Arbeitsmaterialien. Analysis I + II

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1 Arbeitsmaterialien (Bezeichnungen, Definitionen, Sätze, Beispiele, Übungsaufgaben) zur Vorlesung Analysis I + II im SS 2007 und WS 2007/08 (überarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994) FB Mathem., Univ. Siegen zusammengestellt von Prof. Dr. Hans-Jürgen Reinhardt

2 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Abbildungen Aussagen Mengen Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen) Reelle Zahlen Körperaxiome Anordnungsaxiome Supremum und Infimum, das Vollständigkeitsaxiom Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion Einfache Anzahlaussagen Primzahlen Der Satz von Archimedes Die Quadratwurzel Permutationen und Binomialkoeffizienten Der Körper der komplexen Zahlen Einführung Der Körper C Der Absolutbetrag in C Zahlenfolgen Folgen Der Konvergenzbegriff Rechenregeln Konvergenzkriterien i -

3 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 4.5 Wurzelberechnung Häufungswerte Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen Reihen Konvergenz von Reihen Konvergenzkriterien Die Exponentialfunktion Umordnung von Reihen, das Cauchy Produkt Die g adische Entwicklung Stetigkeit Reelle Funktionen, Grenzwerte Stetige Funktionen Rechenregeln Einige Sätze über stetige Funktionen Der Zwischenwertsatz Existenz von Extrema Gleichmäßig stetige Funktionen Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen Die Logarithmusfunktion Differenzierbarkeit Motivation und Definition Rechenregeln Zur Exponentialfunktion Zum Newton Verfahren ii -

4 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 9 Einige Sätze über differenzierbare Funktionen Charakterisierung von Extrema Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz Taylorsche Formel Anmerkung zu lokalen Extrema Die Regel von de l Hospital Die trigonometrischen Funktionen Das Riemann Integral Treppenfunktionen Das Integral von Treppenfunktionen Ober und Unterintegrale Riemann Integrierbarkeit Eine Auswahl integrierbarer Funktionen Weitere Aussagen über Integrale Integration und Differentiation Mittelwertsatz der Integralrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Substitutionsregel Partielle Integration Das Taylorsche Restglied in Integralform Integrationsrezepte Reihen von Funktionen Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz von Reihen Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen iii -

5 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 12.4 Potenzreihen Metrische und topologische Räume Metrische Räume Topologie Stetige Abbildungen Abgeschlossene Mengen Kompakte Mengen Vollständige metrische Räume, Banachräume Vollständige metrische Räume Der Raum der beschränkten und stetigen Abbildungen Normierte Räume; Banachräume Gleichmäßige Konvergenz Der euklidische Raum R n Der R n als normierter Raum R n als euklidischer Raum Kurven in R n Differenzierbare Wege Differenzierbarkeit im R n Hinführung Partielle Ableitungen Vollständige Differenzierbarkeit Differentiationsregeln Die Richtungsableitung Mittelwertsätze und Hauptsatz Der Taylorsche Satz und die Taylorformel iv -

6 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 17 Der Satz über implizite Funktionen Der Kontraktionssatz Der Satz über die inverse Abbildung Der Satz über implizite Funktionen Maxima und Minima Lagrangesche Multiplikatorenregel A Grundlagen der Aussagenlogik 152 B Theoretische Übungsaufgaben für Mathematiker und Physiker zu Analysis I 156 C Theoretische Übungsaufgaben für Informatiker zu Analysis I 190 D Theoretische Übungsaufgaben zu Analysis II 204 Index v -

7 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Literatur [Bla92] Blatter, C.Analysis 1, 2, Springer, 1991, [End89] Endl, K. Analysis I, II, III. Studien-Texte Mathematik, Akadem. Verlagsges.1978, 1987, [For01] Forster, O. Analysis 1, 2, 3. Vieweg, 1979, 1981, [GF73] Grauert, H., Fischer, W. Differential- und Integralrechnung II. Heidelberger Taschenbücher Bd 36, Springer, [HRS93] Harbarth, K., Riedrich, T., Schirotzek, W. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. Teubner, [Heu02] Heuser, H. Lehrbuch der Analysis 1, 2. Teubner, 2001, [KP93] Körber, K.-H., Pforr, E.-A. Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. Teubner, [KK91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 3: Differentialrechnung. Fachbuchverlag Leipzig, [KKr91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 4: Integralrechnung. Fachbuchverlag Leipzig, [Lan70] Landau, E. Grundlagen der Analysis. Wiss. Buchges., Darmstadt, [PS93] Pforr, E.-A., Schirotzek, W. Differential und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. Teubner, [Rud98] Rudin, W. Analysis. Oldenbourg Verlag, [SH95] Salas, S. L., Hille, E. Calculus. Einführung in die Differential und Integralrechnung. Spektrum, [SGT99] Schäfer, W., Georgi, K., Trippler, G. Mathematik Vorkurs. Teubner, [Wal04] Walter, W. Analysis 1, 2. Springer, 2002, [WH99] Wenzel, H., Heinrich, G. Übungsaufgaben zur Analysis 1, 2. Teubner, vi -

8 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Aussagen... sind entweder wahr (w) oder falsch (f) aber nicht beides. Bezeichnungen Junktor Sprechweise Symbol Negation... nicht... Konjunktion... und... Alternative... oder... Implikation... wenn, dann... = Äquivalenz... genau dann, wenn... Akkürzungen: :=, =:, :, : Indirektes Beweisverfahren (P = Q) ( Q = P) 1.2 Mengen... sind Zusammenfassungen wohlbestimmter Objekte. Definitionen: (A,B,C Mengen, A,B C) Teilmenge: A B : (x A = x B) Gleichheit: A = B : A B, B A Vereinigung: A B := {x C x A oder x B} Durchschnitt: A B := {x C x A und x B} Komplement: A \ B := {x C x A und x B} (auch B := A B) leere Menge: oder {} Rechenregeln (A, B, C Mengen) (R1) A B, B C = A C (Transitivität von ) (R2) A (B C) = (A B) C (Assoziativgesetze) (R3) A (B C) = (A B) C - 1 -

9 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien (R4) A B = B A (Kommutativgesetze) (R5) A B = B A (R6) A (B C) = (A B) (A C) (Distributivgesetze) (R7) A (B C) = (A B) (A C) (R8) (A,B X) (Regeln von de Morgan) (A B) = A B, (A B) = A B ) Definition: Potenzmenge P(A) (oder P OT(A)) = Menge aller Teilmengen von A einschließlich der leeren Menge Definitionen: Rechenregel (A, B Mengen) (geordnetes) Paar: (a,b) mit a A, b B ; (a,b) = (a,b ) wenn a = a und b = b ; Cartesisches Produkt A B = {(a,b) a A, b B} (R9) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Beispiele von Mengen N := {1,2,3,...} Z := {0,1, 1,2, 2,3,...} Z + := N 0 := {0,1,2,...} Q := { a a,b Z, b 0 } b natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen 1.3 Funktionen, Abbildungen (A, B Mengen) f : A B, A = Definitionsbereich, B = Bildbereich Bezeichnung: Definition: f : A x f(x) B Graph von f graph f := {(a,b) a A, b = f(a)} Beispiel: A := B := Q, f : A x 1 2 x 1 B Satz 1 Seien A,B Mengen, G A B. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: - 2 -

