Zahlen, Folgen, Reihen. In diesem Kapitel wird nun wirklich der Grundstein der Analysis gelegt, darüber hinaus sollten. Kapitel 2

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1 Kapitel Zahle, Folge, Reihe I diesem Kapitel wird u wirklich der Grudstei der Aalysis gelegt, darüber hiaus sollte wir us och etwas de verschiedee Zahlbereiche widme. Mit atürliche Zahle rechet ma bereits i der Volksschule; weil mit ihe aber viele Gleichuge icht lösbar sid, werde gaze ud ratioale Zahle eigeführt. Auch die ratioale Zahle sid i vieler Hisicht ubefriediged, wir werde sie daher zu de reelle Zahle erweiter. Aber selbst i N sid mache Polyomgleichuge icht lösbar, das wird us letztedlich zu de komplexe Zahle brige. Parallel zu dieser Etwicklug des Zahlsystems werde wir eie mächtige Beweismethode keelere, die vollstädige Iduktio, ud eie wesetliche Eigeschaft vo Mege diskutiere, ämlich ihre Mächtigkeit. Vor allem aber werde wir us mit Folge befasse, de Begriff des Grezwertes eiführe ud damit erstmals versuche, das Uedliche mathematisch faßbar zu mache. The truth ist out there der Schlüssel zur höhere Mathematik liegt drauße i der Uedlichkeit, i der Beschäftigug mit uedlich viele, uedlich große oder uedlich kleie Objekte. Doch hier liege auch viele Schwierigkeite ud bis heute ugelöste Probleme. Als Awedug werde wir die praktisch bedeutsamste Folge behadel, die Reihe. Ei kleier Exkurs am Ede des Kapitels wird darüber hiaus eie erste Eiblick i die Welt der Fraktale gebe.

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3 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle. Natürliche Zahle Die atürliche Zahle hat us der liebe Gott gegebe, alles adere ist Meschewerk. (Leopold Kroecker) Tatsächlich sid gaze, ratioale, reelle ud komplexe Zahle aus de atürliche Zahle abgeleitet ud vo daher tatsächlich eie Erfidug des Mesche. Aber selbst die atürliche Zahle sid i der modere Mathematik icht gottgegebe, soder eie Mege, welche die Peao-Axiome erfüllt: ist eie atürliche Zahl. Jede atürliche Zahl hat eie Nachfolger, der auch eie atürliche Zahl ist. Für alle atürliche Zahle gilt. Für alle atürliche Zahle ud m gilt: We m da ist auch m. We die Mege T ur atürliche Zahle ethält, ethält ud, we sie ethält, damit auch ethält, da ist T gleich der Mege aller atürliche Zahle. Damit erhält ma die Mege aller positive gaze Zahle. Natürlich wird ma sich a die übliche Kovetioe halte, also mit bezeiche, mit 3, 3 mit 4 usw. Ob ma die atürliche Zahle mit Null oder Eis begie läßt, ist eher Geschmackssache, i diesem Skriptum wird ei Mittelweg gegage ud auf eie weite verbreitete Notatio zurückgegriffe:.. Summe ud Produkte N {,, 3, 4,...} N 0 {0,,, 3,...} Eies der wichtigste Dige, die ma mit atürliche Zahle tu ka, ist das Zähle. So werde atürliche Zahle oft als Laufzahle oder Idizes (Eizahl Idex) für Summe ud Produkte verwedet. Die Summe vo Zahle, die mit gekezeichet werde, ka ma daher kurz als a k a + a a schreibe. Das kleie k ist hier die Laufvariable, sie immt alle Werte vo bis a. Aalog schreibt ma für ei Produkt vo Zahle a k a a... a. A sich werde Summe ud Produkte rekursiv defiiert. Das bedeutet, eie Summe -ter Ordug wird auf eie ( )-ter Ordug zurückgeführt, diese auf eie Summe ( )-ter Ordug ud so fort. Dieses Spiel wird so lage fortgesetzt, bis ma ur mehr eie Summe erster Ordug vorliege hat, die ma leicht defiiere ka: a k a + a k für a für a k a a k für a für 3

4 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle Fakultät ud Biomialkoeffiziet Die Zahl!, gesproche Faktorielle oder Fakultät, ist ei gaz besoderes Produkt, ämlich das aller atürliche Zahle vo Eis bis :! k 3... Per Defiitio ist übriges 0! gesetzt worde, was sich später och als praktisch erweise wird. Natürlich ka ma auch die Fakultät rekursiv aschreibe: { ( )! für! für 0 Eie besoders wichtige Rolle i der Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik spielt der Biomialkoeffiziet ( )! k k! ( k)!, gesproche über k. Er gibt die Azahl der Möglichkeite a, aus eier Mege vo Objekte geau k auszuwähle. Da es immer ur eie Möglichkeit gibt, kei oder alle Objekte auszuwähle, ist ( ( ) 0). Wählt ma geau ei Objekt oder alle bis auf eies (damit wählt ma geau eies, das ma icht will), gibt es Möglichkeite: ( ) ( ). Gaz allgemei gilt auch: Wählt ma k Objekte aus, läßt ma damit die übrige liks liege, was eier egative Auswahl etspricht, für die es geau gleich viele Möglichkeite gebe muß: ( ) ( k k). Weitere, allerdigs weiger wichtige Recheregel für Biomialkoeffiziete sid: ( ) + k + k + ( k ) ( k + I der Praxis, besoders i viele Beweise, i dee derartige Ausdrücke vorkomme, ist es meist sicherer, diese Biomialkoeffiziete gemäß Defiitio i Quotiete vo Fakultäte aufzuspalte. Kokrete Zahlewerte lasse sich leicht aus dem Pascalsche Dreieck ablese. Jede Zahl dari ist die Summe ihrer beide obere Nachbar. I der (+)-te Zeile stehe die Biomialkoeffiziete ( k) mit k 0,,.... ) k k + ( k ) ( + k + ) ( ) + k + ( ) k Für beliebige Zahle α R ist der Biomialkoeffiziet defiiert durch ( ) α α (α ) (α )... (α k + ) k k! Gelegetlich stößt ma auch auf de Ausdruck!!: Das bedeutet das Produkt aller gerade bzw. ugerade Zahle vo bis Zwei bzw. Eis. { ( ) ( 4)... 4 für gerade!! ( ) ( 4)... 3 für ugerade 4

5 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle Spezielle Summe ud Produkte Wie groß ist die Summe der erste hudert atürliche Zahle? Bis ma durch bloßes Zusammezähle zu eiem Ergebis kommt, dauert es wahrscheilich relativ lage. Doch es gibt eie elegatere ud vor allem wesetlich schellere Methode, so etwas auszureche. I userem Fall braucht ma ja die Zahle icht der Reihe ach zu addiere, soder ma ka etwa zuerst eimal ud 00 zusammezähle ud erhält 0. Auch +99 ergibt wieder 0, ebeso 3+98 ud so weiter. Ma erhält also isgesamt 50 Paare, die jeweils 0 ergebe, die gesuchte Summe ist also Verallgemeiert ma diese Schluß, kommt ma zur arithmetische Summeformel: k ( + ) Eie weitere iteressate Frage ist jee ach der Summe +q + q q, also ach k0 qk. Wiederum würde es uter Umstäde sehr lage dauer, diese Summe direkt auszureche, ud wiederum hilft ei weig Nachdeke: Wir ee die Summe S + q + q q ud multipliziere sie mit q: S q q + q q + q + Nu subtrahiere wir die zweite vo der erste Gleichug: S S q + q q + q q ±... + q q q + Auf der rechte Seite bleibe ur ud q + übrig, alle adere Terme komme je eimal mit positivem ud eimal mit egativem Vorzeiche vor. Also erhält ma ud daraus die geometrische Summeformel: ( q) S + q + k0 q k q+ q Auch mache Produkte braucht ma icht ubedigt Term für Term auszumultipliziere, soder ka eifachere Formel verwede. Für die erste Poteze (a + b) gilt ja: (a + b) a + ab + b ud (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Die Zahlekombiatioe,, ud, 3, 3, komme vielleicht machem bekat vor, es hadelt sich eifach um die Biomialkoeffiziete. Allgemei gibt es ämlich beim Ausmultipliziere ( k) Möglichkeite, ei Produkt a k b k oder a k b k zu bilde, es gilt also der biomischer Lehrsatz: (a + b) k0 ( ) a k b k k Der Legede ach wurde diese Aufgabe dem juge Carl Friedrich Gauss i der Schule gestellt, weil sei Mathematiklehrer ih edlich eimal für eiige Miute dazu brige wollte, keie Frage mehr zu stelle. Der Versuch mißlag, da Gauss die Aufgabe mit dem selbe Trick, de auch wir agewedet habe, bie kürzester Zeit löste. 5

