Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher

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1 Technische Universität Chemnitz 1. Juli 20 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein Gelände mit der Höhe h(x, = 00+x++ x+76 werde längs der Gerade ( ( ( x 1 = +t eine Straße gebaut. Bestimmen Sie den Anstieg der Straße im Gelän- 2 depunkt (x, = (,6! 2. Sei f(x, = x a Zeichnen Sie das Niveaulinienbild! b Um was für eine Fläche handelt es sich bei z= f(x,? c Bestimmen Sie den Gradienten f(x,! d ( Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x, im Punkt (, in Richtung des Vektors! e Ermitteln Sie mithilfe der Richtungsableitung, wie sich f(x, näherungsweise ändert, wenn x von auf.01 und von auf.02 wächst? Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der tatsächlichen Änderung! f In welche Richtung wächst f(x, am stärksten? Argumentieren Sie sowohl mit dem Gradienten als auch mit der geometrischen Bedeutung der Funktion!. Bestimmen Sie alle stationären Punkte der folgenden Funktionen und untersuchen Sie mittels der zweiten partiellen Ableitungen, ob Extrema vorliegen und von welchem Tp diese sind: a f(x, = x 2 + x 2 + 7x+2, b f(x, = (x+ 2!. Bestimmen Sie die Sattelpunkte und Extremstellen der Funktion f(x, = x+6x+2+!. Untersuchen Sie die Funktion f(x,,z = x z 2 x 2 + x+2z auf Extremwerte!

2 Höhere Mathematik I.2 Übung Juli 20 2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein Gelände mit der Höhe h(x, = 00+x++ x+76 werde längs der Gerade x 1 = +t eine Straße gebaut. Bestimmen Sie den Anstieg der Straße im Geländepunkt (x, = (,6 2! Der Anstieg ist die Richtungsableitung von h(x, im Punkt (,6 in Richtung. Richtungsableitung (Maß für die Änderung der Funktion f in Richtung v : Ist die Funktion f im Punkt x total differenzierbar, so existieren alle Richtungsableitungen. Für f( x v =1 gilt = f( x v. Hat der Vektor v eine andere Länge, so muss er erst normiert v werden. Es gilt dann f( x v = f( x v n= 1 f( x v. v h = x+76 x, v= 1+ 2 x+76 h v = h v n = x+76 x x+76 = = = 0.17, normiert: v n = 1 = = Somit beträgt der Anstieg 17,%. (Ein Anstieg von 1=0% entspricht einem Steigungswinkel von. In Richtung v gilt h h x. Pro Meter Basislänge beträgt der Anstieg ca. 17, cm, d.h. für v 1 m ca. 17, cm, für 2 m ca.,8 cm und für m ca. 1,7 m. 2. Sei f(x, = x a Zeichnen Sie das Niveaulinienbild! b Um was für eine Fläche handelt es sich bei z= f(x,? c Bestimmen Sie den Gradienten f(x,! d ( Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x, im Punkt (, in Richtung des Vektors! e Ermitteln Sie mithilfe der Richtungsableitung, wie sich f(x, näherungsweise ändert, wenn x von auf.01 und von auf.02 wächst? Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der tatsächlichen Änderung! f In welche Richtung wächst f(x, am stärksten? Argumentieren Sie sowohl mit dem Gradienten als auch mit der geometrischen Bedeutung der Funktion!

3 Höhere Mathematik I.2 Übung Juli 20 a f(x, = x = C, C 0, x = C 2 : Kreis mit Radius C um den Koordinatenursprung b vgl. Aufgabe 2 aus Übung, dort x =z 2 : Doppelkegel, hier x =z, d.h. nur z 0: Kegel c grad f = f = d v = f x f =, v n = 1, 1 f(, v e In Richtung v gilt x = 2x 2 x x = = f x f 0.01 = ( = 1 x ( x = x x f( x v = f( x v 1 x n = 1 = x+ x x v, f f v x. zeigt in Richtung v =, x = = 0.026, f f(, x = = v 6 Tatsächliche Änderung: f = f(.01,.02 f( = f Maß für Änderung in Richtung v: Richtungsableitung f v = f v n = f v n cos ( f, v = f cos ( f, v (wegen v n =1, also stärkster Anstieg für cos ( f, v = 1, ( f, v = 0, d.h. in Richtung des Gradienten, stärkster Fall für cos ( f, v = 1, ( f, v = π, d.h. entgegen dem Gradienten. f(x, ändert sich also in Richtung des Gradienten f = x, also in radialer Richtung x = am stärksten. Das ist plausibel: f(x, ist der x x Abstand vom Koordinatenursprung, der ändert sich in radialer Richtung am stärksten.