10 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Q f(x) (x,f(x)) x a) Es gibt eine Abbildung f : A B mit graph f = G. b) Zu jedem a A gibt es genau ein b B mit (a,b) G. Definitionen: (f : A B, X A, Y B) Bild von X unter Abb. f : f(x) := {f(x) x X} Urbild von Y unter Abb. f : f 1 (Y ) := {x A f(x) Y } Rechenregeln (f : A B, X 1,X 2 A, Y 1 Y 2 B) (R1) X 1 X 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) (R2) f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) (R3) f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) (R4) Y 1 Y 2 = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (R5) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (R6) f 1 (Y 1 \ Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) \ f 1 (Y 2 ), falls Y 2 Y 1. Bezeichnungen: Notation Quantoren Sprechweise a A für alle Elemente a in A a A es existiert a A!a A es existiert genau ein a A a A(P) für alle a A ist P wahr a A(P) für alle Elemente a A gilt Aussage P a A : P für alle Elemente a A gilt Aussage P - 3 -

11 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Bemerkung: Unter Benutzung von Quantoren lassen sich die äquivalenten Bedingungen von Satz 1 wie folgt formulieren: a) f : A B : graph f = G b) a A!b B : (a,b) G Die letzte Bedingung b) und damit auch a) sagt, daß eine Abbildung immer wohldefiniert (oder wohlbestimmt) ist, was man noch äquivalent schreiben kann als a,a A : a = a = f(a) = f(a ) oder äquivalent als a,a A : f(a) f(a ) = a a. Definitionen: (A,B Mengen, f : A B Abb.) f surjektiv : b B a A : b = f(a) f injektiv : a,a A : a a = f(a) f(a ) f bijektiv : f injektiv und surjektiv identische Abbildung id A : A x x A Hintereinander Ausführung g f (A,B,C Mengen, f : A B, g : B C) A x g(f(x)) C Bemerkung: Die Injektivität läßt sich auch wie folgt charakterisieren, a, a A : f(a) = f(a ) = a = a. Man beachte den Unterschied zur Wohlbestimmtheit. Rechenregeln (R7) id B f = f id A (R8) h (g f) = (h g) f (Assoziativgesetz) - 4 -

12 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Satz 2 Sei f : A B Abbildung. Es gelten folgende Äquivalenzen: f injektiv g : B A : g f = id A f surjektiv g : B A : f g = id B f bijektiv g : B A : g f = id A und f g = id B Definition: (f : A B bijektiv) ist eindeutig bestimmt. Umkehrabbildung f 1 : f 1 f = id A, f f 1 = id B Bem.: f 1-5 -

13 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 2 Reelle Zahlen 2.1 Körperaxiome In R sind zwei Operationen Addition und Multiplikation erklärt, d.h. jedem Paar (a,b) von Elementen aus R ist genau ein Element a + b R (Summe) und genau ein Element a b R (Produkt) zugeordnet. Dabei gelten die folgenden neun Körperaxiome. (A1) a + (b + c) = (a + b) + c Assoziativität (A2) neutrales Element der Addition 0 R ( Null ) mit a + 0 = a für alle a R. (A3) a R additiv inverses Element ( a) R mit a + ( a) = 0. (A4) a + b = b + a Kommutativität (A5) (ab)c=a(bc) Assoziativität (A6) neutrales Element der Multiplikation 1 0 ( Eins ) mit a 1 = a für alle a R. (A7) a 0, a R, multiplikativ inverses Element a 1 R mit a a 1 = 1. (A8) ab=ba Kommutativität (A9) a(b + c) = ab + ac Distributivität Folgerung 1 Die neutralen Elemente sind eindeutig bestimmt. Folgerung 2 Die inversen Elemente ( a) und a 1 sind eindeutig bestimmt. Folgerung 3 Für zwei Zahlen a,b R hat die Gleichung a + x = b genau eine Lösung x = b + ( a). Entsprechend hat die Gleichung ax = b für a 0 genau eine Lösung x = a 1 b. Folgerung 4 ab = 0 = a = 0 b = 0 1 Schreibweise: a c := c 1 a für c 0; b a := b + ( a). Regeln des Bruchrechnens: a c + b d Definitionen: 1 oder ; und (s. Anhang A) ad + bc =, cd a c b d = ab cd, a/c b/d = ad bc

14 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt (a) Sei K ein Körper. K 1 K heißt Unterkörper von K, wenn K 1 mit arithmetischen Operationen von K ein Körper ist. (b) Seien K 1, K 2 Körper. Eine Abbildung ϕ : K 1 K 2 heißt Homomorphismus, wenn gilt: ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), x,y K. Lemma 5 Seien K 1, K 2 Körper, ϕ : K 1 K 2 Homomorphismus. Dann gilt: (a) ϕ(0) = 0, ϕ( x) = ϕ(x) x K 1. (b) Gibt es ein x K 1 mit ϕ(x) 0, so gilt ϕ(1) = 1 und ϕ(x 1 ) = ϕ(x) 1 x K 1 ; ferner ist ϕ dann injektiv. 2.2 Anordnungsaxiome Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen, mit den nachfolgenden Eigenschaften: (A10) Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a P oder a P oder a = 0. (A11) Sind a und b aus P, so ist auch a + b aus P. (A12) Sind a und b aus P, so ist auch ab aus P. Bezeichnung: a positiv, wenn a P; a negativ, wenn a P. Definition: a > b (oder b < a), falls a b P für a,b R. a 0 bzw. a 0, wenn a > 0 oder a = 0 bzw. a < 0 oder a = 0. Bezeichnung: a heißt nichtnegativ, wenn a 0. Trichotomiegesetz: Für je zwei reelle Zahlen a,b gilt genau eine der drei Beziehungen a < b,a = b,a > b. Rechenregeln - 7 -

15 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien (R1) Aus a < b folgt a > b. (R2) Aus a < b folgt a + c < b + c. (R3) Aus a < b folgt b < c folgt a < c (Transitivität). (R4) Aus a < b und c < d folgt a + c < b + d; aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd. (R5) Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc; aus a < b und c < 0 folgt ac > bc. (R6) Aus a 0 folgt a 2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0. (R7) Aus a > 0 folgt 1 a > 0, aus a < 0 folgt 1 a < 0. (R8) Aus 0 < a < b folgt a b < 1, b a > 1 und 1 a > 1 b. (R9) Aus a < b und 0 < λ < 1 folgt a < λa + (1 λ)b < b. Bemerkungen: 1) P, da 1 P. 2) Es gibt außer 0 und 1 weitere Zahlen 2 := 1+1,3 := 2+1 usw. Wegen 0 < 1 < 2 < 3 gilt 0 < 1 3 < 1 2 < 1. Bezeichnung: Arithmetisches Mittel von a und b : 1 2 (a + b) Noch eine Rechenregel: (R10) Aus a < b folgt a < 1 2 (a + b) < b. 2.3 Supremum und Infimum, das Vollständigkeitsaxiom Definition: ( A R) (a) A heißt nach oben beschränkt : b K a A : a b ; b heißt dann eine obere Schranke von A. (Schreibweise: A b) (b) A heißt nach unten beschränkt : b K a A : b a ; b heißt dann eine untere Schranke von A. (Schreibweise: b A) - 8 -