6 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle.. Die Abzählbarkeit Es gibt geau drei Arte vo Mathematiker: die, die zähle köe, ud die, die icht zähle köe. (sprichtwörtlich) Ei sehr wesetlicher Begriff beim Umgag mit Mege ist ihre Mächtigkeit. Für edliche Mege ist das schlicht die Azahl der Elemete, so hat etwa M {, a, 9, 3+i, x y } die Mächtigkeit Füf. Wie ist es aber mit uedliche Mege? Hier läßt sich die Mächtigkeit icht mehr durch eie eifache Zahl beschreibe. Ma ka atürlich die Mächtigkeit als Uedlich bezeiche dabei zeigt sich aber, daß es verschiedee Arte vo Uedlichkeit gibt. Dagege sid köe zwei uedliche Mege, die ituitiv verschiede groß wirke, durchaus die gleiche Mächtigkeit habe. Als Beispiel betrachte ma die atürliche ud die gerade Zahle. Ituitiv würde ma wohl sage, daß es doppelt so viele gerade wie atürliche Zahle gibt. Aber schreibe wir die beide Mege eimal utereiader: N {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} G {, 4, 6, 8, 0,, 4,... } Ascheied etspricht jeder atürliche Zahl geau eie gerade Zahl ud umgekehrt. We es aber eie solche i beide Richtuge eideutige Zuordug gibt, müsse beide Mege gleich mächtig sei. Jede Mege, die gleich mächtig ist wie jee der atürliche Zahle, wird abzählbar geat. Gaz allgemei gilt, daß zwei Mege gleich mächtig sid, we es eie bijektive bbildug zwische ihe gibt, also eie Zuordug, die ei beide Richtuge eideutig ist ud beide Mege abdeckt. Später wird gezeigt, daß die ratioale Zahle abzählbar sid obwohl zwische zwei atürliche Zahle uedlich viele ratioale liege! Gaz allgemei ka eie Teilmege eier uedliche Mege och ebeso mächtig sei wie die ursprügliche Mege ei Umstad der durchaus für Verwirrug sorge ka. Die Abzählbarkeit ist übriges der kleiste Grad a Uedlichkeit, die reelle Zahle beispielsweise sid bereits überabzählbar. Exkurs: Auf de große Mathematiker David Hilbert geht ei Gedakeexperimet zurück, das als Hilberts Hotel bekat ist ud mit desse Hilfe ma sich die Eigeschafte (abzählbar) uedlicher Mege gut veraschauliche ka. Hilberts Hotel hat die bemerkeswerte Eigeschaft, (abzählbar) uedlich viele Zimmer zu besitze. Trotzdem, eies Abeds kommt ei euer Gast a ud muß zur Ketis ehme, daß alle Zimmer belegt sid. Empfagschef Hilbert dekt eie Weile über das Problem ach ud versichert dem Neuakömmlig schließlich, er werde ihm ei freies Zimmer beschaffe. Hilbert bittet u alle scho eiquartierte Gäste, i das Zimmer mit der ächsthöhere Nummer umzuziehe. Wer zuerst i Zimmer Eis gewoht hat, übersiedelt ach Zwei, wer i Zwei gewoht hat, ach Drei ud so fort. Jeder, der vorher ei Zimmer gehabt hat, hat auch hiterher eies, ud Nummer Eis ist für de eue Gast frei. Doch am ächste Abed stellt sich Hilbert ei och viel größeres Problem: Wieder sid alle Zimmer belegt, aber diesmal hält vor dem Hotel ei Bus mit (abzählbar) uedlich viele Gäste, die alle ei Zimmer wolle. Doch auch hier läßt sich eie Lösug fide: Jeder Hotelgast wird gebete, i das Zimmer mit der doppelt so große Nummer umzuziehe. Der Gast vo Eis übersiedelt ach Zwei, der vo Zwei ach Vier, der vo Drei ach Sechs usw. Damit werde uedlich viele Zimmer (alle mit eier ugerade Nummer) für die eue Gäste frei. 6

7 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle..3 Vollstädige Iduktio Wir komme u zu eier außerordetlich mächtige Beweistaktik, die sich i viele Fälle awede läßt, we eie Aussage vo eier atürliche Zahl abhägt. Eiige Beispiele dafür habe wir scho keegelert, etwa die Summeformel k ( + ) ud k0 q k q+ q Scho der Beweis dieser Formel erforderte etwas Gehirakrobatik, erst recht mühsam würde k + es, we ma es Aussage wie etwa k für alle N 0 so agehe wollte. k0 Deswege wolle wir u eie formalisierte Weg fide, solche Formel zu beweise. Als kokretes Beispiel ehme wir A(): + 7 < 3 für alle 3. Setze wir 3 ei, erhalte wir 9+7 < 7, also eie wahre Aussage. Auch für 4, 5, 6,... ergebe sich jeweils wahre Aussage. Bewiese ist damit allerdigs och ichts, de es köte ja eie (uter Umstäde sehr große) Zahl N gebe, für die A(N) plötzlich falsch ist. Eisetze kokreter Zahle brigt us also icht weiter. Wechsel wir also die Taktik: We für irgedeie (icht äher festgelegte) Zahl die Aussage A() gilt, was läßt sich da über A(+) aussage? I userem Beispiel setze wir also + 7 < 3 für ei bestimmtes als richtig voraus. Nu betrachte wir ( + ) Jetzt habe wir aber bereits ageomme, dass + 7 < 3 ist, ud we wir das verwede, köe wir weiter schreibe ( + ) < Mit Sicherheit ist aber ( + ) größer als 3 + +, da ja ur och zusätzlich ei positiver Term 3 + vorkommt. Wir erhalte also weiter ( + ) < < ( + ) 3, isgesamt also ( + ) + 7 < ( + ) 3. Wir habe also die gleiche Aussage, die wir für eie beliebige Zahl als wahr ageomme habe, auch für die ächste, ämlich + erhalte. Uter der Voraussetzug, dass A() stimmt, stimmt also auch A( + ). Die Zahl war aber icht äher festgelegt, also gilt das Gleiche auch für A( + ) ud A( + ) usw. Fidet ma also eie Zahl 0, für die A( 0 ) gilt, da stimmt A() auch für alle 0. I userem Fall ist aber bereits A(3) eie wahre Aussage, also stimmt + 7 < 3 für alle 3. Eie häufig zitierte Aalogie ist die des Domios: Will ma erreiche, dass dabei alle Steie umfalle, da geüge dazu zwei Dige: Jeder Stei muss im Falle auch de ächste umwerfe ud der erste Stei muss per Had umgestoße werde. Auch we das Gaze ei weig ach Müchhauses sich selbst a de Haare aus dem Sumpf ziehe aussieht, es fuktioiert ud ist logisch eiwadfrei begrüdet. 7

