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1 3. Atmosphärische Schichtung & Dynamik 3.1 Temperaturschichtung der Atmosphäre Trocken-adiabatischer Temperaturgradient Das Temperaturprofil der Troposphäre wird durch konvektive Zirkulation bestimmt. Die Energie stammt im wesentlichen von der Absorption solarer Strahlung an der Erdoberfläche. Zur Berechnung der Temperaturänderung mit der Höhe nimmt man an, daß sich ein betrachtetes Luftpaket adiabatisch bewegt, d.h. keine Energie aufnimmt oder abgibt (z.b. durch Wärmeleitung oder Strahlung). Diese Annahme rechtfertigt sich durch Vergleich der Kühlraten durch Strahlung mit den Transportzeiten innerhalb der Troposphäre. Beim Aufsteigen eines Luftpaketes dehnt es sich aus und leistet damit Arbeit gegen den aktuellen Luftdruck. Der erste Hauptsatz (bezogen auf ein Mol) lautet: du dq dw dq p dv (3.1) mit U = innerer Energie, Q = zugeführte Wärmemenge, W = am Gas geleistete Arbeit, p = Druck, V = Volumen Für ein ideales Gas ist die innere Energie vom Volumen unabhängig und nur eine Funktion der Temperatur: du C v dt (3.) Daraus folgt: dq pdv C v dt (3.3) Mit der Zustandsgleichung für ein ideales Gas pv RT, bzw.: pdv Vdp RdT (3.4) ergibt sich: dq Vdp ( R C ) dt v Vdp C p dt (3.5) (mit C p der spezifischen Wärme bei konstantem Druck; C p + R = C v ) Nach Eliminieren von V mithilfe von (3.4) folgt: RT dq dp C pdt (3.6) p 74

2 Für adiabatische Prozesse gilt dq = 0; damit folgt: dt C p RT dp (3.7) p Mithilfe der barometrischen Höhenformel folgt: dp p Mg dz (M = Molmasse, g = Erdbeschleunigung) (3.8) RT dt C p Mgdz (3.9) Hieraus ergibt sich der (trocken-adiabatische) Temperaturgradient: dt dz Mg (3.10) C p Mit den Werten für Luft (C p = 8.97 J/(K * Mol), M = 8.97 g/mol, g = 9.81 m/s²) folgt: dt dz K / m 1K /100m (3.11) Konvention: -adiabatischer Temperaturgradient: -aktueller Temperaturgradient: dt (3.1) dz adiabatisch dt (3.13) dz aktuell Solange keine Kondensation stattfindet, beschreibt die Temperaturabnahme mit der Höhe in der Troposphäre. Schon früh kannte der Mensch die Temperaturabnahme mit der Höhe vom Bergsteigen. Lange Zeit nahm man auch an, daß sich die Temperaturabnahme bis zum Außenrand der Atmosphäre fortsetzen würde. Um die Jahrhundertwende (1800/1900) wurden gleich zwei wichtige Entdeckungen gemacht: A) Entdeckung der Stratosphäre (Temperaturzunahme mit der Höhe ab etwa 11 km). Dies folgte aus Ballonmessungen von Teisserenc de Bort und Richard Aßmann (190), die erstmals in entsprechende Höhen vorstießen. 75

3 B) Entdeckung der UV-Absorption durch Ozon 1785: Entdeckung von Ozon durch van Marum: Geruch beim Durchschlagen von Funken durch Sauerstoff 1839: Christian Friedrich Schönbein benennt Ozon nach gr. ozein (riechen) 1858: Nachweis von Ozon in der Luft durch Houzeau : Entdeckung der Ozonabsorptionen in verschiedenen Wellenlängenbereichen (IR - UV) 1913: Wigand: Ballonmessungen bis 10 km zeigen keine wesentliche Abnahme 1918: Strutt: Ozon in einer Schicht deutlich über 10 km 195: Gordon M. B. Dobson: Erster Dobson Spektrometer 196: Paul Götz: Umkehreffekt, Ozonschicht in etwa 5 km 199: Sidney Chapman: erste photochemische Deutung der Ozonschicht (Chapman-Zyklus) 1934: Erich Regener: erste direkte Messung der Ozonschicht mittels UV-Spektrometer auf Stratosphärenballons (bis 33 km) In der Stratosphäre befindet sich somit eine Wärmequelle: Absorption kurzwelliger Strahlung durch Ozon. Diese Wärmequelle führt zu einer Umkehrung des adiabatischen Temperaturgradienten oberhalb der Tropopause. Feucht-adiabatischer Temperaturgradient Wenn Luft aufsteigt und abkühlt, kann schließlich die Temperatur erreicht werden, ab der Kondensation von Wasserdampf einsetzt. Dadurch wird dem Luftpaket Energie (Kondesationswärme) zugeführt, und die Temperaturabnahme mit der Höhe wird geringer als beim trocken-adiabatischen Temeparturgradienten. Aus Gleichungen (3.6) und (3.8) folgt: dq C pdt Mgdz (3.14) Für die Berechnung des feuchtadiabatischen Temperaturgradienten multiplizieren wir Gleichung (3.14) mit der Anzahl der Mole pro Volumen n p, (3.15) V RT da sich die Kondensationswärme auf den Wasserdampfgehalt pro Volumen bezieht. 76

4 C p p Mgp dq dt dz (3.16) RT RT Hier wird also dq als Wärmemenge pro Volumen gebraucht. Mit L als spezifischer Verdampfungswärme (Verdampfungswärme pro Masseneinheit) folgt: dq Ld w (3.17) Gleichsetzen von (3.16) und (3.17): daraus folgt: d C p w p Mpg Ld w L dt dt dz (3.18) dt RT RT dt dz Mpg d w C p p (3.19) RLT dt d w Für 0 dt ergibt sich wieder der Trockenadiabatische Temperaturgradient (3.10). Abbildung 3.1 (Aus W. Rödel, 199) 77

5 Abbildung 3. (Aus W. Rödel, 199) Potentielle Temperatur Maß für (Summe aus potentieller und innerer) Energie eines Luftpaketes. Definition durch Temperatur, die ein Luftpaket annehmen würde, das adiabatisch auf Normaldruck (1013 hpa) gebracht wurde. Poisson-Gleichung: T p 1 c p mit. c v const (3.0) Die potentielle Temperatur Für ergibt sich damit (für p 0 = 1013 hpa): 1 p0 T (3.1) p 1 Für Luft gilt: (3.) 78

6 Damit ist als Funktion der Zustandsvariablen T und p auch eine eindeutige Funktion des Zustandes. Es besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen potentieller Temperatur und der Entropie: d ds C p (3.3) S1 C p ln 1 S (3.4) Isolinien der Potentiellen Temperatur sind auch Isolinien der Entropie. Zusammenhang zwischen dem Gradienten der aktuellen und potentiellen Temperatur: d dt T R C p dp p (3.5) Mit (3.8) ergibt sich: d dt T Mg C T p dz (3.6) Und mit (3.1): d dz dt T dz (3.7) Vertikalprofil der Temperatur Kiruna, Potentielle Temperatur [K] Inversion 50 Temperatur Höhe [m] Abbildung 3.3 Höhenprofile der aktuellen und potentiellen Temperatur (aus Radiosondendaten, Kiruna, Norschweden) 79

7 Abbildung 3.4 In mittleren Breiten schneiden die Flächen gleicher potentieller temperatur die Tropopause; dort ist prinzipiell ein Austausch von Luft aus Troposphäre und Stratosphäre möglich (Aus Holton et al., 1995) 80

8 Schichtungsstabilität Abbildung 3.5 (Aus W. Rödel, 199) Abbildung 3.6 (Aus W. Rödel, 199) Äquivalenttemperatur T ae w L T (3.8) c p w L ae (3.9) c p 81

