Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1

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1 Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1

2 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung ist richtungsabhängig! Ableitungen können aber in alt bekannter Weise berechnet werden, wenn Schnittkurven betrachtet werden. Die Schnittkurven ergeben sich, wenn man eine der zwei Variablen konstant gehalten wird: = = konst. oder = = konst. z(,), Schnittkurve entlang der -Achse Z z(, ), Schnittkurve entlang der -Achse Z Y Y X X Folie

3 Die Schnittkurven: z(, ) und z(, ) werden wie gewohnt differenziert: Ableitung = Grenzwert des Differenzenquotienten. Da sich die Ableitungen der Schnittkurven jeweils auf nur eine Variable beziehen, werden Sie als partielle (= teilweise ) Ableitungen bezeichnet. In -Richtung ( = = konst.) erhält man die partielle Ableitung nach z h, z, lim h h In -Richtung ( = = konst.) erhält man die partielle Ableitung nach lim h,, z h z h Y Z 1 - Y Z 1 - X X Folie 3

4 Partielle Ableitungen können nicht nur durch einen Strich kenntlich gemacht werden, wie im Fall einer Variablen, da die jeweilige Ableitungsrichtung auch angegeben werden muss. Die partielle Ableitung nach lim wird mit z h z (, ), oder bezeichnet.,, z h z h Die partielle Ableitung nach wird mit (, ) z z, oder bezeichnet.,, z h z lim h h Folie

5 Zusammenfassung: Partielle Differentiation erfolgt so, dass man die Funktion nach der gewünschten Variablen differenziert und die anderen Variablen als Konstanten betrachtet. Bei der Ableitung nach betrachtet man als konstant: Alles was nicht ist, ist (wie) eine Zahl Bei der Ableitung nach betrachtet man als konstant. Alles was nicht ist, ist (wie) eine Zahl Folie 5

6 Beispiele: z(, ) 3 z (, ) und z (, ) z (, ) 3 z(, ) 1 und z(, ) 1 Hier muss (darf) nicht die Produktregel angewendet werden. Bei der part. Ableitung nach ist und somit auch konstant und bleibt (wie ein Zahlenfaktor) bei der Abl. erhalten. z (, ) cos( ) z(, ) cos( ) und z(, ) sin( ) auch hier keine Produktregel z (, ) cos( ) z(, ) cos( ) sin( ) und z(, ) sin( ) Bei der part. Ableitung nach werden Produkt- und Kettenregel angewendet - bei der part. Ableitung nach nur die Produktregel. Folie

7 Beispiele: z, = z, = 3 z, = 7 z, = z, = z, = z, = 3 ÿ 3 z, = ÿ 3 z, = 3 ÿ 3 = 9 z, = z, = z, = 1 z, = z, =- z, =- 3 z, = ÿ z, = ÿ 1-1 ÿ = z, = ÿ 3 z, = 3 cos z, = 3 cos - 3 sin z, = 3 z, =- sin ln z, = 3 z, = ln Folie 7

8 Differentiation v. Funktionen mit zwei Variablen Tangentialebenen Linearisierung bedeutet eine Funktion in einer Umgebung einer Stelle durch eine Tangente zu ersetzten. Der Vorteil: die Tangente ist immer eine einfache Gerade, egal wie kompliziert die Ausgangsfunktion ist. Tangentengleichung: T( ) f ( ) f ( ) Wichtig: bezeichnet den Arbeitspunkt, dieser ist fest vorgegeben; bezeichnet wie gewöhnlich die unabhängige Variable. Ein ähnliches Vorgehen bietet sich auch bei mehreren Veränderlichen an! Man ersetzt eine in der Nähe eines Arbeitspunktes (, ) die Funktion z(, ) durch ihre Tangentialebene T(, ). Die Gleichung der Tangentialebene ergibt sich analog zur Tangentengleichung, wobei jetzt die partiellen Ableitungen in - und -Richtung einzusetzen sind: T(, ) z (, ) z (, ) z (, ) Folie

9 Differentiation v. Funktionen mit zwei Variablen Tangentialebenen Berechnungsbeispiel: Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion z (, ) im Arbeitspunkt (1, ). T(, ) z(, ) z (, ) ( ) z (, ) ( ) die part. Ableitungen sind: z z 1 1, (, ) (, ) z z 1 5 z 1 1, (, ) (, ) (, ) T(, ) ( 1) 5 ( ) 5 Übung: Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion (, ) cos z im Arbeitspunkt (.5, -1). Lsg.: T(, ) Folie 9

10 Differentiation v. Funktionen mit zwei Variablen Tangentialebenen Übung: Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion z(, ) = 3 im Arbeitspunkt (-1, ) Ergebnis: T(, )=-1+-5 Folie

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