VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

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1 VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Motag: Zahle, Variable, Algebraische Maipulatio Zahlemege. Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht. Alles adere ist Meschewerk. Leopold Kroecker, 82. Die atürliche Zahle sid freie Schöpfuge des meschliche Geistes. Richard Dedekid, 897. Wie auch immer, aus de atürliche Zahle, dere Mege wir mit N = {, 2, 3,...} bezeiche, lasse sich kompliziertere Zahlemege kostruiere. () Erstes ist da N 0 = {0,, 2,...}, die Mege der icht-egative gaze Zahle i welcher Mege ma die Gleichug + x = ach x löse ka. (2) Zweites ist da Z = {..., 2,, 0,, 2,...}, die Mege der gaze Zahle, i der jede Gleichug a + x = b für feste a, b (geau) eie Lösug x hat. (3) Drittes gibt es Q, die Mege der ratioale Zahle, d.h. der Brüche a b mit a, b gaze Zahle ud b 0. (Teile durch ull ist ie erlaubt!) I Q hat jede Gleichug vo der Form bx = a mit b 0 eie (eideutige) Lösug. (4) Viertes hat ma R, die Mege der reelle Zahle. Beim Schritt vo Q auf R erhalte Gleichuge wie etwa x 2 = 2 eie Lösug (Wurzel). Aber es komme och viel mehr Zahle dazu, wie etwa π ud e, die icht Lösug eier solche eifache Gleichug sid. Dieser Schritt ist bei weitem der schwierigste der hier erwähte Schritte, aber um reche zu köe, müsse wir us darüber keie Sorge mache. I gewisser Hisicht ist R die ideale Zahlemege, um icht ur zu zähle, soder auch messe zu köe. Ma hat N N 0 Z Q R, wobei das Symbol ist ethalte i bedeutet. Um azugebe, dass eie Zahl x i eier dieser Mege liegt, verwede wir das Symbol. So heisst x Q, dass x eie ratioale Zahl ist. Machmal möchte wir mit Teilmege der obe geate Mege arbeite, wie etwa () Itervalle: wir schreibe [0, 2) für alle Zahle x R mit x 0 ud x < 2; ud (2) edliche Mege, wie z.b.: { 2, π, 0} oder {, 2,..., 0} (die Mege aller Zahle i N, die kleier als sid) oder {, 3, 5, 7, 9,..., 2} (die Mege aller ugerade atürliche Zahle kleier als 22). Verküpfuge. Auf N, N 0, Z, Q, R sid die Verküpfuge + (Additio) ud (Multiplikatio) defiiert. We es keie Verwirrug brigt, so lasse wir weg. Weiter gibt es ab Z die Verküpfug (Subtraktio) ud wir schreibe a für 0 a.

2 2 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Schliesslich gibt es ab Q die Verküpfug : oder / (Teilug), oft auch geschriebe als a/b = a b. Diese Operatio ist aber ur da erlaubt, we b 0 ist. Die Operatioe +,,, ud / heisse elemetare Operatioe. Die Reihefolge i der die Operatioe ausgeführt werde müsse, sollte ma im Zweifelfall immer durch Klammer agebe. Es gibt aber folgede Vorfahrtsregel, die us erlaubt, mache Klammer wegzulasse: ud / habe Vorfahrt vor + ud. Aordug. Auf alle eigeführte Zahlemege gibt es die übliche Aordug <. Eie wichtige Recheregel beim Löse vo Ugleichuge ist die folgede: ist c > 0, so folgt aus a < b, dass ca < cb ist. Ist aber c < 0, so folgt aus a < b, dass ca > cb ist! Beispiel. () I Q: = = = = (2) Bemerke dass = 4 3 ( 2 3 ) 2 = 6, währed ( 4 2 ) 3 = 2 3, d.h. / ist icht assoziativ! (3) Was ist grösser: 4 5 oder 5 7? Mache eie gemeisame Neer: 4 5 = > = 5 7. (4) Sie sid vielleicht gewoht, etwa 3 2 zu schreibe für dreieihalb. Weil dies auch als drei mal ei Halb verstade werde köte, schreibe wir etweder oder 7 2. Variable. We wir über eie icht äher spezifizierte Zahl aus eier Teilmege der geate Zahlemege (zum Beispiel, aus eiem Itervall i R) rede möchte, so bezeiche wir sie mit eiem (meistes lateiische) Buchstabe, de wir Variable ee. Dabei