Differenzieren kurz und bündig

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1 mate online Skripten ttp://www.mate-online.at/skripten/ Differenzieren kurz und bündig Franz Embacer Fakultät für Matematik der Universität Wien WWW: ttp://omepage.univie.ac.at/franz.embacer/ Dieses Skriptum gibt eine kompakte Einfürung in die Differentialrecnung. 1 Die Ableitung Einer der zentralen Begriffe bei der Diskussion linearer Funktionen 1 war jener der Änderungsrate, genauer: der mittleren oder durcscnittlicen Änderungsrate oder Änderungsrate in einem Intervall: Ist f eine lineare Funktion, und wird der Funktionswert f(x 0 ) an einer Stelle x 0 mit dem Funktionswert f(x 0 + x) an der Stelle x 0 + x verglicen (wir aben damals x > 0 vorausgesetzt, so dass von x 0 aus ein Stück x vorgerückt wird), so drückt sie die Änderung des Funktionswerts f pro vorgerückter Strecke x aus: Änderungsrate von f im Intervall [x 0, x 0 + x] = f x = f(x 0 + x) f(x 0 ). (1.1) x Sie ängt nict von der konkreten Wal der Stelle x 0 und der Strecke x, um die vorgerückt wird, ab, gilt also generell für die (lineare) Funktion als Ganzes. Der Grap von f ist eine Gerade, deren Anstieg gleic der Änderungsrate ist. In (1.1) können wir one weiteres auc x < 0 zulassen, was bedeutet, von x 0 aus ein Stück nac links zu geen und die entsprecende Änderung f des Funktionswerts auf die Änderung x der unabängigen Variable zu bezieen. Das Ergebnis ändert sic dadurc nict. 1 Siee das Skriptum Lineare Funktionen und ire Grapen.

2 Differenzieren kurz und bündig 2 Abbildung 1: Zur Definition der Ableitung: Die mittlere Änderungsrate (1.4) der Funktion f beim Übergang von x 0 zu x 0 + (der Differenzenquotient) ist gleic dem Anstieg f/ x der (stricliert eingezeicneten) Sekante. Im Grenzübergang 0 rückt x 0 + immer näer an x 0 eran, und die Sekante get in die Tangente an den Grapen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )) über. Deren Anstieg ist die Ableitung von f an der Stelle x 0. Interpretiert als Differentialquotient df/dx ist die Ableitung das entsprecende Verältnis infinitesimaler Änderungen. Da unendlic kleine Größen kein sinnvolles Konzept sind (und man sie sic überdies nict vorstellen kann), denkt man sic dx und df ersatzweise als ser klein. Das kleine grüne Steigungsdreieck ist ier inneralb des Bereics angesiedelt, in dem Tangente und Sekante praktisc übereinstimmen. Matematisc mact der Anstieg, den es misst, aber nur im Grenzübergang 0 Sinn. Nun sei f eine Funktion, die nict notwendigerweise linear ist. Praktisc alle Funktionen, die Sie kennen, aben Kurven 2 als Grapen. Für eine solce Funktion kann ebenfalls die Änderungsrate beim Übergang von einer Stelle x 0 zu einer benacbarten Stelle x 1 = x 0 + x betractet werden. Der Kürze alber werden wir x im Folgenden mit bezeicnen, aben also x = x 1 x 0 =, (1.2) wobei wir voraussetzen, dass 0 ist. Die Änderung des Funktionswerts beim Übergang von x 0 zu x 1 ist durc f = f(x 1 ) f(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) (1.3) 2 Das gilt auc für lineare Funktionen, denn aus matematiscer Sict ist auc eine Gerade eine Kurve.

3 Differenzieren kurz und bündig 3 gegeben. Die entsprecende mittlere Änderungsrate ist dann gleic dem Quotienten mittlere Änderungsrate beim Übergang von x 0 zu x 0 + = = f x = f(x 0 + ) f(x 0 ). (1.4) Als Quotient zweier Differenzen (Differenz der Funktionswerte dividiert durc Differenz der x-werte) wird sie auc als Differenzenquotient bezeicnet. Da f nict mer als linear vorausgesetzt wird, besitzt die Größe (1.4) eine andere, allgemeinere Bedeutung als (1.1): Sie ist der Anstieg jener Geraden, die durc die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 0 +, f(x 0 + )), die beide am Grapen von f liegen, verläuft. Wir nennen eine solce Gerade Sekante (in Abbildung 1, die auc andere Aspekte zeigt, auf die wir noc zu sprecen kommen, stricliert dargestellt). Im allgemeinen Fall wird die mittlere Änderungsrate (1.4) nun von den beiden Punkten x 0 und x 0 + abängen, ist also nict mer eine für die Funktion als Ganzes gültige Konstante. Anwendungsbeispiel: Wird die Zeit durc die Variable t dargestellt, und bezeicnet s(t) jene Kilometermarkierung entlang einer Straße, bei der sic ein Farzeug, das sic nict unbedingt mit konstanter Gescwindigkeit bewegt, zum Zeitpunkt t befindet, so ist die Änderungsrate von s beim Übergang von t 0 zu t 0 + t, also (mit der Bezeicnung t = ) s t = s(t 0 + ) s(t 0 ), (1.5) gleic der Durcscnittsgescwindigkeit des Farzeugs zwiscen den Zeitpunkten t 0 und t 0 +. Die Frage, mit der die Differentialrecnung beginnt, lautet: Ist es möglic, für eine Funktion f eine momentane Änderungsrate (oder lokale Änderungsrate) an einer einzigen Stelle x 0 zu definieren (und zu berecnen)? Für das Beispiel des bewegten Farzeugs wäre zu erwarten, dass eine solce momentane Änderungsrate die Momentangescwindigkeit zu einem Zeitpunkt t 0 angibt. In (1.4) einfac = 0 zu setzen, funktioniert nict, da wir dann eine Division Null durc Null bekämen. Die zentrale Idee, diesem Problem zu entkommen, bestet nun darin, x 0 festzualten, die mittleren Änderungsraten von f beim Übergang von x 0 zu x 0 + für 0 zu betracten und einen Grenzübergang 0 durczufüren. Stellen Sie sic dabei intuitiv vor, dass scrittweise immer näer zur Zal 0 rückt (egal, ob von links oder von rects). Wenn im Zuge eines solcen gedanklicen Prozesses die mittlere Änderungsrate einer wolbestimmten Zal zustrebt, und zwar unabängig davon, wie die scrittweise Annäerung 0 durcgefürt wird, so nennen wir diese Zal die Ableitung von f an der Stelle x 0 und screiben sie in der Form 3 f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim (1.6) 0 3 Ausgesprocen f Stric.

