2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen

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1 2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = x 2 und g (x) = _ 1 x 2 4 sowie die Graphen der Ableitungsfunktionen f und g. Ordnen Sie zu und begründen Sie. Notieren Sie zwei beliebige Potenzfunktionen u und v. Untersuchen Sie mithilfe des GTR die Ableitungen f der Funktion f = u + v. Gibt es einen Zusammenhang zwischen f, u und v? Die Bestimmung einer Ableitung f (x 0 ) mithilfe der Definition ist aufwendig. Einfacher geht es mit Ableitungsregeln, die man mithilfe der Definition herleiten kann. Ist die Ableitungsfunktion f einer Funktion f auch differenzierbar, so erhält man aus f durch Ableiten die zweite Ableitung f, aus dieser gegebenenfalls f, f (4) usw. Man sagt, f ist zweimal, dreimal differenzierbar und spricht von höheren Ableitungen. Ableitungen der wichtigsten Funktionen: f f c; c * R 0 x n n x n 1 9 _ x = x Å _ 2 1 _ 2 9 _ x = Å _ 2 x Å _ 2 _ Å x = x 1 sin (x) cos (x) Å _ x 2 = x 2 cos (x) sin (x) Diese finden Sie auch in Ihrer Formelsammlung. Potenzregel Für eine Funktion f mit f (x) = x r und r * R gilt: f (x) = r x r 1. Faktorregel Für eine Funktion f mit f (x) = r g (x); r * R, gilt: f (x) = r g (x). Summenregel Für eine Funktion f mit f (x) = k (x) + h (x) gilt: f (x) = k (x) + h (x). Höhere Ableitungen Ist f wieder differenzierbar, so erhält man durch Ableiten von f die zweite Ableitungsfunktion f, durch Ableiten daraus die dritte f usw. Summen und Differenzen von Potenzfunktionen der Form f (x) = a x n ; n * N; a * R heißen ganzrationale Funktionen, z. B. ist f (x) = 3 x x eine ganzrationale Funktion vom Grad sieben, weil sieben die höchste im Funktionsterm vorkommende Hochzahl der Variablen x ist. Jede ganzrationale Funktion ist differenzierbar. Die Ableitungsfunktion ist wieder eine ganzrationale Funktion, deren Grad um eins kleiner ist als der Grad der Funktion. Hat die Funktion den Grad null, so hat auch die Ableitungsfunktion den Grad null. Beispiel 1 Summen- und Faktorregel Bestimmen Sie die erste Ableitung. Welche der Funktionen sind ganzrational? a) f (x) = 3 x x 4 7 x + 1 b) g (x) = x 1 x 5 _ 4 2 x 2 c) h (x) = 3 x 2 + sin (x) º º Lösung: a) f (x) = 20 x3 6 x 7; f ist eine ganzrationale Funktion vom Grad vier. b) g (x) = x 2 _ 5 4 x _ Å 4 4 x; g ist keine ganzrationale Funktion, da negative und gebrochene Exponenten vorkommen. c) h (x) = 6 x + cos (x); h ist keine ganzrationale Funktion, da die Sinusfunktion vorkommt. 18 I Schlüsselkonzept: Ableitung

2 Beispiel 2 Berechnung von Ableitungen Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen. a) f (x) = _ 2 x + Å 2 9 _ x b) h (x) = 2 x 3 + Å _ x4 x c) f 2 t (x) = 2 t x t; t * R º º Lösung: In dieser Form kann man die Funktionsterme in a) und b) mit den vorhandenen Regeln nicht ableiten, diese werden zunächst umgeformt: a) f (x) = 2 _ x 2 + Å _ Å _ 9 _ x = 2 x 2 + x 2 ; f (x) = 4 x 3 _ Å 2 x _ 3 2 ; f (x) = 12 x 4 + _ 3 4 x _ 5 b) h (x) = x4 2 x 3 + Å _ x 2 = x 2 2 x + x 2 ; h (x) = 2 x 2 2 x 3 ; h (x) = x 4 c) f t (x) = 4 t x; f t (x) = 4 t Beispiel 3 Gleiche Steigung zweier Graphen An welchen Stellen haben die Graphen von f und g mit f (x) = x x und g (x) = x 3 + 2,5 x 2 die gleiche Steigung? Zeichnen Sie die Graphen und die Tangenten an den berechneten Stellen. º º Lösung: Die Graphen haben an den Stellen mit gleicher erster Ableitung die gleiche Steigung: f (x) = 2 x + 6 und g (x) = 3 x x. Aus f (x) = g (x) folgt: 2 x + 6 = 3 x x, also 0 = 3 x x 6. Die Gleichung hat die Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 1. Die Graphen haben an den Stellen x 1 = 2 und x 2 = 1 die gleiche Steigung (). 2 Aufgaben 1 Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen. a) f (x) = 4 x x + 1 b) f (x) = x 3 cos (x) c) f (x) = 2 x + 1 d) f (x) = x x e) f (x) = 5 f) f k (x) = k 2 a) f (x) = 3 x 4 12 x x 1 b) f (x) = (3 x + 2) 2 c) f (t) = t _ t 3 3 _ 2 t 5 d) g (x) = 2 cos (x) + x 3 e) h (a) = ( Å _ a + a ) (a 2 + 1) f) i (x) = 6 x3 + 2 x x _ 2 x 3 Leiten Sie ab und skizzieren Sie die Graphen der Funktion f, der ersten Ableitung f und der zweiten Ableitung f. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit dem GTR. a) f (x) = x b) f (x) = cos (x) 1 c) f (x) = Å _ x d) f (x) = Å _ x 2 4 In welchen Punkten hat der Graph der Funktion f mit f (x) = 2 x a) die Steigung m = 4, b) dieselbe Steigung wie der Graph von g mit g (x) = x 3 4 x 1? Zeit zu überprüfen 5 Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen. a) f (x) = x x 2 17 x + 1 b) f t (x) = t x t x 2 17 x + t c) f (x) = x Å _ d) f (x) = 2 _ x + 1 e) f (x) = x2 + Å _ x 2 f) f (x) = x Å _ sin (x) 6 In welchen Punkten hat der Graph der Funktion f die Steigung m? a) f (x) = x 3 2 x 1; m = 1 b) f (x) = cos (x); 0 < x < 2 π; m = 1 7 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ 3 x 3 3 x x + 1. a) Bestimmen Sie f (4). b) Bestimmen Sie die Punkte, in welchen der Graph von f die Steigung m = 3 hat. c) Geben Sie alle x an, für die der Graph von f eine positive Steigung hat. I Schlüsselkonzept: Ableitung 19

