3 Brüche, Rationale Zahlen

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1 32 3 Brüche, Rtionle Zhlen 3.1 Brüche und Bruchzhlen Ntürliche Zhlen knn mn ls Mßzhlen benutzen, indem mn vorgegebene Gegenstände mit Mßeinheiten vergleicht: Ein Blken ist 3 Meter lng, ht eine Msse von 50 kg bzw. ein Volumen von 120 Litern. Dbei sind die Mßeinheiten oft recht willkürlich gewählt. Mn könnte ds Längenmß Meter ersetzen durch Zentimeter, Kilometer, Elle, Fuß, Zoll usw. Die Länge des Blkens wäre dnn 300 Zentimeter oder 3 Tusendstel Kilometer oder knpp 10 Fuß. Mn erhält lso verschiedene Benennungen für dieselbe Eigenschft des Blkens. Wir verwenden ber uch Bruchzhlen gnz selbstverständlich für Mßngben wie 1 Liter Milch, ein 2 Achterl Wein, 0,75 m, 1,95 Euro usw. Wie bei den ntürlichen Zhlen wollen wir die Mßeinheit von Größen für opertive Verfhren weglssen und nur die Mßzhl betrchten, d.h. die Bruchzhlen ls eigenständige Zhlen verstehen. Historisch gesehen sind Bruchzhlen vor llem beim Messen und für den Vergleich von Strecken relevnt. Sie treten ber uch in nderen Zusmmenhängen uf: Beim Verteilen: Drei Pizzen sollen n vier Kinder gerecht verteilt werden. Beim Dividieren: 5 : 4 =? ist in IN nicht lösbr. Wir suchen eine geeignete Beschreibung einer Lösung. In der Gleichungslehre: 4 x = 5 ist in IN nicht lösbr. Auch hier ist eine geeignete Beschreibung einer Lösung gesucht. Mn knn durch Übergng zu kleineren Mßeinheiten wieder ntürliche Zhlen ls Lösungen erhlten, z.b. wenn mn bei der Verteilung der Pizzen eine ViertelPizz ls Einheit wählt. Allerdings bräuchte mn dnn für lle Anwendungssitutionen eine unendliche Anzhl verschiedener Einheiten. In llen bisherigen Beispielen treten Verhältnisse ntürlicher Zhlen uf. Dher definieren wir: Definition Unter einem Bruch verstehen wir ds geordnete Pr (,b) IN IN mit,b IN. heißt Zähler und b Nenner des Bruches. Im folgenden verwenden wir die übliche Schreibweise b. NchDefinitionsindzweiBrüche b und c d genudnngleich,wennjeweilszählerundnennerübereinstimmen, d.h. wenn sowohl = c und b = d gilt. Beispiele (1) Wird eine Strecke der Länge 1 (dm) in 5 gleichlnge Teile unterteilt und werden dvon 4 Teile genommen, so hben diese vier Teile zusmmen die Länge 4 5 (dm).

2 3. Brüche, Rtionle Zhlen /5 Unterteilt mn die Strecke doppelt so oft, lso in 10 gleich lnge Teile und trägt 8 Teile dvon b, so erhält mn 0 1 8/10 lso eine gleichlnge Strecke, der ber ein nderer Bruch zugeordnet ist. (2) Sitzen in einer Pizzeri n einem Tisch 4 Kinder und teilen 3 Pizzen gerecht uf, und n einem zweiten Tisch 8 Kinder, die sich 6 Pizzen gerecht teilen, dnn stimmen weder die Kinderzhlen noch die Zhl der Pizzen überein, ber n beiden Tischen bekommen die Kinder die gleiche Portion. Zwei verschiedene Brüche können lso dsselbemß drstellen. Wir nennensolche Brüche gleichwertig oder äquivlent. Definition Seien,b,c,d IN beliebige ntürliche Zhlen. Die beiden Brüche b und c d heißen äquivlent genu dnn, wenn gilt Schreibweise: b c d. d = b c. Bemerkung Die in Definition beschriebene Reltion zwischen Brüchen ist in der Tt eine Äquivlenzreltion, d.h. sie ist reflexiv, symmetrisch und trnsitiv und zerlegt die Menge der Brüche vollständig in prweise disjunkte Äquivlenzklssen. Definition Seien, b IN. Die Äquivlenzklsse [ := { b] c d ; c,d IN, c d b } = {c ; c,d IN, d = b c} d heißt die zu dem Bruch zugehörige Bruchzhl. b Die Menge der Bruchzhlen wird mit IQ + bezeichnet. Bemerkungen (1) Zu jeder Bruchzhl gibt es unendlich viele Repräsentnten (zugehörige Brüche). (2) Die strenge Unterscheidung zwischen einem Bruch ls Repräsentnten einer Bruchzhl und ndererseits einer Bruchzhl ls Klsse ller gleichwertigen Brüche wird in der Alltgssprche wie uch in der mthemtischen Prxis und im Mthemtikunterricht oft nicht vorgenommen. Auch wir werden im folgenden nicht immer streng zwischen Bruch und Bruchzhl unterscheiden; der Unterschied ist uns ber bewusst!

3 3. Brüche, Rtionle Zhlen 34 (3) Seien,b,k IN. Die beiden Brüche k und b kb dr. Mn nennt den Übergng von k zu b kb sind äquivlent, stellen lso dieselbe Bruchzhl Erweitern des Bruchs b mit k und den umgekehrten Vorgng Kürzen des Bruchs k kb mit k. (4) Kürzt mn einen Bruch so lnge, bis Zähler und Nenner keinen gemeinsmen Teiler > 1 mehr b hben, d.h. teilerfremd sind, dnn heißt ds Ergebnis vollständig gekürzter Bruch oder Kernbruch. Zu jeder Bruchzhl gibt es genu einen Kernbruch und umgekehrt. 3.2 Rechnen mit Bruchzhlen Die ntürlichen Zhlen sind (z.b. ls Zählreihe) der Größe nch geordnet. In der Drstellung durch ein Stellenwertsystem ist es uch sehr leicht festzustellen, welche von zwei ntürlichen Zhlen die größere ist. Betrchtet mn Bruchzhlen z.b. ls Mßzhlen für Längen, dnn ist uch hier ein Größenvergleich möglich. Allerdings knn mn den Vertretern zweier Bruchzhlen nicht sofort nsehen, welche von beiden die größere ist. Beispiele (1) Welcher Bruch ist größer, 5 8 oder 4 9? Mn könnte es so versuchen: Achtel sind größere Anteile ls Neuntel und mn ht mehr dvon, 5 nämlich 5 im Vergleich zu nur 4 Neuntel, lso ist 8 > 4 9. (2) Ds obige Verfhren scheitert llerdings beim Vergleich von 4 5 oder 5. Hier könnte mn z.b. 6 4 untersuchen, wie viel mn bei jeder Zhl uffüllen muss, um 1 zu erreichen, und erhält 5 < 5 6. (3) Mnchml ist ein Vergleich zu einer Bezugszhl nützlich. Z.B. ist 4 9 kleiner ls 1 2 und 3 größer ls Mit der Trnsitivität folgt 4 9 < 1 2 < 3 5. (4) Am einfchsten ist der Vergleich, wenn die usgewählten Brüche gleichen Nenner hben, lso gleichnmig sind. Ds knn mn durch geeignetes Erweitern immer erreichen. Für beliebige Bruchdrstellungen gilt Stz Seien,b,c,d IN. Dnn gilt b < c d d < b c.

