mit n 1 und R n eine beschränkte Teilmenge. Dann ist genau dann Jordan-meßbar wenn der Rand von eine Jordansche Nullmenge ist. Beweis: Wähle einen nicht ausgearteten uader R n mit. Dann ist weiter auch. = Sei ɛ > 0 gegeben. Da die charakteristische Funktion χ : R Riemannintegrierbar ist, gibt es nach Satz 2 eine Zerlegung α von mit S(χ ; α) S(χ ; α) < ɛ

8 Wegen ist damit S(χ ; α) = j I α α,j vol( α,j) und S(χ ; α) = j I α α,j vol( α,j ) = S(χ ; α) S(χ ; α) < ɛ 2. vol( α,j ) j I α α,j α,j Für jedes j I α ist der Rand α,j nach einem früheren Beispiel eine Jordansche Nullmenge, also ist nach Lemma 6.(b) auch N := j I α ( α,j ) R n eine Jordansche Nullmenge. Damit existieren uader 1,..., r R n mit r N k und k=1 r vol( k ) < ɛ 2. k=1 Insgesamt ist also T := { 1,..., r } { α,j j I α, α,j, α,j } eine endliche enge von uadern im R n mit vol(p ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. P T Nun zeigen wir das auch T gilt. Sei also x. Dann existiert ein j I α mit x α,j. Ist x α,j N, so gibt es ein 1 k r mit x k T, also auch x T. Nun sei x / α,j, also x α,j. Wegen x ist damit auch α,j, also α,j. Wäre jetzt α,j, so hätten wir nach II. 4.Lemma 17.(c) auch x α,j, im Widerspruch zu x. Also ist α,j, d.h. es ist x α,j T und wir haben auch in diesem Fall x T eingesehen. Damit ist der Rand eine Jordansche Nullmenge. = Da die charakteristische Funktion χ in jedem Punkt x \ stetig ist, ist χ : R nach Lemma 10 Riemann-integrierbar, d.h. ist Jordan-meßbar. Der Satz hat einige wichtige Korollare, die wir jetzt besprechen wollen. Unser Integrierbarkeitskriterium Lemma 10 behandelt nur die Integration über einen nicht ausgearteten uader, und wir haben noch kein Kriterium für die Integrierbarkeit von Funktionen die auf einer allgemeinen Jordan-meßbaren enge definiert sind. Ein solches können wir jetzt aber leicht herleiten. Korollar 4.15: Seien n N mit n 1, R n eine Jordan-meßbare enge, N R n eine Jordansche Nullmenge und f : R eine beschränkte Funktion. Die Funktion f sei in jedem Punkt x \N stetig. Dann ist f über Riemann-integrierbar. 11-8

9 Beweis: Wähle einen nicht ausgearteten uader R n mit und betrachte die fortgesetzte Funktion f : R; x { f(x), x, 0, x /. Nach Satz 14 ist der Rand eine Jordansche Nullmenge, also ist nach Lemma 6.(b) auch N := N eine Jordansche Nullmenge. Sei x \N. Ist dann x /, so ist U := R n \ nach II. 4.Lemma 16.(a) und II. 4.Lemma 17.(d) eine offene enge mit x U und f(y) = 0 für alle y U, also ist f in x stetig. Nun nehmen wir x an. Wegen x / ist dann x \N und somit ist f in x stetig. Da nach II. 4.Lemma 17.(b) eine offene enge mit x und f = f ist, ist damit auch f in x stetig. Damit ist f in jedem Punkt x \N stetig und nach Lemma 10 ist f Riemann-integrierbar, d.h. die Funktion f ist Riemann-integrierbar. Unsere nächsten beiden Anwendungen des Satz 14 betreffen die Konstruktion weiterer Beispielklassen Jordan-meßbarer engen. Wir beginnen dabei mit engen die durch eine Ungleichung eines geeigneten Typs definiert sind. Korollar 4.16 (Durch Ungleichungen definierte Jordan-meßbare engen) Seien n N mit n 1, U R n eine offene enge, f : U R eine stetig differenzierbare Funktion und a R. Die enge := {x U f(x) a} R n sei kompakt und für jedes x U mit f(x) = a sei grad f(x) 0. Dann ist = {x U f(x) = a} und ist eine Jordan-meßbare enge. Beweis: Nach II. 8.Lemma 1.