3 Probieren Sie zunächst an Beispielen! 8 Die Funktionen f und g mit g (x) = f (x) + c; c * R haben die gleiche Ableitung. Wie liegen die Graphen der beiden Funktionen zueinander? 9 Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie. a) Die Ableitung der Funktion f mit f (x) = x 3 x2 ist f (x) = 3 x 2 2 x. b) Der Graph der Ableitungsfunktion f hat immer einen Schnittpunkt mit der x Achse weniger als der Graph der Funktion f. c) Die Potenzregel gilt auch für Funktionen f wie f (x) = x _ Å 3. d) Die Potenzregel gilt auch für Funktionen f wie f (x) = 2 x. e) Zwei verschiedene Funktionen können nicht dieselbe Ableitungsfunktion haben. 10 Der schwarz gezeichnete Graph ist vorgegeben. Der rote Graph soll den Graphen der ersten Ableitung, der blaue Graph den der zweiten Ableitung darstellen. Untersuchen Sie, wo dies zutrifft bzw. nicht zutrifft. a) b) c) 11 Ordnen Sie der Funktion f jeweils den Graphen der Ableitungsfunktion zu. a) f (x) = 2 sin (x) + 1 b) f (x) = cos (x) 1 c) f (x) = cos (x) sin (x) Fig. 3 Hier können Sie Ihr Ergebnis mit dem GTR überprüfen. 12 Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung. Welche anschauliche Bedeutung haben die angegebenen Funktionen? Geben Sie, wenn es möglich ist, eine inhaltliche Interpretation der ersten Ableitung an. a) A (r) = π r 2 b) U (a) = 2 (a + b) c) O (h) = 2 π r π r h d) V (r) = _ 4 3 π r3 e) V (h) = _ Å 3 π r2 h f) O (r) = 2 π r π r h g) A (a) = _ Å 2 a 2 h) O (r) = π r (s + r) Zeit zu wiederholen Fig Bestimmen Sie die Lösung der Exponentialgleichung ohne GTR. a) 10 x = b) 2 x = 32 c) 6 2 x = 216 d) 2 2 x = 256 e) x = 625 f) x = 1010 g) 10 x = 0,01 h) 2 x2 = 16 Fig. 5 Fig. 6 Wird nur log geschrieben, so ist der Logarithmus zur Basis 10 gemeint. 14 Schreiben Sie die folgenden Gleichungen als Exponentialgleichungen, und lösen Sie diese dann. a) x = log (100) b) x = log (0,1) c) log (x) = 1000 d) x = log (10 a ) e) x = 10log (5) 20 I Schlüsselkonzept: Ableitung