4 Höhere Mathematik I.2 Übung Juli 20. Bestimmen Sie alle stationären Punkte der folgenden Funktionen und untersuchen Sie mittels der zweiten partiellen Ableitungen, ob Extrema vorliegen und von welchem Tp diese sind: a f(x, = x 2 + x 2 + 7x+2, b f(x, = (x+ 2! Extremwertaufgaben f(x f(x 1,x 2,...,x n notwendige Bedingung f x1 0 (extremwertverdächtig, f (x = 0 f = f x2 stationärer Punkt.. = 0. f xn 0 hinreichende Bedingung { > 0 Min. f (x < 0 Max. f x1 x 1... f x1 x n H f = f xn x 1... f xn x n pos. def. Min. neg. def. Max. indefinit kein Extr. (Sattelpunkt Untersuchung der Definitheit smmetrischer Matrizen (H f ist smmetrisch. Definitheitsuntersuchung mit Eigenwerten: alle EW > 0: positiv definit, alle EW < 0: negativ definit, EW unterschiedl. Vz.: indefinit. Definitheitsuntersuchung mit Kriterium von Slvester: a 11 a a 1 a 1 a 21 a 22 a 2 a 2 a 1 a 2 a a a 1 a 2 a a alle Hauptunterdeterminanten ( Hauptminoren > 0, d.h. Vz. der Hauptminoren positiv definit Vz. der Hauptminoren negativ definit (mit beginnend! Für n=1 reduziert sich H f positiv definit nach Kriterium von Slvester auf f x1 x 1 >0. Für n = 2 muss sowohl bei positiver als auch bei negativer Definitheit der 2. Hauptminor positiv sein: f x 1 x 1 f x1 x 2 f x2 x 1 f x2 >0. Damit kann das Kriterium wie folgt gefasst werden: x 2 { fx1 x > 0 Extremum 1 > 0 Min. f deth x1 x 1 < 0 Max. f < 0 kein Extremum (Sattelpunkt = 0 so nicht entscheidbar

5 Höhere Mathematik I.2 Übung Juli 20 2x+ +7 a f = = 0 x 6+2 f x = 2x+ + 7 = 0 + f = x 6+ 2 = 0 2 2x + = = 0 = =1, x= (stat. Punkt 2 1 H f =, 1 6 deth f = ( 2( 6 1 = 11 > 0 = Extremwert, f xx = 2 < 0 = Maximum oder: 2 λ λ = +8λ + λ 2 1 = λ 2 + 8λ + 11 = 0, λ 1/2 = ±, beide EW < 0 = neg. def. = Maximum Also gibt es nur einen Extemwert, das Maximum f(,1=18. 2(x+ b f = = 0 2(x+ } f x = 2(x+ = 0 x 1 = x, = t,x R sind stationäre Punkte. f = 2(x+ = H f =, deth 2 2 f = = 0 = so nicht entscheidbar oder: 2 λ λ = λ + λ 2 = λ 2 λ = λ(λ = 0, λ 1/2 = 0;, ein Eigenwert 0 = so nicht entscheidbar Es gilt aber immer f(x,=(x+ 2 0 und für die stationären Punkte f(x, x=0. Also sind alle Punkte der Gerade = x Minima. x x Bestimmen Sie die Sattelpunkte und Extremstellen der Funktion f(x, = x+6x+2+! f = H f = ( fx f = ( 0 0 ( +6 0 = für x+2 0, deth f = 16 < 0 = kein Extremum, also } +6=0 = /2 einziger stationärer Punkt x+2=0 x= 1/2 ( 1 2, 2 Sattelpunkt

6 Höhere Mathematik I.2 Übung Juli x 0. Untersuchen Sie die Funktion f(x,,z = x z 2 x 2 + x+2z auf Extremwerte! f = 2x 2 + 2x 2z+2 = 0 = 2x = 2(2 x = 0 = = 0 oder x = 2 z = 1 Fall = 0: erste Gleichung: 2x+ = 0, x = 6, d.h. stationärer Punkt ( 6, 0, 1 Fall x=2: erste Gleichung: 2 +=0, 2 =16, d.h. stationäre Punkte (2,±, 1 Für die somit gefundenen stationären Punkte wird nun die hinreichende Extremwertbedingung untersucht: H f = 2 2x H f ( 6,0, 1 = Hauptminoren 2 > 0, f pos.def. = f( 6, 0, 1 = 7 lokales Minimum oder mit Eigenwerten: det(h f λe = (2 λ(16 λ(2 λ = 0, λ 1/2 = 2, λ = 16, alle EW positiv = H f positiv definit, f( 6,0, 1= 7 lokales Minimum H f (2,±, 1= Hauptminoren 2 > 0, = 6<0, = 8<0 Eine smmetrische Matrix ist unter anderem dann indefinit, wenn ein Hauptminor gerader Ordnung negativ ist und/oder wenn es Hauptminoren ungerader Ordnung mit entgegengesetztem Vorzeichen gibt. Also ist die Hessematrix hier indefinit, so dass f(2,±, 1=27 Sattelpunkte sind. oder mit Eigenwerten: det(h f λe=(2 λ[ λ(2 λ 6]=(2 λ(λ 2 2λ 6=0, λ 1 =2, λ 2/ =1 ± 6, EW unterschiedl. Vz. = H f indefinit, f(2,±, 1=27 Sattelpunkte

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