(a) ist R n abgeschlossen und beschränkt, also ist nach II. 4.Lemma 18.(b) auch = \. Wir behaupten jetzt, dass = {x U f(x) < a} gilt. Zunächst ist die enge {x U f(x) < a} = f 1 ((, a)) offen im R n, also gilt nach II. 4.Lemma 17.(c) auch {x U f(x) < a}. Nun sei umgekehrt x mit f(x) = a gegeben. Wäre dann x, so wäre nach II. 4.Lemma 17.(b) eine offene enge mit f(x) = a f(y) für alle y, d.h. x ist ein lokales aximum von f und mit II. 8.Satz 24 folgt der Widerspruch grad f(x) = 0. Dies zeigt = {x U f(x) < a} und somit ist auch = {x U f(x) = a}. Nach dem Satz vom regulären Urbild 3.Korollar 2 ist eine (n 1)-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R n und nach Lemma 6.(f) ist eine Jordansche Nullmenge. Nach Satz 14 ist schließlich Jordan-meßbar. Als zweiten Beispieltyp wollen wir die sogenannten Normalbereiche vorstellen. Diese sind hauptsächlich von rechnerischer und nicht so sehr von theoretischer Bedeutung, und daher beschränken wir uns auf die beiden in expliziten Rechnungen zumeist vorkommenden kleinen Dimensionen n = 2 und n = 3. Beginnen wir mit den zweidimensionalen Normalbereichen. Ein Urbeispiel für diese sind die schon früher betrachteten 11-9

10 Kreisscheiben B = B r (z) mit r > 0 und z = (a, b) R 2. In x- und y-koordinaten aufgelöst konnten wir die enge B schreiben als B = {(x, y) x [a r, a + r], y [b r 2 (x a) 2, b + r 2 (x a) 2 }, d.h. die x-koordinaten durchlaufen ein fixiertes Intervall I = [a r, a+r] und für jedes x I liegen die passenden y-werte in einem Intervall I x = [b r 2 (x a) 2, b + r2 (x a) 2 ] dessen Randpunkte von x abhängen, und sich als stetige Funktionen in x schreiben lassen. Zweidimensionale Normalbereiche sind eine Verallgemeinerung dieses Beispiels. Gegeben seien a, b R mit a < b und zwei stetige Funktionen ϕ, ψ : [a, b] R mit ϕ(x) ψ(x) für alle x [a, b]. Der durch ϕ, ψ gegebene Normalbereich ist dann die enge := {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(y)} R 2. Unsere obige Kreisscheibe ist dann ein Normalbereich, wobei [a r, a + r] das Intervall für die x-koordinaten ist und die untere und obere y-grenze durch die stetigen Funktionen ϕ(x) = b r 2 (x a) 2 und ψ(x) = b + r 2 (x a) 2 gegeben sind. y y ψ (x) b ϕ (x) a b x Normalbereich bezüglich x a ϕ (y) ψ (y) Normalbereich bezüglich y x Analog kann man auch Normalbereiche mit vertauschten Rollen von x und y definieren, diese sind im folgenden immer implizit mit gemeint. Wir wollen uns jetzt überlegen das unser obiger Normalbereich eine Jordan-meßbare Teilmenge des R 2 ist. Um dies einzusehen, betrachten wir die Graphen der Funktionen ϕ und ψ, also F 1 := {(x, ϕ(x)) x [a, b]} und F 2 := {(x, ψ(x)) x [a, b]} und behaupten dass der Rand von genau die enge = ({a} [ϕ(a), ψ(a)]) ({b} [ϕ(b), ψ(b)]) F 1 F 2 ist. Hierzu beachte zunächst das abgeschlossen ist während die enge := {(x, y) R 2 a < x < b, ϕ(x) < y < ψ(x)} offen ist. Nach II. 4.Lemma 17.(b) und II. 4.Lemma 18.(b) sind damit und = \ \. Nun seien umgekehrt (x, y) \ und ɛ > 0 gegeben. Dann 11-10

