7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

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1 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus A is f(x 1,..., x n ) also eine Zahl, die im Falle n jeweils die Höhe des Funkionsgebirges über dem Punk x angib. Wir benuzen hier und im Folgenden zur Vereinfachung der Schreibweise Zeilenvekoren, beachen aber, daß Ausdrücke der Form f ( a) v als Skalarproduk zu versehen sind. Parielle Ableiungen Die j-e parielle Ableiung der Funkion f berechne man, indem man alle Variablen außer x j als Konsane berache und wie im eindimensionalen Fall die Ableiung nach x j bilde. Diese pariellen Ableiungen müssen nich in allen Punken des Definiionsbereichs exisieren! Schreibweisen für die j-e parielle Ableiung im Punk a: f( a ) oder f ( ) x xj a, j bzw. falls die Variablen x, y, z heißen: x f( a ) f x ( a ), y f( a ) f y ( a ), z f( a ) f z ( a ). Anschließend kann man die zunächs fesgehalene Selle a wieder variabel machen. Man erhäl dann neue Funkionen f x, f y, f z usw. (Die unerschiedliche Form der Buchsaben f bzw. f is eine Maroe älerer MAPLE-Versionen und ha keine mahemaische Bedeuung). Beispiel 1: Ableiungen einer zweidimensionalen Poenzfunkion x y

2 x y) ) x( y 1 y y y) xy ln( x )

3 Richungsableiungen Die Richungsableiung von f im Punk a (aus A) nach einem Vekor v (aus R n ) is die Ableiung der Funkion g( ) f ( a + v ) nach im Punk 0 (sofern diese exisier). Anschaulich beschreib diese Funkion g im Fall n diejenige Kurve, die durch Schni des zu f gehörigen Funkionsgebirges mi der senkrechen Ebene durch den Punk a in Richung von v enseh; die Richungsableiung liefer die Seigung der Schnikurve im Punk a. Man bezeichne die Richungsableiung mi v f( a ) oder f v ( a ) und erhäl sie als Grenzwer v f( a) lim 0 Is v ein Einheisvekor, so sprich man auch von der Ableiung in Richung v. Beispiel : Schni durch einen Berg e ( ) x y a ( 1, 0 ), v ( 1, ) g( ) f ( a + v ) f ( a + v ) f( a ). Richungsableiung im Punk a [ a 1, a ] in Richung von v [ v 1, v ]: lim 0 f ( a + v ) f( a) ( a v a 1 v 1 ) e a 1 a Wie üblich bezeichnen wir im Falle n (bzw. n 3) die Koordinaen eines fesen Vekors häufig mi x 0 und y 0 (sowie ggf. z 0 ) sa mi a 1, a usw. Bei den Richungsvekoren v behalen wir aber die Koordinaenschreibweise v 1,v,... bei.

4 Der Zusammenhang mi der oalen Ableiung f is einfach: Saz 1 Is f im Punk a differenzierbar, so exisieren dor alle Richungsableiungen, und es gil v f( a ) f ( a) v. Denn in dem Grenzwer v f( a ) lim f ( a + v ) f( a ) 0 o( v) kann man f ( a + v ) f( a ) durch f ( a ) v + o( v ) ersezen, und wegen lim 0 bleib 0 nach Kürzen von nur noch f ( a) v übrig. Beispiel 3: Baman is geknick Wir berachen die Baman-Funkion y) x + y Im Nullpunk wird die Funkion (seig) ergänz durch f ( 0, 0) 0. Die Richungsableiungen im Nullpunk O ( 0, 0 ) sind sämlich gleich 0: v f( O ) lim ( v 1 ) + ( v ) f ( v, ) ( v 1 + v ) 1 v lim 0 0.

5 Offenbar ha die Fläche enlang der Koordinaenachsen je einen Knick. Für Punke auf diesen Achsen (ausgenommen O) sollen die Richungsableiungen außer in Achsenrichung also nich exisieren. Zum Beispiel ergib sich für den Punk a [ 1.5, 0 ] in Richung von v [ 1, ]: aber lim 0- lim 0+ ( ) 3 + ( ) ( ) 3 + ( ) lim 0- lim 0+ ( ) 3 + ( ) lim 0- ( ) ( ) f ( a + v ) f( a ) Links- und rechsseiiger Grenzwer des Differenzenquoienen verschieden. Enlang der x-achse (Richungsvekor v [1,0] ) is die Schnikurve hingegen gla: 9 ( + + ) 3 lim 0+ sind hier 6, 3 0. Hier simmen links- und rechsseiiger Grenzwer des Differenzenquoienen überein: lim 0- ( ) ( ) , lim Eine ensprechende Rechnung für beliebige Richungsvekoren v [ v 1, v ] ergib im Falle 0 a 1 : lim 0- f ( a + v ) f( a ) f ( a + v ) f( a ) v 1 v, lim a 1 ( + ) 0- und diese beiden Grenzwere sind nur dann gleich, wenn enweder a 1 v 0 (Punk auf der Knickkurve über der y-achse) oder 0 (Ableiung in Richung der x-achse) gil. a 1 ( v 1 v ),