8 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle Das Prizip der vollstädige Iduktio Der Beweis eier vo eier atürliche Zahl abhägige Aussage A() für 0 mittels vollstädiger Iduktio verläuft formal i drei Schritte: ) A() Iduktiosaahme: Hier wird die zu beweisede Aahme formuliert. ) A( 0 ) Iduktiosbegi: muß eie wahre Aussage sei. 3) + Iduktiosschritt: Uter der Aahme, dass A() richtig ist, muß (z.b. mittels Umformuge) gezeigt werde, dass A(+) ebefalls richtig ist. Dabei sollte ma auf die Verwedug der Iduktiosaahme explizit hiweise, asoste ist der etsprechede Schritt für adere oft schwer achzuvollziehe. Noch eimal kurz das Prizip: Aus A( 0 ) ud A() A(+) folgt selbstverstädlich A( 0 +), A( 0 + ), A( 0 + ),... ud damit ist die Aussage für alle 0 bewiese. Hägt eie Aussage vo mehrere atürliche Zahle ab, so braucht der Iduktiosbeweis ur für eie davo geführt zu werde, allerdigs darf sich für die adere dabei keie Eischräkug ergebe. I mache Fälle ist es eifacher, de Schluss vo ach zu vollziehe, auch dass ist atürlich zulässig. Der Iduktiosschritt ist meist schwieriger zu vollziehe, demetspreched wird das Hauptgewicht meist auf diese gelegt. Doch der Iduktiosafag ist icht weiger wichtig, es gibt Behauptuge, die für alle N falsch sid ud für die sich der Iduktiosschritt trotzdem durchführe läßt. So ist beispielsweise wäre für richtig, so ergibt der Iduktiosschritt: + k 0 mit Sicherheit falsch, immt ma aber a, es k ( + ) k A. ( + ) 0 0. Exkurs: Iduktio ud Deduktio I der Logik ud allgemei i der Wisseschaft gibt es zwei uterschiedliche Schlußweise: Iduktio ud Deduktio. Gaz grob gesproche ist Iduktio der Schluß vom Spezielle auf das Allgemeie, Deduktio der Schluß vom Allgemeie auf das Spezielle. Währed die Deduktio logisch eiwadfrei ist, ist der Schluß durch Iduktio icht zwiged richtig (die eizige Ausahme ist die vollstädige Iduktio)! Als Beispiel: Setze wir Newtos Gravitatiosgesetz als richtig voraus, so köe wir daraus deduktiv de Schluß ziehe, daß ei Stei ach ute fällt, daß sich die Erde auf eiem Kegelschitt um die Soe bewege muß ud aderes mehr. Stimmt das Gravitatiosgesetz, so stimme auch diese Vorhersage. Nu fällt aber ei Naturgesetz icht vom Himmel, ud so muß ma zuerst de umgekehrte Weg gehe. Aus viele Beobachtuge leitet ma iduktiv ei Naturgesetz ab, ob es sich u um das Gravitatiosgesetz, die Maxwell-Gleichuge oder die Evolutiostheorie hadelt. Erst aus solche Gesetze lasse sich deduktiv Schlüsse ziehe. Wege der prizipielle Uzuverlässigkeit der Iduktio ka ma sich aber ie vollkomme sicher sei, daß die auf solchem Weg abgeleitete Erketisse wirklich wahr sid. Natürlich, we sich eie Theorie mit de Beobachtuge deckt ud we sie Vorhersage macht, die sich später auch tatsächlich als richtig erweise, spricht viel für ihre Gültigkeit. Es ka aber immer passiere, daß sich ei Ereigis der Theorie widerspricht, ud da ist diese zu verwerfe oder zumidest zu erweiter. Die Mathematik leht ja die Iduktio (mit Ausahme der vollstädige) als Schlußweise vollkomme ab: Auch taused Beispiele sid och kei Beweis. Viele Vertreter solcher Theorie eige allerdigs dazu, eifach das Ereigis selbst zu igoriere. Provokat, aber icht gaz uwahr gesagt: Neue Theorie setze sich icht durch, idem sich die Vertreter der alte überzeuge lasse, soder idem diese mit der Zeit aussterbe. 8

9 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle..4 Übugsaufgabe vollstädige Iduktio Ma beweise durch vollstädige Iduktio: : + : (k ) < 3 für alle atürliche. 3 0 < 3 ist offesichtlich richtig + (k ) (k ) + laut Iduktiosaahme < < Ma beweise für atürliche Zahle : : + : ( < ( + )3 3 ) ( + ) k (k + ) 3 k ( + ) 3 ( + ) stimmt. 3 + ( ) ( k (k + ) k (k + ) k k ( + ) ( + ) ( + ) 3 ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + 3) ( + ) ( + ) ), was zu beweise war. lt. Id. A. Ma zeige für N: ( + k) ( k) : : ( + ) (4 ) 6 k0 0 ( + k) ( k) 3 stimmt. 6 ( + + k) ( + k) ( + + k) ( + k) + ( + ) k0 k0 k0 (( + k) ( k) + ( + )) + ( + ) k0 ( + k) ( k) + ( + ) + ( + ) k0 k0 ( + ) (4 ) 6 ( + ) ( ) + ( + ) + ( + ) laut Iduktiosaahme ( + ) (4 ) 6 ( + ) ( ) 6 6 ( + ) ( + ) (4 + 3), womit die Behauptug bewiese ist ( + ) ( + ) 6 Ma beweise, dass 5 durch 4 teilbar ist. : 5 4 ist atürlich durch 4 teilbar. + : } 4 {{ 5 } + 5 }{{} ist ebefalls durch 4 teilbar. durch 4 tb. tb. lt. A. 9

10 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Natürliche Zahle Ma beweise iduktiv die beide Summeformel a) a) : + : b) 0: + : k + k0 k0 ( + ) stimmt. k ( + ) ud b) ach Aahme ( + ) +( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) +. 0 q k q q stimmt. k0 + q k q k + q + ach Aahme q + + q + q q+ q + q+ q + q q+. q k0 q k q+. q Ma beweise ( + x k) + x + x x, we alle x k (, 0) oder alle x k > 0 sid ud leite daraus die Beroulli-Ugleichug ( + a) + a für a > ab. : + x k + x k ist eie wahre Aussage. + : Uter de Voraussetzuge für x k ist x j x k > 0 ud + x k > 0. + lt. A. ( + x k ) ( + x + ) ( + x k ) ( + x + ) ( + x + x x ) + x + x x + x + + x + x +... x + x > + x + x x +. Für die Wahl x... x a erhält ma sofort die Beroulli-Ugleichug für a (, 0) oder a > 0, für de Fall a 0 erhält ma trivialerweise + 0. Schließt ma de Fall a 0 aus, so erhält ma für statt des ei echt >. Ma beweise für alle N die Formel : + : k k + + ( ). + 0 stimmt atürlich. + k k k k + ( + ) + laut Iduktiosaahme + + ( ) + ( + ) ( + + ) Scheitert der Beweis vo + ist gerade für alle 00 am Iduktiosafag, am Iduktiosschritt oder a beidem? 0 ist ugerade, womit der Iduktiosafag icht gegebe ist, der Iduktiosschritt higege läßt sich vollziehe: ( + ) + + }{{} gerade ach Aahme + wäre gerade. 0