4 3. Brüche, Rtionle Zhlen 35 Bemerkungen Seien,b,c,d,e,f IN. (1) Wie bei den ntürlichen Zhlen ist die Reltion < us Stz eine Ordnungsreltion, d.h. sie ist (i) trnsitiv: b < c d und c d < e f b < e f. (ii) Es gilt die Trichotomie: Es gilt stets genu eine der drei Beziehungen b < c d oder b = c d oder c d < b. (2) Anders ls in IN gibt es ber kein kleinstes Element: Es gibt keine kleinste Bruchzhl. Siehe Stz Die Multipliktion zweier Bruchzhlen mit Drstellungen b und c läuft druf hinus, den durch den d zweiten Bruch ngegebenen Bruchteil des ls Gnzes ufgefssten ersten Bruchs zu ermitteln; dbei gibt der erste Bruch ntürlich wiederum einen Bruchteil eines Gnzen (nämlich der Eins) n. Der Nenner b des ersten Bruchs gibt n, dss ds ursprüngliche Gnze in b gleiche Teile geteilt wird (von denen dnn genommen werden). Der Nenner d des zweiten Bruchs gibt n, dss ds neue Gnze in d gleiche Teile geteilt wird (von denen dnn c genommen werden). Mn kommt zum Ziel, indem mn zur Unterteilung des ursprünglichen Gnzen eine solche Anzhl von gleichen Teilen wählt, dss sowohl die b gleichen Teile us dem ersten Schritt ls uch die d gleichen Teile us dem zweiten Schritt us solchen Teilen zusmmengesetzt werden können. Dies erreicht mn z.b. durch eine Unterteilung in b d gleiche Teile: Jedes der b gleichen Teile wird nochml in d gleiche Teile geteilt. Ursprünglich musste mn von den b gleichen Teilen nehmen. Nun wird jedes dieser Teile in d gleiche Teile geteilt, und es werden c von diesen Teilen genommen, insgesmt lso c. Definition Seien,b,c,d IN. Dnn heißt die Bruchzhl zu c b d b und c d. Produkt der Bruchzhlen zu Bemerkungen (1) Es ergibt sich ls einfche Regel für die Multipliktion von Brüchen: Zwei Brüche werden multipliziert, indem mn jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert. (2) Die vorige Definition legt eine Multipliktion von Bruchzhlen mit Hilfe ihrer Bruchdrstellungen fest. Die sich ergebende Bruchzhl muss eindeutig sein, d.h. die Definition ist nur dnn sinnvoll, wenn die sich ergebende Bruchzhl unbhängig von der Auswhl der Bruchdrstellungen der beiden Fktoren ist. Es gilt in der Tt: b b und c d c d c b d c b d. (3) Betrchtet mn zwei ntürliche Zhlen, c IN ls Bruchzhlen (z.b. mit Nenner 1), dnn stimmt ds Produkt der Bruchzhlen mit c überein. Wir hben lso die Multipliktion in IN uf IQ + usgedehnt.

5 3. Brüche, Rtionle Zhlen 36 (4) Auch für die Multipliktion in IQ + gelten die beknnten Eigenschften us den Sätzen , und , d.h. die Multipliktion ist ssozitiv, kommuttiv, 1 ist neutrles Element, sie ist rechts- und linkseindeutig und mit < verträglich, d.h. für lle,b,c,d,e,f IN gilt b < c d b e f < c d e f. Ds Addieren von Bruchzhlen ist von der Idee her einfcher ls ds Multiplizieren, die Rechenregel ist ber komplizierter. Bei gleichnmigen Brüchen entspricht die Addition llerdings der in IN: Wir betrchten 1 b Einheit und erhlten b + c b = +c. b ls neue Als Strtegie für ds llgemeine Vorgehen ergibt sich Gleichnmigmchen der Brüche, und nschließend Addition der neuen Zähler. Die theoretisch einfchste Methode, zwei Brüche gleichnmig zu mchen, ist die Erweiterung mit dem jeweils nderen Nenner. Ds führt zu Summe der Bruchzh- Definition Seien,b,c,d IN. Dnn heißt die Bruchzhl zu d+c b b d len zu b und c d. Bemerkungen (1) Die einfche Regel zur Multipliktion knn mn lso nicht uf die Addition übertrgen. Mn erkennt ds uch n folgenden Beispiel: = 3 ist kleiner ls 2 5 3, knn lso nicht die Summe von 1 2 und 2, sein, denn diese ist 3 sicher größer ls jeder der beiden Summnden. (2) Wie bei der Multipliktion muss die sich bei der Addition ergebende Bruchzhl unbhängig von der Auswhl der Bruchdrstellungen der beiden Summnden sein. Es gilt in der Tt: b b und c d c d d+c b b d d +c b b d. (3) Betrchtet mn zwei ntürliche Zhlen, c IN ls Bruchzhlen (z.b. mit Nenner 1), dnn stimmt die Summe der Bruchzhlen mit + c überein. Wir hben lso uch die Addition in IN uf IQ + usgedehnt. (4) Der Nchteil der Definition ist, dss der Nenner der Summe oft sehr groß wird. Ds knn mn oft vermeiden, wenn mn die Brüche der Summnden so erweitert, dss nchher im Nenner der Huptnenner, lso ds kleinste gemeinsme Vielfche der beiden Nenner, steht. b + c d = d ggt(b,d) +c b ggt(b,d) kgv(b, d).

6 3. Brüche, Rtionle Zhlen 37 (5) Auch für die Addition in IQ + gelten die beknnten Eigenschften us den Sätzen , und , d.h. die Addition ist ssozitiv, kommuttiv, rechts- und linkseindeutig und mit < verträglich, d.h. für lle,b,c,d,e,f IN gilt b < c d b + e f < c d + e f. (6) Für Addition und Multipliktion gilt ds gewohnte Distributivgesetz us Stz , d.h. mn knn wie gewohnt Klmmern usmultiplizieren. Die Menge IQ + unterscheidet sich in wesentlichen Punkten von IN. IN ht ds kleinste Element 1. Jede ntürliche Zhl n IN ht den Nchfolger n+1 und jedes n IN mit n 1 den Vorgänger n 1. Zwischen n 1, n und n+1 liegen keine weiteren ntürlichen Zhlen. Mn knn lso die ntürlichen Zhlen uf der Zhlengerden ls Punkte mit festem Abstnd drstellen, und sgt, die Verteilung von IN uf der Zhlengerden ist diskret. Eine entsprechende Eigenschft gilt in IQ + nicht: Stz () Es gibt keine kleinste Bruchzhl. (b) Zu je zwei Bruchzhlen,b IQ + mit < b gibt es eine weitere Bruchzhl c IQ + mit < c < b. Bemerkung Zwischen und c liegt wieder eine weitere Bruchzhl usw., d.h. zwischen und b liegen unendlich viele Bruchzhlen. Mn nennt IQ + dicht geordnet. Endliche Mengen sind mit Hilfe der Anfngsstücke von IN definiert. Dmit ergibt sich, dss jede Teilmenge von IN, die ein größtes Element n besitzt, endlich ist (nämlich höchstens n Elemente besitzt). Auch hier unterscheidet sich IQ + wesentlich von IN: Definition Sei M IQ + eine beliebige Teilmenge. Wenn es ein IQ + gibt, so dss x gilt für lle x A, dnn heißt A nch oben beschränkt (in IQ + ) und heißt obere Schrnke von A (in IQ + ). Bemerkungen (1) Entsprechend knn mn untere Schrnken definieren. (2) Für eine beliebige Teilmenge A IN gilt: A ist endlich A ist beschränkt in IN A enthält ein größtes Element. Stz Sei A IQ + eine beliebige nichtleere Teilmenge. Dnn gilt: () Ist A endlich, dnn enthält A ein größtes Element. (b) Enthält A ein größtes Element, dnn ist A beschränkt. (c) Ist A endlich, dnn ist A nch oben beschränkt. Bemerkungen Die Umkehrung der Aussgen gilt im llgemeinen nicht. (1) Zu (): A = {x IQ + ; x 1} enthält ds größte Element 1, ber uch die unendlich vielen Stmmbrüche { 1 n ; n IN}.