16 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt (c) A heißt beschränkt : b K a A : b a b ; b heißt dann eine Schranke von A. Ist eine obere bzw. untere Schranke gleichzeitig Element von A, so heißt dieses maximales Element (oder Maximum) bzw. minimales Element (oder Minimum) von A. Beispiele: (a) Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nach unten beschränkt (1 ist Minimum). (b) Endliche Teilmengen von R sind beschränkt. Definitionen: ( A R) (a) x R heißt Supremum (auch: obere Grenze) von A : i) x ist obere Schranke von A ; ii) wenn y obere Schranke von A, dann gilt x y. (Wir schreiben dann: x = sup a A a oder x = supa) (b) x R heißt Infimum (auch: untere Grenze) von A : i) x ist untere Schranke von A ; ii) wenn y untere Schranke, dann gilt y x. (Wir schreiben dann: x = inf a A a oder x = inf A) Folgerung 6 Sei A R. Supremum und Infimum sind eindeutig bestimmt, falls sie existieren. Definition: Der Körper der reellen Zahlen ist ein Körper (R,+, ), in dem gilt: (A) R ist angeordnet durch eine Menge P; (V) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum. Bemerkungen: 1. (A) heißt Anordnungsaxiom, (V) heißt Vollständigkeitsaxiom

17 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 2. Aus (V) folgt: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum. 3. Nach Folgerung 2 sind Supremum und Infimum eindeutig bestimmt. Beispiel: Die Menge P der positiven Zahlen nach oben nicht bechränkt, jedoch nach unten beschränkt. Es ist inf P = 0, jedoch besitzt P kein kleinstes Element. Wir halten fest: (a) 0 R Nullelement, a Negatives von a R, 1 R Einselement, a 1 Inverses von a R := R \ {0}. (b) Es ist definiert x > y : x y P ; damit auch, <,. Es gelten die Rechenregeln (R1) (R10) aus 2.2. (c) Es sind induktiv definiert: n x : 1 x := x, (n + 1) x := x + n x, x n : x 1 := x, x n+1 := x x n. (d) Es ist induktiv definiert (x R = R \ {0}, n N 0 := N {0}): x 0 := 1, x (n+1) := x 1 x n. Definition: Vorzeichen und Absolutbetrag von a R 1 für a > 0 sgn a = 0 für a = 0 1 für a < 0 heißt Vorzeichen von a. a für a > 0 a = a sgn a = a für a < 0. heißt Betrag oder Absolutbetrag von a. Für reelle Zahlen a,b gelten die folgenden Rechenregeln:

18 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt (R1) Für a 0 ist a > 0. (R2) a = a. (R3) (R4) (R5) (R6) Es ist a = b genau dann, wenn a = b und sgn a = sgn b ist. sgn a sgn b = sgn (ab) und a b = ab. Für b 0 ist sgn a sgnb = sgn a b und a = a. b b Dreiecksungleichung: a + b a + b und Folgerung a b a b. (R7) a γ γ a γ. Definition: Unendlich Wir setzen supa = bzw. inf A = wenn A nicht nach oben beschränkt bzw. A nicht nach unten beschränkt ist. R = R {, }erweiterte Zahlengerade. Rechenregeln für, (x R): + x =, + x = x = für x > 0, x = für x < 0 x = x = 0 + = = Beachte, dass und 0 nicht definiert sind. Definitionen: Intervalle (a,b R, a < b) [a,b] := {x R a x b} (a,b) := {x R a < x < b} [a,b) := {x R a x < b} (a,b] := {x R a < x b} abgeschlossenes Intervall, offenes Intervall, (nach rechts) halboffenes Intervall, (nach links) halboffenes Intervall. (,a] := {x R x a}, [a, ) := {x R x a} abgeschlossene unbeschränkte Intervalle; (,a) := {x R x < a}, (a, ) := {x R x > a}

19 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien offene unbeschränkte Intervalle. Ein Interval heißt kompakt, wenn es beschränkt und abgeschlossen ist. Definitionen: Umgebungen Definitionen: B ε (a) := (a ε,a + ε) ε-umgebung von a (ε > 0) U heißt Umgebung von a, wenn ein ε > 0 existiert mit B ε (a) U. N 0 = {0,1,2,3,..., } Z = {z R z N 0 oder z N 0 } ganze Zahlen Q = {x R x löst px = q mit p,q Z, p 0} rationale Zahlen Bemerkung: Q erfüllt auch Körper- und Anordnungsaxiome; Q ist auch ein archimedisch angeordneter Körper. Aber nicht jede nach oben (bzw. nach unten) beschränkte Menge in Q besitzt ein Supremum (bzw. in Infimum) in Q. Beispiel: A = {x Q x 2 < 2}, B = {y Q y 2 > 2} A enthält keine größte Zahl (in Q) und A ist nach oben beschränkt (z.b. durch 2). B enthält keine kleinste Zahl (in Q) und B ist nach unten beschränkt. Satz 7 Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = Natürliche Zahlen, Prinzip der vollständigen Induktion Bezeichnung: (0,1 R) N = 1, {}}{{}}{{}}{ 1 + 1, , ,, R N 0 := {0,1,2,3,, } Definition: M N ist induktiv, wenn 1 M und, für x M, ist x + 1 M. Bemerkung: N und N 0 sind induktiv. x + 1 heißt Nachfolger von x. Eigenschaften von N: Gilt für M N

20 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt a) 1 M und b) x M = x + 1 M dann ist M = N. Diese Eigenschaft heißt Prinzip der vollständigen Induktion oder Induktionsprinzip. Darauf beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion : Eigenschaft E(n) ist richtig n N, wenn: a) E(1) ist richtig ( Induktionsverankerung oder Induktionsanfang (IA)). b) Für jedes k ist unter E(k) (i.e. Induktionsvoraussetzung (IV) oder Induktionsannahme ) zu zeigen, dass auch E(k + 1) (i.e. Induktionsbehauptung oder Induktionsschluss (IS)) richtig ist. Darauf beruht auch die induktive Definitionsmethode : Eine Eigenschaft E auf den natürlichen Zahlen N ist definiert, wenn: a) E(1) ist definiert. b) Falls E(k) definiert ist, läßt sich E(k + 1) definieren. Beispiel: Potenzen x 1 = x, x n+1 = x x n ; Fibonacci-Zahlen F n. Bemerkungen: 1) Das Induktionsprinzip ist äquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge aus N ein kleinstes Element besitzt. 2) Die vollständige Induktion kann auch bei 0 oder einer anderen Zahl k 0 > 0 beginnen. Beispiele: 1) Induktiv beweist man die Summenformel: n = n(n + 1)