9 ( w = Dichte des Wasserdampfs) Abbildung 3.7 (Aus W. Rödel, 199) Brunt-Väisälä-Schwingungen Beschleunigung auf ein Luftpaket (in vertikaler Richtung): dv dt g * (3.30) Mit * = Dichte der Umgebung, = Dichte des betrachteten Luftpakets. Unter der Annahme, daß die Druckunterschiede in der Umgebung vernachlässigbar klein sind, gilt, daß die Dichte proportional zu 1/T ist: dv dt 1 1 * T T * g T T g (3.31) 1 T * T (T = Temperatur des Luftpakets, T* = Dichte de Umgebung) Wird nun ein Luftpaket aus seiner Ruhelage (mit Temperatur = T 0 ) ausgelenkt, so verändert sich seine Temperatur entsprechend des adiabatischen Temperaturgradienten: T ( z) T 0 z (3.3) Die Temperatur der Umgebung ändert sich dagegen mit dem aktuellen Temperaturgradienten: T * ( z) T 0 * dz T 0 z (3.33) 8

10 Damit gilt: T ( z) T * ( z) ( ) z (3.34) Einsetzen in (3.31) führt zu: dv dt g z T * (3.35) Mit (3.9) ergibt sich: dv dt g d * z * dz (3.36) Nach der Definition des Stabilitätsmaßes: 1 dv g d * B (3.37) z dt * dz folgt: dv B z (3.38) dt Gleichung eines harmonischen Oszillators mit B = Direktionskonstanten. Frequenz dieser sogenannten Brunt-Väisälä-Schwingungen: B 1 g d dz 83

11 Abbildung 3.8 Polare Stratosphärenwolken bilden sich im Lee von Gebirgsketten durch adiabatische Abkühlung im aufsteigenden Teil der Welle (siehe auch Abbildung 3.9) (Photo: C.-F. Enell, Kiruna, Schweden) Abbildung 3.9 Schematische Darstellung von Leewellen an einem Gebirge 84

12 Stockwerkaufbau der Atmosphäre 1E E-3 Thermosphäre 100 1E- Mesopause 80 Druck [mb] 1E-1 1E+0 Mesosphäre Stratopause 60 Höhe [km] 1E+1 Stratosphäre 40 1E+ Ozonschicht Tropopause 0 1E Temperatur [ C] Abbildung 3.10 Stockwerksaufbau der Atmosphäre Troposphäre 85

13 Abbildung 3.11 Breitenschnitt der atmosphärischen Temperaturverteilung (Aus W. Rödel, 199) 86

14 3. Bewegungsgleichung in fluiden Systemen (Navier-Stokes-Gleichung) Grundsätzliches: Die Atmosphäre ist ein Fluid Die Newtonsche Mechanik gilt für einzelne Moleküle der Luft Die Newtonsche Mechanik kann aber auch auf Volumenelemente angewandt werden => Hydrodynamik, Fluiddynamik Voraussetzung hierfür ist der kollektive Charakter der Bewegung der Luftmoleküle, der z.b. durch eine gemeinsame Temperatur, gemeinsamen Druck, kollektive Geschwindigkeit, etc. zum Ausdruck kommt Groß-skalische atmosphärische Strömungen können sich nur in horizontaler Richtung ausbilden. Die horizontale Ausdehnung der Atmosphäre ist um mehr als drei Größenordnungen größer als die vertikale Ausdehnung Herleitung der mittleren freien Weglänge Abschätzung: Unter welchen Bedingungen kann Teilchenbewegung als Kollektivbewegung betrachtet werden? Die Wahrscheinlichkeit eines Stoßes der Luftteilchen hängt von der Konzentration der Luftteilchen sowie von deren Querschnittsflächen ab. Abbildung 3.1 Veranschaulichung des geometrischen Wirkungsquerschnittes Der geometrische (Wirkungs-) Querschnitt ergibt sich aus den Teilchenradien (siehe Abbildung) beider am Stoß beteiligter Teilchen: R1 R (3.38) Im Falle identischer Teilchen (R 1 = R = R): 4R (3.39) 87

15 Mit der Teilchenkonzentration z zu: n ergibt sich die Stoßwahrscheinlichkeit pro Weglänge V p z (3.40) Also beträgt die Abnahme der gerade durchfliegenden Teilchen pro Weglänge gerade: dn n dz (3.41) Nach Integration: n( z) n0 ep ( z) (3.4) Die Strecke, nach der die Anzahl der geradeaus durchfliegenden Teilchen gerade auf 1/e von n 0 abgenommen hat ist 1 (3.43) Sie wird als mittlere freie Weglänge bezeichnet. Für Luft ist = 0.4 nm, = cm -3. Damit ergibt sich 1 7 Luft 10 m (3.44) m.5 10 m Aufgrund der thermischen Energie haben die Luftteilchen die mittlere freie Translationsenergie: 3 E kin kt (3.45) mit k = Joule/K (Boltzmann-Konstante) Daraus folgt die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit: v 3kT v (3.46) m Mit dieser mittleren thermischen Geschwindigkeit fliegen die Moleküle, bis sie auf ein anderes Molekül treffen und dort in einem elastischen Stoß gestreut werden. Für Luft ergibt sich die mittlere thermische Geschwindigkeit (mit T = 93K, m = Kg): 88

16 m v 500 (3.47) s Daraus folgt eine mittlere Zeit zwischen zwei Stößen (mit Gleichung 3.44) von etwa s (in W. Roedel, 199, Seite 0 ist ein mittlerer Wert von s angegeben). Die mittlere freie Weglänge ist damit sehr viel kleiner als charakteristische Längen der atmosphärischen Strömungsmuster, und die Luftströmungen müssen somit als kollektive (Fluid-) Bewegungen beschrieben werden. 3.. Kräfte auf ein Luftpaket Erhaltungssätze: -Masse -Impuls -Energie => Kontinuitätsgleichung => Bewegungsgleichung => Energieflüsse in der Atmosphäre (z.b. Strahlung-Konvektion) In den folgenden Abschnitten sollen die aus den beiden ersten Erhaltungssätzen folgenden Konsequenzen und Erkenntnisse betrachtet werden. Masseerhaltung Wir betrachten ein Volumen V mit der Masse M dv mit = Dichte. Abgesehen von Prozessen, die durch einfallende hochenergetische Partikelstrahlung (Kosmische Strahlung) ausgelöst werden, findet in der Atmosphäre keine Erzeugung oder Vernichtung von Masse statt. Somit ändert sich die Masse im Volumen nur durch Massezubzw. -abfluß. Dieser wird durch die Massestromdichte j durch die Oberfläche beschrieben: j v (3.48) t dv j da v da (3.49) Volumen Oberfläche Oberfläche (Konvention: j sei positiv für aus dem Volumen austretende Flüsse) Nach Anwendung des Gauß chen Satzes: Volumen dv divv dv (3.50) t Volumen t bzw. divv 0 oder divv v grad 0 t (3.51) 89