7 3. Brüche, Rtionle Zhlen 38 (2) Zu (b): A = {x IQ + ; x < 1} ht die obere Schrnke 1, ber kein größtes Element. müsste kleiner ls 1 sein, und z.b. ds rithmetische Mittel von und 1 wäre eine Bruchzhl und kleiner 1, dmit lso Element von A, ber ndererseits größer. (3) Zu (c): A = {x IQ + ; x 1} ist beschränkt, ber nicht endlich. Gemeinsmkeiten und Unterschiede von ntürlichen Zhlen und Bruchzhlen ntürliche Zhlen IN Bruchzhlen IQ + Addition kommuttiv j j ssozitiv j j neutrles Element nein nein inverses Element nein nein Multipliktion kommuttiv j j ssozitiv j j neutrles Element j j inverses Element nein j Division ohne Rest nur in Spezilfällen immer kleinstes Element j nein Verteilung uf Zhlenstrhl diskret dicht Repräsenttion eindeutig unendlich viele Lösbrkeit v. Gleich. x = b mnchml immer Vorstellungen Multipliktion vergrößert? Division verkleinert? 3.3 Dezimlbrüche Brüche sind im Grunde Rechenvorschriften ( Teile ein Gnzes in b gleiche Teile und nimm dvon Stück ). Dies ht folgende Konsequenzen: Die Bruchdrstellung von Bruchzhlen ist mehrdeutig; eine eindeutige Drstellung wäre wünschenswert. Zwr knn mn dies mit der Drstellung durch den entsprechenden Kernbruch erreichen. Aber zur Bestimmung muss mn letztlich die Primfktorzerlegung von Zähler und Nenner kennen, deren Bestimmung sehr ufwendig sein knn. Außerdem ist sind die Summe und ds Produkt von Kernbrüchen im llgemeinen nicht wieder ein Kernbruch. Mn knn nicht sofort (wie bei ntürlichen Zhlen im Dezimlsystem) uf einen Blick sehen, welche von zwei Bruchzhlen größer ist. Speziell die Addition von Brüchen wirkt irgendwie komplizierter ls die schriftliche Addition von ntürlichen Zhlen in Dezimldrstellung. Bei der Drstellung von Bruchzhlen durch Dezimlbrüche orientiert mn sich n der Drstellung der ntürlichen Zhlen im Dezimlsystem. Mn betrchtet ber nicht nur eine Summe von Bündeln der Größe 10 n, n IN 0, sondern erweitert die Summe um Bündel der Form 1 10 n = 10 n, n IN. Folgender Algorithmus ordnet jedem Bruch eine solche Drstellung zu.

8 3. Brüche, Rtionle Zhlen 39 Dezimlbruch-Algorithmus: Ausgngspunkt ist ein Bruch b. Schritt 1 Setze n := 0, x :=. Schritt 2 Dividiere x durch b mit Rest, d.h. x = q n b+r n, mit q n,r n IN 0 und 0 r n < b. Ist r n = 0, dnn setze q k := 0 für k > n. Schritt 3 Sonst setze n := n+1, x := 10 r n und fhre mit Schritt 2 fort. Beispiele (1) Für 99 8 ergibt der Algorithmus 99 = , q 0 = 12, r 0 = 3, 10 3 = 3 8+6, q 1 = 3, r 1 = 6, 10 6 = 7 8+4, q 2 = 7, r 2 = 4, 10 4 = 5 8+0, q 3 = 5, r 3 = 0, und dmit die Dezimlbruch-Drstellung 99 8 = 12,375. (2) Für 4 7 ergibt der Algorithmus 4 = 0 7+4, q 0 = 0, r 0 = 4, 10 4 = 5 7+5, q 1 = 5, r 1 = 5, 10 5 = 7 7+1, q 2 = 7, r 2 = 1, 10 1 = 1 7+3, q 3 = 1, r 3 = 3, 10 3 = 4 7+2, q 4 = 4, r 4 = 2, 10 2 = 2 7+6, q 5 = 2, r 5 = 6, 10 6 = 8 7+4, q 6 = 8, r 6 = 4, 10 4 = 5 7+5, q 7 = 5, r 7 = 5... und dmit die Dezimlbruch-Drstellung 4 7 = 0, =: 0, Definition Durch den Algorithmus wird jedem Bruch b eindeutig eine unendliche Folge q 0,q 1,q 2,q 3,... mit 0 q k 9, k IN, zugeordnet. q 0,q 1 q 2 q 3... Dezimlbruch-Drstellung oder kurz Dezimlbruch von b. Wird im Algorithmus ein Rest r n (und dmit lle folgenden Reste) Null, dnn lässt mn diese Folgenglieder weg und nennt den Dezimlbruch bbrechend oder endlich, sonst unendlich.

9 3. Brüche, Rtionle Zhlen 40 Bemerkungen (1) Seien m,n IN mit m < n. Tritt beim m-ten Durchluf des Algorithmus derselbe Rest uf wie beim n-ten Durchluf, d.h. gilt r m = r n, dnn folgt q m+1 = q n+1, q m+2 = q n+2 usw., d.h. die Ziffernfolge q m,...,q n 1 wiederholt sich immer wieder. Ist m = 0, dnn heißt ein solcher unendlicher Dezimlbruch rein-periodisch, für m > 0 gemischtperiodisch und llgemein periodisch. ZumBeispielht 4 7 = 0,571428einereinperiodischeund 9 = 0, einegemischt-periodische 28 Dezimlbruch-Drstellung. (2) DieDezimlbruch-Drstellungq 0,q 1 q 2 q 3...von b bedeutetnlogzurzifferndrstellungntürlicher Zhlen im Dezimlsystem b = q 0 +q q q q n 10 n + r n b 10 n. (3) Seien,b,c IN. Dnn hben die Brüche b und c b c dieselbe Dezimlbruch-Drstellung. Wir hben noch nicht überlegt, welche Dezimlbruch-Drstellungen von Bruchzhlen uftreten können, und ob mn n einer Drstellung der Bruchzhl ls Bruch erkennen knn, ob der zugehörige Dezimlbruch endlich, rein-periodisch oder gemischt-periodisch ist. Stz () Zu jeder Bruchzhl gibt es eine eindeutig bestimmte Dezimlbruch-Drstellung q 0,q 1 q 2 q 3... mit 0 q k 9 für lle k IN. (b) Die Dezimlbruch-Drstellung ist (i) endlich genu dnn, wenn b nur die Teiler 2 und 5 ht, (ii) rein-periodisch genu dnn, wenn b weder Primteiler 2 noch 5 ht und (iii) gemischt-periodisch sonst. (c) Nicht-periodische unendliche Dezimlbrüche und Dezimlbrüche der Form q 0,q 1 q 2 q können nicht uftreten. Bemerkungen (1) Alle endlichen und periodischen Dezimlbrüche (bis uf solche der Form q 0,q 1 q 2 q 3...9) stellen lso eine Bruchzhl dr, d.h. zwischen der Menge der Bruchzhlen und der Menge dieser Dezimlbrüche besteht eine eineindeutige Zuordnung. (2) Am Anfng dieses Abschnitts hben wir einen Algorithmus ngegeben, um eine beliebige Bruchzhl in einen Dezimlbruch umzuwndeln. Die umgekehrte Opertion, einen Dezimlbruch in einen zugehörigen Bruch umzuwndeln, ist für endliche Dezimlbrüche kein Problem. Beispiel: 7,3245 = = Für periodische Dezimlbrüche nutzt mn die Formel für die geometrische Reihe: Für q IR, q 1, gilt i=0 q i := 1+q +q 2 +q = 1 1 q.