21 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 2) Nicht richtig ist die Aussage A(n) : Sind n reelle Zahlen gegeben, so sind sie alle gleich. A(1) ist zwar richtig und man könnte von A(n) auf A(n+1) schließen, jedoch ist A(1) eine leere Aussage und ohne Bedeutung; A(2) z.b. ist falsch. Eigenschaften von N 0 : (a) Es ist n = 0 oder n 1. (b) m,n N 0 = m + n N, m n N 0. (c) Falls m n, dann n m N 0. (d) Zwischen n und n + 1 liegt keine weitere natürliche Zahl. Satz 8 N 0 ist wohlgeordnet, d. h. V N 0, V, k V x V : x k. 2.5 Einfache Anzahlaussagen Bezeichnung: Definitionen: N n = {1,...,n} (A Menge) a) A hat n Elemente, genau wenn es eine Bijektion f : A N n gibt. Wir schreiben: card A = n oder #A = n. A heißt endliche Menge. b) A heißt unendliche Menge, genau wenn es für kein n N eine Bijektion f : A N gibt. Wir schreiben: #A =. c) A heißt abzählbar unendlich, genau wenn es eine Bijektion f : A N gibt. Beispiele: 1) #N n = n 2) G := {m N k N : m = 2k} gerade Zahlen G ist abzählbar unendlich; Bijektion f : G 2k k N. 3) G := {a,b,c}, M := {d,e}, F = {f f : G M Abb.} #F =

22 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Lemma 9 (M,N endliche Mengen). Es gelten die folgenden Aussagen: 1) Bijektion g : M N = #M = #N 2) M N = = #(M N) = #M + #N 3) #(M N) = #M #N Satz 10 Sei M endliche Menge, #M =: m. Dann gilt für die Potenzmenge #P(M) = 2 m. Definitionen: (M endliche Menge). Jede bijektive Abb. f : M M heißt Permutation. Die Menge S M := {f : M M f bijektiv} heißt symmetrische Gruppe von M. Satz 11 Seien M,N endliche Mengen, m := #M, n := #N, und m n. Dann gibt es genau n (n 1) (n + 1 m) injektive Abbildungen f : M N. Definition: 1 k = 1, k=1 Produkte (induktiv) n+1 k=1 k = Definition: n Fakultät n! ( n ) k (n + 1) k=1 0! = 1, 1! := 1, (n + 1)! := (n + 1) n! Folgerung 12 (m := #M) #S M = m! Wir bezeichnen mit I eine Indexmenge, d.h. eine endliche oder unendliche Teilmenge von N; auch I = N ist möglich

23 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Definition: (X i C Mengen für i I) X i = {x C x X i für mindestens ein i} i I X i = {x C x X i für alle i I} i I Für die Komplemente X i = C \X i von X i (in C) gelten die folgenden Regeln von de Morgan : ( i I X i) = i I ( i I X i) = i I 2.6 Primzahlen X i X i Definition: m teilt n (m n), genau wenn k N : m k = n Rechenregeln (m, n, k N) (R1) m n = m n (R2) m n, n k = m k (R3) m n, m k = m (in + jk) i,j N Definition: p N Primzahl, falls p 1 und m N gilt die Aussage: m p = m = 1 m = p. Falls q N, q 1 keine Primzahl, dann heißt q zusammengesetzte Zahl. Satz 13 a) Jede Zahl m N, m 1, ist entweder Primzahl oder ein Produkt von Primzahlen ( Faktorisierung in Primzahlen ) b) Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Satz 14 Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich. Bemerkung: p n < 2 2n, wobei p n = n te Primzahl

24 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 2.7 Der Satz von Archimedes Satz 15 (Satz von Archimedes) a,b R, a > 0, n N : n a > b. Bemerkung: R ist ein archimedisch angeordneter Körper. Folgerung 16 a R, a > 0, n N : 1 n < a. Folgerung 17 a,b R, a < b, q Q : a < q < b. Folgerung 18 x R ε > 0 q Q : x q < ε. Lemma 19 (Charakterisierung eines Supremums) Sei A R, A, A nach oben beschränkt, x R obere Schranke von A. Dann sind äquivalent: (a) x = sup a A a, (b) ε > 0 a A : x ε a. Analog ist das Infimum einer nach unten beschränkten Menge charakterisiert durch (a) y = inf a, (b) ε > 0 a A : a y + ε. a A 2.8 Die Quadratwurzel Satz 20 b > 0!x R : x > 0, x 2 = b. Bezeichnung: x = b 1/2 oder x = b (Quadratwurzel von b). Bemerkung: Für x := b gilt auch x 2 = b. Satz 21 a R, a > 0, n N, n 2!x R, x > 0 mit x n = a. Bezeichnung: x := a 1/n (n-te Wurzel von a)

25 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es, N Objekte auf r Plätze zu verteilen? Antwort: N (N 1) (N + 1 r) = Frage: Wieviele Teilmengen von A, #A = N, mit r ( N) Elementen können ausgewählt werden? N! (N r)! Antwort: in Satz 22. Satz 22 Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von N Elementen Teilmengen mit r Elementen auszuwählen, ist gegeben durch c N,r := N! (N r)!r! Definition: Binomialkoeffizienten ( ) n := k n! n (n 1) (n k + 1) = (n k)!k! k! Satz 23 ( ) ( ) ( ) n n n = = 1, = n, ( 0 ) ( n ) ( 1 ) n n 1 n 1 = + k k 1 k ( ) ( ) n n =, k n k Am besten be rechnet man die Binomialkoeffi zienten mittels der Rekur sion des vorstehenden Satzes, wo bei man die Ergebnisse der einzelnen Rekursionsschritte wie im folgenden Schema, dem Pascalschen Dreieck, notiert:

26 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt (jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts darüberstehenden). Bekannt war dieses Dreieck schon den Arabern im 13. Jahrhundert, weiter studiert haben es insbesonders Stiefel (1544) und Pascal (1659). Satz 24 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b R, n N. Es gilt (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Folgerung 25 (Bernoullische Ungleichung) (1 + a) n 1 + na a > 1. Beispiele: 1. Wähle zufällig 4mal aus den Ziffern {0,...,9} eine Ziffer aus. Wie groß ist die (Laplace ) Wahrscheinlichkeit, lauter verschiedene Ziffern zu erhalten? Definition: Die (Laplace )Wahrscheinlichkeit durch einen Zufallsmechanismus aus einer endlichen Menge X ein Element einer Teilmenge B, B X, auszuwählen, ist definiert durch P L (B) := #B #X

27 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Im Beispiel: A = {0,...,9}, X = A A A A, B = {(w,x,y,z) X w,x,y,z paarweise verschieden}. Es gilt #X = 10 4, #B = 10!/(10 4)! = 5040, also P L (B) = (ATP-WM) 2 Gruppen mit je 4 (Tennis )Spielern. Frage: Wieviele Spiele müssen pro Gruppe gespielt werden, damit jeder einmal gegen jeden (seiner Gruppe) spielt? ( ) 4 Antwort: = = Für a = b = 1 folgt aus dem binomischen Lehrsatz n k=0 ( ) n = 2 n. k Dies ist bekanntlich die Anzahl aller Teilmengen von {1,, n}. Definitionen: ( (R,+, ) Körper der reellen Zahlen, a ν R) Summe Produkt 1 a ν := a 1, ν=1 1 a ν := a 1, ν=1 n+1 n a ν := a ν + a n+1, ν=1 n+1 a ν := ν=1 ν=1 ν=1 n a ν a n+1, n a ν = 0, falls n < m; ν=m n a ν = 1, falls n < m. ν=m Rechenregeln (a 1,...,a m+n R,a R,b 1,...,b m R) (R1) m a ν + ν=1 (R2) a (R3) (R4) n a m+ν = ν=1 n a ν = ν=1 n a a ν ν=1 m m a ν + b ν = ν=1 ν=1 ( n ) m a ν ν=1 µ=1 m+n ν=1 a ν m (a ν + b ν ) n m = a ν b µ = ν=1 b µ ν=1 µ= ( m n ) a ν b µ µ=1 ν=1