bezeiche die Variable x, y, z,... meistes reelle Zahle (schreibe: x, y, z R), währed i, j, m, eher Elemete vo N 0 sid (i, j, m, N 0 ) ud adere Buchstabe (etwa a, b, c) beide Bedeutuge habe köe aber das ist atürlich kei Gesetz! Für eie Variable sollte ma immer geau agebe, welche Werte sie habe ka, d.h. ma sollte immer eie Teilmege vo eier der eigeführte Zahlemege agebe, i der die Variable liege soll; diese Mege ee wir da de Defiitiosbereich der Variable. Beispiel 2. () {, 2,..., 0} heisst, dass für atürliche Zahl grösser als 0 ud kleier als steht. (2) x [0, 0) heisst, dass x eier reelle Zahl grösser gleich 0 ud kleier als 0 etspricht. (3) y R, x + 2y 0 heisst, dass y eie reelle Zahl bezeichet, für die x + 2y (mit dem obe eigeführte x) icht ull ist. (4) We ur Ugleichheite, oder adere Eigeschafte vo Variable gegebe sid, so ist gemeit, dass die Variable reell sid. Also heisst a+b 3 (ohe weiteres), dass a ud b reelle Zahle sid, dere Summe ugleich 3 ist. Nu köe wir mit Variable geauso reche wie mit Zahle, d.h. wir köe sie miteiader, oder mit kokrete Zahle, multipliziere, zueiader addiere, usw. Idem ma mehrere solche Operatioe zusammesetzt, erhält ma sogeate algebraische Ausdrücke (auch Terme geat). Ma soll dabei darauf achte, dass diese Ausdrücke Si mache für alle Werte der Variable aus ihre Defiitiosbereiche. Isbesodere sollte der Neer eies Bruchs für keie Werte der Variable ull werde! Oft dreht ma das Vorgehe um, ud schräkt die Defiitiosbereiche der Variable erst da ei, we ma solche Neer begeget.

3 VORKURS MATHEMATIK 3 Das ist ur deshalb erlaubt, weil ma weiss, das ma auch vo Afag a diese Defiitiosbereiche hätte so wähle köe. Bruchrechug. Vor allem beim Addiere vo Brüche werde häufig Fehler gemacht. Wie addiert ma zum Beispiel a + d, mit Defiitiosbereich a 0, b + c 0? b + c Atworte, die immer wieder auftauche, sid +d a+b+c ud d a+b+c. Nehme wir zum Beispiel a = b = d = ud c = 0, da ist a + d b+c = + +0 = 2, währed +d a+b+c = = 2 ist ud d a+b+c = + = 2 2. Wie ist da vorzugehe? Nu, Brüche lasse sich ur da eifach addiere, we sie die gleiche Neer habe (wie wir scho bei ratioale Zahle gesehe habe!) Das Verfahre, um dies zu erreiche, heisst gleichamig mache, ud ist leicht am obige Beispiel zu erkläre: Aufgabe! a + d b + c = b + c a(b + c) + ad a(b + c) = b + c + ad a(b + c) (= b + c + ad ab + ac ). Poteze. Ausser de elemetare Operatioe +,,, / auf Zahle gibt es viele abgeleitete Operatioe. Besoders wichtig sid Poteze ud Wurzel. Für a R ud N 0 defiiere wir a := a } a {{ a }. Faktore (Hier sollte ma := so verstehe: vo jetzt a verwede wir diese Notatio für das was rechts steht.) Für = 0 steht hier ei Produkt mit ull Faktore (ei leeres Produkt), desse Bedeutug vielleicht icht gaz klar ist. Damit für alle N 0 (isbesodere für = 0) die Idetität a + = a a gilt, hat ma für a 0 keie adere Wahl, als a 0 := zu setze; das tu wir da auch. Für a = 0 würde a = a a 0 aber auch stimme für irgedeie adere Wert vo a 0, ud deshalb lasse wir 0 0 lieber udefiiert. Das heisst also, dass der Defiitiosbereich eies Ausdruckes a de Fall a = = 0 ausschliesse soll. Ma hat u.a. folgede Recheregel: () a m+ = a m a, (2) (ab) = a b, (3) (a m ) = a m = (a ) m, (4) ( a b ) = a b, ud (5) am a = a m falls m. Weiter hat das Poteziere Vorfahrt vor de adere Operatioe. Damit wir die Bedigug m i der letzte Zeile falle lasse köe, defiiere wir a := a für a 0 ud N 0. Damit ist also, für a 0, der Ausdruck a für alle Z defiiert, ud die obe stehede Regel gelte für alle, m Z, a 0, b 0.