17 Für viele Anwendungen in der Atmosphäre können Dichteschwankungen vernachlässigt werden, insbesondere da die Windgeschwindigkeiten in der Atmosphäre viel kleiner sind als die Schallgeschwindigkeit. Eine Ausnahme, für die die Luft nicht mehr als inkompressibel betrachtet werden kann, stellen vertikale Transportprozesse dar (barometrische Höhenformel!). Im Folgenden werden wir aber horizontale Bewegungen betrachten; schon alleine aufgrund der viel größeren Ausdehnung der Atmosphäre in horizontaler als in vertikaler Richtung. Für diese Bewegungen gilt die Annahme vernachlässigbarer Dichteschwankungen. Somit folgt aus Gleichung (3.51): v 0, bzw. v 0 div div (3.5) Hieraus folgt, daß das Geschwindigkeitsfeld in der Atmosphäre (nahezu) divergenzfrei ist. Dies gilt jedoch nur in horizontaler Richtung. Impulserhaltung Wir wenden das Newton sche Gesetz auf ein infinitesimales Massenelement (bzw. Volumenelement) eines kontinuierlichen Mediums an. dm dv (3.53) df a dm a dv (3.54) df a dm Volumenbeschleunigung (3.54) df dv a Kraftdichte (3.55) Es eistieren unterschiedliche Arten von an dem Massenelement angreifenden Kräften: -Volumenkräfte, d.h. von außen angreifende Kräfte, die dem Volumen (bzw. der Masse) proportional sind, z.b. Schwerkraft. -Flächenkräfte, Kräfte, die proportional zu der das Volumen begrenzenden Fläche sind, z.b. Druckkräfte und Reibungskräfte. In rotierenden Systemen wie der Erde treten noch zwei weitere Kräfte auf: -Zentrifugalkraft -Corioliskraft 90

18 Schwerkraft df z g dm g dv (3.56) Für manche Anwendungen ist es interessant, die Schwerkraft als Gradienten eines Potentials zu beschreiben. Hier läßt sich insbesondere auch die von der geographischen Breite abhängige, durch die Erddrehung bewirkte Zentrifugalkraft miteinbeziehen. Sie beträgt am Äquator etwa 0.4% der Erdbeschleunigung. Außerdem bewirkt auch die Abplattung der Erde eine Breitenabhängigkeit der Erdbeschleunigung. Das sogenannte Geopotential ist definiert durch: z z, gz', 0 dz' Entsprechend läßt sich die Schwerkraft nun schreiben: df G dv z, (3.57) (3.58) Es treten also auch geringe horizontale Komponenten der Schwerkraft auf. Die Abhängigkeit der Erdbeschleunigung von der geographischen Breite und der Höhe wird durch folgende empirische Formel beschrieben: g z, cos Druckgradientenkraft z m/s² (3.59) y F () z F (+d) +d Abbildung 3.13 Zur Veranschaulichung der Druckgradientenkraft Beispiel: Wirkung der Druckgradientenkraft auf ein Volumenelement; eindimensionaler Fall: Kraft in -Richtung (siehe Abbildung): df F F d (3.60) 91

19 p p d da p p d dy dz p p p d dy dz p p d dy dz dv (3.61) Allgemein für drei Dimensionen: df p dv,, p p (3.6) y z Druckgradienten entstehen in der Atmosphäre vor allem durch Temperaturunterschiede aufgrund unterschiedlicher solarer Einstrahlung. Druckgradientenkräfte sind die Antriebskräfte für horizontale Strömungen. Für typische Entfernungen zwischen Hoch- und Tiefdruckgebieten (Größenordnung: 1000km) und typischen Druckunterschieden (Größenordnung: 30 hpa) ergeben sich Druckgradienten in der Größenordnung von 0.03hPa/km. Reibungskraft Reibungskräfte in einem Gas, bzw. fluiden Medium werden durch Geschwindigkeitsscherungen bewirkt. Die Reibung in Gasen kann durch Impulsaustausch zwischen benachbarten, verschieden schnellen Schichten beschrieben werden. Entsprechend der Abbildung finden folgende Vorgänge statt: -Impuls (-dichte) aus der oberen, schnelleren Schicht wird nach unten transportiert -Impuls (-dichte) aus der unteren, langsameren Schicht wird nach oben transportiert Hierdurch wird die obere Schicht verzögert, die untere beschleunigt. In der Summe wird Impuls (-dichte) von oben nach unten transportiert Die hierbei auftretende Schub- bzw. Scherkraft wird also - auf die Flächeneinheit bezogen - als Schubspannung bezeichnet. Die Indizierung z bedeutet (entsprechend der Abbildung), daß die in -Richtung gerichtete Impulsdichte v in z-richtung transportiert wird. Das Vorzeichen wird entsprechend der Richtung der Impulsflußdichte gewählt. Der nach unten gerichteten Netto-Impulsflußdichte entspricht also ein negatives z. 9

20 Transport von Impuls v (z ) nach unten v (z ) Transport von Impuls v (z 1 ) nach oben v (z 1 ) Abbildung 3.14 Beschreibung der Reibungskraft als Impulsaustausch zwischen zwei Luftpaketen. Die Schubspannung ist proportional zum Geschwindigkeitsgradienten: v z (3.63) z v z (3.64) z ist die dynamische Zähigkeit, für Luft von 0 C ist Pas. ist die kinematische Zähigkeit, für Luft von 0 C ist 0.15 cm²/s. kann als Diffusionskonstante der Impulsdichte aufgefaßt werden. Bei konstanter Dichte gilt: j pz v p z (3.65) z z Dieser Ansatz entspricht dem 1. Fick schen Gesetzt für eine beliebige (skalare) Beimengung: dc j D (3.66) dz mit D = Diffusionskoeffizient, c = Konzentration, j = Flußdichte. 93

21 Bei einem sich mit der Höhe konstant ändernden Geschwindigkeitsfeld (dv/dz = const) gleichen sich die Schubspannungen an der Ober- und Untergrenze eines Volumens gerade aus (siehe Abbildung). Die in der Summe auf das Volumen wirkende Kraft ist Null. Gleichwohl findet weiterhin ein vertikaler Fluß von Impulsdichte statt. df R z z dz da z da z (3.67) z z z z dz da z da z df z z R z dz dy d z v dv z dv (3.68) Die auf ein Volumen wirkende Kraft ist also der zweiten Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes proportional. z z v lineares Geschwindigkeitsprofil => nach unten gerichteter Impulsflußdichte => Reibungskraft = 0 v quadratisch mit der Höhe ansteigende Geschwindigkeit => nach unten gerichteter Impulsflußdichte => Reibungskraft 0 Abbildung 3.15 Reibungskräft treten nur für gekrümmte Geschwindigkeitsprofile auf. Für drei Raumdimensionen gilt: df R dv,, v (3.69) y z 94

22 In der Atmosphäre sind wegen der horizontalen Ausrichtung der Windfelder nur die - und y- Komponenten der Reibungskraft bedeutsam. Unter der Annahme, daß die Windfelder senkrecht zur Windrichtung konstant sind (dv /dy=0; dv y /d=0), gilt: df R dv v v y,, 0 z z (3.70) Scheinkräfte: Zentrifugalkraft und Corioliskraft Die bisherigen Überlegungen galten für ein nichtrotierendes Koordinatensystem. Für ein rotierendes System wie die Erde treten weitere (Schein-) Kräfte auf: Die Zentrifugalkraft, die am Äquator maimal 0.4% der Erdbeschleunigung beträgt, ist für die auf ein Luftpaket wirkenden Kraft nicht bedeutsam. Formell wurde sie schon bei der Einführung des Geopotentials (siehe oben) berücksichtigt. Weiterhin werden aufgrund der Drehimpulserhaltung Luftströmungen (im Bezugssystem Erde betrachtet) abgelenkt. Diese Scheinkraft wird als Corioliskraft bezeichnet; sie nimmt vom Äquator (dort ist sie =0) zu den Polen hin zu. F d C dv v (3.71) mit = Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. Für atmosphärische Strömungen ist nur die horizontale Komponente von F C relevant. Mit v = Betrag der horizontalen Windkomponente, = Komponente der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Erdoberfläche folgt: F C dv v (3.7) hängt von der geographischen Breite ab: sin sin (3.73) Damit gilt: F C dv v sin v f (3.74) f = sin() (3.75) wird als Coriolisparameter bezeichnet. Für alle drei Raumrichtungen folgt: 95