28 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Für das Produkt gelten analoge Regeln: (R5) m a ν ν=1 n a m+ν = ν=1 m+n ν=1 a ν ; m m m (R6) a ν b ν = (a ν b ν ) ; ν=1( ν=1 ν=1 m ) m (R7) a a ν = (a 1/m a ν ), falls a > 0 ; (R8) (R9) n ν=m+1 n ν=m+1 ν=1 ν=1 a ν a ν 1 = a n a m, falls m < n ( Teleskopprodukt ); (a ν a ν 1 ) = a n a m, falls m < n ( Teleskopsumme )

29 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 3 Der Körper der komplexen Zahlen 3.1 Einführung Da der Körper der reellen Zahlen angeordnet ist, gibt es keine Lösung a R von a 2 = 1 (Quadrate müssen in angeordneten Körpern positiv sein!) Die Lösbarkeit von x 2 = 1 ist äquivalent zu x = 0. Allgemein interessiert man sich für Nullstellen von Polynomen vom Höchstgrad n 2, { n P n := f : R R f(x) = a k x k, x R, k=0 } mit a 0,...,a n R. Ziel: Erweiterung von R so, daß obige Gleichung lösbar ist; Rechnen mit der imaginären Einheit i = Der Körper C Definitionen: (R 2 := R R) Addition + : R 2 R 2 ((x,y),(u,v)) (x + u,y + v) R 2 Multiplikation : R 2 R 2 ((x,y),(u,v)) (xu yv,xv + yu) R 2 Satz 1 (R 2,+, ) ist ein Körper mit Nullelement 0 := (0,0) und Einselement 1 := (1,0). Bemerkung: Das Inverse (u,v) von (x,y) (0,0) ist gegeben durch u := x x 2 + y 2, v = y x 2 + y 2 Definition: C = Körper (R 2,+, ) ; i := (0, 1) heißt imaginäre Einheit Folgerung 2 (a) C ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über dem Körper R mit Addition wie oben und skalarer Multiplikation r (x,y) := (rx,ry). Basis: 1 = (1,0), i = (0,1)

30 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt (b) C ist ein 1-dimensionaler Vektorraum über dem Körper C. Basis: 1 = (1,0). Schreibweise: z = (x,y) C, z = x + iy Definitionen: x = Re(z) y = Im(z) Realteil von z Imaginärteil von z Schreibweisen: 1 statt (1,0) bzw. 1 + i 0, 0 statt (0,0) bzw. 0 + i 0, x statt (x,0) bzw. x + i 0, ix statt (0, x) bzw. 0 + ix. Folgerung 3 a R z C : z 2 + a = 0. Bemerkung: ι : R x x + i 0 C ist injektiver Homomorphismus, so dass R als Unterkörper von C aufgefasst werden kann. 3.3 Der Absolutbetrag in C Definitionen: (a) Zu z = x + iy C heißt z := x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. (b) Die Abbildung : C x + iy (x 2 + y 2 ) 1/2 R heißt der Absolutbetrag (Betragsfunktion) in C. Rechenregeln (R1) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z = z ; (R2) Re(z) = 1 (z + z), 2 i Im(z) = (z z) ; 2 (R3) z = z = (z z) 1/2 ; (R4) Re(z) z, Im(z) z

31 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Folgerung 4 Für. gilt (a) z = 0 z = 0 (Definitheit) (b) zw = z w z, w C (Homogenität) (c) z + w z + w z,w C (Dreiecksungleichung) Darstellung in komplexer Zahlenebene (auch Gaußsche Zahlenebene genannt): Im y z x -y 7 z Re

32 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 4 Zahlenfolgen 4.1 Folgen Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung f : N M. Wir schreiben a = (a n ) n N mit a n := f(n), n N. Die Elemente a n, n N, heißen Glieder der Folge. Eine Folge (a n ) n N in M := R bzw. M := C heißt reelle bzw. komplexe Zahlenfolge. Bis auf weiteres sei jede Folge eine reelle Zahlenfolge. Beispiele: 1. a n := n 2, n N : 1,4,9,16, a n := a, n N : a,a,a,... konstante Folge 3. a n := ( 1) n n, n N : 1,2, 3,4, a n := 1 + ( 1) n, n N : 0,2,0,2, a n := 1 n, n N : 1, 1 2, 1 3, 1 4, a 1 := 1, a n+1 := a n, n N : 1, 1 2, 2 3, 3 5, a 1 := a 2 := 1, a n+1 := a n + a n 1, n N : 1,1,2,3,5,... Fibonacci Zahlen 8. a n := 1 (n 1)(n 2), n N, n 3 : 1 2, 1 6, Diese Folge beginnt erst ab einem n 0 N : a n0,a n0 +1,... Definition: (a n ) n N heißt beschränkt : b R n N : a n b

33 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 4.2 Der Konvergenzbegriff Definitionen: Sei (a n ) n N Folge. (a) (a n ) n N heißt konvergent gegen a R : ε > 0 N N n N : a n a < ε. a heißt dann Grenzwert (oder Limes) von (a n ) n N. Wir schreiben dann a = lim n a n oder a = lim n N a n oder a n a(n N). (b) (a n ) n N heißt konvergent, wenn (a n ) n N gegen ein a R konvergiert. (c) (a n ) n N heißt Nullfolge : (a n ) n N konvergiert gegen 0. Folgerung 1 Jede Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Bemerkung: Konvergiert die Folge (a n ) n N gegen a, so kann man wegen Folgerung 1 sagen: Für jedes ε > 0 liegen nur endlich viele Glieder der Folge außerhalb von (a ε,a + ε). Oder: Für jedes ε > 0 liegen fast alle a n in (a ε,a + ε). Folgerung 2 Ist die Folge (a n ) n N konvergent, so ist (a n ) n N beschränkt. Definition: Ist eine Folge (a n ) n N nicht konvergent, so sagen wir: (a n ) n N ist divergent. Beispiele: 1. a n := n 2, n N, ist divergent, da nicht beschränkt. 2. a n := a, n N, ist konvergent gegen a. 3. a n := 1 + ( 1) n, n N, ist divergent, da a n a n+1 = 2 n N. 4. a n := 1, n N, ist Nullfolge. n 5. a n := a n, n N, mit a < 1 ist Nullfolge