11 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge. Zahlefolge Nach de atürliche Zahle stelle wir i diesem Abschitt u ei Kozept vor, das sich als eies der wichtigste der gesamte Aalysis erweise wird, das der (uedliche) Folge. Erst mit ihrer Hilfe ka ma zum Begriff des Grezwertes vordrige, ud ur mit diesem ka ma wiederum alles, was später och komme wird Stetigkeit, Ableituge, Itegrale ud mehr auf ei solides Fudamet stelle. Aber immer lagsam, was versteht ma u überhaupt eimal uter eier Folge? Eie solche erhält ma, we ma mittels eier völlig beliebige Vorschrift jeder atürliche Zahl eideutig eie reelle Zahl a zuordet. Diese Zahle bilde u eie Folge, hier eie reelle Zahlefolge. Die a werde dabei als Folgeglieder bezeichet, für eie Folge schreibt ma gewöhlich {a }, {a } N oder auch kurz {a }; rude Klammer sid dabei ebeso üblich wie geschwugee. Bsp: Beispiele für solche Folge wäre etwa: {a } {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}, {b } {,, 3, 4, 5, 6, 7,...}, {c } { 4,,,, 3, 4, 5, 6,...}, {d } {,,,,,,,...}, {e } {, 3, 3 5, 4 7, 5 },..., {f } { 0, 3, 3, 5 4, 4 5, 7 6,...}, {g } {,,, 3, 5, 8, 3,,...}, N R a a a a 3 4 a aber ohe { weiteres auch {h }, 7 π π, 56, 04, 6 },, 44,... selbst we hier das Bildugssgesetz ei weig uklar erscheit Die Zuordug selbst ka durch eie explizite Formel erfolge, aber durch eie verbale Bildugsvorschrift, rekursiv oder auf jede adere dekbare Art. Die Schreibweise mit de drei Pukte wird oft verwedet, es sollte aber da umittelbar klar sei, wie es weitergehe soll, icht so wie bei der Folge {h } im obere Beispiel. 3 Bsp: Mittels a oder b wird also geauso eie Folge erklärt wie mit e ist die -te Wurzel der -te Primzahl oder g, g, g + g + g +. Ei weig schlampig werde Folge oft direkt durch ihre Bildugsvorschrift gekezeichet, also die Folge a ( ) + statt die Folge {a } mit a ( ) +. Der Kürze zuliebe wird das auch i diesem Text gelegetlich passiere. Nebe de hier behadelte Zahlefolge gibt es atürlich auch Folge vo fast beliebige Objekte, vor allem Fuktioefolge werde später och eie wichtige Rolle spiele. Graphisch veraschaulicht werde Zahlefolge meist auf eie vo zwei Arte: I der aufwädigere trägt ma a gege auf (wie später auch bei Fuktiosgraphe; ud tatsächlich sid Folge ja Fuktioe N R). Für die Folge {a } bis {c } aus dem obige Beispiel erhält ma dafür das rechts dargestellte Bild. Oft verzichtet ma bei Folge aber auf eie Achse ud zeichet eizele Folgeglieder direkt auf der Zahlegerade ei: 3 Streggeomme läßt sich aus eier edliche Azahl vo Folgeglieder atürlich die Bildugsvorschrift ie mit Sicherheit feststelle.

12 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge Beschräktheit ud Mootoie Zahlefolge habe auf de erste Blick große Ählichkeite mit Mege; der wichtigste Uterschied ist, dass bei Folge eie Ordug vorgegebe ist. Währed bei Mege mit M {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} ud M {,, 4, 3, 6, 5, 8,...} atürlich M M ist, sid {a } {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} ud {b } {,, 4, 3, 6, 5, 8,...} zwei vollkomme uterschiedliche Folge. Oft macht es aber Si, die Mege A aller Folgeglieder a zu betrachte. Auf diese Weise köe wir ämlich mache Begriffe, die für Teilmege vo R (oder allgemeier eies geordete Körpers bzw. metrische Raumes) defiiert sid, recht eifach auf Folge übertrage: So heißt eie Folge a ach obe beschräkt, we es eie reelle Zahl M gibt, so dass a M für alle N, ach ute beschräkt, we es ei m R gibt, so dass a m für alle N ud beschräkt, we sie ach obe ud ute beschräkt ist. Bsp: {a } mit a ist ach ute, {b } mit b ach obe ud ute, {d } mit d ( ) + ebefalls ach obe ud ute sowie {f } mit f ( ) + wieder ach obe ud ute beschräkt. Nebe der Beschräktheit gibt es och eie adere sehr wichtige Eigeschaft vo Folge, die Mootoie. Ist jedes Folgeglied gleich groß oder größer als das voragegagee, so heißt die Folge mooto wachsed, schließt ma auch de Fall der Gleichheit aus, so spricht ma vo streger Mootoie. Aaloges gilt für kleier werdede Folgeglieder ud mootoes Falle. Ist eie Folge sowohl mooto wachsed als auch mooto falled, da ist sie kostat, also a a für alle. Bsp: So sid a ud c 3 streg mooto wachsed. Das ist zwar vollkomme offesichtlich, der formale Beweis läßt sich aber auch auf raffiiertere Beispiele übertrage. Im erste Fall ergibt sich sofort: a + a + > 0, die Differez der Folgeglieder ist immer positiv. Im zweite Fall köte ma ebefalls so argumetiere, och elegater ist aber die Betrachtug des Quotiete c + c >, auch das 3 bedeutet streg mootoes Wachse. Die Folge b ist streg mooto falled, de b + b + (+) (+) (+) < 0. Higege sid d ( ) + ud f ( ) + sicher icht mooto, die Folge sprige ja städig zwische positive ud egative Werte hi ud her. Im erste Fall etwa erhält ma für die Differez zweier Folgeglieder d + d ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ). Beschräktheit Mootoes Wachstum

13 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge.. Kovergez ud Grezwert Betrachtet ma die Folge a so fällt auf, dass sich ihre Werte mit größer werdedem immer mehr der Null äher. So scheit die Null, auch we sie gar kei Folgeglied ist, für die Folge doch irgedwie charakteristisch zu sei. Aber immer schö lagsam. Um das irgedwie charakteristisch etwas exakter zu fasse: Was macht die Besoderheit dieser Zahl bezoge auf die Folge i userem Beispie aus? Doch wohl, dass der Abstad der Fogleglieder zu ihr beliebig klei wird, d.h. a 0 < ε für jedes beliebige ε > 0, we ur groß geug ist. Aders gesagt: We wir eie ε-umgebug (wieder mit beliebig kleiem ε > 0 des Puktes x 0 betrachte, da liege fast alle (also alle bis auf edlich viele) Folgeglieder i dieser Umgebug: Dies erweiter wir u auf de gaz allgemeie Fall: We es zu eier Folge {a } eie Zahl A gibt, so dass der Abstad der Folgeglieder a zu A, also a A für geüged großes beliebig klei wird, so ee wir die Folge koverget ud A de Grezwert der Folge. Symbolisch schreibt ma das (vom lateiische limes für Greze) als lim a A oder kürzer. a A bzw. überhaupt ur a A. Etwas formaler ausgedrückt, liest sich die Abstad beliebig klei -Bedigug als: {a } ist koverget zum Grezwert A, ε > 0 N N > N : a A < ε Die Zahl N wird im allgemeie atürlich vo ε abhäge, deshalb schreibt ma dafür auch gere N ε. Ihr geauer Wert ist aber icht etscheided (ud we die Bedigug a A für alle > N erfüllt ist, gilt das ebeso für alle > N mit eiem beliebige N N. Bsp: Die Folge a ( ), b ud c! +! sid jeweils koverget mit de Grezwerte lim a 0, lim b, lim c. Was hier recht eileuchted, vielleicht sogar ei weig trivial ausieht, ist das Ergebis jahrhudertelager Bemühuge, das Fudamet, auf dem ahezu die gesamte Aalysis auf der eie oder adere Weise aufbaut. Mittels Kovergez vo Folge begrüdet ma beispielsweise Grezwerte vo Fuktioe ud damit wiederum die gesamte Differetialrechug, ebeso ist das Kozept des Itegrals das Ergebis eies ähliche Grezprozesses. 3