11 gibt es vier mögliche Fälle. Ist x = a, so ist (a ɛ/2, y) B ɛ (x, y) und (a ɛ/2, y) /. Ist x = b so haben wir analog (b + ɛ/2, y) B ɛ (x, y) mit (b + ɛ/2, y) /. Ist a < x < b und y = ϕ(x), so haben wir (x, ϕ(x) ɛ/2) B ɛ (x, y) mit (x, ϕ(x) ɛ/2) / und im verbleibenden Fall a < x < b, y = ψ(x) ist (x, ψ(x) + ɛ/2) B ɛ (x, y) mit (x, ψ(x) + ɛ/2) /. In allen vier Fällen ist damit B ɛ (x, y) und wir haben (x, y) gezeigt, also ist \. Insgesamt ist damit = \ genau die angegebene enge. Hieraus folgt weiter das der Rand eine Jordansche Nullmenge ist, denn die beiden engen {a} [ϕ(a), ψ(a)] und {b} [ϕ(b), ψ(b)] sind ausgeartete uader und somit Jordansche Nullmengen und F 1, F 2 sind nach Lemma 6.(e) Jordansche Nullmengen, d.h. nach Lemma 6.(b) ist auch die Vereinigung dieser vier engen eine Jordansche Nullmenge. Nach Satz 14 ist damit eine Jordanmeßbare enge. Auch den Satz von Fubini Satz 8 können wir für Normalbereiche noch weiter auswerten. Wir betrachten weiterhin den obigen Normalbereich R 2 und haben weiter eine Riemann-integrierbare Funktion f : R. Für jedes x [a, b] nehmen wir außerdem an, dass die Funktion f x : [ϕ(x), ψ(x)] R; y f(x, y) stets Riemann-integrierbar ist. Wähle dann c, d R mit c < d und c φ(x) ψ(x) d, dies ist immer möglich da die beiden stetigen Funktionen ϕ, ψ nach I. 13.Satz 13 beide beschränkt sind. Weiter bezeichne f : [a, b] [c, d] R wieder die durch f(x, y) = f(x, y) für (x, y) und f(x, y) = 0 für (x, y) ([a, b] [c, d])\ definierte fortgesetzte Funktion. Dann ist auch f Riemann-integrierbar und für jedes x [a, b] ist f x : [c, d] R; y f(x, y) nach II. 2.Lemma 2.(a,c) wieder eine Riemann-integrierbare Funktion mit d ψ(x) f x (y) dy = f(x, y) dy. c Damit ist der Satz von Fubini Satz 8 anwendbar und liefert das die Funktion F : [a, b] R; x d c ϕ(x) f(x, y) dy = ψ(x) ϕ(x) f(x, y) dy Riemann-integrierbar ist mit f(x, y) d(x, y) = [a,b] [c,d] f(x, y) = b d a c f(x, y) dy dx = b ψ(x) a ϕ(x) f(x, y) dy dx. Nach Korollar 15 und II. 2.Satz 8 sind all unsere Voraussetzungen an die Funktion f erfüllt wenn f stetig ist. Als ein ein kleines Beispiel wollen wir uns die enge := {(x, y) R 2 0 x 1, x y 1 + x 2 } R 2 anschauen und die beiden Integrale von x und y über berechnen. Die enge ist ein zweidimensionaler Normalbereich bezüglich der beiden stetigen Funktionen ϕ, ψ : 11-11