34 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 4.3 Rechenregeln Satz 3 Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen, a = lim n a n, b = lim n b n, und λ R. Es gilt: (a) (a n b n ) n N ist konvergent, ab = lim n (a n b n ). (b) (a n + b n ) n N ist konvergent, a + b = lim n (a n + b n ). (c) (λa n ) n N ist konvergent, λa = lim n (λa n ). Bemerkung: Auch die Differenz konvergenter Folgen konvergiert. Satz 4 Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen, a = lim n a n, b = lim n b n. Sei b 0. Dann gilt: (a) N 0 N n N 0 : b n 0; (b) (a n b 1 n ) n N 0 ist konvergent und Beispiele: 1. Potenzsummen ab 1 = lim n N 0 a n b 1 n. n k l, n N, l N 0 fest, sind divergent. k=1 2. a n := 3n n 2 n (n N). 2 ( ) n 3. a n := n k 1 (n N), k N. k k! 4. a n := 2n 1 i=n ( ) 2 (n N). i 5. a n := n k a n, n N, k Z, a ( 1,1) : lim n a n = 0. Satz 5 Seien (a n ) n N, (b n ) n N Folgen. Es gilt: (a) Ist (a n ) n N eine Nullfolge und (b n ) n N beschränkt, so ist auch (a n b n ) n N eine Nullfolge

35 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien (b) Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergent, und es gelte a n b n n N. Dann gilt lim a n n lim b n. n (c) Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergent mit a := lim a n = lim b n. Gilt für eine Folge n n (c n ) n N, daß a n c n b n n N 0, dann konvergiert auch (c n ) n N und a = lim c n n ( Sandwich Theorem ). Bemerkung zu (b): Wenn a n < b n n N, dann gilt auch (nur) lim n a n lim n b n. Beispiel: 6. Fibonacci Zahlen F 1 := F 2 = 1, F n+1 := F n + F n+1. Man beweist induktiv, daß Daraus folgt F n = 1 5 ( τ n ( τ) n), n N, mit τ := 1 2 (1 + 5). F n F n+1 = 1 τ 1 + ( τ) 2n ( 1) n 1 ( τ) 2n ( 1) n 1 τ = τ Die Folge a n = F n /F n+1, n N, erhält man auch durch a 1 := 1, a n+1 := a n, n N. Konvergiert diese Folge was später bewiesen wird und gilt a := lim a n 1, dann folgt a = 1/(1 + a) a = 1 a, und für die positive Wurzel erhält man a = 1 2 ( 5 1) ( goldener Schnitt ). 4.4 Konvergenzkriterien Definitionen: Eine Zahlenfolge (a n ) n N heißt (a) monoton wachsend, falls a n a n+1 n N ; (b) monoton fallend, falls a n a n+1 n N ; (c) streng monoton wachsend, falls a n < a n+1 n N ; (d) streng monoton fallend, falls a n > a n+1 n N

36 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Beispiele: ( ) n 1. a n := n k, n N, k ist streng monoton wachsend für jedes k N. ( 2. a n := 1 + n) 1 n, n N, ist streng monoton wachsend. 3. (endliche geometrische Reihe). Für q 1 sei a n := n k=0 qk. Man zeigt induktiv: a n = 1 qn+1 1 q. Satz 6 Jede beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konvergent. Beispiel: a n := 2 < ( n) n ist monoton wachsend und beschränkt, ( n) n 3. Damit ist (a n ) n N konvergent und für den Limes gilt 2 lim n ( n) n 3. Definition: e := lim n ( n) n heißt Eulersche Zahl. Definition: Sei (a n ) n N eine Folge und (µ k ) k N eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (a µk ) k N Teilfolge von (a n ) n N. Folgerung 7 Sei (a n ) n N konvergent und (a µk ) k N eine Teilfolge. Dann ist auch (a µk ) k N konvergent und es gilt lim k a µk = lim n a n. Satz 8 (Satz von Bolzano Weierstrass) Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Definition: Eine Folge (a n ) n N heißt Cauchy Folge, wenn gilt: ε > 0 N N m,n N : a n a m < ε

37 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Satz 9 Eine Folge (a n ) n N ist dann und nur dann konvergent, wenn sie Cauchy Folge ist. Bemerkungen: 1. Jede Cauchy Folge ist beschränkt. 2. Das Vollständigkeitsaxiom (V) kann man ersetzen durch das Axiom: Jede Cauchy Folge konvergiert. 3. Die Aussage von Satz 9 heißt auch das Cauchysche Konvergenzkriterium. Beispiel 1: (vgl. Beispiel 6 in 4.3) Betrachte die induktiv definierte Folge a 1 := 1, a n+1 := a n, n N. (a n ) n N ist Cauchy Folge. n 1 Beispiel 2: a n =, n N, ist keine Cauchy-Folge, also divergent. k k=0 4.5 Wurzelberechnung Satz 10 Seien b > 0, q N, q 2. Dann existiert genau ein x > 0 mit x q = b und für die induktiv definierte Folge a 1 > 0 mit a q 1 b, a n+1 := gilt: x = lim n a n. ( 1 1 ) a n + 1 q q b a q 1 n Schreibweise: x = q b oder x = b 1/q. Bemerkung: Für q = 2 lautet die Vorschrift: a 2 1 b, a n+1 := 1 2 a n b a n

38 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 4.6 Häufungswerte Definition: a R heißt Häufungswert der Folge (a n ) n N : ε > 0 N N n N : a n a < ε. Bemerkung: 1. a R ist Häufungswert von (a n ) n N, genau wenn für jedes ε > 0 in (a ε,a + ε) unendlich viele Glieder a n liegen. 2. Man beachte den Unterschied von 1. zu konvergenten Folgen (dort: fast alle a n in (a ε,a + ε) ). Satz 11 Sei (a n ) n N Folge und a R. Dann sind äquivalent: (a) a ist Häufungswert von (a n ) n N. (b) Es gibt eine konvergente Teilfolge (a µk ) k N von (a n ) n N mit a = lim k a µk. Folgerung 12 Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungswert. Folgerung 13 Sei (a n ) n N konvergente Folge und a := lim n a n. Dann ist a der einzige Häufungswert von (a n ) n N. Beispiele: 1. a n := ( 1) n, n N, hat Häufungswerte 1 und -1. 1, n ungerade, 2. a n := 1 ist einziger Häufungswert von (a n ) n N, aber die Folge n, n gerade. (a n ) n N ist divergent. Folgerung 14 Ist (a n ) n N eine beschränkte Folge, dann ist die Menge der Häufungswerte von (a n ) n N nichtleer und beschränkt. Definition: (a n ) n N }. Wir setzen: Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge und H := {a R a Häufungswert von lim n a n := lim sup n N lim n a n := lim inf n N a n := sup a a H a n := inf a H a Limes superior Limes inferior