4 Differenzieren kurz und bündig 4 an 4. Hier aben wir die gesucte momentane Änderungsrate an der Stelle x 0! Falls sie existiert, nennen wir f an der Stelle x 0 differenzierbar. Beispiel: Wir berecnen die Ableitung der durc f(x) = x 2 definierten Funktion f an der Stelle 3. Die Änderungsrate beim Übergang von der Stelle 3 zur Stelle 3 + ist gegeben durc mittlere Änderungsrate beim Übergang von 3 zu 3 + = f(3 + ) f(3) = = (3 + )2 3 2 = = = 6 +. = (1.7) Geen sie diese kurze Recnung im Detail durc! Mit irem Ergebnis können wir nun den Grenzübergang 0 ser leict durcfüren, denn klarerweise strebt 6 + für 0 gegen 6. Damit ist gezeigt, dass die Ableitung der Funktion f an der Stelle 3 existiert und gleic 6 ist: f (3) = 6. (1.8) Die geometrisce Bedeutung der Ableitung erscließt sic, indem wir uns vorstellen, wie der Grenzübergang 0 in der grafiscen Darstellung aussiet. Da x 0 + immer näer an x 0 eranrückt, get die Sekante in die Tangente an den Grapen im Punkt (x 0, f(x 0 )) über, und die Ableitung ist gleic dem Anstieg dieser Tangente (siee Abbildung 1). Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 existiert genau dann, wenn der Grap von f im Punkt (x 0, f(x 0 )) eine woldefinierte Tangente mit endlicem Anstieg (d.. eine Tangente, die nict vertikal verläuft) besitzt. Wir können diesen Sacveralt auc so ausdrücken: Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn sie sic in unmittelbarer Nacbarscaft dieser Stelle durc eine lineare Funktion (deren Grap die Tangente ist) approximieren lässt. Nict jede Funktion ist an allen Stellen differenzierbar. So at beispielsweise der Grap der Betragsfunktion g : x x im Ursprung einen Knick (siee Abbildung 2), besitzt also dort keine woldefinierte Tangente. Das mact sic auc in der Berecnung bemerkbar: Für 0 gilt mittlere Änderungsrate beim Übergang von 0 zu = g() g(0) 0 = = = = Vorzeicen von. (1.9) Nun lässt sic der Grenzübergang 0 für die mittlere Änderungsrate nict mer durcfüren: Je nacdem, ob sic von links ( < 0) oder von rects ( > 0) der Stelle 0 annäert, eralten wir 1 oder 1. Wir könnten auc mit wecselndem Vorzeicen gegen 0 streben lassen, mit dem Effekt, dass die mittlere Änderungsrate (1.9) zwiscen 1 und 1 in und er springt. Daraus scließen wir, dass die Betragsfunktion an der Stelle 0 nict differenzierbar ist. 4 In einer matematisc exakteren Vorgangsweise würde man zur Durcfürung dieses scrittweisen Grenzübergangs konvergente Folgen benutzen, auf die wir ier aber nict eingeen.