23 F C dv f v y, v, 0 (3.76) Zusammenfassung aller Kräfte in der Navier-Stokes-Gleichung: dv a dv dv dfg dfp dfr dfc (3.77) dt dv dv dt 1 p v fv y, fv, 0 (3.78) Die totale Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit beschreibt zwei unterschiedliche Anteile: zum einen die zeitliche Änderung des Strömungsfeldes im betrachteten Volumen, zum anderen den Transport räumlicher Geschwindigkeitsvariationen durch das betrachtete Volumen. Es gilt: dv v v v (3.79) dt t Der zweite Term in (3.79) wird als Feldbeschleunigung bezeichnet. Er ist nichtlinear in v und beschreibt die Wirkung von Trägheitskräften, bzw. Turbulenz. Gegenüberstellung der Trägheits- und Reibungskraft: Abschätzung der Größenordnung der Feldbeschleunigung v v l (3.80) mit l = charakteristische Strecke, auf der sich der Betrag oder/und die Richtung der Geschwindigkeit wesentlich ändert (z.b. Krümmungsradius). Daraus folgt als Abschätzung für die Trägheitskraft: v v v l F T (3.81) Abschätzung der Größenordnung der Reibungskraft: v v l (3.8) 96

24 Der Quotient von Trägheitskraft und Reibungskraft wird als Reynoldszahl bezeichnet: v / l v l Re (3.83) v / l Die Reynoldszahl kann zur Abschätzung des Einsetzens von Turbulenz herangezogen werden. Turbulenz findet statt für Reynoldszahlen von Werten größer etwa ebene Platten (Plattenströmung: Re krit ~ Rohr- und Kanalstrukturen: Re krit ~.300 Abbildung 3.16 Beide Abbildungen zeigen den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung, z.b. Wirbelentstehung aus einer kleinen Störung. 97

25 Reynoldszahl in der Atmosphäre: - Luft 0.15 cm²/s = m²/s -angenommene Geschwindigkeit v = 5 m/s -angenommene charakteristische Länge l = 1000m => Re Luft => atmosphärische Strömungen sind (außer an Grenzflächen) turbulent bestimmt Für welche charakteristische Länge geht turbulente Strömung in laminare Strömung über? Für eine angenommene Geschwindigkeit von 5 m/s (uns ist hier nur die Größenordnung wichtig) und eine Reynoldszahl von 1000 ergibt sich eine charakteristische Länge von Re l 3mm v (3.84) Erst ab dieser Größenordnung geht die Strömung in eine molekular-viskos laminare Form über. Hieraus folgt, daß die Energie großer Wirbel in der Atmosphäre zuerst in kleinere Wirbel übergehen muß, bevor sie in laminare Strömung und durch molekular-viskose Reibung damit in Wärme umgewandelt werden kann. Abbildung 3.17 Von Karmansche Wirbelstraße ausgelöst durch die kanarischen Inseln. Bilder von Meteosat (visible) 30th January 001. ( 98

26 3..3 Verschiedene Näherungslösungen der Navier-Stokes-Gleichung Trägheitsbewegung Als Trägheitsbewegung wird die reibungsfreie Bewegung ohne Einwirkung äußerer Kräfte bezeichnet. -Druckgradientenkraft = 0 -Reibungskraft = 0 -Die Schwerkraft wird vernachlässigt => Zentripedalkraft und Corioliskraft kompensieren sich gerade gegenseitig. Stationäre Strömungsform, der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant. Die Anfangsgeschwindigkeit sei v 0. dv dt 0 f v0 v dv (3.85) R mit f = f = sin() (Coriolisparameter) Unter der Annahme, daß die Corioliskraft nicht breitenabhängig sei, beschreibt da Luftpaket eine Kreisbewegung mit Radius R. v (3.86) f R 0 Für typische Werte, z.b. v 0 = 10m/s, = Die Umlaufzeit dieser Bewegungen ist 1 s = s -1, T R (unabhängig von v 0 ) (3.87) v f 0 0 Tabelle 3.1 Abhängigkeit des Radius und der Umlaufzeit für Coriolisbestimmte Trägheitsbewegungen Geographische Breite z.b. R T 0 90 Pol 69 km 1 h 45 Norditalien 98 km 17 h 30 Tropen 67 km 4 h 0 Äquator Beispiel: Ausdehnung eines typischen Hoch/Tiefdrucksystems: R500 km. Für eine geographische Breite von 50 (Zone der Westwinddrift) ergibt sich eine Geschwindigkeit von v 0 = 56 m/s 99

27 Abbildung 3.18 IR-image, 5. Oktober 001, 15:34 (Copyright Dundee Satellite Receiving Station, Geostrophischer Wind Die Vorstellung des geostrophischen Windes beruht auf der Annahme, daß sich Druckgradientenkraft und Corioliskraft gerade kompensieren. Zu Beginn nehmen wir an, daß keine Reibungskräfte wirken. -Trägheitskräfte = 0 -Reibungskraft = 0 -Die Schwerkraft wird vernachlässigt Wir gehen von einer stationären Strömung aus; diesmal sind sowohl der Betrag als auch die Richtung der Geschwindigkeit konstant, d.h. die Beschleunigung des Luftpaketes sei =

28 Es folgt: dv dv dt 1 p fv y, fv, 0 0 (3.88) 1 p fv y, fv, 0 (3.89) Für die einzelnen Komponenten gilt: dp f v (3.90) dy dp f vy (3.91) d Ablenkung der ursprünglichen Geschwindigkeit Kräftegleichgewicht Tief F p F C v Isobaren Hoch Abbildung 3.18 Skizze zum Geostrophischen Wind; geostrophische Winde wehen parallel zu den Isobaren. Rein geostrophische Winde wehen also immer entlang der Druckgradienten; sie können die Druckunterschiede also nicht ausgleichen. Dies ist der Grund, warum sich in der Atmosphäre Wirbel um Hoch- und Tiefdruckgebiete bilden. Da sich die Erde dreht, können Luftsrömungen Hoch- und Tiefdruckgebiete nicht direkt ausgleichen. 101

29 Unter- bzw. Übergeostrophische Winde Geringer Druckgradient Hoher Druckgradient Tief F p Tief v F C Isobaren Hoch Hoch Abbildung 3.19 Untergeostrophischer Wind: eine Strömung erreicht ein Gebiet mit einem höheren Druckgradienten. Der Wind dreht sich in Richtung des geringeren Druck, also in Richtung der Druckgradientenkraft. Er wird dabei beschleunigt, bis Druckgradientenkraft und Corioliskraft einen neuen Gleichgewichtszustand erreicht haben. Dabei wird der das Tiefdruckgebiet aufgefüllt, der Druckgradienten also erniedrigt. Hoher Druckgradient Tief Geringer Druckgradient Tief F p F C v Hoch Hoch Isobaren Abbildung 3.0 Übergeostrophischer Wind: eine Strömung erreicht ein Gebiet mit einem geringeren Druckgradienten. Der Wind dreht sich in Richtung des höheren Druck, also entgegen der Druckgradientenkraft. Er wird dabei abgebremst, bis Druckgradientenkraft und Corioliskraft einen neuen Gleichgewichtszustand erreicht haben. Dabei wird der das Hochdruckgebiet aufgepumpt, der Druckgradienten also erhöht. Strömt ein geostrophischer Wind in ein Gebiet größeren bzw. kleineren Druckgefälles ein, so wird das ursprüngliche Gleichgewicht zwischen Corioliskraft und Druckgradientenkraft gestört. Es stellt sich eine seitliche Kraftkomponente ein, die dazu führt, daß a) der Wind gebremst bzw. beschleunigt wird und b) die Unterschiede in den Druckgradienten abgebaut werden. 10