39 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Folgerung 15 Sei (a n ) n N beschränkte Folge. Dann sind lim n a n Häufungswerte von (a n ) n N. a n und lim n Folgerung 16 Sei (a n ) n N beschränkte Folge und H die Menge ihrer Häufungswerte. Dann sind für a R äquivalent: (a) (a n ) n N konvergiert gegen a. (b) H = {a}. (c) a = lim n a n = lim n a n. Folgerung 17 (s. Forster 1 [For01], Satz 9.4) Sei (a n ) n N beschränkte Folge. a = lim n a n dann und nur dann, wenn i) ε > 0 N N n N : a n a + ε ii) ε > 0 n N m n : a m a ε Analog: a = lim n a n dann und nur dann, wenn i) ε > 0 N N n N : a n a ε ii) ε > 0 n N m n : a m a + ε Wir geben noch folgende Charakterisierung von lim und lim an (vgl. Forster 1 [For01], 9): Satz 18 (Charakterisierung von lim und lim) Sei (a n ) n N beschränkte Folge, und b n := inf{a k k n}, n N, c n := sup{a k k n}, n N. Dann ist (b n ) n N beschränkt und monoton wachsend bzw. (c n ) n N beschränkt und monoton fallend und lim n b n = lim n a n, lim n c n = lim n a n

40 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen Konvergenz Aussagen können analog auf komplexe Zahlenfolgen übertragen werden, wenn der Absolutbetrag in R durch den in C ersetzt wird. Wegen z = (Re(z) 2 + Im(z) 2 ) 1/2, z C, konvergiert eine Folge (z n ) n N in C gegen ein z C, genau wenn (Re(z n )) n N gegen Re(z) und (Im(z n )) n N gegen Im(z) konvergieren. Aussagen, die sich auf die Anordnung in R beziehen, sind in C nicht formulierbar

41 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 5 Reihen 5.1 Konvergenz von Reihen Wir nennen k=1 a k eine Reihe und (s n ) n N, s n := n a k, n N, k=1 die Folge der zugehörigen Partialsummen. Definition: Die Reihe k=1 a k heißt konvergent genau dann, wenn die Folge (s n ) n N ihrer Partialsummen konvergiert; s = lim n s n schreiben s := a k. k=1 Wenn k=1 a k nicht konvergiert, dann heißt die Reihe divergent. Beispiele: heißt Summe (oder Wert) der Reihe. Wir 1. 1 ist konvergent, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend und beschränkt k2 k=1 ist. 2. Geometrische Reihe: Sei a R, a < 1. s n = Für a 1 ist n k=0 a k = 1 an+1 1 a a k divergent. k=0 3. Die harmonische Reihe Bemerkung: k=1 1 k, lim s n = 1 n 1 a = a k. ist divergent. k=0 1. Zu einer Folge (a n ) n N kann man durch b 1 := a 1, b n := a n a n 1, n 2, eine Reihe k=1 b k so konstruieren, so daß a n = n k=1 b k. 2. Für den Grenzwert einer Folge spielen endliche viele Glieder keine Rolle; ändert man endlich viele Glieder von a n,n N, so kann sich allerdings der Wert der Reihe ändern

42 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt 3. Analog zu Reihen können unendliche Produkte als Folgen von Partialsummen endlicher Produkte definiert werden. Rechenregeln Seien k=1 a k, k=1 b k konvergent. (R1) (a k ± b k ) = a k ± b k ; (R2) k=1 k=1 (λa k ) = λ a k. k=1 k=1 k=1 5.2 Konvergenzkriterien Satz 1 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: (a) a k konvergiert; k=1 (b) ε > 0 N N n,m N, n m : n a k < ε. k=m Folgerung 2 Ist n=1 a n konvergent, so ist (a n ) n N eine Nullfolge. Bemerkung: Die Umkehrung von Folgerung 2 gilt nicht (siehe harmonische Reihe)! Satz 3 (Leibniz Kriterium für alternierende Reihen) Sei (a n ) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert k=1 ( 1)k a k, und es gilt s 2n+1 s s 2n, wobei s n := Beispiel: n ( 1) k a k, s := ( 1) k a k. k=1 k=1 1. Die alternierende harmonische Reihe ( 1) k 1 ist konvergent. k k=1 2. Die Reihe mit a n := 1/k, falls n gerade bzw. a n = 1/(2(k 1)), falls n ungerade, divergiert. Was ist im Hinblick auf das Leibniz-Kriterium nicht erfüllt?

43 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien Definition: konvergiert. Eine Reihe k=1 a k heißt absolut konvergent genau dann, wenn k=1 a k Folgerung 4 Jede absolut konvergent Reihe ist konvergent. Satz 5 (Majoranten Kriterium) Seien (a n ) n N, (b n ) n N Folgen mit a n b n, n N. Ist k=1 b k konvergent, so ist k=1 a k absolut konvergent, und es gilt: a k k=1 Beispiele: a k k=1 b k. k= k=1 k=1 1 ist (absolut) konvergent. k3 1 k ist divergent. Satz 6 (Quotientenkriterium) Für die Reihe k=1 a k gelte: (a) N N n N : a n 0 ; (b) q [0,1) n N : a n+1 a n 1 q. Dann ist die Reihe k=1 a k absolut konvergent. Beispiele: k 2 4. ist konvergent (q = 89 ) 2k für n 3 ; 5. k=1 1 ist konvergent (s. Beispiel 1 in 5.1), das Quotientenkriterium ist hierfür jedoch k2 k=1 nicht anwendbar. Satz 7 (Wurzelkriterium) Gilt q [0,1) N N n N : a n q n, dann ist die Reihe k=1 a k absolut konvergent

44 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Das Wurzelkriterium kann auch in folgender Weise formuliert werden. n Ergänzung: Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim sup an < 1 gilt; die Reihe divergiert, wenn lim sup an > 1 gilt; die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent n n n n sein, wenn lim sup an = 1 gilt. Eine analoge Aussage gilt für das Quotientenkriterium. n Man hat folgende Fehlerabschätzungen: Sei r N := s s N = k=n+1 b k für die konvergente Reihe k=1 b k. Dann gilt für Leibniz Kriterium: b n = ( 1) n a n, (a n ) n N monoton fallende Nullfolge, r N b N+1 a N+1 ; Quotienten Kriterium: b n+1 b n 1 q n 1, q [0,1), r N b N q ; Wurzel Kriterium: b n q n, n 1, q [0,1), Bemerkung: r N q N q. Diese (a priori) Abschätzungen können benutzt werden, um die Anzahl der zu berechnenden Summanden zu bestimmen, mit der eine gewünschte Genauigkeit (sicher) erreicht wird. Beispiele: 6. k=1 ( 1) k k ist konvergent (nach Leibniz Kriterium). Die Genauigkeitsforderung r N ε mit ε = 10 5 ist erfüllt, wenn r N 1 N + 1 ε, d. h. N > k=1 k 2 (nach 2 k ist konvergent dem Quotientenkriterium, q = 8 ) ; Fehlerabschätzung: 9 r N (N + 1)2 2 N