5 Differenzieren kurz und bündig 5 Abbildung 2: Der Grap der Betragsfunktion x x. Der Knick im Punkt (0, 0) zeigt, dass die Betragsfunktion an der Stelle 0 nict differenzierbar ist. An allen Stellen x 0 0 ingegen ist die Betragsfunktion differenzierbar: Für x 0 > 0 fällt die Tangente mit dem Grapen der linearen Funktion x x zusammen, die Ableitung ist daer an allen positiven Stellen gleic 1. Für x 0 < 0 fällt die Tangente mit dem Grapen der linearen Funktion x x zusammen, die Ableitung ist daer an allen negativen Stellen gleic 1. Alle Funktionen, die in den biserigen Skripten besprocen wurden, sind an fast allen Stellen irer Definitionsmenge differenzierbar. Die Berecnung von Ableitungen ist für viele Anwendungen von besonderer Bedeutung. Um eine andlice Formel zur Hand zu aben, ersetzen wir in (1.6) die etwas scwerfällige Benennung x 0 durc ein simples x und screiben f (x) = lim 0 f(x + ) f(x) (1.10) für die Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Diese Form zeigt uns auc rect scön an, dass die Ableitung (vorausgesetzt, sie existiert an allen Stellen x) selbst eine Funktion f : x f (x) ist die Ableitungsfunktion (meist kurz als Ableitung bezeicnet). Damit können wir Ableitungen nict nur an Stellen berecnen, deren Zalenwerte vorgegeben sind, sondern ganz allgemein an beliebigen Stellen, an denen sie existiert. Beispiel: Wir aben oben die Ableitung der durc f(x) = x 2 definierten Funktion f an der Stelle 3 berecnet. Nun berecnen wir die Ableitung dieser Funktion an einer beliebigen Stelle x: Die mittlere Änderungsrate (der Differenzenquotient) ist gegeben durc mittlere Änderungsrate beim Übergang von x zu x + = f(x + ) f(x) = = (x + )2 x 2 = x2 + 2 x + 2 x 2 = 2 x + 2 = (1.11) = 2 x +.

6 Differenzieren kurz und bündig 6 Nun können wir den Grenzübergang 0 durcfüren. Klarerweise strebt 2 x+ für 0 gegen 2 x. Damit ist gezeigt, dass die Funktion f überall differenzierbar ist, und dass ire Ableitungsfunktion f durc gegeben ist. f (x) = 2 x (1.12) Das Ermitteln der Ableitung einer Funktion nennen wir auc eine Funktion differenzieren. Woer kommt diese Ausdrucksweise? Seen Sie sic die Definition der mittleren Änderungsrate (1.4), die wir auc Differenzenquotient genannt aben, noc einmal an! Dort stet x für eine Änderung des x-werts und f für die zugeörige Änderung des Funktionswerts. Wird x (also ) immer kleiner, so wird (wir nemen an, dass f differenzierbar ist) auc f immer kleiner. Das Verältnis (der Quotient) dieser beiden immer kleiner werdenden Größen strebt einem woldefinierten Wert (eben der Ableitung f ) zu. Für die Ableitung at sic scon frü die Screibweise df (1.13) dx eingebürgert, wobei man sic dx und df (sofern das überaupt möglic ist) als praktisc unendlic kleine Änderungen der Stelle und des Funktionswerts (so genannte infinitesimale Größen) vorstellte. Matematisce Gedankenobjekte dieser Art wurden Differentiale ge- nannt. Die Ableitung, in der Screibweise (1.13) als Quotient von Differentialen gedeutet, wurde daer als Differentialquotient bezeicnet. Der Grenzübergang 0 ist in diesem Sinn ein Übergang Differenzenquotient Differentalquotient. (1.14) In tecniscen Anwendungen stellt man sic unter dx und df meist Änderungen vor, die so klein sind, dass ir Quotient praktisc gleic der Ableitung ist. Das ist in Abbildung 1 in Form des kleinen grünen Steigungsdreiecks illustriert. Für den Funktionswert der Ableitungsfunktion, f (x), werden auc oft die Screibweisen df(x) dx oder df dx (x) oder d f(x), (1.15) dx d verwendet, wobei das Symbol dx die Aufforderung bilde die Ableitung nac x bezeicnet. Unter Verwendung dieser äußerst nützlicen Screibweise ist beispielsweise klar, dass mit d ( ) A sin(ω t) dt (1.16) die Ableitung der durc f(t) = A sin(ω t) definierten Funktion f gemeint ist, wobei A und ω als Konstanten aufzufassen sind, die sic beim Übergang von t zu t + nict ändern. Wir erwänen noc eine weitere Form, die Definition der Ableitung anzuscreiben: Bezeicnen wir in (1.6) die Stelle x 0 + als x, so ist = x x 0, und der Grenzübergang 0 bedeutet,