12 [0, 1] R definiert durch ϕ(x) = x und ψ(x) = 1 + x 2 für alle x [0, 1]. Die obige Integrationsformel liefert damit und x d(x, y) = y d(x, y) = 1 1+x 2 0 x 1 1+x 2 0 x x dy dx = y dy dx = 1 2 = x (x 2 x + 1) dx = = 5 12 ((1 + x 2 ) 2 x 2 ) dx Als ein zweites Beispiel sei D die von den Kurven (x 4 + x 2 + 1) dx = 1 2 ( ) = y = 1, y = 4x und y = 1 x im R 2 begrenzte Fläche, wie im nebenstehenden Bild gezeigt. Die Fläche D ist ein Normalbereich bezüglich der y-achse. Der größtmögliche y Wert ist im Schnittpunkt der Kurven y = 4x und y = 1/x, also 4x = 1/x beziehungsweise x 2 = 1/4 und somit x = 1/2, y = 2 da ja x > 0 ist. Die linke und rechte Begrenzung von D ist für 1 y 2 durch ϕ(y) = 1 4 y und ψ(y) = 1 y gegeben, also { D = (x, y) R 2 1 y 2, 1 4 y x 1 } y und somit wird vol(d) = D d(x, y) = 2 1/y 1 y/4 dx dy = = ln y y ( 1 y y ) dy 4 = ln = ln , Dreidimensionale Normalbereiche sind analog definiert, die x-variable läuft in einem Intervall, die y-variable in einem von x abhängigen Intervall und die z-variable schließlich in einem von x und y abhängigen Intervall. Etwas formaler sind also a, b R mit a < b, zwei stetige Funktionen ϕ, ψ : [a, b] R mit ϕ(x) ψ(x) für alle x [a, b] 11-12

13 und zwei weitere stetige Funktionen α, β : D R definiert auf dem zweidimensionalen Normalbereich D := {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} mit α(x, y) β(x, y) für alle (x, y) D gegeben, und wir definieren den zugehörigen dreidimensionalen Normalbereich durch := {(x, y, z) R 3 a x b, ϕ(x) y ψ(x), α(x, y) z β(x, y)} = {(x, y, z) R 3 (x, y) D, α(x, y) z β(x, y)}. Wir wollen jetzt auch einsehen das jeder dreidimensionale Normalbereich eine Jordanmeßbare enge ist. Hierzu stellen wir zunächst fest das der zweidimensionale Normalbereich D kompakt ist, und um dies einzusehen, betrachten wir die stetige Funktion f : [a, b] [0, 1] R 2 ; (x, t) (x, (1 t)ϕ(x) + tψ(x)). Dann ist D = f([a, b] [0, 1]) und da [a, b] [0, 1] abgeschlossen und beschränkt, also nach dem Satz von Heine-Borel II. 8.Satz 4 kompakt ist, ist auch das stetige Bild D dieser enge nach II. 8.Lemma 1.(e) kompakt. Nach II. 8.Lemma 1.(d) sind damit die beiden stetigen Funktionen α, β : D R beschränkt, d.h. der Normalbereich R 3 ist zumindest beschränkt. Der Rand von kann genau wie im zweidimensionalen Fall berechnet werden, nur ist diesmal das Ergebnis dieser Rechnung etwas komplizierter. In der Definition von haben wir diesmal gleich sechs Ungleichungen und damit setzt sich aus sechs Teilmengen zusammen, nämlich = A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 mit A 1 := {(a, y, z) ϕ(a) y ψ(a), α(a, y) z β(a, y)}, A 2 := {(b, y, z) ϕ(b) y ψ(b), α(b, y) z β(b, y)}, B 1 := {(x, ϕ(x), z) a x b, α(x, ϕ(x)) z β(x, ϕ(x))}, B 2 := {(x, ψ(x), z) a x b, α(x, ψ(x)) z β(x, ψ(x))}, C 1 := {(x, y, α(x, y)) a x b, ϕ(x) z ψ(x)}, C 2 := {(x, y, β(x, y)) a x b, ϕ(x) z ψ(x)}. Verwenden wir unsere im zweidimensionalen Fall hergeleitete Beschreibung von D, so können wir den Rand von etwas übersichtlicher auch in der Form = {(x, y, z) R 3 (x, y) D, α(x, y) z β(x, y)} C 1 C 2 schreiben. Wir müssen uns jetzt überlegen das diese enge eine Jordansche Nullmenge ist, und dies werden wir in der nächsten Sitzung durchführen