10 3. Brüche, Rtionle Zhlen 41 Wir zeigen ds Vorgehen für reinperiodische bzw. gemischtperiodische Dezimlbrüche wieder n je einem Beispiel: 0,243 = = 243 ( ) = ( ( 10 3) 2 ( ) ) = = = ,2543 = = ( ) = ( ( 10 2) 2 ( ) ) = = = (3) Beide eingeführte Drstellungen für Bruchzhlen, durch Brüche einerseits und durch Dezimlbrüche ndererseits, hben jeweils Vorteile. Für die Bruch-Drstellung benötigt mn nur 2 ntürliche Zhlen, und zumindest die Multipliktion zweier Bruchzhlen ist einfcher durchzuführen. Dezimlbrüche sind ndererseits eindeutige Drstellungen, die Kleiner-Reltion ist sofort nchprüfbr und Addition und Multipliktion von (endlichen) Dezimlbrüchen verläuft nlog zu den schriftlichen Rechenopertionen in IN. 3.4 Negtive gnze und rtionle Zhlen Wir hben in diesem Kpitel die Menge der ntürlichen Zhlen usgeweitet uf die Menge der Bruchzhlen. Dmit wr ein Mnko der Menge der ntürlichen Zhlen beseitigt, nämlich, dss eine Gleichung der Form x = b in IN nur für bestimmte Pre,b IN mit einem x IN lösbr ist. Für IQ + ergeben sich in ntürlicher Weise Verknüpfungen, die für die Teilmenge IN mit der Addition und Multipliktion übereinstimmen, und es gelten für diese Opertionen dieselben Rechenregeln (Assozitivund Kommuttivgesetz bezüglich + und und Distributivgesetz). Außerdem ist jede Gleichung x = b sogr für lle Bruchzhlen,b IQ + eindeutig lösbr mit einem x IQ +. Trotzdem ist diese Menge IQ + noch zu klein: Beispiele (1) Zhlen werden zur Sklierung benutzt, z.b. bei der Messung von Temperturen uf einem (nlogen) Thermometer, für Höhen-, Zeitngben oder Kontoständen. Üblicherweise wird (oft recht willkürlich) ein Nullpunkt der Skl festgelegt: Bei der Messung der Tempertur nch Celsius liegt der Nullpunkt (0 C) m Gefrierpunkt von reinem Wsser (bei einem gewissen Druck), bei der Messung nch Fhrenheit bei einer nch Ansicht Fhrenheits tiefstmöglichen Tempertur in der Ntur (der tiefsten Tempertur des strengen Winters 1708/09 in Dnzig) (0 C = 32 F), und bei der Messung nch Kelvin bei der (nch den Gesetzen der Thermodynmik) tiefstmöglichen Tempertur überhupt (0 C = 273,15 K). Für Höhenngben benutzt mn ls Nullpunkt die Höhe des Wsserspiegels des nächstgelegenen Meeres, wobei die Höhen der Wsserspiegel z.b. bei Atlntik und Mittelmeer nicht genu gleich sind.

11 3. Brüche, Rtionle Zhlen 42 Für Jhreszhlen benutzt mn in der westlichen Welt den ngenommenen Zeitpunkt von Christi Geburt. Andere Kulturen benutzen ndere Klender. Für bestimmte Dten (tiefere Temperturen, Höhenngben in Hollnd, Regierungszeit von Julius Cesr oder Sollstände uf dem Konto) erweitert mn die entsprechenden Sklen symmetrisch. Die Erweiterungsmengen bilden jeweils Größenbereiche z.b. die Tiefen im Meer, mit IQ + ls Mßzhlbereich, so dss mn in ihnen wie in IQ + rechnen knn. Die Verknüpfung z.b. von Höhen über und Tiefen unter dem Meeresspiegel ist llerdings mit den bisherigen Rechengesetzen nur umständlich hndhbbr. (2) Zustndsveränderungen bei den vorigen Beispielen knn mn ebenflls mit Hilfe von Bruchzhlen drstellen. Zur vollständigen Beschreibung muss mn zusätzlich die Richtung der Änderung ngeben, d.h. ob es kälter oder wärmer wird, der Wsserstnd steigt oder fällt bzw. ob mn Geld einzhlt oder bhebt. Mn knn mehrere solcher Zustndsänderungen hintereinnder usführen, d.h. miteinnder verknüpfen. (3) In IQ + sind Gleichungen der Art +x = b mit,b IQ + nur lösbr, wenn < b gilt. Mnchml benötigt mn ber uch für Probleme, die nur in IQ + formuliert sind und uch nur Lösungen in IQ + hben, die Möglichkeit der Lösbrkeit von Gleichungen +x = b für beliebige,b IQ +. Zum Beispiel wollen wir lle Bruchzhlen bestimmen, deren Qudrt um 3 kleiner ist ls ds Vierfche der Zhl, d.h. lle x IQ + mit x 2 +3 = 4x. Durch Aufstellen einer Wertetbelle erhält mn Lösungen x 1 = 1 und x 2 = 3. x x x x Füreinesystemtische Lösung(mit Rechnungnurin IQ + ) betrchten wirdiegleichungx 2 +3 = 4x: Addition von 1 und Subtrktion von 4 x uf beiden Seiten ergibt (x 2 4x+4) = (x 2) 2 = 1. Rechnen nuriniq + ergibt x 2 = 1, lso nurdielösungx 2 = 3, nicht ber dielösungx 1 = 1 IQ +. Ziel der folgenden Betrchtungen ist, IQ + so zu erweitern, dss einerseits Gleichungen der Form +x = b in der erweiterten Zhlenmenge immer lösbr sind, ndererseits wieder Addition, Multipliktion und Kleiner-Reltion so existieren, dss sie mit den beknnten Rechenopertionen in der Teilmenge IQ + übereinstimmen und denselben Regeln genügen. Wir gehen von einer Zhlenskl (Zhlenstrhl) us und erweitern sie symmetrisch zu einer Zhlengerden :

12 3. Brüche, Rtionle Zhlen 43 Definition Jedem q IQ + werde genu ein neues Element ( q) zugeordnet und es gelte ( q) ( r) für q r. Weiter sei 0 ein zusätzliches Element, d.h. 0 IQ + und 0 ( q) für lle q IQ +. IQ := IQ + {0} {( q);q IQ + } heißt Menge der rtionlen Zhlen, IQ := {( q);q IQ + } heißt Menge der negtiven rtionlen Zhlen, Z := {( n);n IN} heißt Menge der negtiven gnzen Zhlen und Z := Z {0} IN heißt Menge der gnzen Zhlen. Bemerkungen (1) Anlog zu IQ bezeichnet mn IQ + ls Menge der positiven rtionlen Zhlen, IQ + 0 := IQ+ {0} ls Menge der nichtnegtiven rtionlen Zhlen. (2) Mnchml schreibt mn für q IQ + uch (+q) und für die Zhl Null (+0) oder ( 0). IQ besteht nschulich us der Menge IQ + der Bruchzhlen, dem speziellen Element 0 und einer Kopie von IQ +. Im folgenden wollen wir die in IQ + definierten Verknüpfungen Addition, Multipliktion sowie die Kleiner-Reltion uf IQ usdehnen. Beispiele (1) Stellt mn Einzhlungen uf ein Konto durch positive, Abhebungen ls negtive Zhlen dr, dnn entspricht eine Einzhlung von 70 Euro und nschließende Einzhlung von 50 Euro einer Einzhlung von (70+50) = 120 Euro, eine Einzhlung von 70 Euro und nschließende Abhebung von 50 Euro einer Einzhlung von (70+( 50)) = 20 Euro, eine Abhebung von 70 Euro und nschließende Einzhlung von 50 Euro wegen (( 70) +50) = ( 20) einer Abhebung von 20 Euro, eine Abhebung von 70 Euro und nschließende Abhebung von 50 Euro wegen (( 70) + ( 50)) = ( 120) einer Abhebung von 120 Euro. (2) Stellt mn die rtionlen Zhlen in gewohnter Weise uf einer Zhlengerden dr (d.h. 0 und die ufeinnderfolgenden ntürlichen Zhlen nch oben in gleichem Abstnd, die (positiven) Brüche mit gleichem Nenner ebenflls in gleichem Abstnd, so dss k IN und kn, n IN, durch n denselben Punkt drgestellt werden, und die negtive Zhl ( q) symmetrisch von 0 nch unten mit gleichem Abstnd wie q IQ +, dnn knn mn die Addition von rtionlen Zhlen mit Hilfe eines Rechenschiebers mit einer festen und einer dnebenliegenden, prllel dzu beweglichen Zhlengerden beschreiben: Zur Addition der Zhlen p, q IQ bringt mn den Nullpunkt der beweglichen Zhlengerden neben den Punkt p uf der festen Zhlengerden. Dnn liegt die Summe p+q uf der festen Zhlengerden neben dem Punkt q uf der beweglichen Zhlengerden.