7 Differenzieren kurz und bündig 7 dass x gegen x 0 strebt. Das wird durc die Screibweise x x 0 ausgedrückt. Anstelle von (1.6) können wir daer für die Ableitung von f an der Stelle x 0 auc screiben f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. (1.17) Alle drei Formeln (1.6), (1.10) und (1.17) drücken in untersciedlicer Screibweise das Gleice aus und finden sic in der matematiscen Literatur. 2 Ableitungen der elementaren Funktionen Nacdem wir im vorigen Abscnitt erfolgreic die Ableitung der Funktion x x 2 berecnet aben, stellt sic die Frage, wie die Ableitungen der anderen Funktionen, die Sie kennen, ausseen. Die Ableitungen von Polyomfunktionen können ganz analog berecnet werden wie oben anand des Beispiels x x 2 vorgefürt. In anderen Fällen ist die Herleitung nict so einfac. Wir verzicten auf die Details der Begründungen und geben zunäcst die Ableitungen der wictigsten elementaren Funktionen an, aus denen dann (im darauffolgenden Abscnitt) die Ableitungen weiterer, aus diesen zusammengesetzten Funktionen gewonnen werden können. Dabei benutzen wir eine kompakte Screibweise, die es uns erspart, jeder Funktion einen eigenen Namen zu geben: Wir setzen den Funktionsterm in Klammern und kennzeicnen die Ableitung nac x mit einem Stric. Das bedeutet, dass wir uns erlauben (obwol es nict ganz korrekt ist), anstelle von f (x) einfac (f(x)) zu screiben. Dass die Ableitung der Funktion f : x x 2 durc f (x) = 2 x (oder f : x 2 x) gegeben ist, wird dann kurz durc ( ) x 2 = 2 x (2.1) ausgedrückt. Wenn es Inen lieber ist, können Sie statt dessen auc d ( ) x 2 = 2 x oder einfac dx d dx x2 = 2 x (2.2) screiben. Wann immer eine Funktion bereits einen Namen at (wie z.b. sin für die Sinusfunktion), bleiben wir bei der Screibweise, den Stric unmittelbar an diesen Namen zu ängen (also mit dem Symbol sin die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion und mit sin (x) iren Funktionswert an der Stelle x zu bezeicnen). Ableitungen von Potenzfunktionen 5 : Für jedes r R gilt (x r ) = r x r 1. (2.3) Diese Regel sollten sie auf jeden Fall auswendig wissen! Als Spezialfall für r = 2 folgt daraus sofort (2.1). Für r = 0 folgt mit 5 Für Potenzfunktionen siee das Skriptum Der Funktionenzoo. (1) = 0 (2.4)

8 Differenzieren kurz und bündig 8 die (wenig überrascende) Erkenntnis, dass die Ableitung der konstanten Funktion 1 gleic 0 ist, und mit r = 1 eralten wir (x) = 1, (2.5) was besagt, dass die lineare Funktion x x überall die Ableitung 1 besitzt. Mit r = 3 folgt ( x 3 ) = 3 x 2, (2.6) und weitere Spezialfälle mit r = 1, r = 2 und r = 1 2 lauten ( x 1 ) = x 2, was wir auc in der Form ( ) 1 = 1 x x, 2 ( x 2 ) = 2 x 3, ( x 1/2 ) = 1 2 x 1/2, (2.7) ( ) 1 = 2 x 2 x, ( ) 1 x = 3 2 x (2.8) screiben können. Es ist ilfreic, diese letzten drei Formeln auswendig zu kennen! Ableitungen der Winkelfunktionen 6 : sin (x) = cos(x) (2.9) cos (x) = sin(x) (2.10) tan 1 (x) = cos 2 (x). (2.11) Die ersten beiden dieser Formeln sollten Sie sic auf jeden Fall merken! Ableitungen der inversen Winkelfunktionen 7 : asin (x) = 1 1 x 2 acos 1 (x) = 1 x 2 (2.12) (2.13) atan (x) = x 2. (2.14) Die Struktur dieser Formeln (die Ableitung einer inversen Winkelfunktion ist keine inverse Winkelfunktion) sollten Sie sic merken! Ableitungen der Exponentialfunktionen 8 : (e x ) = e x (2.15) (a x ) = ln(a) a x für a > 0. (2.16) 6 Siee das Skriptum Winkelfunktionen und ire Grapen. 7 Siee das Skriptum Winkelfunktionen und ire Grapen. 8 Siee das Skriptum Exponential- und Logaritmusfunktionen und ire Grapen.

9 Differenzieren kurz und bündig 9 Die erste dieser Formeln sollten Sie sic auf jeden Fall merken! Mit der Bezieung (2.15) aben wir den ersten wirklic andfesten Grund für die Wictigkeit der Eulerscen Zal e. Beacten Sie, dass e (in irer Rolle als Basis des natürlicen Logaritmus) auc in (2.16) einget: Selbst wenn wir bei der Besprecung der Exponential- und Logaritmusfunktionen besclossen ätten, e zu ignorieren, wäre diese Zal ier automatisc aufgetreten! Ableitungen der Hyperbelfunktionen 9 : Ableitungen der Logaritmusfunktionen 10 : ln (x) = 1 x log 1 a (x) = ln(a) x sin (x) = cos(x) (2.17) cos (x) = sin(x) (2.18) tan 1 (x) = cos 2 (x). (2.19) Die erste dieser Formeln sollten Sie sic auf jeden Fall merken! 3 Ableitungsregeln (2.20) für a > 0 und a 1. (2.21) Um die Ableitungen von Summen, Vielfacen, Produkten, Quotienten und Verkettungen von Funktionen zu berecnen, deren Ableitungen bereits bekannt sind, steen einige andlice Regeln zur Verfügung, die wir ier nict beweisen, sondern lediglic wiedergeben, und die Sie kennen und anwenden können sollten: Ableitung einer Summe: Sind f und g differenzierbare Funktionen, so ist auc ire Summe f +g differenzierbar, und es gilt (f + g) = f + g. (3.1) In Worten: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Beispiel: ( x 2 + x 5) = 2 x + 5 x 4. (3.2) Ableitung des Vielfacen einer Funktion: Ist f eine differenzierbare Funktion und c eine reelle Zal, so ist das c-face von f, die Funktion c f, ebenfalls differenzierbar, und es gilt (c f) = c f. (3.3) In Worten: Die Ableitung eines Vielfacen ist das Vielface der Ableitung. 9 Siee das Skriptum Der Funktionenzoo. 10 Siee das Skriptum Exponential- und Logaritmusfunktionen und ire Grapen.