4 3 Die Bedeutung der zweiten Ableitung Die Grafik stellt die Umsatzzahlen eines Unternehmens in zwei verschiedenen Regionen dar. Obwohl der Umsatz in beiden Gebieten gesteigert werden konnte, ist die Konzernleitung nur mit einer der beiden Umsatzkurven zufrieden. Schreiben Sie einen kurzen Brief an die beiden Regionalleiter. Die erste Ableitung lässt sich als momentane Änderungsrate oder geometrisch als Steigung interpretieren. Gibt es solche Interpretationen auch bei der zweiten Ableitung? Streng monoton wachsende Funktionen können unterschiedliche Zunahmen aufweisen: gleichmäßige Zunahme, der Graph verläuft linear; immer stärkere Zunahme, der Graph von f ist eine Linkskurve (); oder immer schwächere Zunahme, der Graph von f ist eine Rechtskurve (). Sowohl als auch zeigen jeweils einen streng monoton wachsenden Graphen. Vergleicht man die Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktionen, so sind diese streng monoton wachsend (Fig. 3) oder streng monoton fallend (Fig. 4). Anhand dieser Eigenschaft kann man die Begriffe Links- und Rechtskurve definieren. Fig. 3 Fig. 4 Definition: Die Funktion f sei auf einem Intervall Ø definiert und differenzierbar. Wenn f auf Ø streng monoton wachsend ist, dann ist der Graph von f in Ø eine Linkskurve; wenn f auf Ø streng monoton fallend ist, dann ist der Graph von f in Ø eine Rechtskurve. Nach dem Monotoniesatz gilt wiederum: Wenn (f ) (x) = f (x) > 0 in einem Intervall Ø ist, dann ist f streng monoton wachsend auf Ø. Mithilfe des Monotoniesatzes lässt sich das Krümmungsverhalten eines Graphen deshalb mit der zweiten Ableitung f bestimmen. Fig.5 Krümmungsverhalten meint: Ist der Graph eine Links- oder eine Rechtskurve? Satz: Die Funktion f sei auf einem Intervall Ø definiert und zweimal differenzierbar. Wenn f (x) > 0 auf Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø eine Linkskurve. Wenn f (x) < 0 auf Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø eine Rechtskurve. I Schlüsselkonzept: Ableitung 21

5 GTR-Hinweise Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, wie das Gegenbeispiel zeigt: Der Graph der Funktion f (x) = x 4 ist eine Linkskurve, da f (x) = 4 x 3 streng monoton wachsend ist, aber für f (x) = 12 x 2 gilt: f (0) = 0. Da sich die Monotonie nicht auf einen Punkt bezieht, kann man den Rand jeweils zum Intervall hinzunehmen. Beispiel Intervalle mit Links und Rechtskurve Bestimmen Sie die Intervalle, auf welchen der Graph der Funktion f mit f (x) = x 3 3 x eine Links bzw. Rechtskurve ist. a) Entscheiden Sie mithilfe des GTR. b) Entscheiden Sie rechnerisch ohne GTR. º Lösung: a) In sieht man am Graphen von f bzw. f (fett gedruckt): f fällt streng monoton bis zur Stelle x = 1; der Graph von f ist eine Rechtskurve für x ª 1; f wächst streng monoton ab der Stelle x = 1; der Graph von f ist eine Linkskurve für x º 1. b) f (x) = 3 x 2 6 x und f (x) = 6 x 6 = 6 (x 1). Es gilt: f (x) < 0 für x < 1; der Graph von f ist eine Rechtskurve für x ª 1; f (x) > 0 für x > 1; der Graph von f ist eine Linkskurve für x º 1. Aufgaben 1 Zeigen Sie mithilfe der zweiten Ableitung, a) dass der Graph von f mit f (x) = x 2 eine Linkskurve ist, b) dass der Graph von g mit g (x) = 4 x 2 eine Rechtskurve ist, c) dass der Graph von h mit h (x) = x x eine Linkskurve für x > 1 ist. 2 zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Geben Sie mithilfe der Stellen x 1 bis x 7 die Intervalle an, in denen der Graph eine Linksbzw. eine Rechtskurve ist. b) Es ist f (x) = Å_ 12 x 4 9_ 8 x 2. Überprüfen Sie Ihre Aussagen rechnerisch. 3 Zeichnen Sie den Graphen einer Funktion f, für den gilt: a) der Graph von f ist eine Linkskurve und f ist streng monoton wachsend, b) der Graph von f ist eine Rechtskurve und f ist streng monoton wachsend. 4 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Notieren Sie, ob f (x), f (x) und f (x) in den markierten Punkten positiv, negativ oder null ist. Fig. 3 Obwohl f streng monoton wachsend ist, kann f trotzdem streng monoton fallen! Können Sie andere Funktionsgraphen mit dieser Eigenschaft skizzieren? Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 5 Geben Sie mithilfe der zweiten Ableitung jeweils die Intervalle an, in denen der Graph der Funktion f eine Links bzw. Rechtskurve ist. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR. a) f (x) = _ Å 4 x4 + 3 x 2 2 b) f (x) = x 3 3 x 2 9 x 5 c) f (x) = 2 sin (x) für 0 ª x ª π 22 I Schlüsselkonzept: Ableitung