13 3. Brüche, Rtionle Zhlen 44 Definition Für lle q,r IQ + sei q r flls r < q, q +( r) := ( r)+q := 0 flls q = r, ( (r q)) flls q < r, ( q)+( r) := ( r)+( q) := (q +r), 0+0 := 0, q +0 := 0+q := q, ( q)+0 := 0+( q) := ( q). Bemerkung Die Addition in IQ ist ls Verllgemeinerung der Addition in IQ + definiert. Für ein beliebiges q IQ + liegen q und ( q) IQ uf der Zhlengerden symmetrisch zum Nullpunkt. Mn nennt sie dher Gegenzhlen. Durch f : IQ + IQ mit f(q) := ( q) wird eine eindeutige Zuordnung, d.h. eine Funktion, beschrieben. Es liegt nhe, den Definitionsbereich uf gnz IQ uszudehnen: Definition Sei r IQ beliebig, d.h. es existiert nch Definition ein eindeutig bestimmtes q IQ + mit r = ( q). Wir setzen dnn ( r) := q, d.h. ( q) := q. Bemerkung Für lle q IQ gilt q +( q) = 0. Für die Rechenregeln in IQ bezüglich der Addition gilt Stz Für beliebige,b,c IQ gilt () (+b)+c = +(b+c) (b) +b = b+ (Assozitivgesetz) (Kommuttivgesetz) (c) +x = b ist eindeutig lösbr in IQ. Bemerkungen (1) Die zu beliebigen,b IQ existierende Lösung der Gleichung +x = b in IQ heißt Differenz von b und und wird mit b bezeichnet. Die Verknüpfung f : IQ IQ IQ mit f(,b) := b heißt Subtrktion. (2) Für lle,b IQ gilt b = ( b) und = 0, d.h. die in Definition für p,q IQ + geforderten Beziehungen gelten llgemein für lle rtionle Zhlen. (3) Für beliebige,b,c IQ gilt +c = b+c = b.

14 3. Brüche, Rtionle Zhlen 45 (4) Aus der Eindeutigkeit der Lösung von +x = b folgt, dss 0 ds einzige neutrle Element in IQ bezüglich der Addition ist, d.h. ds einzige Element x mit +x =. Anlog folgt, dss zu beliebigem IQ ds Element ( ) ds einzige inverse Element von bezüglich der Addition ist, d.h. ds einzige Element x mit +x = 0. Nur 0 ist zu sich selbst invers. (5) Ds Minuszeichen htte in den vorhergehenden Betrchtungen drei verschiedene Bedeutungen: () Es ist Vorzeichen einer negtiven rtionlen Zhl, z.b. ( 5). (b) Es ist Kennzeichen für ds dditiv Inverse (bzw. Gegenzhl uf der Zhlengerden) einer rtionlen Zhl IQ, d.h. knn uch eine positive Zhl drstellen. (c) Es ist Opertionszeichen für die Subtrktion. (6) Wir hben IQ + so erweitert, dss für lle p,q IQ + die Gleichung p+x = q in IQ eindeutig lösbr ist. IQ ist in gewissem Sinn eine minimle Erweiterung dieser Art, und wir hben gezeigt, dss die Gleichung sogr für beliebige p, q IQ in IQ lösbr ist, d.h. eine zusätzliche Zhlen-Erweiterung ist in Bezug uf diese Gleichung nicht notwendig. Mengen, in denen die im Stz formulierten grundlegenden Eigenschften von (IQ, +) gelten, werden besonders bezeichnet: Definition Sei M eine beliebige nichtleere Menge, : M M M eine Verknüpfung. (M, ) heißt Gruppe,wenn für lle,b,c M gilt () ( b) c = (b c) (Assozitivgesetz) (b) x = b und y = b ist jeweils eindeutig lösbr in IQ. Gilt zusätzlich (c) b = b, (Kommuttivgesetz) dnn heißt (M, ) kommuttive Gruppe. Beispiele (1) (IQ, +) und ( Z, +) sind kommuttive Gruppen. (2) Ist M eine nichtleere Menge, F(M) die Menge der bijektiven Abbildungen von M nch M, dnn wird durch : F(M) F(M) F(M) mit (f g)(x) := f(g(x)) für lle x M eine Verknüpfung uf F(M) definiert, und (F(M), ) ist eine im llgemeinen nicht kommuttive Gruppe. Bemerkung Die Forderung der eindeutigen Lösbrkeit der Gleichung x = b ist äquivlent zu den beiden Forderungen (b1) Es existiert ein e M mit e = e = für lle M. (Existenz e. neutrlen El.) (b2) Zu jedem M existiert ein b M mit b = e. (Existenz e. inversen El. zu M)

15 3. Brüche, Rtionle Zhlen 46 Wir wollen nun die Multipliktion in IQ + uf IQ usdehnen. Dbei soll ebenflls die Gültigkeit der Rechenregeln erhlten bleiben, d.h. speziell Assozitiv-, Kommuttiv- und Distributivgesetz sowie die Eigenschft der 1 ls neutrlem Element und die eindeutige Lösbrkeit jeder Gleichung der Form x = b für beliebige IQ\{0}, b IQ in IQ. Ds führt zwngsläufig zu folgenden Festlegungen: Definition Für beliebige q,r IQ + sei q 0 := 0 q = 0, q ( r) := ( r) q := (q r), ( q) ( r) := q r. Mit dieser Definition gilt wie gefordert Stz (IQ\{0}, ) ist eine kommuttive Gruppe mit 1 ls neutrlem Element. Weiter gilt in (IQ, +, ) ds Distributivgesetz. Bemerkungen (1) Für lle IQ gilt 0 = 0 1, d.h. 0 knn kein Inverses bezüglich der Multipliktion hben. (2) Für beliebiges IQ, 0, bezeichnen wir ds Inverse bezüglich der Multipliktion durch 1. (3) Für beliebige,b IQ, 0, heißt die eindeutige Lösung der Gleichung x = b in IQ Quotient von b und. Schreibweise b :. (4) Für beliebige,b,c IQ mit c 0 gilt c = b c = b. Mengen mit zwei Verknüpfungen, die bezüglich dieser Verknüpfungen dieselben Grundeigenschften wie (IQ, +, ) hben, wollen wir wieder mit einem speziellen Nmen versehen: Definition Sei M eine nichtleere Menge mit zwei Verknüpfungen, die wir mit + und bezeichnen. Ist (M,+) eine kommuttive Gruppe mit neutrlem Element x 0 M, (M \ {x 0 }, ) eine kommuttive Gruppe mit neutrlem Element x 1 M \{x 0 } und gilt ds Distributivgesetz (+b) c = ( c)+(b c) für lle,b,c M, dnn heißt (M,+, ) Körper. x 0 heißt Nullelement, x 1 Einselement. Beispiel (IQ,+, ) ist ein Körper, (Z,+, ) nicht. Bemerkungen (1) In Anlogie zu (IQ, +, ) bezeichnet mn für einen beliebigen Körper die Verknüpfung + ls Addition, ls Multipliktion, ds Nullelement durch 0 und ds Einselement durch 1, ds inverse Element zu M bezüglich + mit und ds inverse Element zu M, 0, bezüglich mit 1. (2) Gruppe und Körper sind lgebrische Strukturen. Alle Eigenschften von IQ, die wir nur us den Gruppen- bzw. Körpereigenschften herleiten können, gelten uch für beliebige Gruppen bzw. Körper.

16 3. Brüche, Rtionle Zhlen 47 Wir müssen noch die Kleiner-Reltion uf IQ usdehnen: Definition Seien,b IQ beliebig. Gibt es ein c IQ + mit +c = b, dnn schreiben wir < b (bzw. b > ). Bemerkungen (1) Ließe mn die Einschränkung c IQ + weg, dnn würde für beliebige,b IQ die Reltion < b gelten, d die Gleichung +x = b für lle,b IQ in IQ lösbr ist. (2) Für beliebige,b IQ gilt: < b b IQ +. Speziell mit = 0 ergibt sich 0 < b b IQ +. (3) Für beliebige,b IQ gilt: Aus > 0, b > 0 folgt +b > 0 und b > 0. (4) Trägt mn in gewohnter Weise die positiven rtionlen Zhlen uf der Zhlengerden oberhlb des Nullpunkts b, die negtiven Zhlen symmetrisch nch unten, dnn gilt für,b IQ die Ungleichung < b genu dnn, wenn unterhlb von b liegt. Für die Kleiner-Reltion in (IQ,+) gilt wie in (IQ +,+) Stz Für lle,b,c IQ gilt: () Aus < b und b < c folgt < c. (b) Es gilt genu eine der drei Aussgen < b oder = b oder b <. (Trnsitivität) (Trichotomie) (c) < b +c < b+c. (Monotonie und Umkehrung bzgl. +) Folgerungen (1) Aus der Monotonie bzgl. der Addition und der Trnsitivität folgt, dss mn Ungleichungen seitenweise ddieren knn, d.h. für beliebige, b, c IQ gilt: Aus < b und c < d folgt +c < b+d. (2) Für beliebige,b IQ gilt: Aus < b folgt ( ) > ( b). (3) Für lle IQ gilt: < 0 ( ) > 0. Für beliebiges IQ gilt < 0. Monotonieussgen bezüglich der Multipliktion können in IQ nicht in derselben Allgemeinheit gelten, denn z.b. für beliebige,b IQ mit < b gilt 0 = b 0, und wegen ( 1) = ( 1) = ( ) gilt ( 1) = ( ) > ( b) = b ( 1). Stz Für lle,b,c IQ mit < b gilt: () Aus c > 0 folgt c < b c. (Monotonie bzgl. ) (b) Aus c < 0 folgt c > b c.