10 Differenzieren kurz und bündig 10 Beispiel: ( 7 x 2 ) = 7 2 x = 14 x. (3.4) Ableitung einer Linearkombination: Eine Linearkombination von Funktionen ist eine Summe aus Vielfacen, beispielsweise eine Funktion der Form a f +b g, wobei f und g Funktionen und a und b reelle Zalen sind. Aus (3.2) und (3.3) folgt, dass die Ableitung einer Linearkombination die Linearkombination der Ableitungen ist: (a f + b g) = a f + b g, (3.5) und entsprecende Regeln gelten für Linearkombinationen mit mer als zwei Summanden. Beispiel: ( 7 x x 3 4 x ) = 7 2 x x x 8 = = 14 x + 15 x 2 36 x 8. (3.6) Ableitung eines Produkts (Produktregel): Sind f und g differenzierbare Funktionen, so ist auc ir Produkt f g differenzierbar, und es gilt (f g) = f g + f g. (3.7) Beispiel: ( x 2 sin(x) ) = 2 x sin(x) + x2 cos(x). (3.8) Durc merface Anwendung von (3.7) auf Produkte mit mer als zwei Faktoren ergeben sic weitere Regeln, wie beispielsweise (f g ) = f g + f g + f g. (3.9) Ableitung eines Quotienten (Quotientenregel): Sind f und g differenzierbare Funktionen, wobei g im betracteten Bereic von 0 verscieden sei, so ist auc ir Quotient f g differenzierbar, und es gilt ( ) f = f g f g. (3.10) g g 2 Beispiel: ( ) x 2 = 2 x sin(x) x2 cos(x) sin(x) sin 2. (3.11) (x) Ableitung einer Verkettung (Kettenregel): Sind f und g differenzierbare Funktionen, deren Verkettung 11, d.. die durc u(x) = f(g(x)) definierte Funktion u (auc als f g bezeicnet), gebildet werden kann, so ist diese differenzierbar, und es gilt 11 Siee das Skriptum Der Funktionenzoo. u (x) = f (g(x)) g (x). (3.12)

11 Differenzieren kurz und bündig 11 Den Faktor f (g(x)) können Sie sic als Ableitung von f nac g(x) vorstellen. Um in zu eralten, wird so getan, als wäre g(x) eine unabängige Variable. Der Faktor g (x) wird als innere Ableitung bezeicnet. Beispiel: Mit f(x) = sin(x) und g(x) = x 2 ist u(x) = f(g(x)) = sin(x 2 ) und u (x) = cos(x 2 ) 2 x (3.13) oder, in unserer kompakten Screibweise, ( sin(x 2 ) ) = cos(x 2 ) 2 x. (3.14) Den Faktor cos(x 2 ) eralten Sie, indem Sie sin(x 2 ) nac x 2 differenzieren, also so tun, als wäre x 2 eine unabängige Variable. (Korrekter wäre die folgende Bescreibung: Sie berecnen die Ableitung von sin(x) nac x und setzen danac x 2 anstelle von x ein.) Der Faktor 2 x ist die innere Ableitung. Wird ein Quotient f g als Produkt f 1 aufgefasst, so kann seine Ableitung anstatt mit g der Quotientenregel (3.10) auc mit der Produktregel (3.7) und der Kettenregel (3.12) berecnet werden. Beispiel: Die gleice Funktion wie in (3.11), nur diesmal anders differenziert: ( x 2 sin(x) ) = ( x 2 1 = 2 x ) = ( x 2) ( ) 1 1 sin(x) + x2 = sin(x) sin(x) 1 cos(x) x2 sin(x) sin 2 (x), (3.15) was das Gleice ist wie das Ergebnis von (3.11), nur anders angescrieben. 1 Dabei wurde sin(x) als Verkettung der Funktion x 1 mit der Sinusfunktion x aufgefasst und mit Hilfe der Kettenregel ( ) 1 = cos(x) sin(x) sin 2 (x) (3.16) berecnet. Die innere Ableitung ist ier cos(x). In formalerer Screibweise siet die Kettenregel so aus: (f g) = (f g) g. (3.17) Eine andere, etwas saloppere Bescreibung dieser Regel (aber eine, die einen Hauc von Beweis an sic at), ist die folgende: Hängt f von g ab und g von x, so ist df dx = df dg dg dx. (3.18)