14 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge Recheregel für Grezwerte Aus der Defiitio des Grezwerts lasse sich atürlich sofort eiige allgemeie Aussage ud Recheregel ableite. So ist klar, dass icht jede Folge eie Grezwert habe wird, ma betrachte z.b. a oder c ( ). Folge, die icht koverget sid, et ma diverget 4. Gibt es aber für eie Folge eie Grezwert, so ist dieser eideutig bestimmt. Klar, de gäbe es zwei uterschiedliche Grezwerte A ud A, so hätte diese eie edliche Abstad d, ud für ε < d köte icht i eier ε-umgebug vo jedem dieser Werte fast alle Folgeglieder liege. Fudametale Recheregel für kovergete Folge sid: We {a } ud {b } kovergete Folge sid, so ist auch {a + b } koverget mit: lim (a + b ) lim a + lim b Ebeso ist da {a b } koverget mit lim (a b ) lim a lim b Aus lim a 0 folgt: lim (a b ) 0, we {b } beschräkt ist. Kostate köe vor de Grezübergag gezoge werde: lim (c a ) c lim a. Vorsicht, die Umkehrug der obige Regel muss keiesfalls gelte! Betrachtet ma etwa a ( ) ud b ( ) + sid beide diverget, die Summefolge {a + b } ist higege klar koverget: lim (a + b ) lim (( ) + ( ) + ) lim (( ) ( ) ) lim 0 0 Epsilotik Zum Beweis der obige Recheregel greift ma meist direkt auf die Defiitio des Grezwertes zurück. Ma immt also ei ε > 0 als gegebe a ud zeigt da, dass der Abstad zwische dem aktuelle Folgeglied ud dem Grezwert für geüged großes kleier als dieses ε wird. Da ε je beliebig klei gewählt werde ka, ist damit der Beweis erbracht. Bsp: Wir beweise die erste der obige Recheregel, also dass aus lim a A ud lim b B umittelbar lim (a + b ) A + B folgt. We {a } koverget zum Grezwert A ist, gibt es zu jedem ε ei N N, so dass a A < ε für > N wird (der Abstad soll ja beliebig klei werde köe). Außerdem gibt es ei N, so dass b B < ε für > N ist. N sei die größere der beide Zahle N ud N, also N max(n, N ). Damit gilt aber für alle > (ma beachte die Dreiecksugleichug): (a + b ) (A + B) (a A) + (b B) a A + b B < ε + ε ε Diese Beweise werde aufgrud der itesive Verwedug vo ε > 0 halb scherzhaft uter Epsilotik zusammegefaßt; aus ihrem Umfeld stammt auch der wahrscheilich kürzeste Mathematikerwitz: Epsilo kleier Null. 5 4 Gibt es für eie Folge {a } zu jedem R R ei N, so dass a > R bzw. a < R für alle > N ist, we die Folge also über jede beliebige Schrake wächst oder uter jede fällt, so et ma sie bestimmt diverget ud schreibt symbolisch auch lim a + bzw. lim a. 5 Es hadelt sich dabei weiger um eie wirkliche Witz, eher um eie Art Idikator: Ma erzählt ih auf eier Party die, die lache, sid Mathematiker. 4

15 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge.. Kovergezkriterie für Folge Arbeitet ma mit der direkte Defiitio vo Grezwert ud Kovergez, so erweist sich die Überprüfug bei kompliziertere Folge oft als recht aufwedig oder upraktisch. Zudem muss ma dazu de Grezwert ja scho kee. Im Folgede werde daher och drei Kriterie vorgestellt, mit dere Hilfe ma die Kovergez vo Folge machmal auf leichtere Weise überprüfe ka: Hauptsatz über mootoe Zahlefolge: Eie ach obe beschräkte mooto wachsede Folge ist koverget, ebeso eie ach ute beschräkte mooto fallede. Das ist umittelbar eisichtig, we eie Folge immer wächst, eie gewisse Wert aber icht überschreite ka, muss sie ja wohl eie Grezwert habe, ud aalog für das Falle. Cauchy-Kriterium: We es für jedes ε > 0 eie atürliche Zahl N gibt, so dass a a m < ε für alle, m > N ist (Cauchy-Folge), da ist die reelle Zahlefolge {a } koverget. Ma beachte, dass (im Gegesatz zur ormale Kovergez) im Cauchy-Kriterium der Grezwert A überhaupt icht vorkommt ( ieres Kriterium ), ma ka also die Kovergez überprüfe, ohe de Grezwert überhaupt zu kee. Allerdigs ist das Cauchy- Kriterium recherisch meist schwierig zu hadhabe. Außerdem ist zu beachte, dass dieses Kriterium etwa für Folge i de ratioale Zahle Q icht awedbar ist, da Q icht vollstädig ist (dazu mehr i??). Sadwich-Kriterium: We a b c für alle bis auf edlich viele ud lim a lim c : A ist, so folgt daraus: Auch {b } ist koverget ud hat de Grezwert A. Zum Beispiel hat die Folge {b } mit b + si de Grezwert Eis, weil wege si immer gilt a : + si + : c ud weil ja lim a lim c ist. Kompliziertere Grezwerte köe mittels Umformuge i eifachere aufgespalte werde. Dabei ist aber zu beachte, dass das ur zulässig ist, we alle so etstehede Eizelgrezwerte auch tatsächlich existiere ud isgesamt keie ubestimmte Form (wie etwa 0 0 ) erhalte wird: lim + + lim ( + ) lim ( + ) + lim + lim lim ( + ) ( + lim ) lim Zur effektive Berechug vo Grezwerte ist es gut, die folgede Limite zu kee: lim a, Außerdem ist lim lim α, lim!, a lim! ( 0, lim + e, 788 ) 0 für jedes α > 0. Das ka ma bei der Berechug der Grezwerte vo Folge ausutze, dere Glieder ratioale Fuktioe i sid, die also die Form a habe. Ma dividiert Zähler ud Neer durch die höchste irgedwo C p p +C p +...+C +C 0 D r r +D r r +...+D +D 0 α vorkommede Potez max(p,r). Wege lim Potez eie Rolle. Bsp: 0 spiele u ur mehr die Koeffiziete dieser Wir erhalte lim + + lim

16 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge..3 Limes superior ud Limes iferior I viele Fälle wird es für eie Folge keie Grezwert gebe (also eie Zahl, für die i jeder beliebig kleie Umgebug fast alle Folgeglieder liege), sehr wohl aber eiige Werte, bei dee ma i jeder och so kleie Umgebug uedlich viele Folgeglieder fidet. Nehme wir zum Beispiel a ( ) +. Hier liegt zwar Divergez vor, aber i jeder Umgebug vo x ud x fide sich uedlich viele Folgeglieder (fast alle gerade bzw. fast alle ugerade). Wir köe also die Folge {a } i zwei Teilfolge uterteile: b k : a k + k c k : a k+ + k + die beide kovergiere: b k, c k. Im allgemeie Fall ka es atürlich viele Pukte gebe, bei dee sich Folgeglieder häufe ( ud wiederhole dabei auch gleich och etwas Topologie: Die Glieder eier Folge {a } bilde (siehe Eileitug) eie Mege A, die uter Umstäde auch Häufugspukte habe ka. Es gilt ach Bolzao-Weierstraß ja sogar, daß jede beschräkte uedliche Mege zumidest eie Häufugspukt habe muss. I jeder Umgebug eies solche Häufugspuktes H muss zumidest ei Elemet liege, das heißt, die Folgeglieder dräge sich a de Häufugspukt beliebig dicht hera. Zusamme mit alle Werte, die vo der Folge uedlich oft ageomme werde (wie etwa x ud x vo d ( ) + ), bilde die Häufugspukte die Mege der Verdichtugspukte. I jeder Umgebug eies Verdichtugspuktes liege also uedlich viele Folgeglieder. Der größte dieser Verdichtugspukte heißt Limes superior (lim sup a oder lim a ), der kleiste heißt Limes iferior (lim if a oder lim a ). Bsp: Für die Folge {f } { 0, 3, 3, 5 4, 4 5, 7 6, 6 7, 9 8,..., ( ) +,..., } gilt: lim sup f ud lim if f. Es ka atürlich für eie Folge der Fall sei, dass Limes superior ud Limes iferior zusammefalle. I diesem Fall spricht ma bei beschräkte Folge eifach vom Grezwert oder Limes eier Folge (A lim a ). Außerhalb jeder Umgebug vo A dürfe demach ur edlich viele Folgeglieder liege. Der Begriff des Grezwerts eier Folge ist eier der wichtigste, we icht der wichtigste der gesamte Aalysis. 6