17 3. Brüche, Rtionle Zhlen 48 Folgerungen (1) Für die seitenweise Multipliktion von Ungleichungen sind ebenflls Einschränkungen zu bechten: Für,b,c,d IQ mit b > 0 und c > 0 gilt: Aus < b und c < d folgt c < b d. (2) Für lle IQ mit 0 gilt 2 > 0. (3) Ist c > 0, dnn ist uch c 1 > 0. Entsprechend ist für c < 0 uch c 1 < 0. Dmit folgt ls Umkehrung der Monotonieeigenschft: Aus c < b c und c > 0 folgt < b, us c < b c und c < 0 folgt > b. Wir verllgemeinern wieder die in IQ gültigen Grundeigenschften, diesml unter Berücksichtigung der Verknüpfungen Addition, Multipliktion und der Kleiner-Reltion, zusmmen mit den Regeln, wie Addition und Multipliktion (Distributivgesetz) sowie Addition und Kleiner-Reltion bzw. Multipliktion und Kleiner-Reltion (Monotonie) zusmmenwirken: Definition Sei (M,+, ) ein Körper, < eine Reltion. Gilt für beliebige,b,c M () entweder < b oder = b oder > b, (b) us < b und b < c folgt < c, (Trichotomie) (Trnsitivität) (c) us < b folgt +c < b+c, (Monotonie bzgl. +) (d) us < b und c > 0 folgt c < b c, (Monotonie bzgl. ) dnn heißt (M, +,, <) ngeordneter Körper. Beispiel IQ ist ein ngeordneter Körper. Die Menge IC der komplexen Zhlen ist ein Körper, ber kein ngeordneter Körper. 3.5 Ein lterntives Modell zur Einführung von Z und IQ Ein tiefgreifendes Mnko der Menge der ntürlichen Zhlen ist, dss die Gleichungen + x = b und x = b nicht für lle,b IN lösbr sind. Wir betrchten z.b. die Gleichung +x = b im Fll der Lösbrkeit in IN, d.h. für < b. x knn mn ls Differenz b oder uch ls Pr (,b) IN 2 schreiben. Allerdings ist die Drstellung nicht eindeutig, denn für jedes c IN gilt (b+c) (+c) = b, d.h. x wird uch durch ds Pr (+c,b+c) drgestellt. Für zwei verschiedene Drstellungen gilt offenbr Stz Seien,b,c,d IN. Die Differenzen b und d c stellen genu dnn dieselbe Zhl dr, wenn gilt +d = b+c.

18 3. Brüche, Rtionle Zhlen 49 Fsst mn lle Drstellungen derselben ntürlichen Zhl ls Differenz zweier ntürlicher Zhlen zu einer Menge zusmmen, dnn erhält mn zwischen diesen Mengen und den ntürlichen Zhlen eine eineindeutige Zuordnung. Anlog knn mn ber uch Mengen von Zhlenpren bilden, deren Differenz nicht einer ntürlichen Zhl entspricht, z.b. {(,); IN}, und diesen Mengen neue Objekte zuordnen, die mn ls Lösung einer (in IN nicht lösbren) Gleichung +x = b uffsst. Stz Durch (,b) (c,d) +d = b+c wird uf der Menge der Pre ntürlicher Zhlen (d.h. uf IN IN) eine Äquivlenzreltion definiert. Sie zerlegt IN IN vollständig in disjunkte Äquivlenzklssen. Mn nennt nun jede Äquivlenzklsse gnze Zhl, identifiziert jede ntürliche Zhl n IN mit der Äquivlenzklsse von z.b. (1, n + 1) und bezeichnet die Äquivlenzklsse von (n, n) mit 0 und von (n+1,1) mit n sowie die Menge ller gnzen Zhlen mit Z. Durch (,b)+(c,d) := (+c,b+d), (,b) (c,d) := ( d+b c, c+b d) (,b) < (c,d) : b+c < +d wird uf Z eine Addition, Multipliktion und Kleiner-Reltion definiert. Mn knn zeigen, dss die Ergebnisse von der Auswhl der Vertreter (Elementen der Äquivlenzklssen) unbhängig ist, d.h. dss ddurch wirklich Verknüpfungen und eine Reltion uf Z definiert sind. Für Äquivlenzklssen mit Elementen (, b), < b, entsprechen die Ergebnisse denen in IN. Dsselbe Verfhren knn mn uch für die Zhlenmenge Z und die zu lösende Gleichung x = b durchführen, und mn erhält die Äquivlenzreltion (,b) (c,d) d = b c. Die Äquivlenzklssen entsprechen den rtionlen Zhlen, und Addition, Multipliktion und Kleiner- Reltion werden definiert durch (,b)+(c,d) := ( d+b c, c), (,b) (c,d) := ( c,b d) (,b) < (c,d) : b c < d. Wieder knn mn die Ausgngsmenge Z mit einer Teilmenge der Äquivlenzklssen identifizieren, nämlich den Äquivlenzklssen mit den Elementen (1, n), n Z, und die Ergebnisse der Rechnungen in Z und in dieser Teilmenge entsprechen sich. Dmit ht mn ein llgemeines Verfhren gewonnen, um zu einer Menge M mit einer Verknüpfung, in der eine Gleichung der Form x = b nicht für lle,b M lösbr ist, eine geeignete Erweiterung zu konstruieren. Eine weitere Möglichkeit der Definition von IQ ist, nlog zur Definition von IN mit Hilfe der Peno- Axiome IQ ls kleinsten ngeordneten Körper festzulegen, der IN enthält eine sehr schnelle Möglichkeit, die rtionlen Zhlen einzuführen, ber gleichzeitig eine sehr unnschuliche und dher für die Schule sicher ungeeignete Möglichkeit.

19 50 4 Reelle Zhlen 4.1 Unvollständigkeit der Menge der rtionlen Zhlen Die rtionlen Zhlen reichen zur Beschreibung der Welt nicht us: Die Zhlengerde, Inkommensurbilität Wir betrchten eine horizontle Gerde g. Druf legen wir einen Nullpunkt fest, dzu einen Einheitspunkt rechts vom Nullpunkt und nennen die Länge der ddurch bestimmten Strecke Einheit. Wir können nun jede rtionle Zhl q IQ eindeutig durch einen Punkt uf g drstellen: Der Abstnd des Punktes zum Nullpunkt soll ds q-fche der Einheit betrgen und der Punkt soll für q > 0 rechts und für q < 0 links vom Nullpunkt liegen. Der Zhl 0 entspricht der Nullpunkt, der Zhl 1 der Einheitspunkt d 2 3 ( 2) d g Nch dem Stz des Pythgors gilt für ein Qudrt mit Seitenlänge und Digonllänge d die Gleichung d 2 = 2 2. Die Länge der Digonlen des Einheitsqudrts ist lso Lösung der Gleichung x 2 = 2. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dss keine rtionle Zhl Lösung dieser Gleichung ist. Trägt mn die Digonle eines Qudrtes mit Seitenlänge 1 uf der Zhlengerden vom Nullpunkt nch rechts b, dnn entspricht dher der zweite Endpunkt der Strecke keiner rtionlen Zhl. Die Zhlengerde enthält lso mehr Punkte ls die den rtionlen Zhlen zugeordneten, die rtionle Zhlengerde ht Lücken. Im folgenden werden wir IQ so erweitern (zu der Menge IR der reellen Zhlen), dss jedem Punkt uf der Zhlengerden genu eine reelle Zhl entspricht. Zwei beliebige rtionle Zhlen b und c 1 knn mn ls gnzzhlige Vielfche z.b. von drstellen, d.h. d bd die Streckenlängen vom Nullpunkt zu den Punkten, die den beiden Zhlen entsprechen, sind gnzzhlige Vielfche einer festen Streckenlänge, die mn ls gemeinsme Mßeinheit betrchten knn. Solche Strecken heißen kommensurbel. Aus dem Stz des Pythgors folgt, dss die Seite und die Digonle eines Qudrtes ein inkommensurbles (d.h. nicht kommensurbles) Streckenpr bilden.