30 Einfluß der Reibungskraft Hoch- und Tiefdruckgebiete leben nicht ewig; d.h. es muß eine Windkomponente eistieren, die parallel zum Druckgradienten weht und somit zu einem Druckausgleich führt. Diese Abweichung von der rein geostrophischen Windrichtung wird durch die Reibung bewirkt. Zusätzlich zur Corioliskraft wirkt jetzt auch die Reibungskraft der Druckgradientenkraft entgegen. Eine brauchbare Annahme ist, daß die Reibungskraft entgegen der Windrichtung wirkt. Einfluß der Reibungskraft F p V Tief F R V geostroph. F C Isobaren Hoch Abbildung 3.1 Unter dem Einfluß von Reibung weht auch im stationären Fall eine Windkomponente senkrecht zum Druckgradienten. Druckunterschiede werden so ausgeglichen. Da in der Atmosphäre die Reibungskräfte zum Boden hin zunehmen, wird die Diskrepanz zwischen der tatsächlichen Windrichtung und der geostrophischen Strömung zum Boden hin größer. Die Winde werden schwächer und drehen zunehmend in Richtung des Druckgradienten. 165 m 330 m 0 m 500 m 750 m V geostrophisch 950 m Abbildung 3. Ekman-Spirale. Windvektoren für verschiedene Höhen innerhalb der planetaren Grenzschicht. 103

31 Strömungen als Folge von Temperaturgradienten Druckgefälle entstehen als Folge unterschiedlicher Temperaturen, also z.b. als Folge unterschiedlicher solarer Einstrahlung (oder auch thermischer Abstrahlung). Entsprechend des Sonnenstands und der Tageslänge nimmt die bodennahe Temperatur vom Äquator zu den Polen hin ab. Ziel dieses Abschnitts ist es, Windgeschwindigkeit sowie Richtung direkt als Funktion der Temperaturgradienten auszudrücken. [C] Abbildung 3.3 Mittlere bodennahe Temperatur als Funktion der geographischen Breite Wir betrachten eine warme und eine kalte Luftmasse, die durch einen Übergangsbereich, eine sogenannte Frontalzone, getrennt sind. Der Luftdruck am Boden sei gleich. Aufgrund der barometrischen Höhenformel: Mg z RT p p 0 e (3.9) folgt, daß der Luftdruck in der kalten Luftmasse mit der Höhe schneller abnimmt als in der warmen. Somit entsteht ein zwischen beiden Luftmassen mit der Höhe ansteigender Luftdruckunterschied. Über der warmen Luftmasse bildet sich ein Hochdruckgebiet, über der kalten Luftmasse ein Tiefdruckgebiet aus. Dieser Druckgradient bewirkt eine horizontale Windbeschleunigung. 104

32 Abbildung 3.4 (Aus W. Roedel, 199, Seite 109) Sowohl in der kalten als auch in der warmen Luftmasse sind die Flächen gleicher Temperatur (Isothermen) auch gleichzeitig Flächen gleichen Druckes (Isobaren). Eine solche parallele Schichtung von Isothermen und Isobaren wird als barotrop bezeichnet. Im Bereich der Frontalzone hingegen sind die Isobaren gegenüber den Isothermen geneigt; eine solche Schichtung wird als baroklin bezeichnet. Eine solche barokline Schichtung neigt zu dynamischen Instabilitäten und führt zu Zirkulationsbewegungen. Für barokline Schichtung ist die Neigung von Isothermen und Isobaren unterschiedlich. Für eine angenommene Temperaturdifferenz von 10 K zwischen warmer und kalter Luftmasse steigen die Isothermen in der Frontalzone um 1000 bis 1500 m; die Isobaren haben eine weitaus geringere Neigung: in 1 km Höhe etwa 50 m, in 5 km Höhe etwa 00 m. Generell lassen sich zwei prinzipiell verschiedene Fälle betrachten: A) Die Corioliskraft kann vernachlässigt werden. Dies ist insbesondere bei kleinräumigen Zirkulationsformen, aber auch in Äquatornähe der Fall, wo die Corioliskraft gering ist. Spielt die Corioliskraft keine Rolle, so kann sich eine direkte konvektive Zirkulation ausbilden. B) Für die Fälle, in denen die Corioliskraft nicht vernachlässigt werden kann, bildet sich eine geostrophische Strömung aus. A) Direkte Zirkulation (Konvektion) Ausgehend von obigem Bild soll in der Höhe eine Luftströmung vom Hoch- zum Tiefdruckgebiet entstehen, der die Druckunterschiede abbaut. Dadurch strömt auf der warmen Seite Luft nach oben nach, auf der kalten Seite sinkt Luft nach unten ab. Hierdurch entsteht am Boden auf der kalten Seite ein Hochdruckgebiet und auf der warmen Seite ein Tiefdruckgebiet. Die Konvektion hält solange an, wie die Temperaturunterschiede bestehen. Die Konvektionsbewegung transportiert Energie von der warmen zur kalten Seite. 105

33 Abbildung 3.5 (Aus W. Roedel, 199, Seite 110) Die Entstehung von Zirkulationsbewegungen kann auch prinzipiell als Folge barokliner Schichtung hergeleitet werden. Isoba r en 1 Isothermen 3 p p 1 > p 4 T 1 > T T p 1 T 1 Abbildung 3.6 Entsehung einer Zirkulationsbewegung bei barokliner Schichtung Die Zirkulation sei definiert als Integral der Geschwindigkeit beim Umlauf um eine Isothermen-Isobaren-Raute (siehe Abbildung). Z v ds (3.93) Daraus ergibt sich die Zirkulationsbeschleunigung als dz dt d dt v ds (3.94) Wir ziehen die Zeitableitung unter das Integral: 106

34 dz dt a ds (3.95) Für die Beschleunigung aufgrund der Druckgradientenkraft folgt: dz dt 1 1 a ds p ds dp (3.96) Für die vier Strecken der Isothermen-Isobaren-Raute folgt: dz dt dp dp dp dp (3.96) Das zweite und vierte Integral verschwinden, da entlang der Isobaren der Druckgradient = 0 ist. Mithilfe der idealen Gasgleichung läßt sich die Dichte als Funktion der Temperatur ausdrücken: Mp (3.98) RT Es folgt: dz dt und schließlich: R M T p p1 dp p T p1 1 p dp p (3.99) dz dt R 1 T (3.100) M p T1 ln p Mit T 1 > T und p 1 > T (siehe Abbildung) folgt eine negative Zirkulationsbeschleunigung, d.h. gegen den Umlaufsinn der Integration gerichtet. B) Thermischer Wind) Wir betrachten nun den Fall, daß sich die Druckunterschiede wegen der Corioliskraft nicht direkt ausgleichen können. Statt dessen stelle sich eine geostrophische Strömung ein; Reibungskräfte seien hier vernachlässigt (siehe oben). 107

35 z v T y Abbildung 3.7 Skizze zum thermischen Wind. Der Temperaturgradient bestehe in y- Richtung. Der mit der Höhe zunehmende Druckgradient bewirkt eine geostrophische Strömung in -Richtung, die mit der Höhe linear zunimmt. Die Druckänderung mit der Höhe folgt der barometrischen Höhenformel: p z Mgp RT (3.101) oder: ln p z Mg RT (3.10) Die Druckänderung in y-richtung bewirkt den geostrophischen Wind: p y f v (3.103) Mit der idealen Gasgleichung ergibt sich: p y M f p RT v (3.104) oder: ln p M f y RT v (3.105) Nach Differenziation von Gleichung (3.10) nach y sowie Gleichung (3.103) nach z und Gleichsetzen ergibt: 108