4 4 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Der Biomische Satz vo Newto. Oft wird der folgede Fehler gemacht: (a + b) 2 = a 2 + b 2?? Setze z.b. a = b =, da steht liks ( + ) 2 = 2 2 = 4 ud rechts = + = 2, also stimmt diese Umformug icht! Damit wir die like Seite trotzdem ausmultipliziere köe, greife wir auf die Defiitio zurück ud reche (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + 2ab + b 2. Weitere biomische Formel, die Ihe bekat sei sollte, sid () (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, ud (2) (a + b)(a b) = a 2 b 2. Beispiel 3. () Bereche 49 5 effiziet! Nu, 49 5 = (50 )(50 + ) = = 2500 = (2) Ud u 5 2. Nu, 5 2 = (50 + ) 2 = = 260. Stelle Sie sich u vor, wie (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) ausmultipliziert wird. Klar ist, dass da im Ergebis die Terme a 3, a 2 b, ab 2 ud b 3 vorkomme, jeder mit eier bestimmte Vielfachheit. Um a 3 zu bekomme, muss ma i alle drei Faktore (a + b) de Term a ehme, also kommt a 3 geau eimal im Ergebis vor. Um a 2 b zu bekomme, muss ma i eiem der drei Faktore de Term b ehme, ud i de adere beide Faktore de Term a. Also kommt a 2 b dreimal im Ergebis vor. So fortfahred fidet ma Um jetzt, allgemeier, de Ausdruck (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2. (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) }{{} Faktore (mit N 0 ) auszumultipliziere, muss ma für jedes i {0,..., } bestimme, wie oft der Term a i b i im Ergebis vorkommt. Dies etspricht der Azahl Möglichkeite, aus de Faktore (a + b) i-mal de Term a zu wähle. So habe wir das Ausmultipliziere vo (a + b) auf ei Zählproblem zurückgeführt, ämlich: wie viele Möglichkeite gibt es, i verschiedee Zahle aus der Mege {, 2,..., } zu wähle (die Positioe derjeige Faktore (a + b), wo ma de Term a wählt), wobei es icht auf die Reihefolge dieser i Zahle akommt. Es stellt sich heraus, dass es eifacher ist, zuächst die Azahl Möglichkeite zu zähle, i verschiedee Zahle acheiader zu wähle, wobei es also scho auf die Reihefolge akommt. Für die erste Zahl habe wir ämlich Möglichkeite, für die zweite och, usw. bis wir für die i-te Zahl och i + Möglichkeite habe. Also ist diese Azahl gleich ( )... ( i + ). Ohe Beachtug der Reihefolge (also z.b. (, 3, 8) =(3, 8, ) =(8,, 3) =... etc.) gibt es selbstverstädlich weiger Möglichkeite; de: i gewählte Zahle köe i verschiedee Reihefolge gewählt werde ud zwar i i (i ) 2 =: i! (gelese: i-fakultät) verschiedee Reihefolge. Beim Zähle vo Möglichkeite, i Zahle zu wähle mit Beachtug der Reihefolge, habe wir also jede Möglichkeit, i Zahle zu wähle

5 VORKURS MATHEMATIK 5 ohe Beachtug der Reihefolge, geau i! mal gezählt. So fide wir, dass der Term a i b i geau ( ) ( ) ( i + ) ( i + ) [( ) ]! := = = i i! i! [( i) ] i!( i)! mal beim Ausmulipliziere vo (a + b) auftaucht. Diese Zahl (gelese: m über i) et ma Biomialkoeffiziet. Wir habe jetzt also bewiese: Satz 4 (Biomischer Satz vo Newto). Es gilt ( ) ( ) ( ) (a + b) = b + a b + a 2 b (0! wird als defiiert. Somit gilt ( 0) = ). ( ) a b + ( ) a. Wichtige Eigeschafte der Biomialkoeffiziete sid: () ( ) i =! i!