6 6 a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = (x + 1) 3 1 und g (x) = (x 1) Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von f und g. b) Gegeben ist der Graph der Funktion f in. Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f sowie der zweiten Ableitungsfunktion f in Ihr Heft. 7 In ist der Graph der Funktion f gegeben. An welchen der markierten Stellen ist a) f (x) am größten bzw. am kleinsten, b) f (x) am größten bzw. am kleinsten, c) f (x) am größten bzw. am kleinsten? Zeit zu überprüfen 8 a) In welchen Intervallen ist der Graph in Fig. 3 eine Linkskurve? b) Es ist f (x) = _ Å x 3 3 x 2 x + 1 _ 2 3. Überprüfen Sie rechnerisch auf Links- bzw. Rechtskurve. c CAS Graph und Ableitungsfunktion 9 In welchem Intervall ist der Graph von f eine Links-, in welchem eine Rechtskurve? a) f (x) = x 3 b) f (x) = (x 2) c) f (x) = x 4 6 x 2 + x 1 Fig Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, sodass für alle x gilt: f (x) > 0; f (x) < 0 und f (x) > Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitung f einer Funktion f (Fig. 4). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort. a) f ist streng monoton wachsend. b) f (x) º 0 für alle x. c) Der Graph von f ist für x > 0 eine Linkskurve. d) Der Graph von f ist für x > 0 eine Linkskurve. 12 Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Finden Sie geeignete Gegenbeispiele. a) Wenn f streng monoton wachsend ist, dann ist auch f streng monoton wachsend. b) Wenn der Graph von f eine Rechtskurve auf Ø ist, dann gilt für alle x * Ø: f (x) < 0. c) Wenn f (x 0 ) = 0 ist, dann gilt: f (x 0 ) > 0 oder f (x 0 ) < 0. Fig. 4 c CAS Physikalische Anwendung c CAS Trigonometrische Funktion 13 Eine Funktion f hat die folgenden Eigenschaften: f ist streng monoton wachsend, der Graph von f ist eine Rechtskurve, f (5) = 2 und f (5) = 0,5. a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f. b) Wie viele Schnittpunkte mit der x Achse hat der Graph von f maximal? Begründen Sie. c) Formulieren Sie eine Aussage zur Anzahl der Minima bzw. Maxima der Funktion f. d) Kann f (1) = 1 gelten? I Schlüsselkonzept: Ableitung 23

7 4 Kriterien für Extremstellen An welchem Tag könnte dieser Wasserstand gewesen sein? Der Pegel des Bodensees variiert. In Konstanz können der aktuelle Pegelstand und die Kurve des mittleren Wasserstandes (grün) abgelesen werden. Interpretieren Sie die Kurve des mittleren Wasserstandes im Hinblick auf größte und kleinste Werte. Wie hängen Krümmungsverhalten und Extremwerte zusammen? Die x-koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts nennt man Extremstelle, die y-koordinate heißt Extremwert. Notwendige Bedingung heißt, diese Bedingung muss immer erfüllt sein. Hinreichende Bedingung heißt, diese Bedingung reicht aus, um die Extrem stelle zu bestimmen, muss aber nicht immer erfüllt sein. Ein Funktionswert f (x 0 ) heißt lokales Maximum, wenn in einer Umgebung von x 0 nur Funktionswerte vorkommen, die kleiner oder gleich f (x 0 ) sind. Der Punkt H ( x 0 1 f (x 0 ) ) heißt dann Hochpunkt des Graphen von f. Entsprechend spricht man von einem lokalen Minimum bzw. einem Tiefpunkt. Zur Bestimmung von Extremstellen ist bisher bekannt: 1. Notwendige Bedingung: Wenn f bei x 0 eine Extremstelle hat, dann ist f (x 0 ) = Erste hinreichende Bedingung: Wenn f (x 0 ) = 0 ist und f an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) von Minus nach Plus hat, dann hat f an der Stelle x 0 ein Maximum (Entsprechendes gilt für ein Minimum). Die Anwendung dieses Kriteriums ist oft umständlich, weil man sich bei der Untersuchung nicht auf die Stelle x 0 beschränken kann. In erkennt man: Ist f (x 0 ) = 0 und der Graph von f in der Umgebung von x 0 eine Rechtskurve, so hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum. Ist der Graph von f eine Linkskurve, so hat f an der Stelle x 2 ein lokales Minimum. Da das Krümmungsverhalten mittels der zweiten Ableitung bestimmt werden kann, hat man ein zweites Kriterium zur Bestimmung von Extremstellen gefunden. Satz: Zweite hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen Die Funktion f sei auf einem Intervall Ø = [a; b] beliebig oft differenzierbar und x 0 * (a; b). Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 ist, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum f (x 0 ). Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 ist, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum f (x 0 ). f (x) = x 4 Zweite hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt, erste hinreichende Bedingung ist erfüllt. Bei der Bestimmung lokaler Extremstellen einer Funktion f kann man so vorgehen: 1. Man bestimmt f und f. 2. Man untersucht, für welche Stellen x 0 gilt: f (x 0 ) = 0 gilt. 3. Gilt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0, so hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum f (x 0 ). Gilt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0, so hat f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum f (x 0 ). Gilt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0, so wendet man die erste hinreichende Bedingung an: Hat f in einer Umgebung von x 0 einen VZW von + nach, so hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum f (x 0 ); hat f in einer Umgebung von x 0 einen VZW von nach +, so hat f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum f (x 0 ). 24 I Schlüsselkonzept: Ableitung