20 4. Reelle Zhlen 51 Die Entdeckung solcher inkommensurblen Strecken durch die Pythgoräer stellte ihren philosophischen Grundnstz in Frge, dss lle Dinge mit Hilfe ntürlicher Zhlen und Verhältnissen ntürlicher Zhlen (d.h. rtionler Zhlen) usgedrückt werden könnten, und wr einer der Gründe dfür, dss sich die ntike griechische Mthemtik bis uf wenige Ausnhmen (Archimedes) nicht mit weitergehenden Problemen der Anlysis beschäftigte. In dem Ordenssymbol der Pythgoräer, dem Pentgrmm, treten ebenflls inkommensurble Strecken uf. Ds Verhältnis von Fünfecksdigonle und -seite ist gleich dem des Goldenen Schnitts, d.h. gleich 1+ 5, eine Zhl, die in der Kulturgeschichte der Menschheit (z.b. in der Architektur) eine wichtige 2 Rolle spielt. D E B A C E C D A B Ein weiteres Beispiel für inkommensurble Mßzhlen ist ds Verhältnis der Flächeninhlte des Einheitsqudrtes und des Einheitskreises. Dieses Verhältnis wird mit π bezeichnet. π ist ebenflls irrtionl, sogr trnszendent, d.h. nicht Nullstelle eines Polynoms mit gnzzhligen Koeffizienten (Problem der Qudrtur des Kreises ) Lösung von Polynom-Gleichungen Schon einfchste Polynom-Gleichungen besitzen keine Lösung in IQ. Zum Beispiel zeigt mn leicht unter Ausnutzung der Eindeutigkeit der Primfktorzerlegung in Z: Stz Es gibt keine rtionle Zhl x mit x 2 = 2. Bemerkungen (1) Mit demselben Beweisrgument knn mn zeigen, dss für keine Primzhl p die Gleichung x 2 = p in IQ lösbr ist. Dsselbe gilt für Gleichungen der Form x n = p mit beliebigem n IN, n > 2. (2) Im folgenden wollen wir den Zhlbereich IQ so zu einem ngeordneten Körper erweitern, dss bestimmte solche Gleichungen lösbr sind. Für die Lösung llgemeiner polynomiler Gleichungen n der Form i x i = 0 reicht ber uch der neue Zhlbereich IR nicht us. Dfür benötigt mn die i=0 Menge IC der komplexen Zhlen.

21 4. Reelle Zhlen Eigenschften stetiger und differenzierbren Funktionen Im Prinzip könnte mn uch eine Anlysis innerhlb IQ betrchten, d.h. Funktionen f : IQ IQ uf Stetigkeit oder Differenzierbrkeit untersuchen. Allerdings ergeben sich Ergebnisse, die ziemlich weit von der Anschuung entfernt sind. Ein wichtiger Stz in der reellen Anlysis ist der Zwischenwertstz bzw. ls wesentlicher Spezilfll der Nullstellenstz: Stz Ist [,b] ein reelles Intervll, f : [,b] IR stetig in [,b] und f() < 0 < f(b), dnn gibt es mindestens ein x 0 [,b] mit f(x 0 ) = 0. In einer rtionlen Anlysis ist diese Aussge nicht llgemein richtig, wie mn m Beispiel der stetigen Funktion f : {x IQ;1 x 2} IQ mit f(x) := x 2 2 erkennt. In der Kurvendiskussion im Mthemtikunterricht der Gymnsien ist der Zusmmenhng zwischen Monotonieeigenschften und Werten der Ableitung einer differenzierbren Funktion wichtig. Es gilt ds Stz (Monotoniekriterium) Eine uf einem reellen Intervll differenzierbre Funktion mit überll positiver Ableitung ist dort streng monoton wchsend. Auch dies ist bei Beschränkung uf Funktionen rtionler Vriblen nicht immer richtig. Zum Beispiel ist die Funktion f(x) := 1 uf der Menge I := {x IQ;1 x 2} definiert und differenzierbr mit 2 x2 der uf I positiven Ableitung f 2x (x) = (2 x 2 ) 2. Wegen f(1) = 1 und f(2) = 1 2 knn sie ber nicht streng monoton wchsend sein. 4.2 Einführung der reellen Zhlen durch Intervllschchtelung Wir wollen zunächst die reellen Zhlen nschulich ls Punkte der lückenlosen Zhlengerden uffssen. Die rtionlen Zhlen liegen uf der Zhlengerden dicht. Ds gibt die Möglichkeit, jede irrtionle, d.h. reelle, ber nicht rtionle Zhl durch rtionle Zhlen zu pproximieren. Eine sehr nschuliche Möglichkeit, gleichzeitig Approximtionen durch kleinere und größere rtionle Zhlen zu konstruieren, ist die Intervllhlbierung: Ist x eine beliebige reelle, nicht rtionle Zhl uf der Zhlengerden, dnn wähle mn eine beliebige rtionle Zhl 0 links von x und eine beliebige rtionle Zhl b 0 rechts von x. Der Mittelpunkt m := 0 +b 0 2 des Intervlls [ 0,b 0 ] ist rtionl. Liegt er links von x, dnn setze 1 := m und b 1 := b 0, sonst 1 := 0 und b 1 := m. Wiederholung des Verfhrens für 1 und b 1 (n Stelle von 0 und b 0 ) ergibt ( 2,b 2 ) und entsprechend erhält mn weitere Pre ( 3,b 3 ) usw.

22 4. Reelle Zhlen 53 Wir erhlten uf diese Weise eine Folge von Intervllen I n = [ n,b n ] mit rtionlen Endpunkten, die jeweils x enthlten, und deren Längen gleich dem 2 n -fchen der Länge von I 0 sind, lso gegen 0 gehen. D jedes Intervll lle nchfolgenden enthält, nennt mn eine solche Folge Intervllschchtelung. Beispiel Für x = 2, 0 = 1 und b 0 = 2 ergibt sich I 1 = [1, 3 2 ], I 2 = [ 5 4, 3 2 ], I 3 = [ 11 8, 3 2 ] usw. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, zu einem vorgegebenen Punkt der Zhlengerden eine Intervllschchtelung zu konstruieren. Eine weitere nheliegende Möglichkeit ist eine Schchtelung us Intervllen I n mit Länge 10 n, deren Endpunkte endliche Dezimlbrüche mit n Stellen hinter dem Komm sind. Beispiel Wieder für x = 2 erhält mn 1 < x < 2 mit Intervll-Länge 10 0 = 1, 1,4 < x < 1,5 mit Intervll-Länge 10 1 = 1 10, 1,41 < x < 1,42 mit Intervll-Länge 10 2 = 1 100, 1,414 < x < 1,415 mit Intervll-Länge 10 3 = usw. Dmit wird jeder reellen Zhl x ein Dezimlbruch zugeordnet. Dezimlbrüche mit Neunerende kommen nicht vor, und zu je zwei verschiedenen Punkten gehören zwei verschiedene Dezimlbrüche. Ist der Dezimlbruch endlich oder periodisch, dnn ist x rtionl, sonst irrtionl (nicht rtionl). Umgekehrt legt jeder Dezimlbruch, der kein Neunerende ht, eine Intervllschchtelung fest, die einen Punkt der Zhlengerden bestimmt. Wir erhlten dmit eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten der Zhlengerden, d.h. den reellen Zhlen, und den Dezimlbrüchen ohne Neunerende. Diese Dezimlbrüche sind folglich eine Drstellungsmöglichkeit der reellen Zhlen (eine ndere Drstellung erhält mn z.b. mit Hilfe der Dulbrüche). Die nschuliche Eigenschft der Lückenlosigkeit der reellen Zhlengerden knn mn, losgelöst von der Anschuung, folgendermßen usdrücken: Axiom (Intervllschchtelungs-Axiom) Sind 1, 2, 3,..., b 1,b 2,b 3,... reelle Zhlen mit b 3 b 2 b 1 und werden die Intervll-Längen b n n für hinreichend großes n IN beliebig klein, dnn gibt es eine reelle Zhl x mit n x b n für lle n IN.