36 ln p M g T yz RT y M f R v T z (3.106) oder: v T z f g T T y (3.107) Hierdurch wird der horizontale Temperaturgradient mit der vertikalen Zunahme der Windgeschwindigkeit verknüpft. Ersetzt man noch T durch die über die Höhe gemittelte Temperatur T m, so läßt sich die Gleichung weiter vereinfachen: v z f g T m T y m (3.108) Nach Integration über die Höhe ergibt sich: v g T 0 (3.109) f T y m z v z m Im Mittel können die Strömungen der Westwinddriftzone als thermischer Wind betrachtet werden. Es treten horizontale Temperaturgradienten in Nord-Süd-Richtung in der Größenordnung von etwa 3 bis 10 K/1000km auf. Mit einem Wert für den Coriolisparameter von f = 10-4 s -1 und einer mittleren Temperatur von 60 K ergibt sich: v 9.81 ms 6K (3.110) s K 10 m z v z z 0.003s z Es ergeben sich Geschwindigkeitszunahmen zwischen 1 und 3 m/s pro 1000 m Höhendifferenz. 109

37 3.3 Konzept der (Potentiellen) Vortizität Anmerkung: Auch im deutschen Sprachraum hat sich der englische Ausdruck Vorticity eingebürgert. Wir werden die Begriffe Vortizität, Vorticity und Wirbelstärke gleichberechtigt benutzen. Motivation Erhaltungssätze in Atmosphäre für: Masse, Energie, Impuls Erhaltungssatz auch für Drehimpuls? Atmosphäre ist kein Festkörper, kein Massepunkt, sondern Fluid Dies erfordert eine spezielle Formulierung der Drehimpulserhaltung Anwendung des Konzepts der potentiellen Vorticity Charkterisierung von atmosphärischen Zirkulationen Beschreibung von atmosphärischen Wellen Charakterisierung von Transportvorgängen (Transportbarrieren) Verschiedene Definitionen der Vorticity in der Atmosphärenphysik: Relative Vorticity : Z-Komponente der Rotation des atmosphärischen Windfeldes Absolute Vorticity : Summe aus und der Z-Komponente der Erdrotation. f mit f = sin (Coriolisparameter). Potentielle Vorticity: -nach Rossby: Z R = /p -nach Ertel (auch isentrope PV): a) Z E = / d/dz b) Z * E = d/dp 110

38 Die potentielle Vortizität kann in der Atmosphäre als Erhaltungsgröße angesehen werden, d.h. die PV einer Luftmasse kann zu ihrer Charakterisierung herangezogen werden. Luftmassen unterschiedlicher PV durchmischen sich nicht. Relative Vorticity Die (relative) Vorticity kennzeichnet die Vertikalkomponente der Rotation des Strömungsfeldes. Da die horizontale Ausdehnung der Atmosphäre um viele Größenordnungen größer ist als die vertikale, ist die Vertikalkomponente der bedeutende Anteil an der Vorticity. rot z v (3.111) Wir definieren die Zirkulation: Z v ds (3.11) dz (3.113) da z y y + dy y + d Abbildung 3.8 Zur Definition der Zirkulation Für kartesische Koordinaten (siehe Abbildung) folgt: dz yd v ddy v y dyd v dy v (3.114) y y v v v y y yd v dy v d dy v y dy d y y (3.115) 111

39 vy v d dy y (3.116) Mit da = d dy folgt aus Gleichung (3.113): vy v (3.117) y Eine Vorticity 0 gilt für folgende Bewegungen: a) gekrümmte Bewegungen b) geradlinige Bewegungen mit horizontaler Windscherung Beispiele I: Vorticity einer starren Rotation: Es gilt für alle r: v r (3.118) Z v ds v r r (3.119) Division durch die Fläche r : (3.10) Die Vorticity beträgt das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit. II: Allgemeiner Fall einer gekrümmten Bewegung (siehe Abbildung): dr r d es gilt: (3.11) mit r = Krümmungsradius, d infinitesimales Winkelelement. Es gilt, da der Krümmungsradius immer senkrecht auf der gekrümmten Bewegung steht: dr v 0 Weiterhin vernachlässigen wir alle Terme, in denen drei Differentiale vorkommen. Dann gilt entsprechend Abbildung 3.9: (3.1) 11

40 dz r r d vr dr r dr d v (3.13) v v r r d v r dr r dr d r (3.14) v v r dr d r dr d r (3.15) da dr r d Nach Division durch die infinitesimale Fläche : r dz v v (3.16) da r r d v(r) r r + dr Abbildung 3.9 Vorticity im Fall einer gekrümmten Bewegung Es sei angemerkt, daß für den Fall des starren Rotators (mit gilt: Dies ist das gleiche Ergebnis wie in Gleichung (3.10). v r v r und demnach ) III Allgemeiner Fall einer Scherung einer geradlinigen Bewegung Wir nehmen an, daß die Windströmung in -Richtung weht (siehe Abbildung 3.30; analoge dv Überlegung gilt für y-richtung). Also sei v y = 0 und folglich auch y 0. Die Windscherung d in y-richtung sei dv 0 dy. 113

41 Durch Anwendung von Gleichung (3.111) folgt: v rotzv 0 y (3.17) y Abbildung 3.30 Vorticity im Fall einer Scherung einer geradlinigen Bewegung Einbeziehung der Erdrotation, absolute Vorticity Das Koordinatensystem für die bisherigen Berechnungen der (relativen) Vorticity war auf die Erdoberfläche bezogen. Um nun den Erhaltungssatz für die Wirbelstärke formulieren zu können, muß noch der Anteil des sich drehenden Bezugsystems bestimmt und zur relativen Vorticity addiert werden. Entsprechend Gleichung (3.10) ist die Vorticity des starren Rotators Erde (mit dem Anteil senkrecht zur Erdoberfläche) gerade sin f (3.18) mit f = Coriolisparameter. Somit ergibt sich als absolute Vorticity: f (3.19) Für die absolute Vorticity läßt sich ein Erhaltungssatz formulieren. Wir gehen aus von der Navier-Stokes-Gleichung, die wir in die folgende Form umwandeln (siehe W. Roedel, Seiten 94 und 108). v 1 v v * rotv f v y, v,0 1 F (3.130) t 114

42 vf Wir bilden von beiden Seiten rot z und addieren auf der linken Seite 0. t Der erste Term der linken Seite wird mit Vertauschen der Orts- und Zeitableitung: rot z v f t t rot t z v f f t t t t (3.131) Der zweite Term der linken Seite ist = 0, da die Rotation eines Gradienten verschwindet. Der dritte Term der linken Seite ergibt: rot z v * rotv rot v, v,0 v v y z y y v v v y y v div v v H H y y Für den vierten Term auf der linken Seite liefert eine analoge Rechnung: rot z f v f vy f v, v, 0 y f div H v v H f y (3.13) (3.133) Werden alle Umformungen eingesetzt ergibt sich: divh v vh f divh v v H f 1 t rot z F (3.134) Mit Gleichung (3.19) f ergibt sich: divh v vh 1 t rot z F (3.135) Diese Gleichung ist identisch mit folgender Formulierung: 115