17 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge..4 Übugsaufgabe Folge Ma bereche de Grezwert der Folge a ( ) a Damit erhält ma problemlos lim a lim + +. ( (+ ) ( ) Ma bereche de Grezwert der Folge a 4( ) ( ) 3( + 3). a 4( ) ( ) 3( + 3) lim a lim 4( ) ( ) 3( + 3 ) 4( ) ( ) 3( + 3 ) 4( 0) ( 0) 3( + 0) 3 Ma utersuche die Folge a ( ) ( + ) ud b auf Kovergez ud bereche gegebeefalls die Grezwerte. ( ) ( ) a ( ) ( ) ( + ) ( ) Nu ist lim + + ; wege des ( ) ist {a } also diverget. b k + ( + )/ ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + 4 ( lim b lim ) ( + 4 lim ) Ma bereche de Grezwert der Folge a a ( ). ( ) ( )) ( ( )) (+) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) Ma bereche de Grezwert der Folge a +. a ( + )( + + ) + + lim a lim ( )

18 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge Ma zeige, dass mit [a, b ], wobei a ( + ) (k + ) ud b k0 + ( + ) Itervallschachtelug vorliegt. Welche reelle Zahl wird dadurch defiiert? ( ) a ( + ) l ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) l + ( ) + ( + ) ( + ) b ( + ) k ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) k ist, eie Ma erket scho lim a lim b. Mit diesem Wisse ka ma versuche, die Folgeglieder och etwas umzuforme: a + ( + ) + ( + ) + ( + ) wächst streg mooto ( + ) b + + ( + ) + ( + ) + + ( + ) + fällt streg mooto ( + ) Für die Differez der beide Folge gilt: b a + 0. Da beide Folge de gleiche Grezwert habe, die eie mooto wächst, die adere mooto fällt, liegt eie Itervallschachtelug vor, sie defiiert die Zahl. Gegebe ist a ( ) ( ) + ( ) 3 + ( + ). Ma bestimme lim sup a ud lim if a. Bei Ausdrücke, i dee ( ) vorkommt, biete sich meist Falluterscheiduge a: gerade: k a k 4k 6k + + k 4k + 4 k ( ) 3 4k + ugerade: k + a k+ k + 6k + 4 4k k 4 4 Demach ist lim sup a 3 ud lim if a. Ma zeige, daß die Folge a (+a) a! für jede reelle Zahl a kovergiert ud bestimme de Grezwert. ( ) ( ) ( + a) Wir wisse lim a lim a + a a lim lim!!. ( ) + a ( Nu ket ma bereits (oder sollte zumidest kee) lim lim + a e ) a. a Weiters ist lim 0 das sieht ma am eifachste, idem ma ei allgemeies Folgeglied! explizit aschreibt: a! a a... a. Sowohl im Zähler als auch im Neer steht ei Produkt vo... Faktore, aber währed diese über dem Bruchstrich de immer de Wert a habe, werde sie daruter mit wachsedem immer größer, ud für geht der Ausdruck gege Null. Beide Grezwerte existiere, damit ist der Grezwert des Produkts gleich dem Produkt der Grezwerte, ud ma erhält lim a e a

19 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge..5 Rekursive Folge Nebe de Folge, dere Glieder durch eie explizite Formel agegebe sid, a f(), habe vor allem jee Folge große Bedeutug, die rekursiv defiiert werde. Sie mache üblicherweise auch (sei es jetzt bei reale Probleme oder bei Prüfuge) die meiste Probleme. Eie Folge, dere Glieder icht durch eie explizite Bildugsvorschrift (), soder aufbaued auf voragegagee Folgeglieder agegebe werde (z.b., gegebe), et ma eie rekursive Folge. ka gewöhlich erst berechet werde, we bereits alle vorherige Folgeglieder bekat sid. Bsp: Eies der bekateste Beispiele für eie rekursive Folge ist die Fiboacci-Folge mit der Bildugsvorschrift :,, ud, also de Werte. Diese Folge ist diverget, der Quotiet higege kovergiert gege de Goldee Schitt (proportio divia). Die meiste Erketisse über rekursive Folge werde durch vollstädige Iduktio gewoe, mittels dieser ka ma fast alle etsprechede Beweise führe. Um die Kovergez eier rekursive Folge achzuweise, gibt es i de meiste Fälle ur zwei Möglichkeite: Ka ma (iduktiv) zeige, daß die Differez immer größer bzw. immer kleier als Null ist (die Folge also mooto ist) ud daß die Folge ach obe bzw. ach ute beschräkt ist, so ist die Kovergez bewiese. Die adere Möglichkeit ist die Awedug des (meist aufwedige) Cauchy-Kriteriums. Zur Erierug: Mootoie ud Beschräktheit Cauchy-Kriterium: We es für alle eie atürliche Zahl gibt, so daß der Abstad kleier als wird, we ur ud m größer als sid, da ist die Folge koverget. Hat ma erst eimal bewiese, daß eie rekursive Folge koverget ist, ist das Bereche des etsprechede Grezwertes zumidest im Prizip icht mehr schwer. Im Grezfall gehe ämlich alle,, usw. i de Grezwert a über. Ma erhält damit eie implizite Gleichug, die ur och ach a aufgelöst werde muss. Bsp: Für die Folge, erhält ma als erste Glieder, ma ka vermute, dass die Folge mooto wachsed ud durch ach obe beschräkt ist. Beide läßt sich leicht mittels Iduktio beweise: ; : ; : lt. Iduktiosaahme ; : ; : Für de Grezwert erhält ma u Geligt es icht, auf eifachem Weg eie passede Schrake zu fide, hilft es oft, de Grezübergag formal durchzuführe, auch we icht sicher ist, ob die Folge wirklich kovergiert. Die so gefudee Zahl ka probeweise als Schrake eigesetzt werde. Erhält ma so eie Grezwert, der icht i Frage kommt, etwa weil er kleier ist als ei bestimmtes Folgeglied ud die Folge mooto steigt, ist die Divergez achgewiese. 9

20 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge Exkurs: Kaiche ud der Goldee Schitt Natürlich divergiert die Fiboacci-Folge offesichtlich gege Uedlich. Der Quotiet zweier Folgeglieder allerdigs strebt gege eie kostate Wert: a + φ : lim + 5 a Diese Zahl heißt der Goldee Schitt (oder auch proportio divia, die göttliche Teilug) ud stammt ursprüglich aus geometrische Überleguge: Teilt ma ämlich eie Strecke a i zwei Teile ud fordert, dass sich der größere Teil a zum kleiere a so verhalte soll wie die gesamte Strecke zum größere, so ist geau a a a a φ. Abgesehe davo, dass der Goldee Schitt eie Reihe etter arithmetischer Eigeschafte (z.b. + φ φ, φ φ ) ud iteressate Darstelluge wie φ hat, taucht er auch i de verschiedeste Bereiche der Naturwisseschafte ebeso wie der Kust auf. 0