6 Parielle Ableiungen als spezielle Richungsableiungen Die j-e parielle Ableiung der Funkion f im Punk a [a 1,..., a n ] is die Richungsableiung nach dem j-en Einheisvekor e j [0,...,1,...,0], wobei die 1 an der j-en Selle seh ( j 1,..., n). Aus Saz 1 erhalen wir so eine bequeme Mehode, oale Ableiungen konkre zu berechnen: Saz Is f im Punk a oal differenzierbar, so exisieren dor alle pariellen Ableiungen, und es gil f ( a ) [ f x1 ( a ),..., f xn ( a )]. Die Komponenen des Gradienen sind also gerade die pariellen Ableiungen. Beispiel 4: Baman pariell und oal abgeleie Wir wissen schon, daß die pariellen Ableiungen der Baman-Funkion im Nullpunk verschwinden. Außerhalb dieses Punkes muß man je nach dem Vorzeichen von x und y vier Fälle unerscheiden: Für 0 < x und 0 < y haben wir x + y und das is gleich x y x + y. Deshalb ergib sich in diesem Fall, x y + x y y x während für negaives x und y diese Ableiungen das Vorzeichen wechseln: Hier is also gleich x + x y y, und somi x, x y x y y) y + x Die Funkionsgebirge der pariellen Ableiungen sind in diesen Fällen Ebenen! Haben wir hingegen x < 0, aber 0 < y, so erhalen wir y x was sich im Reellen nich kürzen läß, und wir errechnen, x 3 x y ( y x ) y y 3 3 y x x 3 ( y x ) und schließlich für 0 < x und y < 0 : y

7 was ebenfalls nich kürzbar is. Hier erhalen wir x y, x 3 x y ( y x ) y y 3 3 y x x 3 ( y x ) In all diesen Fällen bekomm man die Ableiung durch f ( x,, x y) y. Wie wir oben sahen, exisieren die pariellen Ableiungen auf den Koordinaenachsen mi Ausnahme des Ursprungs O nich. Ers rech kann f dor nich oal differenzierbar sein. Im Bilde: die parielle Ableiung nach x... und nach y : buerfly

8 Beispiel 5: Baman's ausgefranser Manel Die folgende Funkion is nur außerhalb der Geraden x y definier und auf dieser Geraden nur im Nullpunk seig ergänzbar. Für 0 < x und y < 0 simm sie mi der Baman-Funkion überein. x y Bei sark verzerrem Maßsab ergib sich folgender Torso: Bei Maßsab 1:1 sehen die beiden Teilflächen näherungsweise so aus:

9 Die "Fransen" ensehen durch die unzureichende Auflösung. Außerhalb der Geraden x y is die Funkion im Bereich des Quadras [-1,1] [-1,1] überall differenzierbar., x x3 + 3 x y + y 3 ( x + y 3 y x + y 3 x 3 ( x + Beispiel 6: Baman homogenisier Für die Funkion x + y ergeben sich außerhalb des Nullpunkes folgende parielle Ableiungen: x 3 x x + ( ) x y ( x + y )

10 y 3 y x + ( ) y y ( x + y ) Diese Gleichungen sind zunächs nur richig, falls x 0 oder y 0 gil. Selbs wenn man den Grenzübergang gegen 0 vollziehen könne (was hier wegen der Nenner problemaisch is), müßen dabei nich die pariellen Ableiungen im Nullpunk herauskommen, denn diese brauchen ja nich

11 unbeding seig zu sein (und sind im vorliegenden Beispiel auch nich!) Man muß also im Nullpunk die Richungsableiungen direk über die Limes-Definiion besimmen - und das is hier rech einfach: Homogene Funkionen erfüllen die Gleichung f( v) f( v ). Für jede solche Funkion gil f( 0) d dv f( 0) lim 0 f( v ) f( 0 ) 0 und daher f( v ). Die Richungsableiung im Nullpunk nach einem beliebigen Vekor v is also der Funkionswer an der Selle v. Die durch homogene Funkionen beschriebenen Flächen kann man sich von einer schwankenden Kompaßnadel erzeug vorsellen: jede senkreche Ebene durch den Nullpunk schneide die Fläche in einer Geraden. Hieraus folg nun sofor: Saz 3 Eine Funkion f von R n nach R m is genau dann linear (wird also durch die konsane Marix f beschrieben), wenn sie homogen und im Nullpunk (oal) differenzierbar is. Denn in diesem Fall gil ja f ( O) v v f( O ) lim 0 f( v) f( v ).

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