23 4. Reelle Zhlen 54 Bemerkungen (1) Die Intervll-Längen werden beliebig klein bedeutet, dss es zu einem beliebigen Stmmbruch 1 m einen Index n 0 gibt, so dss für lle n n 0 die Längen der Intervlle [ n,b n ] kleiner ls 1 m sind. (2) Wie vorher bei der speziellen durch den Dezimlbruch definierten Intervllschchtelung erfsst eine Intervllschchtelung nie zwei verschiedene Zhlen. (3) Ds Intervllschchtelungs-Axiom ist im Körper IQ nicht erfüllt. DieMenge derreellen Zhlenkönnte unendlichgroße Zhlen enthlten, d.h.diezhlengerdeenthielte dnn Punkte, die mn nie erreichen würde. Um dies uszuschließen, fordert mn ls weitere Eigenschft Axiom (Archimedisches Axiom) Zu jeder reellen Zhl x gebe es eine ntürliche Zhl n IN mit x < n. Bemerkungen (1) Aus dem Archimedischen Axiom folgt, dss es uch keine unendlich kleine reelle Zhl gibt, die sowohl größer ls 0 ls uch kleiner ls jeder Stmmbruch 1 n ist. In der Anlysis folgert mn drus, dss die Folge ( 1 n ) n IN eine Nullfolge ist. (2) Mn bezeichnet jeden ngeordneten Körper, in dem ds Intervllschchtelungsxiom und ds Archimedische Axiom gilt, ls Menge IR der reellen Zhlen. Verschiedene Mengen mit diesen Eigenschften fsst mn ls verschiedene Drstellungen von IR uf. Wir hben in den bisherigen Überlegungen jeder reellen Zhl eine Intervllschchtelung zugeordnet. Umgekehrt knn mn nun von Intervllschchtelungen in IQ (d.h. mit rtionlen Intervllenden) usgehen. Dbei können ber verschiedene Intervllschchtelungen dieselbe reelle Zhl eingrenzen, d.h. mn muss solche Intervllschchtelungen identifizieren : Dzu betrchtet mn zu einer gegebenen Intervllschchtelung (I n ) n IN eine Verfeinerung, d.h. eine Intervllschchtelung (J n ) n IN mit J n I n für lle n IN. Zwei Intervllschchtelungen (I n ) n IN und (I n ) n IN heißen äquivlent, wenn sie eine gemeinsme Verfeinerung besitzen. Es entstehen Äquivlenzklssen von Intervllschchtelungen, und jede dieser Äquivlenzklssen definiert eine reelle Zhl. Beispiel Für die Eulersche Zhl e := lim n (1+ 1 n )n ist I n := [ n,b n ] mit n := (1+ 1 n )n und b n := (1+ 1 n )n+1 eine Intervllschchtelung, denn die Folge der n ist monoton wchsend, die Folge der b n ist monoton fllend, für lle n IN gilt n < b n und die Intervll-Länge wird mit wchsendem n beliebig klein.

24 4. Reelle Zhlen Vollständigkeit von IR Für eine lterntive Einführung der reellen Zhlen mit Hilfe des sog. Vollständigkeitsxioms gehen wir wieder von der Lückenlosigkeit der Zhlengerden us. Auf der Zhlengerden sei eine nch oben beschränkte Punktmenge M gegeben. Nun schiebe mn eine Mrke von einer beliebigen oberen Schrnke so weit nch links, wie es geht (d.h. bis zum Anstoß mit M). Mn erhält eine neue obere Schrnke, die nicht unterboten werden knn, lso eine kleinste obere Schrnke der Menge. Definition Es sei X eine ngeordnete Menge (d.h. es gilt ds Trichotomiegesetz). () Eine Menge M X heißt nch oben beschränkt (in X), wenn es ein s X gibt, so dss für lle x M gilt x s. s heißt obere Schrnke von M. (b) s X heißt kleinste obere Schrnke oder Supremum von M, wenn s obere Schrnke von M ist und für jede ndere obere Schrnke s X von M gilt s s. Beispiele (1) Ist M endlich, dnn ht M ein mximles Element, und dieses ist gleich dem Supremum von M. (2) M = {x IR;x 2 < 2} ist z.b. durch 2 nch oben beschränkt. Ds Supremum von M ist 2, existiert lso, ist ber nicht Element von M. (3) M = {x IQ;x 2 < 2} ht ebenflls die obere Schrnke 2 IQ. M ht ber kein Supremum (in IQ). Für IR ist folgende Eigenschft chrkteristisch. Axiom (Vollständigkeitsxioms) Jede nichtleere, nch oben beschränkte Menge reeller Zhlen besitzt eine kleinste obere Schrnke in IR. Ds Vollständigkeitsxioms ist äquivlent zu Intervllschchtelungs- und Archimedischem Axiom: Stz () Gilt für eine Menge ds Vollständigkeitsxiom, dnn uch ds Archimedische und ds Intervllschchtelungsxiom. (b) Gilt für eine Menge sowohl ds Archimedische ls uch ds Intervllschchtelungs-Axiom, dnn gilt für sie ds Vollständigkeitsxiom. 4.4 Anordnung und Rechenopertionen in IR Für die Punkte uf der (horizontlen) Zhlengerden ergibt sich die Anordnung wie üblich: Es gelte < b, flls der Punkt links von b liegt. Die Addition knn mn - wie bei IQ schon diskutiert - mit Hilfe einer festen und einer beweglichen Zhlengerden (Rechenschieber) durchführen. Ebenflls mit Hilfe zweier Zhlengerden und unter Ausnutzung des 1. Strhlenstzes knn mn die Multipliktion durchführen:

25 4. Reelle Zhlen 56 b 1 1 b b Zwei beliebige Dezimlbrüche = 0, und b = b 0,b 1 b 2 b 3... knn mn in gewohnter Weise wie periodische Dezimlbrüche miteinnder vergleichen: Gibt es ein n IN 0 mit k = b k für k < n und n < b n, dnn ist < b. Summe und Produkt von zwei reellen (speziell irrtionlen) Zhlen erhält mn, indem mn jeweils Intervllschchtelungen ([ n,b n ]) n IN und ([ n,b n]) n IN der beiden Operndenuswählt und drus neue Intervllschchtelungen ([ n + n,b n + b n]) n IN und (für positive reelle Zhlen) ([ n n,b n b n]) n IN konstruiert. Beispiel Für die Berechnung von 2 + π und 2 π betrchten wir die zu den Dezimlbruchentwicklungen 2 = 1, und π = 3, gehörenden Intervllschchtelungen und erhlten Anzhl der benutzten Dezimlstellen Intervll für π Intervll für 2 Intervll für π + 2 Intervll für π ,1 3,2 1,4 1,5 4,5 4,7 4,34 4,80 2 3,14 3,15 1,41 1,42 4,55 4,57 4,4274 4, ,141 3,142 1,414 1,415 4,555 4,557 4, , ,1415 3,1416 1,4142 1,4143 4,5557 4,5559 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , d.h. π + 2 = 4, und π 2 = 4, D eine reelle Zhl einer Äquivlenzklsse von Intervllschchtelungen entspricht, müsste mn zeigen, dss ds Ergebnis von Addition, Multipliktion und Größenvergleich mit der Kleiner-Reltion (ls Verllgemeinerungen der entsprechenden Verknüpfungen bzw. Reltion uf IQ) unbhängig von der Auswhl der speziellen Vertreter der Äquivlenzklssen ist.