21 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge Exkurs: Ei diskretes Populatiosmodell Fiboaccis Kaiche sid zwar als Ausgagspukt für mathematische Kozepte außerordetlich dakbar, als ökologisches Modell jedoch eie mittlere Katastrophe. Daebe existiert aber eie gaze Reihe vo Modelle, die ebefalls auf rekursive Folge aufbaue, allerdigs sehr viel realistischer sid ud dere Vorhersage demetspreched mehr Aussagekraft habe. Eies davo soll a dieser Stelle vorgestellt werde, ämlich das diskrete logistische Populatiosmodell (wobei jedoch auch dieses umittelbar a ei fasziieredes Phäome heraführt, desse Implikatioe weit über dieses spezielle Modell hiausreiche): Begie wir aber mit de Frage, die am Afag jeder Modellierug stehe sollte: Was will ma überhaupt beschreibe? Mit welcher Geauigkeit soll das erfolge? Welche Mittel wird ma dazu verwede? Das logistische Modell will ur Aussage über eie Populatio i eiem begrezte Lebesraum mache. Dabei soll die gesamte Populatio zu eiem bestimmte Zeitpukt durch eie eizige Zahl P ausgedrückt werde, ud diese wiederum ur vo der Populatio zu eiem vorherige Zeitpukt, P abhäge, also P f(p ). Uterschiede zwische Idividue komme also icht zum Trage, es ka demetspreched weder eie Alters- och eie sostige Struktur beschriebe werde. Außerdem kee wir diese Populatio ur zu (diskrete) Zeitpukte mit klar defiierte Abstad, d.h. wir habe P, P, P 3 usw., im gesamte Modell kommt iemals ei P,5 vor. Diese Taktik wird vo vorherei ur fuktioiere, we ma Arte betrachtet, dere Lebeszyklus dieser Beschreibug etgegekommt. Ei gutes Beispiel wäre viele Isektearte, bei dee alle Tiere alle im Frühlig etwa zur gleiche Zeit schlüpfe, sich später paare, Eier lege ud im späte Herbst alle sterbe. Hier hat ma eie weitgehed homogee Populatio, die i jedem Jahr durch eie Kegröße (verüftigerweise die Zahl der Tiere, die es bis zur Fortpflazug brige) beschriebe werde ka. Lebewese mit eiem komplexere Lebeszyklus higege, vielleicht gar och eiem echte Sozialsystem, sid sicher jeseits desse, was sich mit eiem solche Modell behadel läßt. Soviel also zur Aussagekraft. Bevor wir die Modellgleichuge aufstelle, och eie kleie Vereifachug: x + r x ( x )

22 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe. Folge..6 Übugsaufgabe rekursive Folge {a } ist defiiert durch a 0, a, a + a + + a. Ma beweise: ( ) 3 a Iduktiv: 0: ( ) stimmt; : ( ) 3 3 stimmt ebefalls. (, + ) + a + a + + a ( 3 + ( ) + 3 ) 5 ( ) 3 > 9 4 ( 3 ( ) 3 ) + a + a + + a < 4 + Ma utersuche a a, a 0 auf Kovergez ud bestimme ggf. de Limes. Ausreche: {a } {0,,.73,.93,...} Vermutug: {a } ist mooto wachsed ud a 3 Mootoie: Schrake: Grezwert: a + a + + a + + a ; we a + > a ist, muss demach auch a + > a + sei. Weil a > 0 a ist, wächst die Folge mooto. a < 3. Iduktiosaahme: a < 3, daraus folgt a + < , die Folge ist ach obe beschräkt ud wege der Mootoie koverget. a + + a bzw. a + a ud ach Quadriere a a + + a bzw. a 3a a(a 3) 0. Vo de beide Lösuge a 0 ud a 3 kommt ur die zweite i Frage: lim a 3. Ma utersuche a + a + a, a 4 auf Kovergez ud bestimme ggf. de Grezwert. Aus a + a + a ud a > 0 folgt weiter a > 0 für alle N. Wege a + a a +a a a ist die Folge streg mooto wachsed ud durch a 4 ach ute beschräkt. a + a (a + ) a 5 4 a ( ) a ( 5 4) wächst über jede Schrake. Demach ist {a } ach obe ubeschräkt, also diverget. Alterativer Nachweis der Divergez: Der formale Grezübergag liefert die implizite Gleichug a a + a mit der eizige Lösug a 0. Dies steht aber im Widerspruch zum mootoe Wachse eier Folge mit positive Glieder, {a } ka deshalb icht koverget sei. Ma utersuche a + C+a, a 0, C > 0 auf Kovergez ud bestimme ggf. de Grezwert. Die erste Glieder der Folge sid {a } {0, C, 3C 4, 7C 8,...}, ma ka also mootoes Wachse ud Beschräktheit ach obe vermute. Für die Mootoie erhält ma a + a C + a a C a. Solage also a < C ist, ist a + > a. Nu zeigt ma Beschräktheit ach obe durch C (ud damit auf eie Schlag auch die Mootoie) gaz eifach mittels Iduktio. Ist a < C, so ist a + C+a < C+C C. Die Folge ist also koverget ud ma erhält für de Grezwert A lim a (weig überrasched) A A+C, also A C. Gegebe ist die Folge a + a mit a a R. Ma bestimme ei explizites Bildugsgesetz für die Folgeglieder ud utersuche, für welche a R die Folge kovergiert. Eie Berechug der erste Glieder zeigt: a a, a a, a 3 (a ) 4(a ) + ; a 4 (4(a ) + ) 8(a ) +. Ma ka vermute: a (a ) +, was allerdigs och mittels vollstädiger Iduktio bewiese werde sollte: a + a A ( (a ) + ) (a ) + (a ) + Der Iduktiosafag ist bereits gemacht, demach stimmt die Rekursiosformel. Ma erket auch sofort, daß die Folge divergiert, we icht gerade a ist (der Ausdruck wächst für a > über ud fällt für a < uter jede Schrake). Die Folge ist also ur koverget für a.

23 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe.3 Uedliche Reihe.3. Eileitug, Historisches Ei, ja geradezu der klassische Eistieg i die Theorie der Reihe geht auf auf de griechische Philosophe Zeo vo Elea zurück, ud auch wir wolle ih hier aufgreife: Es geht dabei um eie Wettlauf zwische dem Helde Achill, dem schellste Läufer der Atike, ud eier Schildkröte. Da Achill zehmal scheller ist als die (ascheied gar icht so lagsame) Schildkröte, erhält diese zum Ausgleich eie Vorsprug vo 00 Meter. Nu aber, so argumetiert Zeo, ka Achill die Schildkröte iemals eihole, egal wie sehr er sich auch astrege mag. De, so erklärt Zeo, weiter, we Achill die erste hudert Meter zurückgelegt hat, ist die Schildkröte ja scho zeh Meter weiter. I der Zeit, die Achill für diese Strecke beötigt, schafft sie aber eie weitere Meter ud ist immer och vor. So geht es weiter, zeh Zetimeter, ei Zetimeter,..., der Abstad wird zwar städig kleier, aber immer ist die Schildkröte vor ud Achill hat das Nachsehe. Auf ähliche Art beweist Zeo auch, daß ma ie vo eiem Ort zu eiem adere gelage ka. De um vo A och B zu komme, müßte ma zuerst die halbe Strecke dazwische zurückgelegt habe. Dafür müßte ma aber wiederum die davo die Hälfte überwude habe, ud so fort. Nu sagt scho der Hausverstad, dass Achill seie Geger atürlich überhole wird, ud dass ma doch vo eiem Ort zum ächste komme ka. Zeos Paradoxa (es gibt och eiige mehr) wede sich eher gege die Art, wie zu seier Zeit mit dem Uedliche argumetiert wurde, ud führt sie is Absurde. We wir us de Wettlauf och eimal asehe, spielt die Summe , + 0, 0 + 0, dort eie wesetliche Rolle. Zeos Argumet lautet ja eigetlich, dass die Summe vo uedlich viele positive Zahle auch uedlich groß sei muss. Aber ka das stimme? Sehe wir us eimal die erste Teilsumme a: s s s s ,, s , +...,... Ascheied habe wir hier eie Zahlefolge vor us, vo der wir aehme, dass sie gege,,... kovergiert. Bei dieser Marke wird Achill also wahrscheilich die Schildkröte überhole. Ähliche Probleme wie dieses führe direkt zur Theorie der uedliche Reihe. Allerdigs ist es zwar machmal hilfreich, aber defiitiv icht gaz richtig, sich eie Reihe eifach als Summe mit uedlich viele Glieder vorzustelle. Tatsächlich werde wir die Reihe als spezielle Folge asehe, die uter bestimmte Umstäde atürlich eie Grezwert habe köe. Doch bis ma zu diesem i sich kosistete Stadpukt gelagte, war es historisch ei lager ud machmal recht mühsamer Weg. 3