8 GTR-Hinweise Wenn bei einer Funktion f an einer Stelle x 0 keines der hinreichenden Kriterien erfüllt ist, kann nicht ohne weiteres geschlossen werden, dass keine Extremstelle vorliegt. Dies zeigt die konstante Funktion f mit f (x) = 1 in. Hier ist kein hinreichendes Kriterium erfüllt, obwohl f an jeder Stelle x 0 eine Extremstelle hat. Wie man im anderen Fall zeigen kann, dass bei einer Funktion bei nicht erfüllten hinreichenden Kriterien auch keine Extremstelle vorliegt, zeigt. Hier ist links und rechts von x 0 = 4 die Ab leitung f (x) < 0 (x 4). Deshalb hat f an der Stelle x 0 keine Extremstelle. Man sagt, der Punkt S ( x 0 f (x 0 ) ) ist ein Sattelpunkt. Beispiel 1 Bestimmen aller Extremwerte Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = _ Å x 4 8 _ Å x auf Extremwerte a) ohne GTR, b) mithilfe des GTR. º Lösung: a) f (x) = _ Å 2 x 3 x 2 ; f (x) = _ 3 2 x 2 2 x. f (x) = 0 liefert x ( 2 _ Å 2 x 1 ) = 0; somit sind x 1 = 2 und x 2 = 0 mögliche Extremstellen. Untersuchung für x 1 = 2: Es ist f ( 2) = 2 < 0; somit liegt bei H ( 21 f ( 2) ) bzw. H ( 2 1 _ 2 3 ) ein lokaler Hochpunkt vor. Untersuchung für x 2 = 0 : Da f (0) = 0 ist, wird f auf Vorzeichenwechsel an der Stelle x 2 = 0 untersucht: x nahe x 2 = 0 und x < x 2 : x nahe x 2 = 0 und x > x 2 : x 2 > 0; _ Å 2 x 1 < 0; also x2 ( _ Å 2 x 1 ) < 0. x 2 > 0; _ Å 2 x 1 < 0; also x2 ( _ Å 2 x 1 ) < 0. Da f (x) < 0 für x < x 2 und x > x 2, ist P ( 01 f (0) ) bzw. P (0 11) kein Extremwert. b) Da die Funktion f vom Grad vier ist, ist f vom Grad drei und hat somit maximal drei Kandidaten für Extremstellen. Der GTR zeigt den Graphen von f mit einem lokalen Maximum bei x 1 = 2 und einer Stelle x 2 = 0 mit waagerechter Tangente (kein Extremwert). Da für x ± die Funktionswerte jeweils gegen gehen, gibt es keine weiteren Extremstellen. Es gibt nur einen Hochpunkt bei H ( 2 1 1,67). Fig. 3 Die Rechnung liefert eine Gleichung für alle möglichen Extremwerte (die aber nicht immer lösbar ist); der GTR liefert nur Ergebnisse im sichtbaren Bereich und nur Näherungswerte. Nur durch zusätzliche Überlegungen kann man beim GTR Ergebnis sicher sein. So könnte zum Beispiel im Bereich 0,2 < x < 0,5 ein konstanter Abschnitt sein. Beispiel 2 Eigenschaften von Funktionen In Fig. 4 sehen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f einer differenzierbaren Funktion f. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Für 2 < x < 2 ist f monoton wachsend. b) Für 2 < x < 2 gilt f (x) > 0. c) Der Graph von f ist symmetrisch zur y Achse. d) Der Graph von f hat im abgebildeten Bereich drei Extremstellen. Fig. 4 c CAS Varianten, ein Extremum zu bestimmen I Schlüsselkonzept: Ableitung 25

