Was erwarten wir als Ergebnis von freien Verhandlungen in einer Gruppe mit Koalitionsmöglichkeiten?

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1 Prof. Dr. Fredel Bolle 1 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesung 1 Defnton: Kooperatves Spel En ooperatves Spel Γ st en Tupel (N,V), wobe der N = {1,...,m} mt m > 1 de Menge der Speler bezechnet und Was erwarten wr als Ergebns von freen Verhandlungen n ener Gruppe mt Koaltonsmöglcheten? Lösungsonzept Kern: u legt m Kern, falls Σ C u v(c) für alle C N. mt und ene Abbldung st, de jeder Telmenge der Menge N enen reellen Wert zuordnet. De Abbldung V wrd als Koaltonsbewertung oder charaterstsche Funton bezechnet. Telmengen von N heßen Koaltonen. De Forderung wrd Superaddtvtät genannt. De Bedeutung der Superaddtvtät legt darn, dass der Zusammenschluss zu größeren Koaltonen mehr an Wert brngt. Superaddtvtät wrd ncht mmer vorausgesetzt. Bespel 1: N =, V({1}) = 1, V({}) = 1, V({1, }) = 3 Kern: u 1 1, u 1 u 1 + u = 3 u 3 1 Als Auszahlung oder Zutelung (Imputaton) bezechnet man jeden Vetor u = (u 1,u,...,u m ) mt den Egenschaften und. De erste Forderung bedeutet, dass jeder Speler be ener Gewnnvertelung mndestens de Auszahlung erhält, de er erhalten würde, falls er mt enem anderen oaleren würde (Indvduelle Ratonaltät). De zwete bedeutet, dass de Summe aller Auszahlung an de Speler mmer glech der maxmal möglchen Auszahlung V(N) an de gesamte Gruppe der Speler st.(gruppen-ratonaltät, Effzenz). 1 3 Bespel : V({1}) = V({}) = V({3}) = V({1,}) = V{, 3}) =, V({1, 3}) = 1 V({1,, 3}) = Kern: u 1, u, u 3 u 1 + u 3 1 u 1 + u + u 3 = u 1 u 1

2 Prof. Dr. Fredel Bolle 3 Prof. Dr. Fredel Bolle 4 u u 1 + u 3 = 1 u =1 u 3 Bespel 4: Assgnement-Probleme u 1 + u 3 =, u = Arbeter W 1, W ; Unternehmen F 1, F u 1 Bespel 3: Lesen Se Auf hoher See von Slavomr Mroze Alloaton per Mehrhetswahl: V({}) = V({, }) = 1 für alle, V({1,, 3}) = 1 Interpretaton: Jede Zweer-Koalton {(, )} ann sch Ressourcen m Umfang von 1 schern. Ene Ener-Kondton ann das ncht. Ene Dreer- Kondton ann ncht mehr als ene Zweer-Kondton. Kern? u 1 + u 1 u 1 + u 3 1 u + u 3 1 Summeren! (u 1 + u + u 3 ) 3 u + u + u 3 3/ A match of W and F j results n a productvty (jont proft) of a j =w +f j whch W and F j can dstrbute amongst themselves. w and f j denote ther respectve payoffs. In the case of two worers and two frms we denote the productvtes as n Table 1. The values for our sx expermental treatments are gven n Table. Table 1: The productvty of matches Frm 1 Frm Worer 1 α β Worer γ δ Treatment T1 T T3 T4 T5 T Productvtes Table : Productvtes of matches n the sx expermental treatments (rows = worers, columns = frms, effcent matches are underlned). Note that n T3 and T6 both matchng possbltes are effcent. Core: When matches A = {(W 1, F 1 ), (W, F )} are effcent,.e. α + δ > β + γ, the core solutons are called Core A and are descrbed by Wderspruch! Der Kern st leer! (1) w 1 + δ - β > w > w 1 + γ - α () w 1 + f 1 = α, w + f = δ, w, f. If the matches B = {(W 1, F ), (W, F 1 )} are effcent, the core allocatons are called Core B. (1) s reverted and () s reformulated accordngly.

3 Prof. Dr. Fredel Bolle 5 Prof. Dr. Fredel Bolle 6 w δ Frm and Worer 1 could ncrease ther ncome Core A w = w 1 + γ - α T1 Match A (effcent) T1 Match B w = w 1 + δ - β Frm 1 and Worer could ncrease ther ncome w 1 Ergebnsse von Expermenten snd n den folgenden Grafen beschreben. De gestrchelten Lnen, de großen Krese und de farbgen Felder beschreben andere Theoren als den Kern T Match A (effcent) T Match B T4 Match A T4 Match B (effcent)

4 Prof. Dr. Fredel Bolle 7 Prof. Dr. Fredel Bolle T5 Match A T5 Match B (effcent) T6 Match A (effcent) T6 Match B (effcent) T3 Match A (effcent) T3 Match B (effcent)

5 Prof. Dr. Fredel Bolle 9 Prof. Dr. Fredel Bolle 1 Bespel 5: Der Kern n der Alloatonstheore Modell ohne Produton (Verenfachung) Haushalte 1,,..., n; Güter 1,,..., m Anfangsausstattungen Y 1 = (y 1 1, y 1,...y 1 m),..., Y n = (y n 1, y n,..., y n m) (oberer Index beschrebt Haushalte, unterer Index beschrebt Güter) Y = (Y 1,..., Y n ) = Anfangsausstattung aller Haushalte X = (X 1,...,X n ) = Endausstattung alle Haushalte Antwort: Ncht, wenn en Walras-Glechgewcht (Martglechgewcht) realsert wrd! Bewes (sehe Güth, S. 111 ff.) Weteres Ergebns: In große Öonomen stmmen Kern-Alloaton und Walras-Glechgewcht überen. (sehe Güth, S ) Defnton: Y Anfangsausstattung, X Endausstattung. X legt m Kern, wenn () = (1) t y x für alle X f Y (Indvduelle Ratonaltät) () X st Paretooptmum (Gesellschaftlche Ratonaltät) (3) Es gbt ene Koalton (= Telmenge) C aus der Menge der Haushalte {,..., m} X ~ ( C) y C ~ X 1, verbunden mt ener Endvertelung der Koaltonsmtgleder für de glt: ( C) x~ für alle Güter C ( C) f X für alle C (Es gbt ene Gruppe C, de sch proftabel von der Gesellschaft aboppeln ann.) Frage: Lohnt es sch für enen Tel der Gesellschaft, sch abzuspalten, enen egenen Club aufzumachen?