( i)! = ( ) i (2) ( ( + i+) = ) ( i + ) i+ Dak der letzte Eigeschaft lasse sich die Biomialkoeffiziete schö i eiem Dreieck eizeiche, i dem jede Zahl die Summe seier Nachbar schräg obe ist. Dieses Dreieck heisst das Pascalsche Zahledreieck: Wurzel. I egem Zusammehag mit Poteze stehe Wurzel, die wir hier ur für icht-egative Zahle defiiere. Ist eie atürliche Zahl, ud a 0 eie reelle Zahl, so gibt es eie eideutige reelle Zahl x 0 mit x = a ud wir schreibe x = a. Ist m eie zweite atürliche Zahl, so gilt am = ( a) m ; ee wir ämlich die rechte Seite b, so gilt b = (( a) m ) = (( a) ) m = a m, also b = a m ach Defiitio der -te Potez. Dies rechtfertigt die alterative Schreibweise a / für a ud a m/ für ( a) m, mit der die Recheregel für Poteze auch für ratioale Expoete gültig sid allerdigs ur, isofer die Zahle a, b positiv sid! Beispiel 5. Wir möchte de Neer eies Bruches wurzelfrei mache: 2 3 = ( 2 + 3)( 2 3) = ( 2) 2 ( 3) = = Bemerke, dass hier die biomische Formel (a + b)(a b) = a 2 b 2 verwedet wird! Aufgabe!

6 6 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Expoetialfuktio ud Logarithmus. Stelle Sie sich vor, wie ei Kapital auf eiem Sparkoto wächst bei eiem Zissatz vo, sage wir, 3 Prozet pro Jahr. Wir ehme a, das Afgagskapital sei K > 0 Frake. Da ist es ach eiem Jahr K K = (.03)K Frake, ach zwei Jahre (.03) (.03)K Frake, usw., also ach Jahre (.03) K Frake. Aber was zahlt us die Bak aus, we wir das Kapital ach eiem halbe Jahr vom Koto abhebe? Die Atwort kee wir aus dem Abschitt über Wurzel: (.03) /2 K = 2.03 K Frake. Ud ach zwei Drittel Jahr (.03) 2/3 K Frake, usw. Stelle wir jetzt die umgekehrte Frage: wie lage muss ma warte, damit das Kapital verdoppelt ist? Nu, geau l Jahre, wobei l eie Zahl ist, die (.03) l = 2 erfüllt. Aber wer sagt us, dass es so eie Zahl gibt? We dies zufällig für eie ratioale Zahl l gilt, da sid wir zufriede. Versuche wir es mal: (.03) , also ist 24 zu gross, (.03) 23.97, also ist 23 zu klei, (.03) 23+/ , also ist 23 + /2 zu gross, (.03) 23+/4.988, also ist 23 + /4 zu klei, usw. So mache wir weiter, wobei wir jeweils das Itervall, i dem das l gesucht werde muss, halbiere. Nu liegt geau eie reelle Zahl l i all diese Itervalle. Ist diese Zahl l ratioal, so ka ma zeige, dass (.03) l gleich 2 ist. Ist sie aber icht ratioal, so defiiere wir (.03) l als gleich 2 das macht Si ach obe stehede Berechuge. Wir schreibe l = log.03 2: der Expoet, zu dem ma.03 poteziere muss, um 2 zu erhalte. Auf diese Weise löse wir zwei Probleme: () Ist a eie positive reelle Zahl ud x eie beliebige reelle Zahl, so ist ab jetzt die reelle Zahl a x defiiert, ud die Recheregel für Poteze mit ratioale Expoete sid auch gültig für allgemeie reelle Expoete. (2) Sid a, b positive reelle Zahle mit a, so gibt es eie eideutige reelle Zahl l mit a l = b. Wir schreibe l = log a b, ud ee diese Zahl de Logarithmus zur Basis a vo b. Es gibt eiige Recheregel, die ma eifach aus de Recheregel für poteziere herleitet: Für a, b, c > 0 ud a gilt () log a bc = log a b + log a c, (2) log a b = log a b ud (3) log a (b c ) = c log a b. Die letzte Gleichheit zum Beispiel sieht ma wie folgt ei: Nach Defiitio gilt: a x = b x = log a b ud a cx = b x cx = log a (b c ). Somit gilt: log a (b c ) = cx = c log a b. Aufgabe!