24 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe Auch ach Zeo stade Reihe immer wieder im Mittelpukt mathematischer, philosophischer, ja sogar theologischer Diskussioe. Eies der berühmteste Beispiele ist dabei die Reihe S Mit uterschiedliche Begrüduge wurde ihr der Wert Null, Eis oder zugewiese, ud keie dieser Vorschläge wirkt gaz falsch. Fasst ma ämlich jeweils zwei Glieder zusamme, so ka ma das auf folgede Weise tu: S } {{ } + }{{ } + }{{ } Geausogut köte ma aber auch so arbeite: S + ( + ) + ( + ) + ( + ) }{{}}{{}}{{} Mit derartige Argumete wurde ahad dieser Reihe sogar Gottesbeweise geführt, de, so lautete die Überlegug, we ( ) + ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) ist, da ka Gott auch die gaze Welt aus dem Nichts erschaffe habe. Das letzte Ergebis erhält ma, idem ma die durch formale Divisio gewoee Summeformel x + x + x + x 3 + x awedet: S ( ). Dieses Ergebis wurde auch och mit diverse Argumete utermauert (etwa, we zwei Brüder eie Edelstei immer utereiader hi ud her gebe, so besitzt ih jeder isgesamt die halbe Zeit). I Wirklichkeit gilt diese Formel ur für eie begrezte Zahlebereich, ämlich x <, früher allerdigs wurde sie bedekelos für alle x verwedet, us selbst große Mathematiker wie Leibiz verteidigte seitelag gewisse merkwürdige Resultate wie etwa Erst lagsam wurde deutlich, dass gar icht alle Reihe überhaupt eie defiierte Wert habe müsse. Solche die das tu, et ma wie bei Folge koverget, die adere diverget. Tatsächlich wurde, etwa vo Euler, teils recht erfolgreich, mit divergete Reihe gerechet um das zu tu, braucht ma aber ei gehöriges mathemtisches Figerspitzegefühl. So geriete divergete Reihe allmählich is schiefe Licht, so schrieb etwa Nils Herik Abel: Divergete Reihe sid ei Uglücksdig, ud es ist eie Schade, damit etwas zu beweise. Mehr och, er ate sie sogar eie Erfidug des Teufels. So weit wolle wir zwar icht gehe, aber es ist klar, dass wir klar fasse müsse, was Kovergez i diesem Zusammehag bedeutet ud wir brauche eie Möglichkeit herauszufide, welche Reihe de u koverget sid ud welche icht. 4

25 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe.3. Defiitio Wie scho agedeutet wolle wir Reihe auf die Theorie der Folge zurückführe. Dazu ehme wir eie beliebige Folge {a k } ud bilde u die Partialsumme s a k a a Die Reihe etsteht also gewissermaße durch das Aufsummiere eier Folge, die Partialsumme s bilde selbst wieder eie eue Folge, die je ach Aussehe vo {a k } koverget oder diverget sei ka. Im Falle der Kovergez schreibt ma für de Grezwert symbolisch a k : lim s ud et die etsprechede Zahl de Wert der Reihe. Die Schreibweise suggiert die Auffassug eier Reihe als Summe mit uedlich viele Summade, es sei aber ochmals darauf higewiese, dass diese Vorstellug zwar machmal hilfreich sei ka (isbesodere bei Aufstelle eier Reihe), aber auch viele Gefahre i sich birgt so gelte mache Regel für das Reche mit edliche Summe bei Reihe plötzlich icht mehr. Streggeomme habe wir es mit dem Grezwert eier speziell defiierte Folge {a } zu tu ud mit ichts sost. Trotzdem wird die Schreibweise a k a + a + a häufig verwedet, ud auch wir werde us dem gelegetlich aschließe. Nehme wir aber u als erstes kokretes Beispiel die Reihe k k0 Für edliche Summe vo aaloger Gestalt gilt (wie bereits gezeigt) q k q+. q k0 k0 We u geht, geht q + gege Null, sofer q < ist. Ma erhält also allgemei für die geometrische Reihe: q k lim q k q + lim q q k0 für q < ud somit für de obige Spezialfall q umittelbar: k0 k, wie es auch die graphische Aschauug (siehe rechts) ahelege würde. Für q > divergiert q + mit, ud damit auch die Reihe; auch für q liege divergete Reihe vor, ämlich k0 ( )k bzw. k0 ). 5

26 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe Wie ma sich leicht überzeuge ka, wird betragsmäßig kleier als jede beliebige positive Zahl, we der Betrag vo r kleier als Eis ud N groß geug ist. Eie Reihe der Form et ma übriges geometrische Reihe, sie kovergiert ebe gerade, we ist, asoste divergiert sie. I userem Beispiel ist, also lautet der Wert der Reihe. Wie ma sich leicht überlege ka, muss für eie kovergete Reihe a auf jede Fall lim a 0 sei, die Reiheglieder müsse also eie Nullfolge bilde. Doch icht jede Reihe, für die das zutrifft, ist auch koverget. Ei Beispiel für eie solche divergete Reihe ist die harmoische Reihe. Es ist zwar, vo Kovergez ist hier aber keie Rede. Am beste sieht ma das, we ma die erste Glieder der Reihe explizit aschreibt: Die erste beide Glieder sid größer bzw. gleich. Nu faßt ma die ächste beide Glieder zusamme:. Jedes der ächste vier Glieder ist midestes gleich, ihre Summe ist also wiederum größer als : So ka ma immer wieder Glieder zu Summe zusammefasse, die größer sid als. Daß ma dabei immer mehr Reiheglieder braucht, ist völlig egal - ma hat ja uedlich viele zur Verfügug. Damit ka ma de Wert der Reihe mit ach ute abschätze - dieser Ausdruck wächst über jede Schrake. Die harmoische Reihe ist diverget. Halte wir das fest: Die geometrische Reihe sie hat da de Wert q k kovergiert geau da, we q < ist, k0 q. 6

27 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe.3.3 Absolute ud bedigte Kovergez 7

28 Kapitel : Zahle, Folge, Reihe.3 Uedliche Reihe.3.4 Kovergezkriterie für Reihe Um die Kovergez eier gegebee Reihe zu überprüfe, stehe diverse Kriterie zur Verfügug, vo dee hier die wichtigste vorgestellt werde solle. Die meiste davo habe durchaus eischeidede Voraussetzuge (z.b. dass alle a 0 sid ud mooto falle); diese werde beim jeweilige Kriterium explizit agegebe. Quotietekriterium Hier betrachtet ma de Grezwert zweier aufeiaderfolgeder Glieder der Reihe ud ka feststelle: lim a + < Kovergez a keie Aussage > Divergez We der Grezwert icht existiert, köe immer och limes superior ud limes iferior eie Aussage brige. We sogar lim sup + a a < ist, liegt ebefalls Kovergez vor, ist a dagege bereits lim if + a >, hat ma divergetes Verhalte. Bsp: Ma utersuche die Reihe! auf Kovergez. Dazu bilde wir mit a :! a + a + ( + )! (! die Reihe kovergiert demach. Wurzelkriterium ) + ( + )!! ( + )!! + 0 <, Mit dem Quotietekriterium verwadt ist das Wurzelkriterium, i dem ma die -te Wurzel des Betrags vo a im Limes betrachtet. Auch hier gilt: lim a < Kovergez keie Aussage > Divergez Sollte der Limes icht existiere, geügt es i diesem Fall, lim sup a zu utersuche, auch da zeigt ei Wert < Kovergez ud eier > Divergez a; im Falle ka auch hier keie Aussage getroffe werde. Am: Bsp: Das Wurzelkriterium ist isofer stärker als das Quotietekriterium, als dass auch für Fälle, i dee das Quotietekriterium keie Etscheidug brigt, och machmal Aussage erlaubt. (Das gilt allerdigs ur da, we der Grezwert vo a + a icht existiert ud auch lim sup ud lim if icht weiterhelfe. Für a + a, liefert auch das Wurzelkriterium a ud damit keie Etscheidug.) Versagt allerdigs das Wurzelkriterium, so brigt auch das Quotietekriterium sicher keie Aussage. Ma utersuche die Reihe ( ) auf Kovergez: die Reihe ist koverget. ( a ) ( ) e <, 8