43 d divh v 1 rotz F dt (3.136) Gleichung (3.135) und (3.136) beschreiben die Erhaltung der Vorticity; sie werden auch als Vorticity Gleichung bezeichnet. Für den Fall, daß die äußeren Kräfte verschwinden, wird der rechte Term = 0. Potentielle Vorticity Für atmosphärische Anwendungen sind Gleichung (3.135) oder (3.136) ungeeignet, da sie zu komple sind. Durch Verknüpfung der Erhaltungssätze der Vorticity (Gleichung 3.135) und der Erhaltung der Masse läßt sich eine neue Größe ableiten: die sogenannte potentielle Vorticity. Für diese Größe läßt sich ein einfacherer Erhaltungssatz herleiten, der direkt auf die Atmosphäre anwendbar ist. Der Erhaltungssatz der potentiellen Vorticity gilt für eine barotrop geschichtete Atmosphäre, d.h. die Isolinien des Druckes und der Temperatur sind parallel zueinander. a) Rossbysche Potentielle Vorticity Die Rossbysche potentielle Vorticity ist eine Größe, die einem Luftpaket mit endlichen Ausdehnungen zugeordnet werden kann. Dabei sei das Luftpaket oben und unten durch eine Fläche mit definiertem Druck oder Temperatur begrenzt. Wir beginnen damit, daß wir die Masseerhaltug durch die Kontinuitätsgleichung ausdrücken: t div v 0 (3.137) Nach einigen Umformungen (siehe W. Roedel, 199, Seiten 104, 105) folgt hieraus der Ausdruck: 1 div H v p dp dt (3.138) Diesen kombinieren wir mit Gleichung (3.136) und erhalten: 1 p dp 1 d dt dt 0 (3.139) Wir multiplizieren mit : p 1 p dp 1 d 0 (3.140) dt p dt 116

44 Die linke Seite entspricht offensichtlich der Ableitung folgender Funktion nach der nach der Zeit: p Z R (3.141) Diese Funktion stellt also eine Erhaltungsgröße dar. Sie wird als (Rossbysche) Potentielle Vorticity bezeichnet. b) Ertelsche Potentielle Vorticity Den beiden Begrenzungsflächen sollen die potentiellen Temperaturen 1 und entsprechen; die Differenz bleibt bei adiabatischem Heben und Senken konstant. 1 1 d dz z z const (3.14) Wird die Dichteänderung mit der Höhe vernachlässigt, so kann die Höhendifferenz durch die Druckänderung ausgedrückt werden: p z (3.143) g z 1 Einsetzen in Gleichung (3.14): g p const d dz (3.144) Wir setzen Gleichung (3.144) in (3.141) ein: Z E d dz const (3.145) Hier haben wir die Schwerebeschleunigung in die Konstante miteinbezogen. Die so definierte Funktion wird als Ertelsche Potentielle Vorticity bezeichnet. Im Gegensatz zur Rossbyschen Definition stellt sie eine Größe dar, die einem infinitesimalen Luftvolumen zugeordnet werden kann. Man kann wegen dp g dz den Vertikalgradienten der potentiellen Temperatur auch als Funktion des Druckes ausdrücken und gelangt zu einer weiteren, gleichwertigen Definition der Ertelschen Potentiellen Vorticity: d * const' dp Z E (3.146) 117

45 Abbildung 3.31 Vergleich von absoluter und potentieller Vorticity für eine Höhe von ca. 8 km. 118

46 Beispiele a) Drehung der Windrichtung beim Überströmen von Hindernissen Abbildung 3.3 (Aus W. Roedel, 199, Seite 107) -Die Drehrichtung ist nicht von der Strömungsrichtung abhängig! b) Beschreibung von Rossby-Wellen Abbildung 3.33 Aus W. Roedel, 199, Seite

47 Abbildung 3.34 Entstehung des Jet-Streams beim Aufeinandertreffen von warmen und kalten Luftmassen. 10

48 Abbildung 3.35 Lage des Jet-Streams, Analyse der San Francisco State University ( 11

49 c) Charakterisierung von Luftmassen Abbildung 3.36 Anhand der Potentiellen Vorticity lassen sich Luftmassen zuordnen. Hohe Werte (und auch Gradienten) der PV kennzeichnen stratosphärische Luft (Nach WMO-Report 16, 1985). 1

50 d) Transportbarriere für Luftmassen mit unterschiedlicher Potentiellen Vorticity Abbildung 3.37 Ozonhöhenprofile aus Radiosondenmessungen. Die starken Ozoneinbrüche im rechten Bild zeigen das Eindringen von Luft aus dem polaren Vorte, in dem Ozon photochemisch zerstört wurde, nach mittleren Breiten. Aufgrund der hohen PV vermischt sich Ozonarme Luft sogenannter Filamente nur langsam mit den Luftmassen von außerhalb des Polaren Vorte (siehe auch Abbildung 3.38). 13

51 Abbildung 3.38 Im polaren Winter wird durch den stratosphärischen Wirbel (Vorte) eine Luftmasse hoher PV sehr effektiv von der umgebenden Luft isoliert. Innerhalb des polaren Vorte findet der Ozonabbau statt. Die Messung von Ozonarmer Luft in etwa 0 km Höhe für die zwei Stationen in mittleren Breiten (Abbildung 3.37) kann auf das Vordringen einer polaren Luftmasse zurückgeführt werden. Diese Luftmasse ist an ihrer hohen Potentiellen Vorticity zu erkennen. 14

52 Abbildung 3.39 Lage des polaren Vorte am anhand der PV-Analyse von ECMWF. Shape of the polar vorte (35 PV units at 475K, ECMWF analysis) SCD OClO [molec/cm²] 0 1.3e13 Abbildung 3.40 OClO SCD am , gemessen vom Satelliteninstrument GOME. Erhöhte Werte innerhalb des polaren Vorte zeigen eine stratosphärische Cloraktivierung an, die Vorrausetzung für Ozonzerstörung ist. 15

53 Vielen Dank für Kritik & Vorschläge 3.4 Zyklonendynamik Abbildung 3.41 Abhängigkeit der Rotationsmuster von der Drehgeschwindigkeit eines fluiden Systems (Aus Houghton, 1991). 16

54 Motivation & Gliederung Zyklonendynamik bestimmt das Wetter und Klima in mittleren Breiten. Sie ist indirekt, entsteht also nicht aufgrund direkter Strahlungseinwirkung, sondern aufgrund starker Temperaturgradienten zwischen Äquator und Polen. Luftmassen Fronten Konvergenzen und Divergenzen in baroklinen Wellen Impuls- und Wärmetransport Luftmassen Bezeichnung für ausgedehnte Luftvolumina mit einheitlichen Eigenschaften (z.b. Temperatur, Feuchte, Schichtungsstabiliät). Konvention zur Definition einer Luftmasse: -horizontale Ausdehnung > 500 km -vertikale Ausdehnung > 1 km -horizontaler Temperaturgradient < 1K/100km Voraussetzung zur Entstehung einer Luftmasse ist deren ausreichend lange Verweilzeit unter einheitlichen äußeren Bedingungen. Dies ist nur möglich, wenn keine starken Druckgradienten vorhanden sind, die zur schnellen Bewegung einer Luftmasse führen würden. Aufgrund dieser Bedingung entstehen einheitliche Luftmassen vorwiegend in tropischen und Polarregionen. In mittleren Breiten sind die Temperatur- und Druckgradienten zu stark, um einheitliche Luftmasseneigenshaften entstehen zu lassen. Tabelle 3. Übliche Einteilung von Luftmassen: Luftmasse Bezeichnung Ursprung, Weg nach Europa Polarluft T Island, Nordmeer, Nordeuropa Subpolarluft P S Island-Grönland, Nordost- und Osteuropa Gemäßigte Luft X Mittelatlantik, Mittel- und Osteuropa Subtropikluft T S Azoren, Mittelmeer, Südosteuropa Tropikluft T Entsprechend der oben genannten Kriterien bezeichnet X weniger eine in mittleren Breiten entstandene Luftmasse, als vielmehr eine dort umgewandelte Luftmasse. Je nach Entstehung über Land oder Meer werden die Luftmassenkürzel noch mit einem Inde c oder m versehen. Im Bereich der mittleren Breiten stößt (Sub-) Tropikluft und (Sub-) Polarluft aufeinander, es bestehen somit starke horizontale Temperaturgradienten, die zu starkem Thermischen Wind führen. 17