9 ºº Lösung: a) Wahr: Für 2 < x < 2 ist f º 0, somit ist f monoton wachsend. b) Falsch: Im Bereich 2 < x < 2 müsste dann der Graph von f streng monoton wachsen. c) Falsch: Da der Graph von f im Bereich 2 < x < 2 monoton wachsend ist, kann er nicht symmetrisch zur y Achse sein. d) Falsch: Nur die Stellen mit f (x) = 0 sind Kandidaten für Extremstellen. An den Stellen x 1 = 2 und x 3 = 2 wechselt f das Vorzeichen, es liegen Extremstellen vor. Bei x 2 = 0 gilt f (x 2 ) = 0, links und rechts von x 2 ist f aber positiv. Es liegt keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt vor. Aufgaben 1 Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion f. a) f (x) = x 3 x b) f (x) = Å _ 4 x 4 c) f (x) = Å _ 4 x4 2 x 2 2 d) f (x) = _ 4 5 x 5 2 x 4 e) f (x) = sin (x); x *[0; 2 π] f) f (x) = _ Å 2 sin (x) + 1; x *[0; 2 π] 2 Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des zugehörigen Graphen von f mit dem GTR. Begründen Sie, dass dies alle Extremstellen der Funktion sind. a) f (x) = _ Å 3 x4 _ Å 3 x 3 x 2 b) f (x) = 0,02 x 5 0,2 x 4 c) f (x) = (x 2) 4 d) f (x) = 9 _ 3 x 3 x 2 e) f (x) = _ x2 4 _ Å x + x f) f (x) = _ 2 x Geben Sie mindestens eine Funktion an, die a) ganzrational vom Grad zwei ist und genau ein lokales Minimum besitzt, b) ganzrational vom Grad vier ist und genau ein lokales Maximum aufweist, c) unendlich viele Minima hat, d) keine Extremstellen besitzt. 4 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f (). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) f hat im Bereich 4 < x < 3 zwei lokale Extremwerte. b) f ist im Bereich 3 < x < 3 monoton fallend. c) Der Graph von f hat an der Stelle x = 1,5 einen Punkt mit waagerechter Tangente, der weder Hoch- noch Tiefpunkt ist. d) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0 sein Krümmungsverhalten. e) f hat im sichtbaren Bereich genau eine Nullstelle. 5 Bestimmen Sie mit dem GTR alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktion f. a) f (x) = 0,04 x 6 0,192 x 5 0,18 x 4 + 0,96 x 3 0,48 x 2 + 3,84 b) f (x) = sin (x) + cos (x); x * [0; 2 π] 6 Welcher Punkt des Graphen der Funktion f kommt der x Achse am nächsten? a) f (x) = _ Å 4 x4 x + 1 b) f (x) = _ Å 3 x 4 + _ Å 2 x x 2 + _ 3 4 c) f (x) = cos (x) + 4; x *[0; 2 π] 26 I Schlüsselkonzept: Ableitung

10 Zeit zu überprüfen 7 Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion f. a) f (x) = 2 x 3 3 x b) f (x) = 2 x 3 9 x x 4 c) f (x) = (x 2) 2 8 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f (). a) Welche Aussagen können Sie über die Funktion f hinsichtlich Monotonie und Extremstellen machen? b) Skizzieren Sie den Graphen von f. 9 Begründen Sie, dass für jede ganzrationale Funktion f gilt: a) Ist f vom Grad zwei, so hat f genau eine Extremstelle. b) Ist der Grad von f gerade, so hat f mindestens eine Extremstelle. c) Wenn f drei verschiedene Extremstellen hat, so ist der Grad von f mindestens vier. d) Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n 1 Extremstellen. 10 Untersuchen Sie den Graphen von f mit f (x) = 2 x 4 3 x 2 4 x 5 auf Extrempunkte. Welche Aussage können Sie über die Anzahl der Nullstellen von f machen? 11 Begründen oder widerlegen Sie: a) Der Graph einer konstanten Funktion hat unendlich viele Tiefpunkte. b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad drei hat Intervalle mit einer Linkskurve und solche mit einer Rechtskurve. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad fünf hat immer vier Extrempunkte. d) Der Graph einer Sinusfunktion hat immer unendlich viele Hochpunkte. 12 Die Population P einer Wildtierherde kann nach folgender Vorschrift modelliert werden: P (t) = sin ( 2 π t π_ 2 ) ; t in Jahren seit 1. Januar. a) Wie verändert sich die Population im Lauf eines Jahres? Zeichnen Sie einen Graphen. b) Wann hat die Population ihre Bestandsspitze innerhalb eines Jahres? Wie viele Tiere gibt es dann? Gibt es ein Bestandsminimum? c) Wann hat die Population ihr größtes Wachstum, wann die größte Abnahme? 13 Die Herstellungskosten einer Produktionseinheit (100 Packungen) eines Arzneimittels pro Tag werden durch die Funktion f mit f (x) = Å_ 10 x 3 5 x x + 50 (x in Produktionseinheiten, f (x) in Euro) dargestellt. Eine Packung wird für 19,95 verkauft. a) Stellen Sie die Gewinnfunktion pro Tag G (x) auf (x in Produktionseinheiten, G (x) in Euro). b) Wie viele Produktionseinheiten muss die Firma pro Tag herstellen, um bei vollständigem Verkauf den optimalen Gewinn zu erzielen? c) Bei welchen Produktionsmengen macht die Firma trotz vollständigen Verkaufs einen Verlust? 14 Geben Sie je ein Beispiel für eine Funktion f an, die ein lokales Maximum f (x 0 ) an der Stelle x 0 = 2 hat, welches man a) mit dem zweiten Kriterium nachweisen kann, b) nicht mit dem zweiten Kriterium, aber dem VZW-Kriterium nachweisen kann, c) weder mit dem zweiten noch dem VZW-Kriterium nachweisen kann. I Schlüsselkonzept: Ableitung 27