7 VORKURS MATHEMATIK 7 Trigoometrische Fuktioe. Die letzte Operatioe, welche wir heute eiführe, sid der Sius ud der Cosius. Betrachte dazu de Kreis K mit Radius (sage wir, Meter) ud Mittelpukt im Ursprug der Koordiateebee R 2. Gegebe sei eie icht-egative Zahl a, wadere vom Pukt (, 0) aus geau a Meter i Gegeuhrzeigersi etlag K. Der Pukt auf dem wir lade, habe die Koordiate (x, y). Da setze wir cos(a) := x ud si(a) := y. Ist eie egative Zahl a gegebe, so wader wir vo (, 0) aus a Meter im Uhrzeigersi, ud wir ee de Edpukt wieder (cos(a), si(a)). Dies defiiert die Operatioe Sius ud Cosius. Aus der Defiitio folge sofort folgede Recheregel. (Ma beachte dabei auch folgedes: 2π =360, π =80, π/3 =60,etc.) () cos(a + 2π) = cos(a) ud si(a + 2π) = si(a), da der Kreis geau 2π lag ist. (Der Radius hat ja die Läge.) (2) cos(a) = cos( a) ud si(a) = si(a), durch Spiegelug a der x-achse. (3) cos(a) = cos(π a) ud si(a) = si(π a), durch Spiegelug a der y-achse. (4) cos(a) = si(a + π/2), durch Rotatio um π/2 im Gegeuhrzeigersi. (5) cos(a) 2 + si(a) 2 =, da der Pukt (cos(a), si(a)) auf dem Eiheitskreis K um (0, 0) liegt (Pythagoras!). Folgede Werte lasse sich leicht ausreche. (Teile z.b. ei gleichseitiges Dreieck mit Seiteläge durch eizeiche eier Seitehalbierede i zwei rechtwiklige Dreiecke. Ei solches Teildreieck hat da die Seiteläge si(π/6) = /2 ud cos(π/6) = 3/2.) x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 si(x) 0 /2 2/2 3/2 cos(x) 3/2 2/2 /2 0 Mit obe stehede Regel ka ma daraus auch adere Werte bereche. Vielleicht habe Sie i der Schule eie adere Defiitio vom Sius ud Cosius gelert, ämlich das Verhältis zwische gewisse Seiteläge eies rechtwiklige Dreiecks. Die Defiitio hat aber de Nachteil, dass es icht sofort klar ist, wie si(a) ud cos(a) für a 0 oder a π/2 zu defiiere ist. Bemerke aber, dass usere Defiitio für a (0, π/2) mit der Defiitio i eiem Dreieck übereistimmt. Mit der Iterpretatio i eiem Dreieck lasse sich die Additiosformel ud si(a ± b) = si(a) cos(b) ± cos(a) si(b) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) si(a) si(b) herleite. Aus Sius ud Cosius lässt sich och der Tages defiiere: ta(a) = si(a) cos(a) ; diese Operatio ist ur da defiiert, we cos(a) 0 ist, we also a icht gleich π/2 plus ei Vielfaches vo π ist. Beispiel 6. Der Astieg eier Strasse ist der Tages des Wikels, de die Strasse mit der horizotale Ebee eischliesst. Ei Astieg vo 5% heisst z.b., dass ma

8 8 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA sich bei jedem Meter, de ma sich i horizotale Richtug bewegt, 5cm i vertikale Richtug bewegt. Aufgabe!