12 Differenzieren kurz und bündig 12 Mit Hilfe dieser Regeln können die Ableitungen beliebiger Funktionen berecnet werden, die sic durc Summen, Vielface, Linearkombinationen, Produkte, Quotienten und Verkettungen jener elementaren Funktionen ausdrücken lassen, deren Ableitungen wir im vorigen Abscnitt angegeben aben. Das Differenzieren solcer Funktionen funktioniert also sozusagen nac Kocrezept, und daer können das auc Computeralgebra-Systeme (wie Matematica oder GeoGebra) ser gut. Macen Sie sic bitte damit vertraut, wie das Differenzieren mit dem Computerwerkzeug Irer Wal durcgefürt wird, und nutzen Sie es zur Berecnung von Ableitungen oder zur Kontrolle Irer auf dem Papier erzielten Ergebnisse! 4 Höere Ableitungen Ist die Ableitung f einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar, so kann die Ableitung der Ableitung (die zweite Ableitung), bezeicnet mit f oder 12 d2 f, gebildet werden. dx2 Ist diese differenzierbar, so kann die dritte Ableitung f (auc als d3 f gescrieben) gebildet dx3 werden, usw. In diesem Sinn wird die Ableitung auc als erste Ableitung bezeicnet. Werden öere Ableitungen als die zweite benötigt, so ist es üblic, die n-te Ableitung von f als f (n) zu bezeicnen, wobei f (0) für die Funktion f selbst stet. Anwendungsbeispiel: Wird die Zeit durc die Variable t dargestellt, und bezeicnet s(t) jene Kilometermarkierung entlang einer Straße, bei der sic ein Farzeug zum Zeitpunkt t befindet, so ist die Ableitung s (t) die Momentangescwindigkeit des Farzeugs zur Zeit t. Die zweite Ableitung s (t) ist dann die Bescleunigung des Farzeugs zur Zeit t. Für die Ableitung nac der Zeit wird mancmal auc die Screibweise 13 ṡ(t) und für die zweite Ableitung die Screibweise 14 s(t) verwendet. Alle Funktionen, die in den biserigen Skripten besprocen wurden, sind an fast allen Stellen irer Definitionsmenge beliebig oft differenzierbar. 5 Anwendungen des Ableitungskonzepts Wir geben nun einen knappen Überblick über einige wictige Anwendungen des in den biserigen Abscnitten entwickelten Konzepts der Ableitung, wobei wir inreicende Differenzierbarkeit (einscließlic der Existenz und Stetigkeit der benötigten öeren Ableitungen) stillscweigend voraussetzen. Näerungen: Die Ableitung wird aus dem Differenzenquotienten (1.4) durc den Grenzüberganz 0 gewonnen. Ist ser klein 15, aber 0, so wird der Differenzenquotient zwar nict 12 Ausgesprocen d zwei f nac dx Quadrat. 13 Ausgesprocen s Punkt. 14 Ausgesprocen s zwei-punkt. 15 Genau genommen meinen wir ier und im Folgenden mit einem kleinen ein, dessen Betrag klein ist, denn darf ja auc negativ sein.

13 Differenzieren kurz und bündig 13 unbedingt gleic der Ableitung sein, ir aber doc scon ser nae gekommen sein. Für kleines können wir daer screiben woraus mit f x = f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ), (5.1) f(x 0 + ) f(x 0 ) + f (x 0 ) oder f f (x 0 ) x (5.2) eine nützlice Metode folgt, um näerungsweise anzugeben, wie sic der Wert einer Funktion beim Übergang von einer Stelle x 0 zu einer ser nae benacbarten Stelle x 0 + ändert. Beispiel: Sei f : x 1. Der Wert dieser Funktion an der Stelle 1 ist 1 + x2 f(1) = = 1 = 0.5. Nun nemen wir an, eine Fragestellung erfordert 2 2 es, Funktionswerte in der Näe der Stelle 1 zu kennen. Wie groß ist beispielsweise (ungefär) der Funktionswert an der Stelle 1.001, d.. f(1.001)? Mit f 2 x (x) = (1 + x 2 ), daer f (1) = 1 (5.3) 2 2 und (5.2) berecnen wir f(1.001) = f( ) f(1) f (1) = = = (5.4) 2 Das ist rect nae am tatsäclicen Wert f(1.001) = Mit der gleicen Metode berecnen wir ganz allgemein die Funktionswerte in der Näe der Stelle 1: f(1 + ) f(1) + f (1) = = 1. (5.5) 2 Das Ergebnis ist ein in linearer Ausdruck, mit dem viel leicter umgegangen werden kann als mit der exakten Version f(1 + ) = (1 + ) 2. (5.6) Die Genauigkeit solcer Näerungen kann (ebenfalls mit Hilfe der Differentialrecnung) weiter ocgetrieben werden und fürt zur Darstellung von Funktionen als Potenzreien Für zwei Beispiele siee das Skriptum Der Funktionenzoo.

14 Differenzieren kurz und bündig 14 Abbildung 3: Markante Stellen und Punkte: lokale Maximumstelle x H, Hocpunkt H = (x H, f(x H )) Wendestelle x W, Wendepunkt W = (x W, f(x W )), Wendetangente g lokale Minimumstelle x T, Tiefpunkt T = (x T, f(x T )) Sattelstelle x S, Sattelpunkt S = (x S, f(x S )) Stricliert angedeutet sind die orizontalen Tangenten an Stellen, an denen die Ableitung gleic 0 ist. Extremwertaufgaben: Die Differentialrecnung stellt eine ser einface Metode zur Verfügung, um die lokalen Extremstellen 17 einer Funktion f zu ermitteln. An jeder solcen Stelle ist die Tangente an den Grapen von f orizontal, at also den Anstieg 0 (siee Abbildung 3). Das bedeutet, dass an jeder lokalen Extremstelle x 0 f (x 0 ) = 0 (5.7) gilt: Lokale Extremstellen sind Nullstellen der Ableitungsfunktion. Daer befinden sic alle lokalen Extremstellen unter den Lösungen der Gleicung f (x) = 0. Nun ist Vorsict angebract: Nict jede Nullstelle der Ableitung ist eine lokale Extremstelle! (Das zeigt das Beispiel x x 3. Die Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 ist gleic 0, doc die Stelle 0 ist keine lokale Extremstelle). Aber immerin eralten wir durc die Lösung der Gleicung f (x) = 0 (in der Regel nur einige wenige) Kandidaten für lokale Extremstellen. Diese können wir dann einzeln darauf untersucen, ob sie lokale Extremstellen sind 17 Zum Begriff der lokalen Extremstellen (lokale Minimum- und Maximumstellen) siee das Skriptum Der Funktionenzoo.