11 5 Kriterien für Wendestellen Fährt man die abgebildete Küstenstraße mit dem Motorrad entlang, so befindet man sich abwechselnd in einer Links- beziehungsweise Rechtskurve. Beschreiben Sie eine Fahrt entlang eines Streckenabschnitts. Kann man anhand des Streckenverlaufs voraussagen, wann das Motorrad nach links bzw. nach rechts oder gar nicht geneigt sein wird? Außer Null- und Extremstellen haben Funktionen oft weitere charakteristische Stellen, an denen sich z. B. das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Der blaue Graph wechselt bei P 1 von einer Rechts- in eine Linkskurve, der rote Graph bei P 2 von einer Links- in eine Rechtskurve (). Definition: Die Funktion f sei auf einem Intervall Ø definiert, differenzierbar und x 0 sei eine innere Stelle im Intervall Ø. Eine Stelle x 0, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f bei x 0. Der zugehörige Punkt W ( x 0 1 f (x 0 ) ) heißt Wendepunkt. Nicht in allen Fällen kann man von einer Extremstelle von f auf eine Wendestelle von f schließen bei den in der Schule untersuchten Funktionen aber schon. Die Graphen in legen für die Stelle x 0 nahe: Wendestellen von f entsprechen den Extremstellen von f. Damit kann man die Kriterien für Ex trem stellen von f zum Nachweis von Wende stellen von f nutzen. Satz: Die Funktion f sei auf einem Intervall Ø beliebig oft differenzierbar und x 0 eine innere Stelle im Intervall Ø. 1. Wenn f (x 0 ) = 0 und f in der Umgebung von x 0 einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat f an der Stelle x 0 eine Wendestelle. 2. Wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 ist, dann hat f an der Stelle x 0 eine Wendestelle. Fig. 3 Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente wie in P 2 (Fig. 3) heißt Sattelpunkt. Die Tangente im Wendepunkt wie in P 1 (Fig. 3) heißt Wendetangente und durchsetzt den Graphen von f. 28 I Schlüsselkonzept: Ableitung

12 GTR-Hinweise Beispiel 1 Wendepunktbestimmung mit f Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x x 2 + x. a) Bestimmen Sie den Wendepunkt des Graphen von f ohne Verwendung des GTR. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion. b) Zeichnen Sie die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt. º Lösung: a) Es ist f (x) = 3 x2 + 6 x + 1; f (x) = 6 x + 6 und f (x) = 6. Die Bedingung f (x) = 0 liefert x 1 = 1. Da f ( 1) = 6 ( 0), ist x 1 = 1 eine Wendestelle und W ( 1 1 f ( 1) ) bzw. W ( 1 1 1) ein Wende punkt (Skizze in ). b) : Steigung der Tangente f ( 1) = 2. Beispiel 2 Der Fall f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 Untersuchen Sie, ob die Funktion f mit f (x) = 3 x 5 5 x 4 an der Stelle x 0 = 0 eine Wendestelle hat. º Lösung: Ableitungen: f (x) = 15 x4 20 x 3 ; f (x) = 60 x 3 60 x 2 und f (x) = 180 x x. Da f (0) = 0 und f (0) = 0, wird f (x) = 60 x 2 (x 1) auf Vorzeichenwechsel an der Stelle x 0 = 0 untersucht: x nahe x 0 = 0 und x < x 0 : x nahe x 0 = 0 und x > x 0 : 60 x 2 > 0; x 1 < 0; also 60 x 2 (x 1) < x 2 > 0; x 1 < 0; also 60 x 2 (x 1) < 0. Da f auf beiden Seiten von x 0 = 0 negativ ist, ändert sich das Krümmungsverhalten von f nicht und an der Stelle x 0 = 0 liegt keine Wendestelle vor (vgl. ). Beispiel 3 Bestimmung von Wendestellen mit dem GTR Die Menge eines Medikaments im Blut eines Patienten wird durch die Funktion f mit 2 t f (t) = _ 8 + t ; t º 0 (t in Stunden nach der Verabreichung, f (t) in Milliliter) beschrieben. 3 a) Wie hoch ist die maximale Menge im Blut? b) Wann findet der stärkste Abbau des Medikaments statt? Wie stark ist dann die momentane Abnahme? º Lösung: a) Der GTR liefert das Maximum an der Stelle t 1,59. Die maximale Menge beträgt ca. 0,26 mø (Fig. 3). b) Gesucht ist eine Stelle, an der die Steigung minimal ist. Der Graph der ersten Ableitung (Fig. 4, fett) hat ein lokales Minimum an der Stelle x 2,52. Diese ist gleichzeitig Wende stelle von f. Der stärkste Abbau des Medikaments findet circa zweieinhalb Stunden nach der Verabreichung statt. Die Abnahmestärke entspricht der Steigung der Tangente im Wendepunkt: f (2,52) 0,08. Die momentane Abnahme beträgt dann 0,08 _ mø h. Bei x 1 = 1 hat f eine Wendestelle. c CAS Nachweis Wendestelle Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 I Schlüsselkonzept: Ableitung 29