55 Abbildung 3.4 (Aus Malberg, 1994) 18

56 Abbildung 3.43 (Aus Malberg, 1994.) Fronten Zwischen zwei Luftmassen unterschiedlicher Temperatur bildet sich eine Frontalzone aus. In einem schmalen inneren Bereich können die Temperaturgradienten sehr groß werden (bis etwa 5K/100km); diesen Bereich bezeichnet man als Front. Die horizontale Dicke der Front beträgt einige 10 km. Diese Angabe gilt für eine bestimmte Höhe. Da Fronten geneigt sind (siehe unten), beträgt die gesamte horizontale Ausdehnung bis zu mehreren hundert Kilometern. In der Front sind die Isothermen sehr stark geneigt; es bildet sich eine starke barokline Schichtung aus. Diese wird oft als Hyperbarokline Schichtung bezeichnet 19

57 Abbildung 3.44 (Aus Malberg, 1994) Abbildung 3.45 (Aus Malberg, 1994) 130

58 Abbildung 3.45 (Aus Malberg, 1994) Die Neigung einer Front wird durch gegensätzliche Kräfte bestimmt: -aufgrund der unterschiedlichen Dichten besitzt die wärmere Luftmasse eine Tendenz, sich über die kältere zu schieben. -dieser Bewegung wird von den vorherrschenden Winden entlang der Frontfläche sowie der dadurch bewirkten Corioliskraft entgegengewirkt. z warm vw vk ds kalt y Abbildung 3.46 Skizze zur Bestimmung der Frontneigung nach der Formel von Margules. Der Neigungswinkel einer Front läßt sich anhand der Formel von Margules berechnen, die wir im folgenden herleiten werden. Ausgangspunkt der Überlegung ist, daß für eine stabile Front Druckgleichgewicht herrschen muß. Es folgt, daß die Druckänderung entlang eines infinitesimalen Wegstückes ds (siehe Abbildung) auf der warmen und kalten Seite gleich sein muß. 131

59 dp ds p ds p k w (3.147) bzw.: p y w p dy z k p dz y k p dy z k dz (3.148) es folgt: p p - dz z w yk tan dy p p - z k yw Mit der barometrischen Höhenformel (3.149) p g (3.150) z und der Gleichung des geostrophischen Windes p f v y (3.151) folgt: tan v - v f g k w w k (3.15) => bei gleichen Produkten aus Dichte und Geschwindigkeit in kalter und warmer Luftmasse bricht die Front zusammen. => insbesondere gilt dies für v k = v w = 0 => mit zunehmender geographischer Breite steigt die Steilheit der Front. Man kann die Dichte noch über die ideale Gasgleichung ausdrücken: p RT (3.153) Dann folgt: f tan g (Formel von Margules) T v - T v w k T k T w (3.154) Bsp.: T w = 85 K T k = 75 K 13

60 v w = 35 m/s v k = 10 m/s Für 50 geographische Breite folgt (f = /s): s tan 981. ms sm K35ms - 75K10ms -1 75Kms 10K 85K 75K (3.155) (3.156) -1 75Kms sm (3.157) 10K = 0.46 Dies entspricht einer Verschiebung der Front um 1000 km auf 8 km Höhendifferenz. In der Realität treten auch senkrecht zur Front gerichtete Windkomponenten auf; die Front wandert. Zusätzlich spielt dann die Bodenreibung eine Rolle. Stößt kalte Luft gegen eine warme Luftmasse vor, so bezeichnet man die Front als Kaltfront, im umgekehrten Fall als Warmfront. Beide Fronten unterscheiden sich bezüglich ihrer Höhenabhängigkeit sowie Dynamik und Wolkenbildung. Kaltfront Aufgrund der mit der Höhe zunehmenden Windgeschwindigkeit steilt sich eine Kaltfront gegenüber der Front einer unbewegten Luftmasse (Formel von Margules) auf. Die senkrecht zur Front gerichtete Windgeschwindigkeit führt also zu einer Zunahme der Labilität und somit zu verstärktem Vertikalaustausch. Insbesondere wird Impuls aus der Höhe nach unten transportiert, die Front wird schneller. Aufgrund der entsprechenden Zunahme der Bodenreibung steilt sich die Front gerade in Bodennähe sehr auf. Eine Kaltfront wird von konvektiven Schauern begleitet. Abbildung 3.47 An einer Kaltfront schieben sich schwere, kalte Luftmassen keilförmig unter die warme Luft. Durch den relativ steilen Winkel des Kaltluftkeils geht dieser Prozeß viel lebhafter vor sich als das leichte Aufgleiten einer Warmfront. Die emporgerissene Warmluft bildet mächtige Wolkenberge, und es kommt zu kurzen, aber heftigen Schauern und Gewittern

61 Abbildung 3.48 Kaltfront; 7. Februar 000, 6:01 UTC, NOAA IR. Über etliche Tausend Kilometer erstreckt sich eine Kaltfront quer über den Nordatlantik. Das Zentrum des zugehörigen Tiefdruckgebietes liegt etwas östlich von Island. Hinter der scharfen Kante der Kaltfront erkennt man eine zellulare Wolkenstruktur. Sie markiert hochreichend labil geschichtete Kaltluft, in der sich zahlreiche Schauer und Gewitter bilden. 134

62 Abbildung 3.49 Ein typisches Beispiel für den plötzlichen Bewölkungsaufzug bei einer Kaltfront mit kräftiger Schauerbewölkung. Abbildung 3.50 Kaltfront Karlsruher Wolkenatlas, 135

63 Warmfront Für eine Warmfront führt die mit der Höhe zunehmende Windgeschwindigkeit zu einer Verstärkung der Frontneigung und somit zu einer Zunahme der Stabilität. Es folgt eine großflächige Aufgleitbewegung mit nur schwachem Vertikalaustausch von Impuls. Es entwickelt sich Schichtbewölkung mit gleichmäßigem, langanhaltendem Niederschlag. Abbildung 3.51 An einer Warmfront gleitet warme Luft in sehr flachem Winkel auf eine kalte Luftmasse auf. Dies geschieht, weil warme Luft leichter ist als die schwere, träge Luftmasse. Diese Aufgleitprozesse und die damit verbundene Wolkenbildung gehen im allgemeinen gemächlich vor sich. Es kommt nur selten zu richtigen Unwettern, wohl aber zu länger anhaltenden Regen- oder Schneefällen. Abbildung 3.5 Typischer sich zum Horizont verdichtender Altostratus-Bewölkungsaufzug bei einer Warmfront (etwa eine halbe Stunde später setzte am Beobachtungsstandort bereits der präfrontale Landregen ein)

64 Abbildung 3.53 Warmfront Karlsruher Wolkenatlas, Barokline Wellen Barotrope Wellen sind stabil, können also nicht die sich selbst verstärkenden Phänomene beschreiben, die für die Zyklonendynamik verantwortlich sind. Quasi-barotrope Bedingungen (vernachlässigbare Kon- und Divergenzen) eistieren nur in einem eingeschränkten Höhenbereich von etwa 5-6 km. Die hier auftretenden barotropen Wellen sind dennoch das Grundmuster der Wellenformen. Darüber und darunter herrschen barokline Schichtungen vor, die zu den für die Zyklonendynamik wesentlichen Instabilitäten führen. Insbesondere entstehen in diesen Höhenbereichen horizontale Kon- und Divergenzen, also Tief- und Hochdruckgebiete. Im folgenden sollen diese Bedingungen beschrieben werden. Hierzu gehen wir von der vollständigen Vorticity-Gleichung aus (siehe z.b. W. Roedel, Seite 140): t v 0 (3.158) v H H Als ersten Ansatz nehmen wir an, daß alle Ableitungen nach y verschwinden. Dann folgt aus Gleichung (3.158): v v c 0 (3.159) 137