45 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 5.3 Die Exponentialfunktion Satz 8 Für jedes a R ist die Reihe k=0 Definition: Exponentialfunktion 1, falls a = 0, exp : R a a k k!, falls a 0. Folgerung 9 e = lim k=0 ( n) n = k=0 Folgerung 10 N exp(a) a k k! 2 a N+1 (N + 1)! k=0 1 k! = exp(1). 1 k! ak absolut konvergent. für a N Umordnung von Reihen, das Cauchy Produkt ( 1) k+1 Beispiel: Die Reihe ist konvergent (nach dem Leibniz Kriterium), aber k k=1 die folgende Umordnung ( ) 1 ( ) konvergiert nicht. Es ist nämlich 1 2 n n n n 1 2 n+1 = 1 4. n 2. Für die umgeordnete Reihe lassen sich die Summanden wie folgt zusammenfassen und abschätzen: 1 2 n n n n n , n 9, da = ( n ) für n 9 gilt. 2n + 2 Definition: Sei τ : N N eine Bijektion. Dann heißt k=1 a τ(k) eine Umordnung von k=1 a k. Definitionen: Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn sie bei einer beliebigen Umordnung konvergent bleibt. Andernfalls heißen konvergente Reihen bedingt konvergent

46 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Satz 11 (Umordnungssatz) Sei k=1 a k absolut konvergent und τ : N N eine Bijektion. Dann ist auch die Umordnung k=1 a τ(k) konvergent, und es gilt a τ(k) = a k. k=1 k=1 Bemerkung: Der letzte Satz gilt ohne die absolute Konvergenz nicht ( ( 1) k+1 ) Gegenbeispiel:. k Definition: c k := k=1 Seien k=1 a k, k=1 b k Reihen. Die Reihe k=1 c k mit k a k m+1 b m, n N, m=1 heißt das Cauchy Produkt der Reihen k a k, k b k. Satz 12 Das Cauchy Produkt k=1 c k der absolut konvergenten Reihen k=1 a k, k=1 b k ist absolut konvergent, und es gilt ( )( ) c k = a k b k. k=1 Bemerkungen: k=1 k=1 1. Für die Konvergenz eines Cauchy Produkts reicht es aus, daß eine der beiden beteiligten Reihen absolut konvergiert. 2. Konvergieren k=1 a k, k=1 b k und ihr Cauchy Produkt k=1 c k, so gilt ( )( ) c k = a k b k. k=1 k=1 k=1 Als Anwendung von Satz 12 erhält man Folgerung 13 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion) Für alle a,b R gilt: exp(a + b) = exp(a)exp(b). Folgerung 14 Es gilt (a) exp(a) > 0 a R ; (b) exp( a) = exp(a) 1 a R; (c) exp(n) = e n n N

47 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 5.5 Die g adische Entwicklung Lemma 15 Sei g N, g 2. Dann konvergiert eine Reihe der Form a k g k mit a k {0,...,g 1}. k=1 Definition: Basis g, und Sei g N, g 2. Die Elemente {0,...,g 1} heißen g adische Ziffern zur g m a k g k, a k {0,...,g 1}, k=1 heißt g adische Entwicklung von x R, falls x = g m a k g k mit a 1 0, m Z und k=1 N N n N : a n g 1. Bemerkung: Ein Dezimalbruch 0,z 1 z 2 z 3 stellt die Zahl z z z dar, z i {0,...,9}, und ist im obigen Sinne eine 10 adische Entwicklung (mit m = 0,z 1 0) Satz 16 Sei g N, g 2. Jedes x R, x > 0, besitzt genau eine g adische Entwicklung. Bezeichnungen: Zahlen ±x R der Form N x = g m a k g k, m M, a k {0,...,g 1}, a 1 0 k=1 heißen abbrechende systematische Brüche zur Basis g oder Gleitkommazahlen zur Basis g mit Mantissenstellenzahl ( Genauigkeit ) N und Exponentenbereich {m Z m M}. Wir schreiben auch x = ±0.a 1 a 2 a N g m oder x = ± a 1 a N m ( m M ; a i {0,...,g 1} ; a 1 0)

48 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Für den Beweis von Satz 16 benötigt man folgende Definition: Gaußsche Klammer [x] := max{k Z k x} Bezeichnung auch ent(x) = [x] für entier. Beispiele: Basis g = 10 : Dezimalzahlen g = 2 : Dualzahlen g = 8 : Oktalzahlen g = 16 : Hexadezimalzahlen

49 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 6 Stetigkeit 6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte Sei D,W R, f : D W Abbildung (oder Funktion) D = Definitionsbereich, W = Wertebereich. Bezeichnungen: Unendliche Intervalle [a, ) := {x R x a}, (a, ) := {x R x > a}, (,a] := {x R x a}, (,a) := {x R x < a}. Beispiele: 1. Konstante Funktion f : R x a R ; 2. Identische Funktion id : R x x R ; 3. Absolutbetrag abs : R x x R ; 4. Gaußsche Klammer [x] := max{k Z k x}, 1, x > 0, 5. Signum Funktion sign : R x 0, x = 0, 1, x < 0 ; 6. Exponentialfunktion exp : R x exp(x) R. Algebraische Verknüpfungen von Funktionen (f,g : D R, r R) : f + g : D x f(x) + g(x) R ; r f : D x rf(x) R ; f g : D x f(x) g(x) R ; f g : D x f(x) g(x) R, wobei D := {x D g(x) 0} Komposition oder Hintereinanderausführung (f : D R, g : D R ; f(d) D ) g f : D x g(f(x)) R

50 Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Beispiele: 7. (vgl. Bspl. 3) abs = g f mit f : R x x 2 R, g : [0, ) x x R (wobei x = 0 für x = 0 gesetzt wird). 8. Polynom vom Grad n : n p : R x a i x i R i=0 wobei a 0,...,a n R, a n 0. Definition: Sei f : D R, a D. c R heißt Grenzwert von f in a genau dann, wenn für jede Folge (x n ) n N mit x n D n N, a = lim n x n gilt: c = lim n f(x n ). Wir schreiben: c = lim x a f(x). Satz 1 Sei f : D R, a D, c R. Dann sind äquivalent: (a) c = lim x a f(x) (b) ε > 0 δ > 0 x D : x a < δ = f(x) c < ε. Beispiele: 9. (vgl. Bspl. 3) lim x 0 abs(x) = 0 ; 10. (vgl. Bspl. 6) lim x 0 exp(x) = 1 ; 0, x < 0, 11. f : R x 1, x 0 ; lim f(x) existiert nicht. x

51 Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien 6.2 Stetige Funktionen Definitionen: Sei f : D R. 1. f heißt stetig in a D : lim x a f(x) existiert und f(a) = lim x a f(x). 2. f heißt stetig (in D) : f stetig in jedem a D. Satz 2 Sei f : D R, a D. Es sind äquivalent: (a) f ist stetig in a D. (b) Ist (x n ) n N eine Folge mit x n D, n N, lim n x n = a, dann gilt lim n f(x n ) existiert, lim n f(x n ) = f(a). (c) ε > 0 δ > 0 x D : x a < δ = f(x) f(a) < ε. Beispiele: 1. Die konstante und identische Funktion ist stetig in R. 2. Die Betragsfunktion abs ist stetig in R. 3. Die Exponentialfunktion exp ist stetig. Satz 3 Sei f : D R stetig in a D und f(a) > 0. Dann gilt: δ > 0 x (a δ,a + δ) D : f(x) > 0. Bemerkung: Funktionen, die an diskreten Stellen erklärt sind, z. B. f(n) = a n, n N, sind immer stetig