13 Aufgaben Reihenfolge bei der Untersuchung auf Wendestellen: 1. Suchen der Stellen x 0 mit f (x 0 ) = Gilt darüber hinaus f (x 0 ) 0 oder hat f an der Stelle x 0 einen VZW, so liegt bei x 0 eine Wendestelle vor. 1 Ermitteln Sie die Wendepunkte und geben Sie die Intervalle an, in denen der Graph von f eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve ist. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit dem GTR. a) f (x) = x b) f (x) = x x 2 c) f (x) = x 4 12 x 2 d) f (x) = x 5 x 4 + x 3 e) f (x) = Å _ 30 x6 1 _ 2 x 2 f) f (x) = x 3 (2 + x) 2 Geben Sie mithilfe des GTR die Wendepunkte des Graphen von f an. Bestimmen Sie die Steigung der Tangente im Wendepunkt und entscheiden Sie, ob ein Sattelpunkt vorliegt. a) f (x) = x x x b) f (x) = x 4 4 x _ 2 x2 2 c) f (x) = cos (x 2 ); x * [0; 2,5] 3 Im Folgenden sei x * [0; 2 π]. Ermitteln Sie die Wendepunkte und geben Sie die Intervalle an, in denen der Graph von f eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve ist. a) f (x) = sin (x) b) f (x) = 2 cos (x) c) f (x) = x + sin (x) 4 Bestimmen Sie die Wendestellen der Funktion f. a) f (x) = x 5 b) f (x) = 3 x 4 4 x 3 c) f (x) = Å _ 60 x6 Å _ 10 x 5 + Å _ 6 x 4 5 Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion f einer Funktion f (). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Der Graph von f ist im Bereich 0,5 < x < 2 eine Rechtskurve. b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle. c) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt. d) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten. Zeit zu überprüfen 6 Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Wendepunkte und geben Sie die Steigung der Wendetangente(n) an. a) f (x) = x 3 b) f (x) = _ Å 2 x x 2 c) f (x) = x 5 3 x 3 + x 7 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f (). a) Welche Aussagen können Sie über die Funktion f hinsichtlich Extremstellen und Wendestellen machen? b) Es ist f (0) = 1. Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f. 30 I Schlüsselkonzept: Ableitung

14 8 Eine Tierpopulation in einem Reservat wächst häufig wie der Graph von f in. a) Wann ist die Zunahme der Tierpopulation am größten? b) Interpretieren Sie die Gerade y = S. c) Argumentieren Sie mithilfe der zweiten Ableitung, wie sich das Wachstum der Population mit der Zeit verändert. 9 Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, die die folgenden Bedingungen erfüllt. Geben Sie einen möglichst passenden Funktionsterm an. a) Der Graph von f ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Wendepunkt. b) Der Graph von f hat genau einen Wendepunkt auf der x Achse, links davon ist der Graph eine Rechtskurve, rechts davon eine Linkskurve. c) Der Graph von f hat einen Wendepunkt im Ursprung und genau einen Hoch- und Tiefpunkt. d) f und f haben nur negative Funktionswerte. 10 Auf der Hauptversammlung einer Aktiengesellschaft zeigt der Vorstand die Entwicklung des Firmenumsatzes des vergangenen Geschäftsjahres (). a) Zu welchem Zeitpunkt war die größte Umsatzsteigerung, wann ungefähr der stärkste Umsatzrückgang? b) Vorausgesetzt, der Graph ändert im Weiteren sein Krümmungsverhalten nicht, was können Sie über die Zukunft des Unternehmens sagen? 11 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = Å _ 6 x 3 3 _ 4 x a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt des Graphen. b) Welchen Flächeninhalt schließt diese Tangente mit den positiven Koordinatenachsen ein? 12 Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, damit der Graph von f mit f (x) = x 3 + b x 2 + c x + d einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat? 13 Begründen oder widerlegen Sie. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades hat nie einen Wendepunkt. b) Jede ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades hat höchstens n Wendepunkte. d) Bei ganzrationalen Funktionen liegt zwischen zwei Wendepunkten immer ein Extrempunkt. 14 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von f a in Abhängigkeit von a (a * R + ). a) f a (x) = x 3 a x 2 b) f a (x) = x 4 2 a x Die ankommenden Zuschauer pro Minute, also die momentane Ankunftsrate der Zuschauer, bei einem Regionalligaspiel soll modellhaft durch die Funktion Z mit Z (t) = _ 1 2 t 3 0,1 t + 2 beschrieben werden. Dabei ist t die Zeit in Minuten seit 18:00 Uhr und f (t) die Anzahl der ankommenden Zuschauer pro Minute. a) Wann kommen die meisten Zuschauer pro Minute an und wie viele sind das? b) Wann ist die Abnahme der ankommenden Zuschauer am größten? I Schlüsselkonzept: Ableitung 31

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