15 Differenzieren kurz und bündig 15 oder nict. Das kann beispielsweise durc einen Vergleic ausgewälter Funktionswerte gesceen. Beispiel: Sei f : x x 2 2 x. Dann ist f (x) = 2 x 2. Die Gleicung f (x) = 0 lautet in diesem Fall 2 x 2 = 0. Sie at eine einzige Lösung, x 0 = 1. Vergleicen wir den Funktionswert f(1) = = 1 mit je einem Funktionswert an einer Stelle links und rects von 1, also etwa f(0) = 0 und f(2) = 0, so ist klar, dass die Stelle 1 nur ein lokales Minimum sein kann. (Ein Ergebnis, das nict überrascen sollte, da wir die Eigenscaften der quadratiscen Funktionen bereits ausfürlic besprocen aben 18.) Mit Hilfe der zweiten Ableitung können wir ein anderes Kriterum formulieren, mit dem sic mancmal entsceiden lässt, ob ein Kandidat tatsäclic eine lokale Extremstelle ist: Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0, so ist x 0 eine lokale Minimumstelle. (Beispiel: f : x x 2, x 0 = 0, f (0) = 2 > 0.) Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0, so ist x 0 eine lokale Maximumstelle. (Beispiel: f : x x 2, x 0 = 0, f (0) = 2 < 0.) Gilt allerdings sowol f (x 0 ) = 0 als auc f (x 0 ) = 0, so kann es sic um eine lokale Extremstelle andeln (Beispiel: f : x x 4, x 0 = 0 ist Minimumstelle), aber das ist nict garantiert! Ist x 0 in einem solcen Fall keine lokale Extremstelle, so eißt x 0 Sattelstelle (siee Abbildung 3). (Beispiel: f : x x 3, x 0 = 0.) Recnen Sie die ier in Klammern angegebenen Beispiele nac und seen Sie sic die Grapen der Funktionen an! Kurvendiskussionen: Mit diesem Begriff ist in der Regel die Analyse von Funktionsgrapen (bzw. von Funktionseigenscaften, die eng mit dem Grapen verknüpft sind) gemeint. Was sagt uns die Ableitung einer Funktion f über iren Grapen (und damit über die Funktion selbst)? Lokale Extremstellen wurden bereits diskutiert. Die entsprecenden Punkte am Grapen eißen Hocpunkte (im Fall eines lokalen Maximums) und Tiefpunkte (im Fall eines lokalen Minimums), siee Abbildung 3. Monotonie 19 : Gilt für alle x in einem Intervall f (x) 0, so ist f in diesem Intervall monoton wacsend. Der Grap fällt mit zunemendem x nict ab. Gilt für alle x in einem Intervall f (x) > 0, so ist f in diesem Intervall streng monoton wacsend. Der Grap steigt mit zunemendem x an. Gilt für alle x in einem Intervall f (x) 0, so ist f in diesem Intervall monoton fallend. Der Grap steigt mit zunemendem x nict an. 18 Siee das Skriptum Quadratisce Funktionen und ire Grapen. 19 Zum Begriff der Monotonie siee das Skriptum Der Funktionenzoo.

16 Differenzieren kurz und bündig 16 Gilt für alle x in einem Intervall f (x) < 0, so ist f in diesem Intervall streng monoton fallend. Der Grap fällt mit zunemendem x ab. Stellen, an denen sic das Monotonieveralten von streng monoton wacsend auf streng monoton fallend (oder umgekert) ändert, sind lokale Extrema. Bei der in Abbildung 3 skizzierten Funktion sind das die Stellen x H und x T. Krümmungsveralten: Gilt für alle x in einem Intervall f (x) > 0, so eißt der Grap von f in diesem Intervall linksgekrümmt. Wenn Sie sic vorstellen, in mit dem Farrad entlang zu faren (so dass x zunimmt), so müssen Sie (wenn Sie von oben auf in scauen wie auf eine Landkarte) nac links lenken. Die Funktion f ist in diesem Intervall konvex 20. Gilt für alle x in einem Intervall f (x) < 0, so eißt der Grap von f in diesem Intervall rectsgekrümmt. Wenn Sie sic vorstellen, in mit dem Farrad entlang zu faren, so müssen Sie nun nac rects lenken. Die Funktion f ist in diesem Intervall konkav. Ändert sic das Krümmungsveralten an einer Stelle x 0 (von linksgekrümmt auf rectsgekrümmt oder umgekert), so eißt x 0 Wendestelle, der zugeörige Punkt (x 0, f(x 0 )) am Grapen Wendepunkt (siee Abbildung 3). An einem Wendepunkt die Tangente (die so genannte Wendetangente) den Grapen, wie überquert in Abbildung 3 illustriert. Faren Sie einen solcen Grapen mit einem Farrad entlang, so müssen Sie beim Wendepunkt (für einen Moment) geradeaus lenken. An einer Wendestelle gilt f (x 0 ) = 0. Eine Wendestelle, an der zusätzlic f (x 0 ) = 0 gilt (für die also die Wendetangente orizontal ist), ist eine Sattelstelle. Actung: Eine Stelle x 0, an der f (x 0 ) = 0 gilt, ist nict unbedingt eine Wendestelle! (Beispiel: f : x x 4, x 0 = 0 ist Minimumstelle und daer keine Wendestelle). Die Nutzung der Ableitung, um das Veralten von Funktionen aufzudecken, geört in den meisten Anwendungsgebieten der Matematik zum Handwerkszeug, das man einigermaßen gut beerrscen sollte. Differentialgleicungen: In zalreicen Anwendungen stet man vor der Situation, dass unser Wissen über eine Funktion zunäcst durc ire momentane Änderungsrate ausgedrückt ist, und dass wir auf der Basis dieses Wissens mer über die Funktion erfaren wollen. Als Beispiel möge der radioaktive Zerfall dienen: Die in einer Substanz entaltene Menge eines radioaktiven Bestandteils zum Zeitpunkt t sei durc N(t) gegeben. Die Änderung 21 dn von N wärend eines kurzen Zeitintervalls dt ist proportional zu N (d.. der noc vorandenen Menge) und proportional zu dt (der Dauer des betracteten Zeitintervalls). 20 Für die Begriffe konvex und konkav siee das Skriptum Der Funktionenzoo. 21 Wir deuten ier die Symbole dt und dn so, wie es in angewandten Wissenscaften oft gemact wird: als ser kleine Änderungen.

17 Differenzieren kurz und bündig 17 Mit der Proportionalitätskonstante λ, der so genannten Zerfallskonstante, modellieren wir den Zerfall in der Form dn = λ N dt (5.8) oder, nac Division beider Seiten durc dt, als dn dt = λ N, (5.9) wobei wir die linke Seite, da dt und dn ser klein (um nict zu sagen unendlic klein ) sind, als Differentialquotient, d.. als Ableitung interpretieren. Wir können (5.9) also genauso gut in der Form N (t) = λ N(t) (5.10) anscreiben. Das ist eine Differentialgleicung. Eine Lösung ist eine Funktion, deren Ableitung gleic λ mal sie selbst ist. Die allgemeine Lösung ist die Menge aller Funktionen, für die das der Fall ist. Wir wollen ier nict über Lösungsmetoden sprecen, aber da diese Differentialgleicung so einfac ist, können wir ire Lösung mer oder weniger erraten. Die allgemeine Lösung lautet N(t) = C e λ t, (5.11) wobei C eine frei wälbare Konstante ist. (Überprüfen Sie, dass (5.11) die Differentialgleicung (5.10) erfüllt!) Wir finden also als Ergebnis die Formel für das exponentielle Abklingen 22. Da N(0) = C ist, at C die Bedeutung der Anfangsmenge zum Zeitpunkt 0. Wir können (5.11) daer auc in der Form N(t) = N(0) e λ t (5.12) anscreiben. So (oder in der Screibweise N(t) = N 0 e λ t ) stet sie in den meisten Pysikbücern. Die Grundgleicungen zalreicer pysikaliscer und tecniscer Anwendungsbereice, in denen räumlic und zeitlic veränderlice Größen auftreten, entalten deren Ableitungen, sind also Differentialgleicungen. 22 Siee dazu auc das Skriptum Exponential- und Logaritmusfunktionen und ire Grapen.

18 Differenzieren kurz und bündig 18 6 Partielle Ableitungen Hängt eine Größe von mereren anderen Größen ab, so benutzen wir Funktionen in mereren Variablen 23. Eine Funktion f in zwei Variablen x und y ist eine Zuordnung (x, y) f(x, y). Die partielle Ableitung von f nac der ersten Variable x eralten wir, indem wir die zweite Variable y als Konstante betracten und nac der ersten Variable x differenzieren. Screibweisen dafür sind: f x, f(x, y) f, x x (x, y) oder f(x, y). (6.1) x In analoger Weise ist die partielle Ableitung nac der zweiten Variable y definiert. Beispiel für eine partielle Ableitung nac x: ( x 3 y 2 7 x y + 2 y 5 + x ) = 3 x 2 y 2 7 y + 1, (6.2) x und für die partielle Ableitung der gleicen Funktion nac y: ( x 3 y 2 7 x y + 2 y 5 + x ) = 2 x 3 y 7 x + 10 y 4. (6.3) y Dieses Skriptum wurde erstellt im Juni 2015 im Ramen des Projekts Entwicklung und Durcfürung von Qualitätssicerungsmaßnamen in Brückenkursen (ttp://www.mate-online.at/projekte/qualitaetssicerungbrueckenkurse.tml), einer Kooperation von mate online (ttp://www.mate-online.at/) mit der Facocscule Tecnikum Wien (ttp://www.tecnikum-wien.at/). Überarbeitet im November 2015 unter Mitwirkung von Harald Stockinger. Die Skripten-Seite finden Sie unter ttp://www.mate-online.at/skripten/. 23 Siee dazu das Skriptum Der Funktionenzoo.

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